文档内容
2024 年中考第二次模拟考试(扬州卷)
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目
要求的）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解： 的相反数是 ．
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A. 与 不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，此选项符合题意；
C. 与 不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
D. ，此选项计算错误，不符合题意；
故选：B
3．春季是北方火灾的多发季节，为此，某校从300名九年级学生中随机抽取了50名学生进行“安全防火
警钟长鸣”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”“较好”“一般”“较差”四类汇总分析，并绘制了如下条形统计图．下列说法中正确的是（ ）
A．抽取的学生中成绩为较好的学生人数最多
B．抽取的学生中成绩为“很好”的学生人数占总人数的18%
C．抽取的学生中成绩为一般的有10人
D．估计九年级学生成绩为较好的学生有120人
【答案】B
【解析】解：依题意，成绩为一般的人数为
则A，C选项错误，
抽取的学生中成绩为“很好”的学生人数占总人数的 ，故B选项正确，
估计九年级学生成绩为较好的学生有 人，故D选项错误，
故选：B．
4．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆
柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成
“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】解：由几何体可得，从正面看到的平面图形为：
故选：B．
5．估计 的值应在（ ）
A． 到 之间 B． 到 之间 C． 到 之间 D． 到 之间
【答案】B
【解析】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故选： ．
6．如图，菱形 中， ，点 分别在边 上，点 在对角线 上．若
四边形 是矩形，且 ，则 的长是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：连结 ，交 于 ，
则由菱形的性质可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又由已知四边形 是矩形，且 ，可得： ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．7．如图是小华同学利用计算机软件绘制函数 （k，b为常数）的图象，则k，b的值满足（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】解：由函数图像可知，当 时， ，
，
时，函数值不存在，
则 ．
故 ， ．
故选A．
8．已知点 在二次函数 的图象上，其中 ，令 ，
， ； 为 的个位数字（n为正整数），下列说法：① ；②
；③ ；④ 的最小值为 ，此时，
； 的个位数字为5．正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解： ，则当 时， ，
，
∴ ，
当 时， ，故 正确；，
，故 正确；
∵ ，
∴
，故 正确；
，
取得最小值 ，此时 或 ，故 错误；
为 的个位数字， ，
∴ ，
由此可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
∴ 的规律为以 ， ， ， ， ，五次一循环，且这五个数相加为 ，∴ 的个位 ，且也是五次一循环，
，
， ，
的个位为 ，故 错误；
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系
统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提
供有力支持．目前，该芯片工艺已达 纳米（即 米）．则数据 用科学记数法表示
为 ．
【答案】
【解析】解： ，
故答案为： ．
10．若 ，则 的值是 ．
【答案】26
【解析】解： ，
，
故答案为： ．11．一个多边形的每一个外角都是 ，则该多边形的内角和为 ．
【答案】
【解析】解：∵多边形的每一个外角都是 ，
∴该多边形的边数为：
∴该多边形的内角和为：
故答案为：
12．走路不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小云、小南两名同学将同一星
期内日步数的数据绘制成折线统计图，将步数方差分别记为 ， ，从折线统计图可知，
（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】
【解析】解：由题意可知，两名同学一星期内日步数都在 上下波动，但小云的波动幅度比小南的大，
所以 ，
故答案为： ．
13．已知 且满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
14．如图所示的扇形 中， ，过点 作 ， 交 于点 ，若 ，则阴影部
分的面积为 ．
【答案】
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为： ．故答案为： ．
15．如图，点 是矩形 边 上一点， ， ，连接 ，将 沿 翻折得到
，连接 ， ，若 是以 为腰的等腰三角形，则 ．
【答案】 或
【解析】解：连接 ， 取 的中点 ，连接 ，
∵四边形 是矩形，
，
，
如图 ， 点 落在 上，
由翻折得： ，
∴点 与点 重合，
∴ 是以 为腰的等腰三角形，解得：
如图 ，点 与点 重合，连接 ，则
， 是 中点，
，
是等边三角形，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形，
是以 为腰的等腰三角形，此时
综上所述， 的长为 或
故答案为： 或 ．
16．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做和谐三角形，例如：某三角形三边长分别是 ，3，2，因为 ，所以这个三角形是和谐三角形．在平行四边形
中， 于点O， ，且 是和谐三角形，则该平行四边形 的面积为 ．
（温馨提示： ， ， ）
【答案】 或3
【解析】解： 四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
；
①如图， 为第三边时，
是和谐三角形，
，
解得： ；
，
；，
；
②如图， （或 ）为第三边时，
是和谐三角形，
，
解得： ；
，
；
，
；综上所述：该平行四边形 的面积为 或3．
故答案： 或3．
17．如图，已知 、 是边长为 的正方形 内部两点，且满足 ，若 的面
积为 ，则 与 的面积之和为 ．
【答案】
【解析】解：将 绕点 逆时针旋转 至 与 重合，得 ，则 ，
将 绕点 顺时针旋转 至 与 重合，得 ，则 ，
∴
连接
∵
∴
∴即：
∵
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∵
∴
∴
故答案是：18．如图，正方形 内接于圆， ，点P在圆上且满足 ， ，则点A到 的
距离为 ．
【答案】 或
【解析】解：如图，当点 在 上方时，
设 与 相交于点O，
连接 ，过点A作 ，交延长 的延长线于E，过点A作 于 ，
∵四边形 是正方形，
， ，
又∵ ，
，
又 ， ，
，
， ，
，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
，，
，
，
，
，
当点P在 的下方时，
同理可求 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算或化简：
(1) (2)
【解析】（1）解：
，
（2）解：
．20．（8分）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，求 的取值范围．
【解析】
解： 得： ，
解得： ，
把 代入①得：
，
解得： ，
，
，
解得： ．
21．（8分）某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次
体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格）并将测
试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是 ；(2)扇形统计图中 的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
(3)该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为 人；
【解析】（1）解：本次抽样测试的学生人数是 （人），
故答案为：40；
（2）解：扇形统计图中 的度数是 ，
C级的人数为： （人），
条形统计图为：
故答案为： ；
（3）解：该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，
那么估计不及格的人数为 （人），
故答案为：300．
22．（8分）在学校组织的国学比赛中，小李晋级了总决赛，总决赛的过程分两个环节，第一环节有四个
主题：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 ， ， ， 表示），第二环节有二个主
题：成语听写、诗词对句（分别用 ， 表示）．选手须在每个环节中随机抽取一个主题参赛．（“成
语”包括：成语故事、成语接龙、成语听写）
(1)小李在第一个环节抽取的主题是关于“成语”的概率为 ；
(2)请用画树状图或列表格的方法，求小李决赛中两个环节抽取的主题都是关于“成语”的概率．
【解析】（1）解：依题得：第一环节的四个主题中有两个关于“成语”的主题：成语故事、成语接龙，
小李在第一个环节抽取的主题是关于“成语”的概率为 ，
故答案为： ．（2）解：画树状图为：
共有 种等可能结果，
其中第一环节关于“成语”的主题为成语故事 、成语接龙 ，
第一环节关于“成语”的主题为成语听写 ，
小李决赛中两个环节抽取的主题都是关于“成语”的概率为 ．
23．（10分）【观察思考】
如图，在一张纸上画若干条直线，能将这张纸最多分成多少份呢？
【规律发现】
（1）根据上图，归纳规律，填写下表：（最后一列用含 的式子表示）
直线条数 1 2 3 4 5 …
直线交点 0 1 3 6 ①______ … ②______
最多分成的份数 2 4 7 11 ③______ … ④______
【规律应用】
（2）若有 条直线将该张纸最多分成67份，求 的值．
【解析】解：（1）当有1条直线时，平面数为1+1=2；
有2条直线时，直线交点有1个，平面数有1+1+2=4；
有3条直线时，直线交点有 个，平面数有1+1+2+3=7；
…，
有5条直线时，直线交点有 个，平面数有 ，有n条直线时，直线交点有
个，平面数有 ；故答案为：①10；② ；③16；④ ；
（2）由（1）得：
解得 （舍）．
所以有 条直线将该张纸最多分成67份， 的值是11．
24．（10分）如图，在四边形 中， ，对角线 平分 ， 是 的中点， 的延长
线交 于点
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)当 ，求 的长．
【解析】（1）解：∵
∴
∵对角线 平分
∴
∴
∴
∵ 是 的中点，
∴
∵
∴
∴
∵
∴四边形 为平行四边形
（2）解：连接∵四边形 为平行四边形，且
∴四边形 为矩形，
则
∵ ， 是 的中点，
∴
∵
∴
则
故
∴
25．（10分）如图，四边形 内接于 ，并且 是 的直径，C是劣弧 的中点， 和
的延长线交于 外一点E．
(1)求证： ；
(2)若 的长是方程 的两根，求 的长．
【解析】（1）证明：连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵C是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ 或8，
当 时，方程为 ，解得 ，
∴ ，
当 时，方程为 ，解得 （不符合题意舍去），
∴综上所述 ．
26．（10分）24年春节过后，大连某消防中队进行了消防技能比赛．如下图1，在一个废弃高楼距地面
的点A和 的点B处，各设置一处火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一
部分．第一次灭火时站在水平地面点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为 ，水流的最高点到高楼的水平距离为 ，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度 与出水点到
高楼的水平距离 之间满足二次函数关系．
(1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：________________________；
(2)待A处火熄灭后，消防员前进 到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所
在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
(3)如图2是（1）中的抛物线，M为抛物线的顶点， 轴于N， ， 交抛物线于
T，求T点坐标．
【解析】（1）解：依题意顶点坐标为 ，
∴设抛物线解析式为 ，
将点 代入得， ，
解得： ，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式 ；
故答案为： ；
（2）解：不能，理由如下，
依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式 ，令 ，解得： ，
即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过
∴水流不能到达点 处，
（3）解：设 交于点P，
由（1）知抛物线的解析式为： ，顶点坐标为 ， ，
轴，
横坐标为4，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
，
设直线 的解析式为 ，
代入点 ，点 的坐标得： ，
解得： ，
直线 的解析式为： ，联立直线 的解析式与抛物线解析式得： ，
解得： 或 （舍去，不符合题意），
．
27．（12分）（1）【证明推断】如图，在正方形 中，点E是对角线 上的动点（与点B、D不重
合），连接 ，过点E作 ， ，分别交直线 于点F、G．
① 求证： ；
② 求 的值；
（2）【类比探究】如图，将（1）中的“正方形 ”改为“矩形 ”，其他条件均不变．
① 若 ， ，求 的值；
② 若 ，直接写出 的值（用含m的代数式表示）；
（3）【拓展运用】如图，在矩形 中，点E是对角线 上一点（与点B、D不重合），连接 ，
过点E作 ， ，分别交直线 于点F、G，连接 ，当 ， ， 时，
求 的长．【解析】（1）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
②由①知：△ABE≌△FGE，
∴AE=EF，
故答案为：1；
（2）①四边形 是矩形，
∴ ，
由（1）得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵四边形 是矩形，
∴ ，
由（1）得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，过点C作 于H，过点E作 于Q，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可知： ，
∴ ．
28．（12分）如图①，在 中， 于点 ， ， ， ，点 是 上一动点（不与点 ， 重合），在 内作矩形 ，点 在 上，点 ， 在 上，设 ，连
接 ．
(1)当矩形 是正方形时，直接写出 的长；
(2)设 的面积为 ，矩形 的面积为 ，令 ，求 关于 的函数解析式（不要求写出自变
量 的取值范围）；
(3)如图②，点 是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点 的直线 分别与 轴正半轴， 轴正
半轴交于 ， 两点，求 面积的最小值，并说明理由．
【解析】（1）解：设 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
， ，
， ，
，
，．
（2） 四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
．
（3）过点P作 ，设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
的面积
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的面积的最小值 ．
