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2014年新疆生产建设兵团中考数学试卷
一、选择题（本大题共9题，每题5分，共45分）
1．（5分）下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：
城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰
气温（℃） ﹣8 ﹣16 ﹣5 ﹣25
其中平均气温最低的城市是（ ）
A．阿勒泰 B．喀什 C．吐鲁番 D．乌鲁木齐
2．（5分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+2a3＝3a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．a•a2＝a3
4．（5分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行
四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．AB∥DC，AD＝BC
5．（5分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为 ， ， ， ，随机地
摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的①小球②的标③号相④同的概率
是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
7．（5分）某学校教研组对八年级360名学生就“分组合作学习”方式的支持程度进行了调
查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年级支持
“分组合作学习”方式的学生约为（含非常喜欢和喜欢两种情况）（ ）
第1页（共34页）A．216 B．252 C．288 D．324
8．（5分）“六•一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童
装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程
组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕
将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则
EF的值是（ ）
A． B．2 C． D．2
二、填空题（本大题共6题，每题5分，共30分）
10．（5分）不等式组 的解集是 ．
11．（5分）若点A（1，y ）和点B（2，y ）在反比例函数y＝ 图象上，则y 与y 的大小关系是：
1 2 1 2
y y （填“＞”、“＜”或“＝”）．
1 2
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数
是 °．
第2页（共34页）13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝ ．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，
BC＝4，则AD的长为 ．
15．（5分）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]＝3．[ ]＝1，按此规定，[
﹣1]＝ ．
三、解答题（一）（本大题共4题，共32分）
16．（6分）计算：（﹣1）3+ +（ ﹣1）0﹣ ．
17．（8分）解分式方程： + ＝1．
18．（8分）如图，是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．
（1）计算这些车的平均速度；
（2）车速的众数是多少？
（3）车速的中位数是多少？
第3页（共34页）19．（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平
方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
四、解答题（二）（本大题共4小题，共43分）
20．（10分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
分别以A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
①
作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
②过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
③（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
21．（10分）如图，AB是 O的直径，点F，C是 O上两点，且 ＝ ＝ ，连接AC，AF，过
点C作CD⊥AF交A⊙F延长线于点D，垂足⊙为D．
第4页（共34页）（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若CD＝2 ，⊙求 O的半径．
⊙
22．（11分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地
驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y ，y（千米）与行驶
1 2
时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）填空：A，B两地相距 千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y 与行驶时间x之间的函数关系式；
2
（3）客、货两车何时相遇？
23．（12分）如图，直线y＝﹣ x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以
每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单
位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连
接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP
的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的
坐标．
第5页（共34页）第6页（共34页）2014 年新疆生产建设兵团中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共9题，每题5分，共45分）
1．（5分）下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：
城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰
气温（℃） ﹣8 ﹣16 ﹣5 ﹣25
其中平均气温最低的城市是（ ）
A．阿勒泰 B．喀什 C．吐鲁番 D．乌鲁木齐
【考点】18：有理数大小比较．
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【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：﹣25＜﹣16＜﹣8＜﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数比较大小，负数比较大小，绝对值大的数反而小．
2．（5分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正方
形，右边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．
3．（5分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+2a3＝3a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．a•a2＝a3
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除
法．
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第7页（共34页）【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂
相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与2a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故本选项错误；
D、a•a2＝a1+2＝a3，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟记性质并理清
指数的变化是解题的关键．
4．（5分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行
四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．AB∥DC，AD＝BC
【考点】L6：平行四边形的判定．
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【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
D、AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5．（5分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为 ， ， ， ，随机地
摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的①小球②的标③号相④同的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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第8页（共34页）【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小
球的标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况，
∴两次摸出的小球的标号相同的概率是： ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（5分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，
2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x
＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y＝a（x﹣
）2+ ，的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣b2a，当a＞0时，抛
物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．
7．（5分）某学校教研组对八年级360名学生就“分组合作学习”方式的支持程度进行了调
查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年级支持
“分组合作学习”方式的学生约为（含非常喜欢和喜欢两种情况）（ ）
第9页（共34页）A．216 B．252 C．288 D．324
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．
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【分析】用分组合作学习所占的百分比乘以该校八年级的总人数，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：360× ＝252（人），
答：该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生约为252人；
故选：B．
【点评】此题考查了条形统计图和用样本估计总体，关键是根据题意求出抽查人数中分组
合作学习所占的百分比．
8．（5分）“六•一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童
装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程
组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【分析】设购买A型童装x套，B型童装y套，根据超市用3360元购进A，B两种童装共120
套，列方程组求解．
【解答】解：设购买A型童装x套，B型童装y套，
由题意得， ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
9．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕
将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则
第10页（共34页）EF的值是（ ）
A． B．2 C． D．2
【考点】KQ：勾股定理；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】先根据折叠的性质得EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，则AB＝2EF，
DC＝8，再作DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B＝90°，则可判断四边形ABHD为矩形，所
以DH＝AB＝2EF，HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算
出DH＝2 ，所以EF＝ ．
【解答】解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD
边的点F处，
∴EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，
∴AB＝2EF，DC＝DF+CF＝8，
作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH＝AB＝2EF，HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△DHC中，DH＝ ＝2 ，
∴EF＝ DH＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
二、填空题（本大题共6题，每题5分，共30分）
第11页（共34页）10．（5分）不等式组 的解集是 ﹣ 5 ＜ x ＜﹣ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的
解集．
【解答】解： ，
解 得：x＞﹣5，
解①得：x＜﹣2，
则②不等式组的解集是：﹣5＜x＜﹣2．
故答案是：﹣5＜x＜﹣2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可
以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
11．（5分）若点A（1，y ）和点B（2，y ）在反比例函数y＝ 图象上，则y 与y 的大小关系是：
1 2 1 2
y ＞ y （填“＞”、“＜”或“＝”）．
1 2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】直接把点A（1，y ）和点B（2，y ）代入反比例函数y＝ ，求出点y ，y 的值，再比较
1 2 1 2
出其大小即可．
【解答】解：∵点A（1，y ）和点B（2，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2
∴y ＝ ＝1，y ＝ ，
1 2
∵1＞ ，
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数
是 3 0 °．
第12页（共34页）【考点】KH：等腰三角形的性质．
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【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠C，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝
∠ABC﹣∠CBD代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣40°）＝70°，
∵BD＝BC，
∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD
＝70°﹣40°
＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准
确识图是解题的关键．
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝ 2 4 ．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】根据正切的定义得到tanB＝ ，然后把tan37°≈0.75和BC＝32代入计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
所以tanB＝ ，即tan37°＝ ，
第13页（共34页）所以AC＝32•tan37°＝32×0.75＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是
解直角三角形．
14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，
BC＝4，则AD的长为 ．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理．
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【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三
角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∵DE垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝ AC＝ ，∠AOD＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AD＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形
中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．（5分）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]＝3．[ ]＝1，按此规定，[
﹣1]＝ 2 ．
【考点】2B：估算无理数的大小．
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第14页（共34页）【分析】先求出（ ﹣1）的范围，再根据范围求出即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴2＜ ﹣1＜3，
∴[ ﹣1]＝2．
故答案是：2．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
三、解答题（一）（本大题共4题，共32分）
16．（6分）计算：（﹣1）3+ +（ ﹣1）0﹣ ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．
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【分析】先根据数的乘方法则与开方法则、0指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混
合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+2 +1﹣
＝ ．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方法则与开方法则、0指数幂的运算法则是
解答此题的关键．
17．（8分）解分式方程： + ＝1．
【考点】B3：解分式方程．
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【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．
【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得
3+x（x+3）＝x2﹣9
3+x2+3x＝x2﹣9
解得x＝﹣4
检验：把x＝﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣4是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．
18．（8分）如图，是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．
（1）计算这些车的平均速度；
（2）车速的众数是多少？
（3）车速的中位数是多少？
第15页（共34页）【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
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【分析】（1）根据平均数的计算公式列式计算即可；
（2）根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案；
（3）根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）这些车的平均速度是：（40×2+50×3+60×4+70×5+80×1）÷15＝60（千米/时）；
（2）70千米/时出现的次数最多，则这些车的车速的众数70千米/时；
（3）共有15个，最中间的数是第8个数，则中位数是60千米/时．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，中位数、众数和平均数，掌握中位数、众数和平
均数的计算公式是解本题的关键．
19．（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平
方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出
方程．
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x ＝20，x ＝5．
1 2
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
第16页（共34页）∴x ＝5舍去．
2
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
四、解答题（二）（本大题共4小题，共43分）
20．（10分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
分别以A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
①
作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
②过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
③（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L9：菱形的判定．
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【分析】（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD，然后根
据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝
FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．
【解答】解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AD＝CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，
在△AED与△CFD中，
第17页（共34页），
∴△AED≌△CFD；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，FC＝FA，
∴EC＝EA＝FC＝FA，
∴四边形AECF为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过
作图能得到直线的垂直平分线．
21．（10分）如图，AB是 O的直径，点F，C是 O上两点，且 ＝ ＝ ，连接AC，AF，过
点C作CD⊥AF交A⊙F延长线于点D，垂足⊙为D．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若CD＝2 ，⊙求 O的半径．
⊙
【考点】K6：三角形三边关系；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．
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【分析】（1）连结OC，由 ＝ ，根据圆周角定理得∠FAC＝∠BAC，而∠OAC＝
∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线
的判定定理得到CD是 O的切线；
（2）连结BC，由AB为⊙直径得∠ACB＝90°，由 ＝ ＝ 得∠BOC＝60°，则∠BAC＝
30°，所以∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC＝
2CD＝4 ，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC＝ AC＝4，
AB＝2BC＝8，所以 O的半径为4．
【解答】（1）证明：⊙连结OC，如图，
第18页（共34页）∵ ＝ ，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是 O的切线；
⊙
（2）解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵ ＝ ＝ ，
∴∠BOC＝ ×180°＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，CD＝2 ，
∴AC＝2CD＝4 ，
在Rt△ACB中，BC＝ AC＝ ×4 ＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴ O的半径为4．
⊙
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
22．（11分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地
第19页（共34页）驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y ，y（千米）与行驶
1 2
时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）填空：A，B两地相距 44 0 千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y 与行驶时间x之间的函数关系式；
2
（3）客、货两车何时相遇？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）由题意可知：B、C之间的距离为80千米，A、C之间的距离为360千米，所以
A，B两地相距360+80＝440千米；
（2）根据货车两小时到达C站，求得货车的速度，进一步求得到达A站的时间，进一步设
y 与行驶时间x之间的函数关系式可以设x小时到达C站，列出关系式，代入点求得函数
2
解析式即可；
（3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，求得y 的函数解析式，与（2）中的函数解析式联
1
立方程，解决问题．
【解答】解：（1）填空：A，B两地相距：360+80＝440千米；
（2）由图可知货车的速度为80÷2＝40千米/小时，
货车到达A地一共需要2+360÷40＝11小时，
设y ＝kx+b，代入点（2，0）、（11，360）得
2
，
解得 ，
所以y ＝40x﹣80（x≥2）；
2
（3）设y ＝mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得
1
解得 ，
第20页（共34页）所以y ＝﹣60x+360
1
由y ＝y 得，40x﹣80＝﹣60x+360
1 2
解得x＝4.4
答：客、货两车经过4.4小时相遇．
【点评】本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合
图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
23．（12分）如图，直线y＝﹣ x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以
每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单
位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连
接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP
的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的
坐标．
【考点】FI：一次函数综合题．
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【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可得到点A、B的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q到AP
的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°两种情况，利用∠OAB的
余弦列式计算即可得解．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣ x+8＝0，
解得x＝6，
x＝0时，y＝y＝8，
第21页（共34页）∴OA＝6，OB＝8，
∴点A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝ ＝ ＝10，
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AP＝2t，
AQ＝AB﹣BQ＝10﹣t，
∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB＝（10﹣t）× ＝ （10﹣t），
∴△AQP的面积S＝ ×2t× （10﹣t）＝﹣ （t2﹣10t）＝﹣ （t﹣5）2+20，
∵﹣ ＜0，0＜t≤3，
∴当t＝3时，△AQP的面积最大，S最大 ＝﹣ （3﹣5）2+20＝ ；
（3）若∠APQ＝90°，则cos∠OAB＝ ，
∴ ＝ ，
解得t＝ ，
若∠AQP＝90°，则cos∠OAB＝ ，
∴ ＝ ，
解得t＝ ，
∵0＜t≤3，
∴t的值为 ，
此时，OP＝6﹣2× ＝ ，
第22页（共34页）PQ＝AP•tan∠OAB＝（2× ）× ＝ ，
∴点Q的坐标为（ ， ），
综上所述，t＝ 秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为（
， ）．
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形
的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注意
根据t的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论．
第23页（共34页）考点卡片
1．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示
的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，
利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
正数都大于0；
①负数都小于0；
②正数大于一切负数；
③两个负数，绝对值大的其值反而小．
④【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大
的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方
运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，
最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
第24页（共34页）【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、
特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到
右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系
①数的代数项；字母和字母指数；
明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会
②减少，达到化简多项式的目的；
“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母
③和字母的指数不变．
5．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意： 底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x
﹣y）2与（x﹣y）3等； a可以是单项式，①也可以是多项式； 按照运算性质，只有相乘时才
是底数不变，指数相加②． ③
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运
用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形
为同底数幂．
6．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意： 幂的乘方的底数指的是幂的底数； 性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方
的指数相①乘，这里注意与同底数幂的乘法中“②指数相加”的区别．
第25页（共34页）（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意： 因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； 运用时数字因数的乘方应根据乘
方的意①义，计算出最后的结果． ②
7．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
底数a≠0，因为0不能做除数；
①单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
②应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什
③么，指数是什么．
8．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和
未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： 方程两边表示的
是同类量； 同类量的单位要统一； 方程两边的数值要相符． ①
（3）找等量②关系是列方程组的关键和③难点，有如下规律和方法：
确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． 将问题中给出的条件按意思分割
①成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出②两个等量关系． 借助表格提供信
息的，按横向或纵向去分别找等量关系． 图形问题，分析图形的长、宽，③从中找等量关系．
10．一元二次方程的应用 ④
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方
程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，
则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
第26页（共34页）（3）形积问题： 利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． 利用三角形、矩
形、菱形、梯形和①圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方②程． 利用相似三
角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元③二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构
成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．解分式方程
（1）解分式方程的步骤： 去分母； 求出整式方程的解； 检验； 得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后①所得整式方②程的解有可能使原方程③中的分母④为0，所以应如下检
验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式
①方程的解．
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式
②方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成
的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤： 求不等式组中每个不等式的解集； 利用数轴求公共部分．
解集的规律：①同大取大；同小取小；大小小大中间找②；大大小小找不到．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
第27页（共34页）分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科
学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根
据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题： 建立函数模型的方法； 分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函①数解决问题的关键． ②
14．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前
面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
15．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
①双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
②在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的
③面积是定值|k|．
16．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次
函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞
①
﹣ 时，y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低
点．
第28页（共34页）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞
②
﹣ 时，y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高
点．
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单
③
位，再向上或向下平移| |个单位得到的．
17．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只
要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的
定时炸弹，容易忽略．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角
形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助
线构造三角形．
19．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质： 垂直平分线垂直且平分其所在线段． 垂直平分线上任意一点，到线
段两端点的①距离相等． 三角形三条边的垂直平分②线相交于一点，该点叫外心，并
且这一点到三个顶点的距离相等③．
20．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
第29页（共34页）等腰三角形的两腰相等
①等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（③3）在 等腰； 底边上的高； 底边上的中线； 顶角平分线．以上四个元素中，从中任意
取出两①个元素当②成条件，就可以③得到另外两个元素④为结论．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝ ，b＝ 及c＝ ．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的
每一条直角边．
22．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行
ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行
ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行
ABCD是平行四边形．
23．菱形的判定
菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
①四条边都相等的四边形是菱形．
②
第30页（共34页）几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
③几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件： 顶点在圆上． 角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中①，同弧或等弧所对②的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧
一定要掌握．
（4）注意： 圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的
顶点和底角①的关系进行转化． 圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转
化． 定理成立的条件是“同一②条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，
把不③同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
①切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论
②直接得出来的．
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过
③圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半
径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径
垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
26．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
第31页（共34页）2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图
形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求
的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适
当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出
正确的未知数．
27．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
锐角直角的关系：∠A+∠B＝90°；
①三边之间的关系：a2+b2＝c2；
②边角之间的关系：
③sinA＝∠A的对边斜边＝ac，cosA＝∠A的邻边斜边＝bc，tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
28．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个
平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
29．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含
的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布
情况．
第32页（共34页）2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差
）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精
确．
30．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然
后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
①在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
②在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
③按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
④31．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x ，x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，w ，…，w ，则x1w1+x2w2+…
1 2 3 n 1 2 3 n
+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合
知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的
“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数
据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现
在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中
位数描述其趋势．
第33页（共34页）33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，
此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中
程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所
有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B
的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个
事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，
最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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