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2024 年中考第一次模拟考试（陕西卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．－2024的绝对值是（ ）
1 1
A． B．- C．－2024 D．2024
2024 2024
【答案】D
【解析】解：-2024的绝对值是2024，故选：D．
2.下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，
故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底
面没有．故C不能围成三棱柱．
故选：B．
3.如图，在 中， ，点D在 上， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解： ，
，
，，
在 中， ，
，
故选：D．
4.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D．
5.已知 为直线 上的三个点，且 ，则以下判断正确的是（
）．
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】解：∵直线y=−2x+3
∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5
∵(x，y)，(x，y)，(x，y)为直线y=−2x+3上的三个点，且x0，则x，x 同号，但不能确定yy 的正负，故选项A不符合题意；
1 2 1 2 1 3
若xx<0，则x，x 异号，但不能确定yy 的正负，故选项B不符合题意；
1 3 1 3 1 2
若xx>0，则x，x 同号，但不能确定yy 的正负，故选项C不符合题意；
2 3 2 3 1 3
若xx<0，则x，x 异号，则x，x 同时为负，故y，y 同时为正，故yy>0，故选项D符合题意．
2 3 2 3 1 2 1 2 1 2
故选：D．
6.如图， 与 位似，位似中心是点O，若 ，则 与 的周长比是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解： 与△ 位似，
△ ， ，
△ ，
，
与△ 的周长比为 ，
故选： ．
7.如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，连接 ， ， ， ，
，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：连接OD，如图：在 中， ， ， ，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则 ，
∴ ，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∴阴影部分的面积为： ；
故选：C．
8.如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图
象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与
最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
【答案】C
【解析】如图1所示，当t等于0时，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），∴当m＝0时，D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．比较大小： _______________ ．（选填＞，＝，＜）
【答案】<
【解析】解： ， ，∵ ，∴ ，故答案为：<．
10.已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度．
【答案】36°
【解析】设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．11.如图， 的顶点C在等边 的边 上，点E在 的延长线上，G为 的中点，连接
．若 ， ，则 的长为_______．
【答案】
【解析】解：如下图所示，延长DC交EF于点M， ， ，
平行四边形 的顶点C在等边 的边 上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形 中， ， ，
又 是等边三角形，
，
．
G为 的中点， ，
是 的中点，且 是 的中位线，
．
故答案为： ．12.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），
k
AD＝5，若反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为______
x
32
【答案】
3
【解析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE 4，
=√AD2−DE2=
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
OP OA
∴ = ，
AF BF
1
×3
∴2 2 ，
=
2 BF
8
∴BF= ，
3
8
∴B（4， ），
3
32
∴k= ，
3
13.如图， 是等边三角形， ，N是 的中点， 是 边上的中线，M是 上的一个动点，
连接 ，则 的最小值是________．
【答案】【解析】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），
是 边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．
∵ 是等边三角形， ，N是 的中点，
∴AC=AB=6,AN= AB=3, ,
∴ .
即BM+MN的最小值为 ．
故答案为： .
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.（5分）计算： ．
【解析】解：
=
=1．
15.（5分）化简：
【解析】解：．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
16.（5分）解不等式组：
【解析】解： ，
由 ，得 ；
由 ，得 ；
∴原不等式组的解集为 ．
17.（5分）如图，点 是正方形， 的中心．
用直尺和圆规在正方形内部作一点 （异于点 ），使得 （保留作图痕迹，不写作法）
【解析】如图所示，点 即为所求．18.（5分）如图，点A，D，B，E在一条直线上 ， ， ．
求证： ．
【解析】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
19.（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形
网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△AB C ，并写出顶点C 关于y轴的对称点的坐标；
1 1 1 1
2
（2）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABC面积的 ，求点P的坐标．
5【解析】解：（1）作出△ABC关于x轴对称的△AB C 如图所示．
1 1 1
C 关于y轴的对称点的坐标为：（-4，-4）．
1
1 1 1
（2）S =（1+4）×4× - ×2×1- ×2×4=5，
ABC
2 2 2
△
设点P的坐标为（0，m），
1 2
则S = ×2×|m-1|=5× ，
ABP
2 5
△
解得m=-1或3，
∴点P的坐标为（0，3）或（0，-1）．
20.（5分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好
相同的概率．
【解析】
解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为2 1
7 2
＝ ，
（2）画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
2 1
12 6
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为 ＝ ．
21.（6分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的
大楼 顶部避雷针 的长度（ ， ， 三点共线），在水平地面 点测得 ， ，
点与大楼底部 点的距离 ，求避雷针 的长度．（结果精确到 ．参考数据：
， ， ， ， ， ）
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
解得： m，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： m，
∴ m ．22.（7分）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位
高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．
x 0 0.5 1 1.5 2
y 1 1.5 2 2.5 3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择： （ ），
y=ax2+bx+c （ ）， （ ）．
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x．
【解析】（1）选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，
得 解得 ∴y＝x＋1（0≤x≤5）．(2)当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．
答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．
23.（7分）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式
均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西
安市近五年9月份每天的日平均气温，并绘制成如下统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的中位数为 ，众数为 ；
（2）求这60天的日平均气温的平均数；
（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月
份日平均气温为“舒适温度”的天数．
19+20
【解析】解：（1）这60天的日平均气温的中位数为 2 ＝19.5（℃），
1
6
（2）这 60 天的日平均气温的平均数为 ×（17×8+18×12+19×13+20×9+21×6+22×8+23×6+24×5）＝20
（℃）；
12+13+6+6
60
（3）∵ ×30＝20（天），
∴估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天．
24.（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点
E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；
（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.
【解析】（1）证明：连接OE，如下图所示：
∵AC为圆O的切线，
∴∠AEO=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴OE∥BC，
∴∠F=∠DEO，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠DEO，
∴∠F=∠ODE，
∴BD=BF.
（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，
EC EC
∴tan∠EDB=tan∠F= ，代入数据：2= ，
CF 1
∴EC=2，
又BD是圆O的直径，
∴∠BED=∠BEF=90°，
∴∠CEF+∠F=90°=∠CEF+∠CEB，
∴∠F=∠CEB，
BC BC
∴tan∠F=tan∠CEB= ，代入数据：2= ，
CE 2
∴BC=4，
由(1)可知：BD=BF=BC+CF=4+1=5，
∴圆O的直径为5.
25.（8分）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶
点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物
线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ．
(2)解：抛物线 的对称轴为直线 ，其顶点 的坐标为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
由旋转的性质得： ，
，即 ，
将点 代入 得： ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，
所以点 的坐标为 ．
抛物线 的顶点 的坐标为 ，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点 ，
这时点 落在点 的位置，且 ，
，即 ，恰好在对称轴直线 上，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，则 ，
由两点之间线段最短可知， 与 轴的交点即为所求的点 ，此时 的值最小，即 的
值最小，
由轴对称的性质得： ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，
故在 轴上存在点 ，使得 的值最小，此时点 的坐标为 ．
26.（10）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°．求证：
．
【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，当点F在AD延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且 ，连接BG交CD于点H．求证：BH＝GH．
【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB＋∠DEC＝180°，且 ，过E作EF交AD于
点F，使∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G，求证：BG＝CG．
B C B C
B
H G
G C
E E E
A D A D F A F D
【解析】证明：（1）∵∠C＝∠D＝∠AEB＝90°，∴∠BEC＋∠AED＝∠AED＋∠EAD＝90°．
∴∠BEC＝∠EAD．∴Rt AED∽Rt EBC．∴ ．
△ △
（2）如答图1，过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知 ．
B C
H
G
M
E
A D F
第26题答图1
∵ ， ，∴ ．∴BC＝GM．
又∵∠C＝∠GMH＝90°，∠CHB＝∠MHG，∴△BCH≌△GMH．∴BH＝GH．
（3）如答图2，在EG上取点M，使∠BME＝∠AEB，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则
∠N＝∠BMG．N
B
G
C
M
E
A F D
图2
∵∠EAF＋∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠AEB＋∠BEM＝180°，∠EFA＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠BEM．∴△AEF∽△EBM．∴ ．
∵∠AEB＋∠DEC＝180°，∠FEA＋∠DFE＝180°，而∠EFA＝∠AEB，∴∠CED＝∠EFD．
∵∠BMG＋∠BME＝180°，∴∠N＝∠EFD．
∵∠EFD＋∠EDF＋∠FED＝∠FED＋∠DEC＋∠CEN＝180°，∴∠EDF＝∠CEN．
∴△DEF∽△ECN．∴ ．又∵ ，∴ ，
∴BM＝CN．又∵∠N＝∠BMG，∠BGM＝∠CGN，∴△BGM≌△CGN．∴BG＝CG．
