文档内容
2014年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）2的算术平方根是（ ）
A．± B． C．±4 D．4
2．（3分）2014年世界杯即将在巴西举行，根据预算巴西将总共花费14000000000美元，用于
修建和翻新12个体育场，升级联邦、各州和各市的基础设施，以及为32支队伍和预计约
60万名观众提供安保．将14000000000用科学记数法表示为（ ）
A．140×108 B．14.0×109 C．1.4×1010 D．1.4×1011
3．（3分）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为（ ）
A．17° B．34° C．56° D．124°
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨
B．数据4，3，5，5，0的中位数和众数都是5
C．要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用普查的方式
D．若甲、乙两组数中各有20个数据，平均数 ＝ ＝10，方差s2
甲
＝1.25，s2
乙
＝0.96，
则说明乙组数据比甲组数据稳定
5．（3分） O 和 O 的直径分别是6cm和8cm，若圆心距O O ＝2cm，则两圆的位置关系是
1 2 1 2
（ ⊙） ⊙
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
6．（3分）某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按
标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是（ ）
A．350元 B．400元 C．450元 D．500元
7．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的
延长线于点E、F，AE＝3，则四边形AECF的周长为（ ）
第1页（共22页）A．22 B．18 C．14 D．11
8．（3分）将一次函数y＝ x的图象向上平移2个单位，平移后，若y＞0，则x的取值范围是（
）
A．x＞4 B．x＞﹣4 C．x＞2 D．x＞﹣2
9．（3分）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部
分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
10．（3分）x 、x 是一元二次方程3（x﹣1）2＝15的两个解，且x ＜x ，下列说法正确的是
1 2 1 2
（ ）
A．x 小于﹣1，x 大于3 B．x 小于﹣2，x 大于3
1 2 1 2
C．x ，x 在﹣1和3之间 D．x ，x 都小于3
1 2 1 2
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 2 3
y 5 1 ﹣1 ﹣1 1
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作
CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
第2页（共22页）A． B．1 C． D．7
二、填空题（共6小题，每小题4，满分24分）
13．（4分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内
空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 种．
14．（4分）已知x、y是二元一次方程组 的解，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
15．（4分）有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字
“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的
第二组卡片上的数字，差为负数的概率为 ．
16．（4分）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面
积为 cm2．
17．（4分）如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE＝
BE，则长AD与宽AB的比值是 ．
第3页（共22页）18．（4分）图 所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一
角，得到如①图 的几何体，一只蚂蚁沿着图 的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最
短距离为 ② cm． ②
三、解答题（共7小题，满分60分）
19．（8分）（1）计算：（﹣2）3+（ ）﹣1﹣|﹣5|+（ ﹣2）0
（2）化简：（ ﹣ ）÷ ．
20．（8分）一个不透明的口袋中装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完
全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放
回，重复多次试验，汇总实验结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）求实验总次数，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？
（3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．
21．（8分）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定
在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，
此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为
30cm．
（1）求B点到OP的距离；
第4页（共22页）（2）求滑动支架的长．
（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，
cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
22．（8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，
DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD＝ AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
23．（8分）如图，A为 O外一点，AB切 O于点B，AO交 O于C，CD⊥OB于E，交 O于
点D，连接OD．若⊙AB＝12，AC＝8⊙． ⊙ ⊙
（1）求OD的长；
（2）求CD的长．
24．（10分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，点A坐标为
（m，2），点B坐标为（﹣4，n），OA与x轴正半轴夹角的正切值为 ，直线AB交y轴于点
C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
第5页（共22页）（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCBD的面积．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点
（不与点D重合）．
（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE ＝S四边形OCDB ，求此时P点
的坐标；
（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
第6页（共22页）2014 年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
【解答】解：2的算术平方根是 ．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：14 000 000 000＝1.4×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE＝∠A，再根据直角三角形两锐角互余列
式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠A＝34°（两直线平行，同位角相等），
∵∠DEC＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠DCE＝90°﹣34°＝56°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关
键．
4．【分析】根据概率的意义，众数、中位数的定义，以及全面调查与抽样调查的选择，方差的
意义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、“明天降雨的概率是50%”表示明天降雨和不降雨的可能性相等，不表示
半天都在降雨，故A选项错误；
B、数据4，3，5，5，0的中位数是4，众数是5，故B选项错误；
C、要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用抽样调查的方式，故C选项错误；
第7页（共22页）D、∵方差s2
甲
＞s2
乙
，
∴乙组数据比甲组数据稳定正确，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念；用到的知识点为：不太
容易做到的事要采用抽样调查；反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等．
5．【分析】由 O 、 O 的直径分别为8和6，圆心距O O ＝2，根据两圆位置关系与圆心距
1 2 1 2
d，两圆半⊙径R，⊙r的数量关系间的联系即可求得两圆位置关系．
【解答】解：∵ O 、 O 的直径分别为6cm和8cm，
1 2
∴ O
1
、 O
2
的⊙半径分⊙别为3cm和4cm，
∴⊙1＜d＜7⊙，
∵圆心距O O ＝2，
1 2
∴ O 与 O 的位置关系是相交．
1 2
故⊙选：C．⊙
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距
d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
6．【分析】设该服装标价为x元，根据售价﹣进价＝利润列出方程，解出即可．
【解答】解：设该服装标价为x元，
由题意，得0.6x﹣200＝200×20%，
解得：x＝400．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系列出方程．
7．【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BAC＝∠BCA，再根据等角的余角相等求
出∠BAE＝∠E，根据等角对等边可得BE＝AB，然后求出EC，同理可得AF，然后判断出
四边形AECF是平行四边形，再根据周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝4，
∴EC＝BE+BC＝4+4＝8，
第8页（共22页）同理可得AF＝8，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（3+8）＝22．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，等角的余角相等的性质，平行四
边形的判定与性质，熟记性质并求出EC的长度是解题的关键．
8．【分析】利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与坐标轴交点坐标，进而
利用图象判断y＞0时，x的取值范围．
【解答】解：∵将一次函数y＝ x的图象向上平移2个单位，
∴平移后解析式为：y＝ x+2，
当y＝0时，x＝﹣4，
当x＝0时，y＝2，
如图：
∴y＞0，
则x的取值范围是：x＞﹣4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换以及图象画法，得出函数图象进而判断
x的取值范围是解题关键．
9．【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整
理即可得解．
【解答】解：（2a）2﹣（a+2）2
第9页（共22页）＝4a2﹣a2﹣4a﹣4
＝3a2﹣4a﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题
的关键．
10．【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．
【解答】解：∵x 、x 是一元二次方程3（x﹣1）2＝15的两个解，且x ＜x ，
1 2 1 2
∴（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝± ，
∴x ＝1+ ＞3，x ＝1﹣ ＜﹣1，
2 1
故选：A．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关
键．
11．【分析】由于x＝1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
【解答】解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1，
∴对称轴为直线x＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．
12．【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已
知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
【解答】解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG＝AC＝3，GF＝CF，
∵AB＝4，AC＝3，
∴BG＝1，
∵AE是中线，
∴BE＝CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF＝ BG＝ ，
故选：A．
第10页（共22页）【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理：三角形的中位
线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
二、填空题（共6小题，每小题4，满分24分）
13．【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完
全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．
【解答】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，
故涂法有3种，
故答案为：3．
【点评】考查了利用轴对称设计图案，此题要首先找到大正方形的对称轴，然后根据对称
轴，进一步确定可以涂黑的正方形．
14．【分析】根据解二元一次方程组的方法，可得二元一次方程组的解，根据代数式求值的方
法，可得答案．
【解答】解： ，
×2﹣ 得
①﹣8y＝1②，
y＝﹣ ，
把y＝﹣ 代入 得
②
2x﹣ ＝5，
x＝ ，
第11页（共22页）x2﹣4y2＝（ ） ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求代数式的值．
15．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表得：
2 3 4
3 （2，3） （3，3） （4，3）
4 （2，4） （3，4） （4，4）
5 （2，5） （3，5） （4，5）
所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，
则P＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
16．【分析】根据题意可知图中阴影部分的面积＝边长为2的正方形面积﹣一个圆的面积．
【解答】解：∵半径为1cm的四个圆两两相切，
∴四边形是边长为2cm的正方形，圆的面积为 cm2，
阴影部分的面积＝2×2﹣ ＝4﹣ （cm2）， π
故答案为：4﹣ ． π π
π
【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系和扇形的面积公式．本题的解题关键是能看出
阴影部分的面积为边长为2的正方形面积减去4个扇形的面积（一个圆的面积）．
17．【分析】由AE＝ BE，可设AE＝2k，则BE＝3k，AB＝5k．由四边形ABCD是矩形，可得
∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB＝5k，AD＝BC．由折叠的性质可得∠EFC＝∠B＝90°，
EF＝EB＝3k，CF＝BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF＝∠AFE．在Rt△AEF中，根据
第12页（共22页）勾股定理求出AF＝ ＝ k，由cos∠AFE＝cos∠DCF得出CF＝3 k，即AD
＝3 k，进而求解即可．
【解答】解：∵AE＝ BE，
∴设AE＝2k，则BE＝3k，AB＝5k．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB＝5k，AD＝BC．
∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，
∴∠EFC＝∠B＝90°，EF＝EB＝3k，CF＝BC，
∴∠AFE+∠DFC＝90°，∠DFC+∠FCD＝90°，
∴∠DCF＝∠AFE，
∴cos∠AFE＝cos∠DCF．
在Rt△AEF中，
∵∠A＝90°，AE＝2k，EF＝3k，
∴AF＝ ＝ k，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CF＝3 k，
∴AD＝BC＝CF＝3 k，
∴长AD与宽AB的比值是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义．解此题的关
键是数形结合思想与转化思想的应用．
18．【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图 的几何体表面展开，进而根据“两点之间线
段最短”得出结果． ②
【解答】解：如图所示：
第13页（共22页）△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD＝ ＝6 cm，
∴BE＝ CD＝3 cm，
在Rt△ACE中，AE＝ ＝3 cm，
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3 +3 ）cm．
故答案为：（3 +3 ）．
【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把图 的几何体表面展开成平面图形，
根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题②．
三、解答题（共7小题，满分60分）
19．【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利
用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣8+3﹣5+1
＝﹣9；
（2）原式＝ •（x﹣1）
＝ •（x﹣1）
＝﹣
＝﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．
第14页（共22页）20．【分析】（1）用摸到红色球的次数除以占的百分比即是实验总次数，用总次数减去红黄绿
球的次数即为摸蓝球的次数，再补全条形统计图即可；
（2）用摸到黄色小球次数除以实验总次数，再乘以360°即可得摸到黄色小球次数所在扇
形的圆心角度数；
（3）先得出摸到绿色小球次数所占的百分比，再用口袋中有10个红球除以红球所占的百
分比得出口袋中小球的总数，最后乘以绿色小球所占的百分比即可．
【解答】解：（1）50÷25%＝200（次），
所以实验总次数为200次，
条形统计图如下：
（2） ＝144°；
（3）10÷25%× ＝2（个），
答：口袋中绿球有2个．
【点评】本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
21．【分析】（1）根据三角函数分别表示出OE和DE，再根据点D到点O的距离为30cm可列
方程求解；
（2）在Rt△BDE中，根据三角函数即可得到滑动支架的长．
【解答】解：（1）在Rt△BOE中，OE＝ ，
在Rt△BDE中，DE＝ ，
第15页（共22页）则 + ＝30，
解得BE≈11（cm）．
故B点到OP的距离大约为11cm；
（2）在Rt△BDE中，BD＝ ≈26cm．
故滑动支架的长约为26cm．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运
用数学知识解决实际问题．
22．【分析】（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA＝
OC，又AE＝CF，得到OE＝OF，利用AAS即可得证；
（2）若OD＝ AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD＝ AC，得到OB＝ AC，即
OD＝OA＝OC＝OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．
【解答】（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
第16页（共22页）（2）若OD＝ AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
∵OD＝ AC，
∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC，
∴四边形ABCD为矩形．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟
练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．【分析】（1）设 O的半径为R，根据切线定理得OB⊥AB，则在Rt△ABO中，利用勾股定
理得到R2+122＝⊙（R+8）2，解得R＝5，即OD的长为5；
（2）根据垂径定理由CD⊥OB得DE＝CE，再证明△OEC∽△OBA，利用相似比可计算出
CE＝ ，所以CD＝2CE＝ ．
【解答】解：（1）设 O的半径为R，
∵AB切 O于点B， ⊙
∴OB⊥A⊙B，
在Rt△ABO中，OB＝R，AO＝OC+AC＝R+8，AB＝12，
∵OB2+AB2＝OA2，
∴R2+122＝（R+8）2，
解得R＝5，
∴OD的长为5；
（2）∵CD⊥OB，
∴DE＝CE，
而OB⊥AB，
∴CE∥AB，
∴△OEC∽△OBA，
∴ ＝ ，
第17页（共22页）即 ＝ ，
∴CE＝ ，
∴CD＝2CE＝ ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂
径定理和相似三角形的判定与性质．
24．【分析】（1）根据正切值，可得OE的长，可得A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函
数解析式，根据点的坐标满足函数解析式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得一次函
数解析式；
（2）根据面积的和，可得答案．
【解答】解：（1）如图：
，
tan∠AOE＝ ，
得OE＝6，
∴A（6，2），
y＝ 的图象过A（6，2），
∴ ，
即k＝12，
反比例函数的解析式为 y＝ ，
B（﹣4，n）在 y＝ 的图象上，
解得n＝ ＝﹣3，
第18页（共22页）∴B（﹣4，﹣3），
一次函数y＝ax+b过A、B点，
，
解得 ，
一次函数解析式为y＝ ﹣1；
（2）当x＝0时，y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
当y＝﹣1时，﹣1＝ ，x＝﹣12，
∴D（﹣12，﹣1），
s
OCBD
＝S△ODC +S△BDC
＝ + |﹣12|×|﹣2|
＝6+12
＝18．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式的关键，利
用面积的和差求解四边形的面积．
25．【分析】（1）由抛物线已知，则可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角．
（2）因为抛物线已固定，则S四边形OCDB 固定，对于坐标系中的不规则图形常用分割求和、
填补求差等方法求面积，本图形过顶点作x轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角
形，面积易得．由此可得E点坐标，进而可求ED直线方程，与抛物线解析式联立求解即得
P点坐标．
（3）PF的长度即为y ﹣y ．由P、F的横坐标相同，则可直接利用解析式作差．由所得函数
F P
为二次函数，则可用二次函数性质讨论最值，解法常规．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
∴由题意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．
在Rt△OBC中，
∵OC＝OB＝3，
第19页（共22页）∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°．
（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，
此时S四边形OCDB ＝S梯形OCDH +S△HBD ，
∵OH＝1，OC＝3，HD＝4，HB＝2，
∴S梯形OCDH ＝ •（OC+HD）•OH＝ ，
S△HBD ＝ •HD•HB＝4，
∴S四边形OCDB ＝ ．
∴S△OCE ＝S四边形OCDB ＝ ＝ ，
∴OE＝5，
∴E（5，0）．
设l ：y＝kx+b，
DE
∵D（1，﹣4），E（5，0），
∴ ，
解得 ，
∴l ：y＝x﹣5．
DE
∵DE交抛物线于P，设P（x，y），
∴x2﹣2x﹣3＝x﹣5，
第20页（共22页）解得 x＝2 或x＝1（D点，舍去），
∴x ＝2，代入l ：y＝x﹣5，
P DE
∴P（2，﹣3）．
（3）如图2，
设l ：y＝ax+t（a≠0），
BC
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴ ，
解得 ，
∴l ：y＝x﹣3．
BC
∵F在BC上，
∴y ＝x ﹣3，
F F
∵P在抛物线上，
∴y ＝x 2﹣2x ﹣3，
P P P
∴线段PF长度＝y ﹣y ＝x ﹣3﹣（x 2﹣2x ﹣3），
F P F P P
∵x ＝x ，
P F
∴线段PF长度＝﹣x 2+3x ＝﹣（x ﹣ ）2+ ，（1＜x ＜3），
P P P P
∴当x ＝ 时，线段PF长度最大为 ．
P
【点评】本题考查了抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函
数最值等基础知识点，适合学生加强练习．
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