文档内容
2010年山东省枣庄市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列运算中，不正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a3 B．a2•a3＝a5 C．（﹣a3）2＝a9 D．2a3÷a2＝2a
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B． × ＝
C．（ ﹣1）2＝3﹣1 D． ＝5﹣3
3．（3分）如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知 O 的半径是4cm， O 的半径是2cm，O O ＝5cm，则两圆的位置关系是（
1 2 1 2
） ⊙ ⊙
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
5．（3分）将一副三角板按图中方式叠放，则角 等于（ ）
α
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（3分）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和 ，点B关于点A的对称点为C，则
点C所表示的数为（ ）
A．﹣2﹣ B．﹣1﹣ C．﹣2+ D．1+
7．（3分）如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长
为（ ）
第1页（共19页）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，
得到△AB C ，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
1 1
A．5 cm B． cm C． cm D．5 cm
π π π
9．（3分）如图（1），把一个长为m，宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为
在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）
A． B．m﹣n C． D．
10．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二
楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（
）
A． m B．4m C．4 m D．8m
11．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1
个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）
第2页（共19页）A． B． C． D．
12．（3分）如图，正△AOB的顶点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，则点B的坐标为
（ ）
A．（2，0） B．（ ，0） C．（ ，0） D．（ ，0）
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）化简 的结果是 ．
14．（4分）如图，是我们生活中经常接触的小刀，刀片的外形是一个直角梯形，刀片上、下是
平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝ 度．
15．（4分）若 的值为零，则x的值是 ．
16．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、
BC于E、F，则阴影部分的面积是 ．
17．（4分）下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2009个梅花图案中，
共有 个“ ”图案．
第3页（共19页）18．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），且顶点在第一象限．有下列三个
结论： a＜0； a+b+c＞0； ．把正确结论的序号填在横线上 ．
① ② ③
三、解答题（共7小题，满分60分）
19．（8分）在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直
线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．
20．（8分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）市种子培育基地用A、B、C三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中
选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，C型号种子的发芽率为80%．根据试验数
据绘制了下面两个不完整的统计图（图1、图2）：
第4页（共19页）（1）C型号种子的发芽数是 粒；
（2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广（精确到1%）；
（3）如果将已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．
23．（8分）如图，AB是 O的直径，点C在AB的延长线上，CD切 O于点D，过点D作
DF⊥AB于点E，交 ⊙O于点F，已知OE＝1cm，DF＝4cm． ⊙
（1）求 O的半径；⊙
（2）求⊙切线CD的长．
24．（10分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，与x
轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝ ，tan∠AOC＝ ，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．
25．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣
6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．
第5页（共19页）（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和
△BCD的面积；
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成
面积相等的两部分，求P点的坐标．
第6页（共19页）2010 年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【分析】根据合并同类项法则和幂的运算性质，计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，正确；
B、a2•a3＝a5，正确；
C、应为（﹣a3）2＝a6，故本选项错误；
D、2a3÷a2＝2a，正确．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，需熟练掌握并区分清楚，
才不容易出错．
2．【分析】A、B、C、D利用根式的运算顺序及运算法则、公式等计算即可求解．
【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
B、 × ＝ ，故选项正确；
C、是完全平方公式，应等于4﹣2 ，故选项错误；
D、应该等于 ，故选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的运算能力．注意：要正确掌握运算顺序及运算法则、公式
等．
3．【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形．从几何体上面看，是左边2个，右边1个正
方形．
【解答】解：从几何体上面看，是左边2个，右边1个正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易
将三种视图混淆而错误的选其它选项．
4．【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们之间的数量关系与两圆位置关系
的对应情况便可直接得出答案．
【解答】解：∵ O 的半径是4cm， O 的半径是2cm，O O ＝5cm，
1 2 1 2
∴2＜O 1 O 2 ＜6，⊙ ⊙
第7页（共19页）∴两圆相交，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R
﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
5．【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和计算．
【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ ＝∠1+30°＝75°．
故选α：D．
【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和．
6．【分析】由于A，B两点表示的数分别为﹣1和 ，先根据对称点可以求出OC的长度，根据
C在原点的左侧，进而可求出C的坐标．
【解答】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，
∴CA＝AB，|﹣1|+| |＝1+ ，
∴OC＝2+ ，而C点在原点左侧，
∴C表示的数为：﹣2﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离，同时也利用对称点的性质及利用数形
结合思想解决问题．
7．【分析】作辅助线，连接OC和OB，根据切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径，知
OC⊥AB，应用勾股定理可将BC的长求出，从而求出AB的长．
【解答】解：连接OC和OB，
∵弦AB与小圆相切，
第8页（共19页）∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，
BC＝ ＝ ＝4，
∴AB＝2BC＝8cm．
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理的应用．
8．【分析】根据勾股定理可将AB的长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长
为半径，圆心角为90°的扇形．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝5，
l ＝ ＝ ＝ cm，
AB
π
故点B所经过的路程为 cm．
π
故选：C．
【点评】本题的主要是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
9．【分析】此题的等量关系：大正方形的面积＝原长方形的面积+小正方形的面积．特别注意
剪拼前后的图形面积相等．
【解答】解：设去掉的小正方形的边长为x，
则：（n+x）2＝mn+x2，
解得：x＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查同学们拼接剪切的动手能力，解决此类问题一定要联系方程来解决．
第9页（共19页）10．【分析】过C作CE⊥AB，已知ABC＝150°，即已知∠CBE＝30°，根据三角函数就可以求解．
【解答】解：过C作CE⊥AB于E点．
在Rt△CBE中，由三角函数的定义可知
CE＝BC•sin30°＝8× ＝4m．
故选：B．
【点评】考查三角函数的应用．
11．【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：
∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，
∴两次都摸到红球的概率是 ＝ ．
故选：C．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到
的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．【分析】过点A作AC⊥y轴于C，根据已知条件知道△OAB是正三角形，然后设AC＝a，
则OC＝ a，这样点A则坐标可以用a表示，再把这点代入反比例函数的解析式就可以
求出a从而求出点B的坐标．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥y轴于C，
∵△OAB是正三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝30°，
∴设AC＝a，则OC＝ a，
∴点A则坐标是（a， a），
第10页（共19页）把这点代入反比例函数的解析式就得到 a＝ ，
∴a＝±1，
∵x＞0，
∴a＝1，
则OA＝2，
∴OB＝2，
则点B的坐标为（2，0）．
故选：A．
【点评】此题综合考查了反比例函数的性质，正三角形等多个知识点．此题难度稍大，综合
性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．【分析】先把原式后一项目提取负号，转化为同分母分式，再利用平方差公式进行化简即
可．
【解答】解：原式＝ ﹣ ＝ ＝ ＝﹣b﹣2a．
【点评】分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母
分式，然后再相加减．
14．【分析】抽象出数学图形，巧妙构造辅助线：平行线．根据平行线的性质探讨角之间的关系．
【解答】解：如图所示，过M作MN∥a，
∵a∥b，
∴MN∥b，
根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等．得
∠1＝∠AMN，∠2＝∠BMN，
∴∠1+∠2＝∠3＝90°．
故填90．
第11页（共19页）【点评】此题设计情境新颖，考查了简单的平行线的性质知识．通过做此题，提高了学生用
数学解决实际问题的能力．
15．【分析】若分式的值为0，则其分子为0，而分母不能为0．
【解答】解：由分子|x|﹣3＝0，得x±3，而当x＝3时，分母x2﹣2x﹣3＝0，此时该分式无意义，
所以当x＝﹣3，故若 的值为零，则x的值是﹣3．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
16．【分析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于△BOC面积．
【解答】解：由题意可知
△DEO≌△BFO，
∴S△DEO ＝S△BFO ，
阴影面积＝三角形BOC面积＝ ×2×1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形的判定，不是很难，会把两个阴影面积转化
到一个图形中去．
17．【分析】注意观察图形中循环的规律，然后进行计算．
【解答】解：观察图形可以发现：依次是向上、右、下、左4个一循环，
所以2009÷4＝502余1，
则共有502+1＝503个．
故答案为：503．
【点评】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
18．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关
系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x＝ ＞0；
第12页（共19页）由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0．
∴ ， ， 都正确．
【①点评】②二次③函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x＝ 判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac＝
0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
三、解答题（共7小题，满分60分）
19．【分析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同
的图形，
对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形
一定是轴对称图形．
【 解 答 】 解 ： 正 确 1 个 得 （ 1 分 ） ， 全 部 正 确 得 （ 6 分 ） ．
【点评】本题有一定的难度，要求找出所有能与三角形ABC形成对称的轴对称图形，这里
注意思维要严密．
20．【分析】先把原不等式组中的不等式化为不含分母的不等式，再分别求出两不等式的解，
在数轴上表示出来即可．
第13页（共19页）【解答】解：原不等式组可化为 ，
解不等式 得x＞﹣3；
解不等式①得x≤3．
不等式 ②、 的解集在数轴上表示如下：
① ②
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断，也可
按照求不等式的公共解遵循的原则求解：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大
大小小解不了．
21．【分析】（1）先求出C型号种子占的百分比，再求出C型号种子的数目，利用其发芽率为
80%，即可求出其发芽的数目；
（2）分别计算三种种子的发芽率，选发芽率高的种子进行推广；
（3）求出在已发芽的种子中有A型号、B型号、C型号的数目，进而即可求出从中随机取出
一粒，取到C型号发芽种子的概率．
【解答】解：（1）读图可知：C型号种子占1﹣30%﹣30%＝40%，即1500×40%＝600粒；
因为其发芽率为80%，故其发芽数是600×80%＝480粒．
（2）分别计算三种种子的发芽率：
A型号： ≈93%，B型号： ≈82%，C型号： ＝80%；
所以应选A型号的种子进行推广．
（3）在已发芽的种子中；有A型号的420粒，B型号的370粒，C型号的480粒；
故从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率为 ＝ ．
【点评】扇形统计图中，各部分占总体的百分比之和为1，每部分占总体的百分比等于该部
分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情
况数之比．
22．【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD＝BC＝AE，∠DAF＝∠AEB．再结合一
对直角相等即可证明三角形全等；
第14页（共19页）（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定
理求得DE的长，运用三角函数定义求解．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB．
∵DF⊥AE，AE＝BC，
∴∠AFD＝90°，AE＝AD．
∴△ABE≌△DFA．
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB＝DF＝6．
在直角△ADF中，AF＝ ，
∴EF＝AE﹣AF＝AD﹣AF＝2．
在直角△DFE中，DE＝ ，
∴sin∠EDF＝ ．
【点评】熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；
运用全等三角形的性质和勾股定理求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．
23．【分析】（1）连接OD，根据垂径定理可知DE的长；在Rt△ODE中，已知了OE、DE的长，
根据勾股定理可将OD即 O的半径求出；
（2）易证得△OED∽△OD⊙C，根据相似三角形得出的对应成比例线段，可将CD的长求出．
【解答】解：（1）连接OD，
在 O中，直径AB⊥弦DF于点E，
∴⊙ DE＝ DF＝2cm．
在Rt△ODE中，OE＝1cm，DE＝2cm，
∴OD＝ cm．
（2）∵CD切 O于点D，
∴OD⊥CD，⊙
在△OED与△ODC中，∠OED＝∠ODC＝90°，∠EOD＝∠DOC，
第15页（共19页）∴△OED∽△ODC．
则 ，即 ．
∴CD＝2 cm．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及相似三角形的判定知识．运用切线的性质来进行计
算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．【分析】（1）中，因为OA＝ ，tan∠AOC＝ ，则可过A作AE垂直x轴，垂足为E，利
用三角函数和勾股定理即可求出AE＝1，OE＝3，从而可知A（3，1），又因点A在反比例函
数y＝ 的图象上，由此可求出开k＝3，从而求出反比例函数的解析式．
（2）中，因为一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，点B的
坐标为（m，﹣2）．所以3＝﹣2x．
即m＝﹣ ，B（﹣ ，﹣2）．然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式，得到关于a、b
的方程组，解之即可求出a、b的值，最终写出一次函数的解析式．
（3）因为在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，
所以有△PDC∽△CDO， ，而点C、D分别是一次函数y＝ x﹣1的图象与x轴、y
轴的交点，因此有C（ ，0）、D（0，﹣1）．OC＝ ，OD＝1，DC＝ ．
进而可求出PD＝ ，OP＝ ．写出点P的坐标．
【解答】解：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，
∵tan∠AOC＝ ，
∴OE＝3AE
∵OA＝ ，OE2+AE2＝10，
第16页（共19页）∴AE＝1，OE＝3
∴点A的坐标为（3，1）．
∵A点在双曲线上，
∴ ，
∴k＝3．
∴双曲线的解析式为 ．
（2）∵点B（m，﹣2）在双曲线 上，
∴﹣2＝ ，
∴m＝﹣ ．
∴点B的坐标为（﹣ ，﹣2）．
∴ ，∴
∴一次函数的解析式为y＝ x﹣1．
（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y＝ x﹣1上，
∴C，D的坐标分别是：C（ ，0），D（0，﹣1）．
即：OC＝ ，OD＝1，
∴DC＝ ．
∵△PDC∽△CDO，
∴ ，
第17页（共19页）∴PD＝
又OP＝DP﹣OD＝
∴P点坐标为（0， ）．
【点评】此类题目往往和三角函数相联系，在考查学生待定系数法的同时，也综合考查了
学生的解直角三角形、相似三角形的知识，是数形结合的典型题例，它的解决需要学生各
方面知识的灵活运用．
25．【分析】（1）通过解方程可求出m、n的值，也就求出了点A、B的坐标，将它们代入抛物线
的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）抛物线的解析式中，令y＝0可求得C点坐标，利用公式法可求出抛物线顶点D的坐
标；由于△BCD的面积无法直接求得，可过D作x轴的垂线，设垂足为E，分别求出
△CDE、梯形DEOB、△BCO的面积，那么△CDE、梯形DEOB的面积和减去△BCO的面
积，即可得到△BCD的面积．
（3）若直线BC平分△PCH的面积，那么直线BC必过PH的中点，因为只有这样平分所得
的两个三角形才等底等高，可设出点P的坐标，根据抛物线的解析式可表示出点H的坐
标，进而可求得PH中点的坐标，由于PH中点在直线BC上，可将其代入直线BC的解析
式中，由此求出点P的坐标．
【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5＝0，
得x ＝5，x ＝1，
1 2
由m＜n，知m＝1，n＝5，
∴A（1，0），B（0，5），
∴
即 ；
第18页（共19页）所求抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5．
（2）由﹣x2﹣4x+5＝0，
得x ＝﹣5，x ＝1，
1 2
故C的坐标为（﹣5，0），
由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）；
过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0），
∴S△BCD ＝S△CDE +S梯形OBDE ﹣S△OBC ＝ ＝15．
（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD ＝S△CFD ﹣S△CFB 也可求得）
（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）；
直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点，
（ ）在直线BC上，
易得直线BC方程为：y＝x+5；
∴ ．
解之得a ＝﹣1，a ＝﹣5（舍去），
1 2
故所求P点坐标为（﹣1，0）．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数
图象上点的坐标意义等基础知识，难度不大．
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