内部资料
请4外f专
培训参考样书
数
七年级下册
江苏凤凰科学技术出版社rr …
__祕:：
M：/
議【•㈣^ _議
目 录
致同学
第7章幂的运算
m^m
關隱同底数幂的乘法-… •4
QB幂的乘方与积的乘方 .8
m同底数幂的除法…… 14
数学探究. . . .. . 21
小结与思考. . . . . 22
复习题. . . . . . . 23
第8章整式乘法
_单项式乘单项式
28
单项式乘多项式
31
t 多项式乘多项式
34
^圓乘法公式. . 37
小结与思考. . . . 45
复习题. . . . . 46I
第9章图形的变换
■■■■■■■■■■■■
醐 TO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
轴对称. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
旋转. . . . . . . . . . . 68
数学探究. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
小结与思考. . . . . . . . . . 78
M观. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
综合与实践. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
第10章二元一次方程组
二元一次方程. . . . . . . . . . . . . . . . 86
_二元一次方程组的概念. . . . . . . . . . . . . 89
_解二元一次方程组. . . . . . . . . . . . . . . 92
* fED三元一次方程组. . . . . . . . . . . . . . . . 97
^^3用二兀一次方程组解决问题. . . . . . . . . . . loo
小结与思考. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
复习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
综合与实践. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112第11章一元一次不等式
國^瞧_M
(ED不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii6
晒一元一次不等式的概念. . . . . . . . . . . . . 122
CHB解一元一次不等式. . . . . . . . . . . . . . 125
(00 一元一次不等式组. . . . . . . . . . . . . . 129
0S用一元一次不等式解决问题. . . . . . . . . . . 134
小结与思考. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
复习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
综合与实践. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
第12章定义命题证明
1 :.:賴誦^
賺定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
命题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
证明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
_定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
小结与思考. . . . . . . . . . . . . . . 166
复习题. . . . . . . . . . . . . . . . 167致同学
亲爱的同学：
舂天即将来临，大地万物复苏.踏着舂天的脚步，我们进入了一个充满
活力的新学期.
数学，已经成为了你的朋友.通过这册课本的学习，你将更多地了解、
熟悉她——
“幂的运算”是一种通过“乘方’’引入的
我觉得幂的运算
新的运算形式，你可以通过观察、猜想，由特殊
梃神奇的！
到一般地得到幂的一些运算性质.
小明
"整式乘法”将别开生面地通过图形面积 4
的计算、归纳和推演，得到整式乘法的法则私公
我感觉这学期有很多
式，简明、奇妙而有趣.
的数学运算，怎样才
u图形的变换’’将帮助你更好地以识平移、
能减少运算错误呢？
轴对称、旋转等图形变换，并探索它们的一些基
本性质.
"二元一次方程组”将使你进一步学会用
“方程”这种数学模d解决比较复杂的实际问
方程和不等式有
题，进一步感受方程妁魅力.
什么联系呢？
"一元一次不等式”将引导你研究数量之间
的不等关系.不等式与方程一样，能有效地刻画
现实也甲的数量关系，解决一些简单的实际问题•
"定义命题证明”将帮助你初步学会
我很想知道什么是
用推理的方法，从一些基本事实出发证明探索发
数学中的“推理.％、
现的一些图形性质，初步了解“证明”的步骤和
方法.
学习数学，不仅要想，而且要做；不仅要
运算和推理是数学
自主探索，而且要与同学合作交流；不仅要掌握 的基本功.打好基
数学知识和技能，而且要学会思考的方法.这样， 础很重要！
你一定会在数学学习中不断进步！幂的运算
几个相同因数〃的乘积可以简写为幂V的
形式.本章将学习幂的运算，进一步简化代数
式的运算过程.
乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算
性质的基础.利用幂的运算性质，可以把幂的
运算转化为指数的运算.
幕的运算是整式运算的基础，也有助于简
洁地表达现实生活中的数量和数量关系.
&攀泛％c：編
上:
一，Ti纖黎承光在真空中的速度约是3X108 m/s，光在真空中穿行1年的距
离称为1光年.
请你算算：
1光年约是多少千米(1年以3X107 s计算)？
中国科学家利用位于贵州省的500 m 口径球面射电望远镜
#
(FAST)，发现了 1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体
结构.这个原子气体结构的尺度约为多少千米？
距离太阳系最近的恒星是比邻星，它距离地球约4. 25光年•如
#
果一个探测器以6.4X104 km/h的平均速度飞往比邻星，那么
大约需要多少年？第7章幂的运算
同歴数_的111法
中国空间站的运行速度大约是
7. 68X103 m/s，运行3 h的路程大
约是多少？
3 h为1.08X104 s，中国空间站运行3 h的路程约为7.68X103X
1. 08X104=(7. 68X1. 08)X (103 X104)义8. 29X (103 X104)(m).
因为 103X104=(10X10X10)X(10X10X10X10)
=10X10X10X10X10X10X10
=107，
所以，中国空间站运行3 h的路程约为8. 29X107 m.
计算：
(1) 102 X 105，l(T.l(r(m，” 是正整数)； (2) 23 X24 , a3 - a4.
画
从上面的计算中，你发现了什么？
对于任意的底数a，当m，n是正整数时，由乘方的意义和乘法
结合律知：
m个a m个a
an = (a • a. . . a) • Ca • a. . . a)
(m+w)个 cz
a
m^-ri
于是，我们得到同底数幂的乘法运算性质:
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
用符号表示为： n(m，72是正整数)•
///计算:
(1) (一3)4 X (—3)3; (2) x • x7 ；
(3) a3m • a2^1 (m 是正整数)； (4) (m — /7)3 • (m —
(1) (一 3)4 X (—3)3 = (—3)4+3 (一 3)7 =—37 2 187；
(2) x • x7 = xw = xs ；
(3) a3m • a217^1 1 5777—1
把w—看
(4) (m — 77)3 • (m — 77)2 (m — n)3+2 成整体.
(m — n)5.
<7 如何计算34 X (― 3)3，(m — n)3 • (72 — m)2 ?
圓
我国的“神威•太湖之光”超级计算机全部采用中国国产处理器构
件，是世界上首台峰值计算速度超过10亿亿次/s的超级计算机•
如果它的持续计算能力为9. 3亿亿次/s，那么按这个速度运算1天
能运算多少次？
■M? 24 h=24X3.6X103 s，9. 3亿亿次=9. 3X108 X108次.
(9. 3 X 108 X 108) XC24 X 3. 6 X 103)
=(9. 3 X 24 X 3. 6) X (108 X 108 X 103)
= 803. 52 X 1019
= 8.035 2 X 1021(次)•
答：按这个速度运算1天能运算8. 035 2 X1021次.
已知m，n，f是正整数，计算/ • f • V.
画I
5
7.
1
同
底
数
幂
的
乘
法IP
第7章幂的运算
K
1. 计算：
(1) a8 • a3; (2) x5 • x；
(3) 101。X (-10)13； (4) —b、b、
(5) (-a)2 - (—a) • (-a)3；
⑹咖#
下面的计算是否正确？如有错误，请改正.
(1) X2 • X2 =2x4 ；
(2) x2 • xA =x8 ；
(3) a3 +a3 =a6;
(4) 3m X 32m =_ q 933 t ? w w(m是正整数)•
3.计算：
(1) j? •工7 +X5 • X5 ；
(2) a2 • a6 一 a4 • a4 ；
(3) (a —6)3 • (b— aY.
4.填空：
(1) aA • a( ) a10
(2) <2( } •a2 • a = a9 ；
(3)x( ) •xn= 是正整数)；
(4) x • x( ) • x,,Jrl = x^in 是正整数).
例计算(5. 6X108)X(7. 1X103).
flHIl
iJ;;
解：依次按以下各键：CDQEMmnCOCD
_ _
计算器操作
m圃so.
计算器显示的结果为3. 976X1012.
61.计算：
(1) (fo)5 x (0-1)7
(2) a12 • a;
(3) — 62 • 65; (4) a7n-fl a^1 （m是大于1的整数）
(5) 34 X 36 X 3； (6) a • a4 • (— a)5.
2.计算：
(1) (p — q)b • (g — pY ;
(2) (:c —3；)m • (x 一3;产 （y—x） （m, n是正整数）；
(3) • xn+1 +J：2n • x (n是正整数).
3.填空：
(1) j:5 • j: • j:( } = j:9 ;
(2) a2 • a( ) • am = a^2n_fl (m, n 是正整数)；
(3) x2 • x( x"^3'r1rh 1 l " （n是正整数）；
（4） an • a • a（ ） = a2n （n 是大于 1 的整数）.
4.已知a = 8, = 32,求的值.
5.心宿二是一颗巨大的红超巨星，它的体积约是太阳的3.4\108倍.
太阳的体积约是地球的1. 3 X 106倍.心宿二的体积约是地球的多
少倍？
6.计算机存储单位一般用B，KB，MB，GB，TB，…表示，它们
之间的关系•• 1 KB-210 B, 1 MB-210 KB，1 GB=210MB，
1 TB=21Q GB. 1 TB的移动硬盘容量等于多少（单位：B）?
（第6题）
\\\
7.
1
同
底
数
幂
的
乘
法第7章幂的运算
_的乘方与照的乘方
幂的乘方
冥王星是一颗矮行星.它可以近似看作半径为103 km
的球体，它的体积约为多少(tc取3. 14)?
根据球的体积计算公式V=yTcr3 (其中V，r分别表示球的
体积和半径)，冥王星的体积为
V==yTcr3 = |-TcX(103)3^4. 19X(103)3 (km3).
因为(103)3 =103 X 103 X 103
=io3+3+3
= 109.
所以冥王星的体积约为4 19X109 km3.
计算：
(1) (10m)3; (2) C104)w; (3) (am)3 (4) (a4)n.
从上面的计算中，你发现了什么？
对于任意的底数a，当m，〃是正整数时，
Z个“
{amy • a
同底数幂的乘法性质
I个
abn]-a
B
p
e
P
M
P
l
-fi
p
l
l l
于是，我们得到幂的乘方运算性质: l i
l
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
用符号表示为：=amn(m,rz是正整数)
计算：
(2) (aw)4(m是正整数);
(1) (106)2;
⑶一(y)2 ⑷[Cz — ：y)”]2 (n是正整数)•
(1) (106)2 106X2 = 1012 :
(2) (aw)4 = amX4 八4m
—Cl
⑶一(y)2 =-yx2 =—y;
(4) [(x —3；)n]2 = (x — y)nX2 (x — ;y)2n
计算：
(1) x2 • xA + (x3)2; (2) (a3)3 - (a4)3.
(1) i2 • j:4 + (x3)2 = x2+A +:r,:3X2二工6-\-x6 = 2x6 ；
(2) (a3)3 • (a4)3 = a3X3 • aAX3 = a9 • a12 = a9+12 = a21.
■■■■■■
i.计算：
國 (1) do4)3; (2) U5)4;
(3) 一 (a2)5; (4) (-103)12;
(5) (—，)5 (m是正整数)； (6) - [(2a-6)4]
2.下面的计算是否正确？如有错误，请改正•
(1) (a3)2 - a5? (2) (64)2 =b16
9
—
I
—
—
7
.
2 幂
的
乘
方
与
积
的
乘
方第7章幂的运算
3.计算：
(1) (m4)2 +/n5 • m3; (2) (x5)4 + (工10)2
(3) (a3)5 • (a2)2； (4) 1010 X lOO10.
4. 一个正方体的棱长是102,它的体积是多少？
积的乘方
木星是太阳系中最大的行星.它可以近似看作半径为
7. 15X104 km的球体，它的体积约为多少（tt取3. 14）?
木星的体积 =4^X(7. 15X104)3
4
7tX(7. 15X104)X(7. 15X104)X(7. 15X104)
二 i
7tX(7. 15X7. 15X7. 15) X(104 X104 X104)
4
ttX?. 153 X(104)3
4
ttX?. 153X1012
^1. 53X1015(km3).
所以木星的体积约为；L 53X1015 km3
填空：
(1) (a • b)3= • :
(2) (3X4)K X
从上面的式子中，你发现了什么？
10对于任意底数〜心当m是正整数时，
tn个 ab
{ab)m = (ab) • Cab). . . (ah)
乘法交换律、
m^a m个 b
乘法结合律
—(a • a •.“ „，、、广a:• ’ ) • C b*b. . . b )
=ambm.
于是，我们得到积的乘方运算性质：
积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘•
用符号表示为：(ab)m:=ambm(m是正整数).
计算：
(1) ( — 5m)3 ； (2)(巧2)3.
(1) (— 5m)3 = (—5)3 • m'5 = — 125m3 ；
(2) (xy2)3 = x3 • (:y2)3 =
m是正整数，你会计算(a&r吗？
计算：
(1)(— 2a63c2)4: (2) 49 X (一 25)8.
(1) (― 2a63c2)4 = (-2)4 - a4 - (63)4 • (c2)4 16a4b12c8
(2) 49 X (- 25)8 = 4 X 48 X (- 25)8
= 4X[4X (-25)]8
= 4X (-100)8
= 4X1016.
1
7.2
幂
的
乘
方
与
积
的
乘
方第7章幂的运算
1.计算：
國 (1) (—aby ； (2) (x2y )4 ；
(3) (2X103)2; (4) (―2心4)3.
2.下面的计算是否正确？如有错误，请改正•
(1) (xy2y=xye ； (2) (-2b2y = ~ib\
3.计算：
(1) a0 • a3 + (2a2)4 ； (2)-2x6-(- 3x2)3
(3) (-4)10X2510； (4) 85 XO. 1254 .
4.火星是一颗类地行星，它的平均半径大约为3.4X103 km.
m .
求火星的体积(7T取3. 14).
例1计算(205)2.
mj
U«l i 解：依次按以下各键：
计算器操作 计算器显示的结果为1. 024X1013.
例2计算备；rXa4X106)3.
0
SHfFT ;i
解：依次按以下各键：D3aCI3__OC3m
CZ3D3國03C圓Q(Q.
计算器显示的结果为L 436 755 04X1018.
1.计算：
(1) (a3)5; ⑵一Cr6)2;
(3) [(一 m)2]5; (4) (一^)3(/7是正整数).
2.计算：
(1) (a4)2+a6 - a2 (2) (m3)3 • (m3)4；
(3) (a2)3 • (a4)4; (4) (64)2 • b3.
12I
L
H
3.计算：
H
(1) (2a62)3； (2) (一W)2;
(3) ( — 3a2b3c)3 ； (4) — (— 2x3y )4 1
4.计算：
(1) (a3)2 + (a2)3-a - a5;
(2) (一 f)2 a 於i -a (—an)3(n是正整数):
(3) (a • a4 • a5)2;
(4) (一 2a2)3 - a6-(- 5a6)2
5.计算：
(1) (0. 25)100 X 4100 ；
(2) 314X — 士
7
.
2 幂
的
乘
方
与
积
的
乘
方
3第7章幂的运算
同底數_的腺法
据统计，我国2021年水资源总量约为2. 96X1012
按全国1.41X109人计算，人均水资源量为多少？
人均水资源量为
2. 96X1012_2. 96X109 X103 2. 96
X103^2. 10X103(m3)
1.41X109 1. 41X109 1.41
计算：
(1) 212 + 29; (2) ^12 _i_ ^9 (3) 10m^10n(m>n).
从上面的计算中，你发现了什么？
对于任意不等于0的底数a，当m，〃是正整数，且m>77时，
m个c
a • a
W个<2
(m—7?)个 a
a • a a • a
77个(2
于是，我们得到同底数幂的除法性质：
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
用符号表示为：am^ran （a#0,m，"是正整数，m>"）.
14计算： (1)( — 6)8 + ( — b); (2) <26 + (— a)2 ；
⑷^ (m是非负整数).
(3) (aZ?)4 + (a6)2;
> (1) (一 6)8 + (— 6) 也可以先确定符号
再计算： = (—6)8-1 = (—b)7 =— b7;
(-/?)8+( —6)
(2) a6 -^r (— a)2
a6 a2 = a6-2 = a4 ；
(3) (ab)A -T- (ab)2
(ab)A^2 = (ab)2 = a2b2;
鲁 艺2 _ f 2mH-3——2 —
N
1.计算：
(1) 315+310;
1^1
(3) ^13 y2 ； (4) (— a)4 -r- (— a)；
(5) xyY {xyY ; (6) a1()w+(22”(n 是正整数).
下面的计算是否正确？如有错误，请改正.
(1) a8 + a4 — a2 ； (2) x10 + x9 — x ；
(3) m5 + m = m5; (4) (― 2：)6 + (—zY =—之2_
前面我们学习了同底数幂相除的运算性质：
am +an = a^iafO, m，n 是正整数，m>”).
当m=72时，由除法的意义可知，+a"=l.为了使上述性质仍
然成立，我们规定：
任何不等于0的数的0次幂等于1.
用符号表示为二
于是，am^ram = l=a0=am~m .也即，当 m = ” 时，a77 •a
M乃然成立.
15
7
.
3 同
底
数
幂
的
除
法第7章幂的运算
当m
⑴4—2 - =- - «
42 16,
(2)-3一 3 ■ 33 二—— 27!I
(3) 3.14 X 10—5 = 3.14 X w = 3. 14 X 0. 000 01 = 0. 000 031 4.
101
16当幂的指数从正整数推广到整数后，正整数指数幂的各种运算
法则仍然适用.
b
例如， ={ba~ly
积的乘方
= bna—n
—bn an
这说明可以把积的乘方运算法则推广到商的乘方运算
计算：(1)U-263)- (2) (一35) X3—5 •
(1) (<2-263)-4 = (<2-2广4 • (63)-4 = a{ a8 6
；12 '
(2) (一 35) X 3一5二一 35+(—5) 3。=一 1
N
1.用小数或分数表示下列各数
⑴10— (2) (-0.1)4；
(3) 5一 1 (4) 2.1X10—2.
I.把下列各数写成负整数指数幂的形式:
(1) 0. 001； (2) 0.000 001;
⑶百;
3.计算：
(1) (一 3)2X(—3)-2 (2)
(3) 10^ +(- 0.3)°； (4) 50 —(一2)—4.
太阳的半径约为700 000 (X)0 m，其最
丰富的元素是氢，氢原子的半径约为
0. 000 000 000 05 m.用科学记数法，我们
可以把700 000 000 m写成7 X108 m，把
0. 000 000 000 05 m写成5 X10—11 m.
17
7
.
3 同
底
数
幂
的
除
法r
第7章幂的运算
一般地，用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成
aX10”的形式，其中1< | a | <10, 77是正整数.规定了负整数指
数幂后，对于绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为aX
10i的形式，其中| a | <10, 77是正整数.
用科学记数法表示下列各数：
3
0.000 109, 一0.000 006 2，
100 000*
纖>
0. 000 109 = 1. 09 X 0. 000 1 二 1. 09 X 10—4，
-0. 000 006 2 =— 6. 2 X 0. 000 001 6. 2 X KT6，
3X10「5
100 000 105
人体红细胞的截面可以近似地看成圆.在显微镜
下测定某人红细胞的截面半径约为3. 7 X KT6 m，
求红细胞的截面面积SG取3. 14）.
S = 7r X (3. 7 X 10—6)2 = 7r X 3. 72 X 10_12 ^ 4. 3 X 10—11(m2).
答：红细胞的截面面积约为4.3X10-nm2.
随着技术的发展，在芯片的硅晶片上雕刻的电路
间距已经可以小到几纳米.纳米（记为nm）是长
度单位，Inm等于lm的十亿分之一.请以毫米
为长度单位表示1 nm .
1
13> nm m
1 000 000 000
10-9 m
10-9 X 103 mm
KT6 mm.
18丨I m丨m61111 ij 111^|11111111111 jii i^|11111111y i m J11 h 1111 N^|111111 ny 11111111y 1111111 mj
刻度尺上的一 1 nm是1 mm的百万分
小格是1 mm. 之一！
1.用科学记数法表示下列各数:
画
0. 000 215, 0. 000 060 8, -0.001 02, 1()
2.用科学记数法表示下列结果，并比较它们的大小：
(1)幽门螺杆菌是胃部疾病常见的感染性疾病源，其宽大约
是0. 000 05 cm，换算成以米为单位是多少？
(2)某国产手机芯片是7 nm制程芯片，换算成以米为单位
是多少？
(3) PM2.5是指大气中直径小于等于2. 5 pm (/jLm是长度单
位之一，表示微米.l]um=lCr6m)的细颗粒物，其直
径不到人的头发直径的_，对人体健康有很大的危害
2.5 pm换算成以米为单位是多少？
例计算7rX(7.8X10—7)2.
il
SHIFT JT _
解：依次按以下各键：
计算器操作
画關tDEIlBO.
计算器显示的结果为1. 911 344 97X10-12.
19
7
.
3 同
底
数
幂
的
除
法第7章幂的运算
1.计算：
(1) a5 + a2; (2) m19 + m;
關 (3) (55 )2 -r- 55: (4) (— s)7 + (— 5)4:
(5) -4 -
2.填空：
(1) 23 X ( 27： (2) ( ) • a2 = a5 ；
(3) 310^( ) = 35; (4) ( ) ^-a2 = a7.
3.用小数或分数表示下列各数:
⑴6-2; (2) (|) \
(3) 4
(4) L 027X10—6.
4.计算：
、一2
(1) 5-2 + 2-3; (2)
： -—
(3) (|)2 + f+f+r
(4) 一音 +(—2)3X(—2)—2.
5.用科学记数法表示下列各数:
57
0.000 182, 一0.000 061 2, 一0.000 009 001，
1 000.
6.鸵鸟是世界上现存体形最大的鸟，1枚鸵鸟蛋的质量约为1.5kg;
蜂鸟是世界上现存体形最小的鸟，1枚蜂鸟蛋的质量约为
2 X ICT1 g. 1枚鸵鸟蛋的质量相当于多少枚蜂鸟蛋的质量？
7.有一块钟乳石每年平均增长a 000 13 m，用科学记数法表示这块钟
乳石增长0. 01 m需要的时间（单位：年）.
8.氦气是一种重要的战略资源.1亿个氦原子的质量约为7X1（T16 g，
用科学记数法表示1个氦原子的质量（单位：g）.
9.已知am=8，an=32（m,w是整数），求f2"的值.
20数学探究
“大”数与“小，，数
有关人体的一些数据
DNA（脱氧核糖核酸）分子的直径只
有2Xl（T7Cm，它们在细胞核的染色体
上，按一定顺序排列成双螺旋形的独特
结构.
在人体的血液中，红细胞直径约为
7. 7X 10"4 cm,每立方毫米血液里约有
5X106个红细胞.
成人的大脑约有1.4\101（）个细胞，
婴幼儿的脑细胞以每分钟约2. 0X 105个的
惊人速度递增，一般到8岁可达到成人脑
DNA双螺旋结构模型
细胞数量.一年约有5.256X105 min，你
能估测出儿童7岁时大脑的脑细胞数量吗？
有关地球的一些数据
我们生活的地球已有大约46亿年的历史，它的部分信息如下
表，你能将表格补充完整吗（用科学记数法表示）？
平均半径 6. 371X106 m
体积 m3
总面积 5. 100X1014 m2
陆地面积（约占29%） m2
海洋面积（约占71%） m2
平均密度
&/ ^1A1
cr/ prn^
（质量+体积）
质量 5. 976X1024 kg
21本章知识结构：
同底数幂的乘法:/
n（m，w是整数）
幂的乘方:Um）n =amn （m, w是整数）
幂的运算
积的乘方:（M）” = a” • VGz是整数）
同底数幕的除法:aw+a71 = a^1 （a尹Q，m，w是整数）
丄
a0 -1
(a 7^ 0, n为正整数)
(a ^ 0) an
本章中，我们学习了幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂
的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等，它们的本质都是恒等
变形.
2.利用幂的运算性质可以将幂的运算转化为指数的运算：同底
数幂的乘法与除法运算转化为幂指数的加减运算，幂的乘方运算转
化为幂指数的乘法运算.幂的运算能为后续的整式运算带来很大的
方便，有助于发展数感、符号意识和运算能力.
3.幂的运算性质的适用范围扩展到整数指数幂后，可以发现同
底数幂的乘法、除法法则本质上是一致的.
如果a，6互为倒数关系，那么V，V是否也具有倒数关系呢？
22-复习巩固
1.计算：
(1) r 4/ x (2) {a-bY • U — b)3 •’
(3) (— x3)5 ； (4) (— 3x)4 + (— ；
(5) (2x2y ； (6) (— 3xy2z)2 ；
(7) w? • m • (m2)3 ； (8) (-a2)3 - (-a3)2;
(9) • r(m 是整数)；
(10) Orf + Cx2)”一f •:c2(n 是整数).
2.计算：
,-2 v -2
(1) — X2—4; (2)
-U/ 9
、—2
(3) (一 9)—1 X ⑷2—2 X (43 X8°).
水由氢、氧两种元素组成.一个水分子包含两个氢原子和一
个氧原子.1个氢原子的质量约为1.674X10—27 kg，一个氧
原子的质量约为2.657X1（T26 kg，一个水分子的质量大约是
多少（单位:kg）?
氧原子
氢原子 氢原子
水分子
（第3题）
234. 1cm3空气的质量约为L 293 X 1(T3 g，1 m3空气的质量是多
少(单位：kg)?
5.请解决章头活动中的问题：如果一个探测器以6.4X104 km/h
的平均速度飞往比邻星，那么大约需要多少年？
6. 一块尺寸为1.03 cmXI. 03 cm的某种芯片上集成了 1. 53X
101()个晶体管，求每个晶体管所占的面积.
7.地球的半径约为6.37X103 km，太阳的半径约为6. 96X105 km，
恒星HR 237的半径约为太阳的1 800倍.
(1)太阳的体积约是地球的多少倍？
(2)恒星HR 237的体积约是太阳的多少倍？
(第7题)
一滴水约0.05 cm3，有一个未捋紧的水龙头每分钟大约漏40
滴水，一天大约漏水多少立方米？
-灵活运用
9.计算：
100
(1) 一+ X3101
(2) 0. 24 X 0. 44 X 12. 54.
2410.已知 <2=— (0. 3)2, b=—3~\c=[~^j ，d=(—"D，
比
较a，b，c，d的大小，并用号连接起来.
11.计算：
(1) 10-5 — 10-6;
102 \2
⑵ U. 000 001广
12.已知3X^X81 = 321，求工的值.
-探索研究
a
13. 比较255，344，433的大小.
14. 已知 a = 1.001 X 10—9，6 = 9.99 X10—8，c 二 1. 002 X 10—8，
d=—9. 999 9X 10~7,比较 a，6，c，d 的大小，并用
号连接起来•
15.判断498—142 X712能否被9整除，并说明理由.
44；r
25整式是代数式的一种基本形式.本章将在幂
的运算和整式加减运算的基础上学习整式乘法.
^- - - b- - - •-
学习整式乘法时，可以类比数的乘法.与数
♦
a ab a
的乘法一样，整式乘法也满足交换律、结合律
和分配律.
b b2 ab 整式运算是数学运算的基础，是代数学习的
基本功.我们需要掌握整式运算的法则，理解整
式运算的过程，熟练地进行整式运算.
'
Rs擊,道路铺设地砖，不同的铺砌方案会得到不同的图案.
用若干块如下图所示的长方形和正方形的地砖，拼成
图1〜图3,它们的面积分别是多少？你有哪些不同的
算法？
.
.
图1 图2 图3
如图4,在边长为a的正方形地砖上切
割掉一个边长为6的正方形，剩下部
分的面积是多少？你有哪些不同的a
算法？
图4第8章整式乘法
串顶式111_顶式
如图8-1，几块型号相同的液晶屏拼接在一起组成“电
Q
ill 视墙”，如何计算这块“电视墙”的面积？
“电视墙”是-
个长方形.
‘钇视墙”由9个
］、长方形组成.
图8-1
如果把图8-1的“电视墙”看成一个大长方形，那么它的长为
3a,宽为36，面积为3a • 36.
如果把图8-1的“电视墙”看成是由9个小长方形组成的，那
么它的面积为9ab.
由此得到3a • 36 — 9ab.
一般地，可以运用乘法交换律、结合律计算两个单项式的乘
积.对于任意的a，b，
3a • 36
乘法交换律
= 3X3•a • 6
乘法结合律
=(3 X 3) • (a • 6) 字母像数一样
进行运算!
= 9ab,
28计算下列各式，并说明理由：
单
(1) 2a2b • 3a62 ； (2) iab2 • 56； (3) 6x3 • (— 2x2y). 项
式
乘
由乘法交换律和结合律可以得到单项式乘单项式的法则： 单
项
式
一"""单项式与单项式相乘•把它们的系数、相同字母的幂分别相
乘，对于只在一个单项式里含有的字母•则连同它的指数作为积
的一个因式•
wm-
计算：
(1) -^-a2 • (— 6ab);
(2) (—2x)3 • (— 3xy2).
(1) ~^a2 • (— 6ab)
单项式乘单项式，
4x(-6) • (a2 • a) • b
也可以先确定符号，
再进行运算.
2a3b；
(2) (— 2xY • (— 3xy2)
=—8x3 • (一3巧2)
=[(— 8) X (—3)] • (x3 • x) • y2
= 24rV.
如何计算2x • (—3xy)• (2xyz)2?
<7
圆
N
1.计算：
(1) 0. 25a2 - 8a； (2) |a362 -、abc
画
(3) 2a2be•〈— -ya6j ；
(4) — 0. labc • 10ab2c;
(5)(—工2)2 • (2工:y2)2; (6) 一 8a26 • (— ab2) • —62.
2. 一个正方体的棱长是1. 5a，求它的表面积和体积•
29第8章整式乘法
1.下面的计算是否正确？如有错误，请改正•
(1) 3工3 • (— lx2) = 5工5; (2) 3a2 • 4a2 = 12a2 ；
(3) 36s • 863 = 2469 ； (4) — 3^: • Ixy — y.
2.计算：
(1) (a2)2 • (— 2ab)；
(2) 5m abm • (— am)
4
(3) 0. 5a3b2c - (一 0. 2a2b3)；
(4) y2 • (一 2xy2) + (— 2x2y) • | 一
3.填空：
(1) ( ) • (一 3x3；) —~ I2x2y；
(2) 2ab • ( ) =一 6a2bc •，
(3) (— 2x) • ( ) = 10^3；；
(4) (2 X 102) X ( ) = 3 X 106.
4.某房屋的平面结构如图所示，现要把屋内地面(含阳台)都铺上地
砖，至少需要多少平方米的地砖？如果地砖的价格是:c元/m2,
那么购买地砖至少需要多少元？
单位：m
(第4题)
30S顶式乘荽顶式
如图8-2,为了改善采光效果，将窗户的宽度增加
o 改装后窗户的采光面积为多少？
I命 b H
图8-2
如果把改装后的窗户看作一个大长方形，那么它的长为a+ 6，
宽为c，面积为cU +6).
如果把改装后的窗户看作两个小长方形，那么它的面积为ca+cb.
由此得到
c(a + 6) = ca + cb
一般地，对于任意的a, 6，c，由乘法分配律可以得到
c{aJrb) = caJr cb
计算下列各式，并说明理由：
(1) a - (5(2 + 36); (2) (x—2y) • 2x.
由乘法分配律可以得到单项式乘多项式的法则：
单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把
所得的积相加•
31
pilf-
-Ipi
覽
rt
^
T
i:
馨
量
一"
i
a
s
l
8
.
2 单
项
式
乘
多
项
式第8章整式乘法
计算：
(1) (一 3工2) • (4r — 3); (2) y—ab2 —3a6j • —ab.
圓>
(1) (一 3*r2) • (4x — 3)
=(— 3x2) • 4x + (— 3^：2) • (— 3)
——12a：3 -4- 9j：2 ；
(2) a62 — 3abJ • —a6
~^ab2 • 1^26 + (— 3a6) • —<26
—a263 —a2b2 •
如图8-3,在长方形地块上建造住宅、广场、商场，计算这块地
的面积.
3a+2/? 2a~b
丰
广场
3(3
注宅
4a
商场
图8-3
长方形地块的长为(3a+26) + (2a—6)、宽为4a，这块地的面
积为
4a - [(3a+ 26) +(2a-6)]
4a • (5a + 6)
4a • 5a + 4a • 6 还有其他算法吗？
20a2 + A：ab.
答：这块地的面积为20a2+4a6.
32K
单 -
i.计算：
Z 项 .
式
(1) (6 + C-13) a; (2) — 2xy • (83;— lx — 1); 乘 i
多 l
项 l
⑶- oc"^ • (43; 8j：3；3 ); (4) (3a36 — 2a62 H-a63) • (—2a6)； 式
(5) x^y — 4) + 3^(3 — x);
(6) a (a2 —ab +6(a2 —ab +62X
2.计算图中梯形的面积•
3.填空：
(1) ( ) • (3x 一 4) — 3jc — 4r;
(2) x1 • + TjJ?.
（第2题）
计算:
(2) x(2x 一 5) + 3x{x + 3) 一 5xOr 一 1);
(3) a (a2 -\~ ab ^ b2) 一 b(a2 + ab ~\r b2) •’
(4) a(a2 — 3) + a2(a + 3) — 3a(a2 — a — 1).
2. 已知 A = — 2ab 9 B = 3ab(a — b)，求 A • B.
3.填空：
(1) ( ) (一 2a H- 36) = 4a26 一 6a62 ；
(2) ab(a2 +_ _ + 3) = a36 + 2a26 + 3a6 ；
(3) 2ab2 (3a2 —— +_ _ ) = 6a3b2 - Aa2b3 + 10abA ；
(4) 2a2b2( Hr — )= 2a2d2+8a3d3-16a4d4.
4•在《2：（（： + d） = 中，如果将X换成（＜2 + 6），你能计算
U +W（c+d）吗？
33第8章整式乘法
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
荽顶式乘荽顶式
如图8-4,现有一块长为a、宽
o 为d的长方形绿地，将其长和宽分别 -:_”T'
加长6，c，请计算扩大后的长方形绿
一—j
地的面积.
图8-4
如果把图8-4看成1个大长方形，那么它的面积为
(a + 6) • (c + ^).
如果把图8-4看成是由4个小长方形组成的，那么它的面积为
ac ad + be ^rbd.
由此得到
(a + bXc + d) =ac + ad + be + bd.
一般地，对于任意的a，6, c，么可以得到
(a 丁 6)(r + d)
乘法分配律 把C + J看成
一个整体.
a(c + d) + 6(c + c/)
单项式乘多项式法则
ac + ad + be -{-bd.
34在乘法分配律和单项式乘法法则的基础上，我们可以得到多项
式乘多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多
项式的每一项，再把所得的积相加.
计算：
(1) (x + 2)(工 一 3); (2) (—3工 + 1)(工一2).
(1) (x + 2)U-3)
x(x — 3) + 2(工一 3)
• x-\-x • (— 3)+2 •x + 2X (— 3)
=x2 — 3x-\-2x — 6
=x2 — x — 6 ；
(2) (一 3x -{- 1) Cx — 2)
=— 3x • x + (— 3x) •(— 2)+1 • jc + 1 X (— 2)
—— 3x2 Jr&xJrx~2
—— 3x2 + lx — 2.
计算：
(1) (3m + n) (m — 2n); (2) n(n + l)(n + 2).
(1) (3m -f- n) Cm — 2n)
= 3m2 — 6mn ^ mn — 2n2
= 3m2 — bmn — 2n2;
(2) 77(72 + 1) (72 + 2)
=n(n2 + 2n + n + 2)
=nin2 +3/2 + 2)
=n3 + St?2 + 2n.
35
8
.
3 多
项
式
乘
多
项
式第8章整式乘法
1.计算：
Z
(1) (<2 + 1) (6 + 1); (2) 一 2) Or — 3)
5
(3) (4x + 2)Cr — 2); (4) (1 一 2x) (2 + 3x).
2.计算：
(1) (4 — 3x) (4 + 3x) i (2) n(n — 2) (n + 2).
一块长方形地砖的长、宽分别为a cm，b cm (a>2，6>2).
如果长、宽各截去2 cm，那么剩余部分的面积是多少？
I
1.计算：
(1)(工 一 3) {2x + 3)； (2) (2a+ 1)(—a 一 2)
(3)(x + |)(o：-|)；
(4)(譜一l)Cx2 —3);
(5) {xy + 1) {xy — 4)； (6) (5m — 4t2) (4m — 5n).
2.计算：
(1) (2a 一 6) (a ~h 26—1)；
(2) (:r + y + 2) (x + y + 3) •
3. 求 Cr —1)(2:c + 1)—2C2： — 5)(i + 2)的值，其中 2.
4.光伏电池板可以将太阳光能转化为电能，在相同光照条件下，电
池板面积越大，输出的电能越大.现将一块长90 cm、宽60 cm
的长方形光伏电池板的长和宽都增加a cm，它的面积将增加
多少？
36i
l
s
l
s
-l
p
l
一
囊
乘法S式
完全平方公式
如何计算图8-5的面积？
國<9
图8 5
如果把图8 -5看成一个大正方形，那么它的面积为u+b)2.
如果把图8 + 5看成是由2个小长方形和2个小正方形组成的，
那么它的面积为a2 + 2M +62.
由此得到
(a + 6)2 = a2 + 2ab +62.
一般地，对于任意的〜可以得到
(<2 + (a + 6) (a + 6)
多项式乘法法则
=a2 ab -\~ ba -\- b2
合并同类项
=a2 + 2ab + b2 ?
(a — bY = [a+ (一 6)]2
= a2+2 - a • (-6) + {-bY
a— 2ab 4- b2 •
于是，我们得到完全平方公式(Pafat square formula)：
(a + b)2 = a2 +2ab +b2.
(a — b)2 = a2 — lab + b2.
37
8.
扛
乘
法
公
式第8章整式乘法
完全平方公式有什么特点？
<7
用完全平方公式计算:
(1) (5 + 3夕)2 ; C2) {2x 一 7yY
(3)( — 2a 一 5)2.
(1) (5 + 3夕)2
52+2 • 5 • 3夕+ (3户)2
25 + 30/> + ;
(2) {2x-lyY
(2x)2 一 2 • 2x • 7y -\- (7y)2
ix2 一 28^3； + 4：9y2 ；
(3) (- 2a-5)2
相等，先变形再化简会
—(— 2a)2 +2 • (— 2a) • (— 5) + (—5)2 更方便.
= 4a2 + 20a 25.
用完全平方公式计算：1992.
1992
=(200 —l)2
= 2002 -2 X 200 X 1 +l2.
= 40 000 — 400 + 1
= 39 601.
1. 一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由
2.计算(a ~hd~hc)2 •
38N
1.下面的计算是否正确？如有错误，请改正
(1) (x+y)2 =工2+：y2;⑵(一x—yY x2—2xy+y2.
2.用完全平方公式计算：
(1) (1+x)2； (2) {y— 3)2;
(3) (— 3x+ 2)z (4)
3.用完全平方公式计算： 2012.
4.填空：
(1) (a +_ _ _ )2=a2+iab+ib2;
(2) (2a + )2 4a2 + 4a6 + b2 ；
(3) (3x 一 )2 9工2 — \2xy +
(4)(—工一_ _ _ _ _ _ )2 = x2 -_ _ _ _ _ _
+1.
5.边长为a m (a > 6)的正方形花圃，如果边长减少6 m，那么花
圃的面积减少了多少？
平方差公式
1.如图8-6(1)，在边长为 <2的正方形纸片上剪去一个边长为的
小正方形，计算剩余部分的面积.
國-
I a
a b
i
a~b
I
1
1
1
1
1
1
1 i
r b \ a-b
⑵
(1)
图8 6
2.如图8 ~6(2)，将剩余部分剪开拼成一个长方形.计算这个长方形
的面积.
3.由上述操作，你能得到怎样的等式？
4.你还有其他方法计算剩余部分的面积吗？
39
8
.
^ 乘
法
公
式第8章整式乘法
一般地，对于任意的a，6，由多项式乘法法则可以得到
(<2 + 6) (a — 6) = a2 ~ ab ^ ab —b2 = a2 —b2.
于是，我们得到平方差公式(difference of square formula):
[a + b)[a — b) = a2 — b2 •
平方差公式有什么特点？
<7
用平方差公式计算：
(1) (5^: + 3;)(5x —; (2) (m + In') (2n — m)：
(3) (3^ — x) (― x — 3^).
(1) (5j: + 3;)(5^ —
(95+0)(30-0)
=(5工)2 — jy2
I I ! I
= 25i2—y;
(0 +0 )(0~0)
(2) (m + 2n) (2n 一 m)
=(2n + m) (2n — m)
m
4?72 —m ;
(3) (3y — x) (—x — 3》)
=(—x + 3^) (— sc — 3^)
=(一 x)2 — (3y)2
x gy.
用平方差公式计算： 301 X 299.
301 X 299 = (300 +1) X (300- 1) = 3002 - 12 = 89 999.
完全平方公式、平方差公式通常叫作乘法公式.
401.下面的计算是否正确？如有错误，请改正.
(1) Cx + 2)Cr — 2) =«x2 — 2;
(2) (^x+ y^iy — x) = x1 — y1 •
2.计算：
(1) (1+工)(1—工)；
(2) (a+ 46) (a-46)；
(3) (3 + a) (3 — a)；
⑷(如- 2：y)(-\x~~^y)-
3.填空：
(1) (x+ )(x—)=工2 —25;
(2) (m + ——) (m )—m2 — 36n
(3) (a+ 26)( )= 4b2-a2
(4)( _ _ _ )(1 — x2) = j:4 ~1.
计算：
(1)(工 一 3) (jc + 3) (x2 + 9); (2) (2工 + 3)2(2工一3)2
Et＞⑴ (. 一 3) (x + 3) (:c2 + 9)
(x2-9)Cx2+9)
81;
=X
(2) (2^ + 3)2(2a：-3)2
逆用积的乘方法则：
=[(2x + 3) (.2x一3)]2 a"bH= { ab) n
二(4x2 — 9)2
=16工4 一 72义2 + 81.
41
8
.
^ 乘
法
公
式第8章整式乘法
计算：
(1) (2a 6) (6 一 2a) 一 (a 一 36)2 ； (2) {xJryJrA：')^x-r] y — /\：').
(1) (2a -\- 6) (6 — 2a) — (a — 36)2
=(6 + 2a) (6 — 2a) — (a — 36)2
=b2 — 4a2 — (a2 — 6a6 + 962)
=b2 — 4a2 — a2 + 6a6 — %2
=— 5a2 + 6a6 — 862 ；
(2) (:r + 3; + 4) (:r + 3； — 4)
把.Y
=[(x + 3；)+4][(j: + 3；)—4] 整体.
=(x + 3； )2 — 42
=x2 -\- 2xy +y — 16.
■
如何用平方差公式计算U+^-3）（^：-3；+ 3）?
1^1
K
1.计算：
(1) a2 + (6 — a) (6 + a) ； (2) (a — 1) (a + 1) (a2 — 1)；
(3) (3x +l)2(3x — l)2; (4) {x — y-^r z){x — y — z).
2.计算：
(1) (2a — b)2 一4(a + 6)(a 一6);
(2) 3(工+3；)(—x—汐)一(3x+30(—Sx+y).
3.如图，4个完全相同的长方形围成一个正方
.
形•用不同的代数式表示图中阴影部分的面"
-
积，由此，你能得到怎样的等式？试用乘法^ .
」
公式说明这个等式成立
_ （第3题）
421.计算：
乘
(1) (2a + 36)2； (2) (2^:-Sy)2； 法
公
式
(3) 3 [\cl — 6)
(4)(—工一 2：y)2
2.用不同的代数式表示图中草坪的面积.由此，你能得到怎样的等
式？试用乘法公式说明这个等式成立.
a m
20 m
a m
20 m
(第2题) (第3题)
3.求图中梯形的面积.
4.计算：
(1) (2m — 3n) (2m + 3n); (2) (2a-56)(56 +2a)；
(3)( — 2 + 3工)(一 2 — 3工)； (4) ；^ — y) ：oc — y)
5.用乘法公式计算：
(1) 9992； (2) 1 004 X 996.
6.计算：
(1) Or— :y)2 — Cx+y)2;
(2) (3a 一6)2 + (6+ 3a)2;
(3) (2^— l)(2x+ l)(4x2 + l);
(4) (2m+ 3n)2(3n一 2m)2 ；
(5) 4(a + 2)2 — 7(a +3)(a 一 3) + 3(a — l)2;
(6) (2a 一 b 一 3) (2a + 6 一 3).
7.求下列代数式的值：
(1) (3 - 4^)(3+ 43；) +(3+4^)% 其中尸0.4；
(2) (2a + b)z — (3a — 6)2 + 5a(a — 6)，其中 <2 =鲁，6
4*
8.两个连续偶数的平方差一定是4的倍数吗？为什么？
43第8章整式乘法
杨輝三角
公元11世纪，北宋数学家贾宪(约1050)在他所著的数学著作中给
出了一张称为“开方作法本源”的三角形图表，原书佚失.13世纪，
南宋数学家杨辉(约13世纪中期)在《详解九章算法》一书中引用了此
图表，并指明此表为贾宪所用，后来得以流传，人们称这个图表为“贾
宪三角”或“杨辉三角”•
左心
积隅
S㊀
I㊀㊀
je㊁㊀
一实㊀㊂㊂㊀
乗㊀㊃㊅㊃㊀
I㊀㊄㊉㊉㊄一㊀
I㊀㊅⑧⑤®㊅㊀
命 变 以 廉 中 藏 表i4- I
者 乃 乃
需
除 之 Ifli 方 £ : 隅 算 鬆
«
该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方(左右)
的两数之和(图1).
(a-\-by=a+b
{a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3 a2+3a2b+3ab2+b3
{a+b)4=：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b/[
事实上，这个数表给出了 U+6)”(n==l，2, 3,…)的展开式的系数
规律•例如，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着(a+«2=a2+
2M+62展开式中的各项系数；第4行中的4个数1，3，3，1对应着
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2W展开式中的各项系数•
你能写出(a+6)S (a+b)6的展开式吗？
44L本章知识结构：
单项式乘单项式
整式的乘法 单项式乘多项式
完全平方公式
(a±W a2 士 2a6+62
多项式乘多项式
平方差公式
(a+6) (a b)— a2— b2
本章中，我们从计算图形面积人手，得到了单项式与单项式、
单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则和完全平方公式、平
方差公式，并且通过推演证实了这些法则和公式.
2.整式乘法的运算过程体现了转化的思想，把多项式的乘法转
化为单项式的乘积之和，把一些单项式的乘法转化为幂的运算，转
化的依据是乘法交换律、结合律与分配律.整式乘法的本质是整式
的恒等变形，在学习过程中，可以发展抽象能力、运算能力.
3.本章中，我们运用数形结合的思想在多项式乘法和长方形面
积之间建立了联系.请你解决问题：将边长分别为〜6, c的两个
直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成下图.试用
不同的方法计算这个图形的面积，你有什么发现？
45-复习巩固
1.计算：
(1) 3a26(—lab2) ； (2) (—Xsy)z (—2x2y2)；
(3) ix2yC3xy2z — 7xz) ； (4) (4a2 -\~ab ~b2)(i— 2ab)；
(5) (2x-\-3yX2x^7y)； (6) (a + 7)(a + l).
2.计算：
(1) (5 — 2a) (2a + 5) ； (2) (— 3^: + 2y) (—3x — 2y):
(3)(与2 - D ;
(4) 0. 5x + 了3/ ;
(5) (- 2a2~5by； (6) ■46 + -
3.求图中阴影部分的面积.
2m+ 4
(第3题) (第4题)
4.求图中正方形、三角形的面积.
5. —个长方体的高是8，它的底面是边长为3的正方形.如果
底面正方形的边长增加(2，那么它的体积增加了多少？
6.求下列代数式的值：
(1) aQ)—c)— b{c—d) +c(a—6) 9其中 <2=士，b=~ 9 c= 一寻；
(2) (x — 1)(工一 2) 一 3工Cr + 3) +2Cr + 2)Cx — 1)，其中 x =备.
467.用乘法公式计算：
(1) 2 0012 ； (2) 5002 -498 X 502.
-灵活运用
8. 已知(a + 6)2 = 7，(a — b)2 3.求 a2+62, 的值.
9.观察下列式子：
2X4 + 1 = 9，
4 X 6 +1 = 25，
6 X 8 + 1 = 49，
探索以上式子的规律，试写出第”个等式，并说明第n个等
式成立•
10. (1)通过计算，探索规律：
152 = 225,可写成 100 X 1 X(1 + 1)+25,
252 = 625，可写成 100 X 2 X (2 + 1) +25，
352 = 1 225,可写成 100 X 3 X(3 + 1)+25，
452 = 2 025,可写成 100 X4X(4 + 1)+25,
752 = 5 625,可写成_
852 - 7 225,可写成
(2)说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25
整除.
-探索研究
11.两个连续奇数的平方差一定是8的倍数吗？为什么？
12.如何用图形的面积表示(a — by lab^b1 ?
47平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式.
本章将在小学学习的基础上进一步研究这些图形变
换的性质和应用.
lill
我们可以通过折纸、剪纸、用方格纸画图、尺
规作图等表示图形的变换过程，观察变换前后图形
的关系，探索图形变换的性质.
If
图形的变换有助于我们从运动的角度来研究几
何，发现自然界和现实生活中的对称美.图形的
变换也是艺术、设计的常用工具.
_ _折纸与剪纸是中国民间传统艺术，其中蕴含着丰富的图形变换
知识.
OC1
的
mt
O
将一张长方形纸片按下图方式对折、画图、剪纸、展开:
CU
第1次对折 第2次对折 画图、剪纸
如果只对折一次，那么得到的剪纸是什么图案？
请仿照上述方法，用一张彩纸设计
并剪出一个图案.
怎样折叠一张长方形纸片可以剪出
右图？
你还知道哪些中国民间传统艺术？其中蕴含怎样的数学知
识？请与同学交流.第9章图形的变换
gz m
平移的概念
生活中，常常可见物体或人沿一定方向平行移动的情景
图9-1表示的是画平行线的过程，其
中哪些图形的位置发生了变化？移动前后
的图形有什么关系？
一般地，在平面内，将一个图形沿直
线的某个方向平行移动一定的距离后得到
另一个图形的平面变换叫作平移(t mn si a _
tion).
如图9-2,平移AABC得到△A/B/C/，
其中点#是点A的对应点，线段AA7是线
图9-2
段AJB的对应线段，A/B/ = AB 是,
射线55'的方向就是平
ZABC的对应角，ZA/B/C/ =ZABC.
移的方向，成段BBr的
长度就是平移的距离.
50由平移的定义可知:
平
平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也
移
相等
在图9-3中，哪些三角形可以由AABC平移得到？写出平移
<7 前后的对应点、对应边与对应角.
MM
图9-3
iHl- 如图9-4,画出将线段AB向右平移5个单位长度后的图形
n !
1
；/?
/
/
z1
1
h _
I
r A
1
I
图9-4
如图9 - 5，分别画出点A，B向右平移5个单位长度后的点A <
连接At线段Af即为所求.
/ /
/ /
要画出一条线段平移后的
/ /
对应线段，只需画出两个
/ / 端点的对应点，连接这两
A A， 个对应点就得到对应线段.！>
图9-5第9章图形的变换
在图9-6中，沿AA$向平移AABC，使点A移动到点义^勺
位置，画出平移后的AA/B/C7,并讨论对应点连线段AA7, BB\
OT之间的关系.
平移一个三角形的
关键是找到三个顶
点的对应点.
图9 —6
1.图中哪些图形可以由其他图形平移得到？写出平移前后的
两个对应图形.
B
A
（第1题） （第2题）
2.在图中画出线段AB向左平移4个单位长度后得到的线段
A%%再画出线段A%7向上平移3个单位长度后得到的线
段A"B" •
52平移的基本性质
平
移
如图9-7,沿AV的方向平移AABC，使点A移动到点
mmmmk ，的位置，得到AA/B/C'请你分别连接BB7, CC\线段
BB\or与AA/有怎样的关系？
A，
图9-7
对应点的平移方向都与 平移的距离是线段
相同，所以BB，II AAf , 的长，所以=CC，
< CC i1 AA，• >
/f
\>/i
-般地，图形的平移具有如下性质：
平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行（或在同一
条直线上）且相等.
53第9章图形的变换
如图9-8,在长方形AJBCD中，点P在边AB上，连接DP，平移
△APD，得到AByc.
(1)写出△APD平移后的对应顶点、对应线段和对应角；
(2)写出图中与尸〆相等的线段、与ZAPD相等的角.
图9 —8
(1)点A，P，D的对应点分别为B，〆，C; AP，PD，DA的对
应线段分别为B〆，P'C,CJ3; ZA，ZAPD，ZADP的对
应角分别为ZCB〆，ZBP^C^ZBCP^
(2)与相等的线段：PP'=AB=DC；
与ZAPD 相等的角：ZAPD=ZBPfC=ZCDP.
如图9-9,在四边形ABCD中，AD//BC.平移四边形ABCD
<7
得到四边形你能找到哪些平行且相等的线段？画出来
并用图中的字母表示.
a, zr
\
A D \
\
\ \
\
B， C
B C
图9 —9
54在图9-10中，平移线段AB，使点A移到点A/的位置，画出平移
后的线段. 平
移
图9-10 图9- 11
如图9-11，连接AA7,过点B画BB7/AA、并使得
连接线段即为所求.
在例3中，设D为线段AB的中点，线段平移到A/fi/后，
点D的对应点是哪一个点？
1.如图，平移四边形ABCD，得到四边形•你能找
到哪些平行且相等的线段？画出来并用图中的字母表示•
「1—1 1
C
\
D \ Cf
/ \
\ D \
/ /
\
A B /
—
a!
（第1题）
2.如图，在平行四边形ABCD
中，A£丄BC，垂足为£，平
移AABE，使点B移到点C的
位置，画出平移后的图形，并s
（第2题）
写出相等的线段和相等的角.
55第9章图形的变换
图中的四个小三角形都是边长为1的等边三角形.AABC可以平
移到图中哪几个三角形的位置？分别写出平移前后的对应点、对
应边和对应角.
A
F \
B C
B
（第1题） （第2题）
2.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，平移AABC，使点A
先移到点A/的位置，再移到点A"的位置.
（1）画出这两次平移得到的三角形.
（2）能否只通过一次平移AABC，使点A移到点A〃的位置？若
可以，说明平移的方向和距离.
3.平移图中的△ABC，使点A移到点的位置，画出平移后的三角形.
A
C
C D
（第3题） （第4题）
4.平移图中的正六边形AJBCDEF，使点C移到点£的位置，画出
平移后的正六边形.
5.用涂色的方式在图中画出一组平移前后的图形.
（第5题）
56轴沏黼
轴
对
轴对称的概念
轴对称是自然界和日常生活中的常见现象
L.在一张纸上滴一滴墨汁，将纸对折、压平，然后重新展开，你有
什么发现？
将一张透明纸对折，在折痕的一边画一个三角形，在折痕的另一
边描出这个三角形，展开透明纸，你有什么发现？
一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的
平面变换叫作轴对祢(1
ine symmetry) 9 这条直线叫作对称轴(axis of
、:，此时称这两个图形成轴对称.
如图9-12, AABC 和△A/B/C/
关于直线/对称，直线/是对称轴，
点A的对应点是/，也叫作对称点，
线段AW是线段AB的对应线段，
A'B'=AB;//是ZA的对应角，
图9-12
ZAr = ZA.
由轴对称的定义可知：
成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等.
57第9章图形的变换
(1)在图9-13 (1)中，哪些三角形可以由AABC经过轴对称
<7
变换得到？写出轴对称变换前后的对应边和对应角.
(2)图9-13 (2)中的两个三角形成轴对称，你能找到它们的
对称轴吗？
(1) (2)
图9-13
如图9-14,点O在直线Z上，格点A在直线外.
画出线段OA关于直线Z的对称线段.
o 1
\
A
利用网格确定线段端点的对称点；对称轴上的点的
图9-14
对称点是其自身•
如图9-15，画点A关于直线/的对称点B，连接
OB，线段OB即为所求.
图9-15
K
1.如图，在方格纸上画出AABC关于直线Z对称的三角形，
写出对应边与对应角.
國
A
/
/
B C
1
(第1题) (第2题)
在格点纸上以/为对称轴，画出给定图形的对称图形.
581.在长方形透明纸上画线段人B •折叠纸片，使点A，B重合.
轴
对
轉 1
A B
2.展开纸片，记折痕所在的直线为/，将Z与线段的交点记为点
0，在/上任取一点C，连接CA9 CB.
3. CA和CB相等吗？若点D满足DA =DB，点D—定在直线Z上
吗？ AB与CD有怎样的位置关系？
在上述活动中，直线Z丄AB，垂足为0，KAO=OB.像这样，
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（perpen die-
ular bisector），简称中垂线.
如图9-16,如果直线Z是线段的垂直平分
线，点O为垂足，那么线段OA与QB关于Z成轴对^ 0 B
称，A，B为对称点，点0的对称点是其自身.
图9-16
在上述活动得到的图形中，ACOA与ACOB关于直线Z成轴对
<7
称吗？还可以找出哪些成轴对称的三角形？
59第9章图形的变换
尺规作图：如图9-17,已知线段AB，作线段AB的垂直平分线
A
图9-17
由上述活动得到启发，要作线段的垂
直平分线/，关键是确定点C和点D的位
置.因为CA与CB，DA与DB都关于Z
对称，所以CA= CB，DA=DB.为了
作图方便，可以取CA=DA.
①分别以点A，点B为圆心，取大于
长为半径，作两段相交的弧，
交点记为C，D.
②作直线CD，与AB交于点O.
直线CD即为所求.
为什么弧的半径要
大于
在上面尺规作图得到的图形中，你能画出哪些以CD为对称轴
的对应线段？直线是线段CD的垂直平分线吗？
圓
60 得到一个一元一次
方程.
由①+②，得
= 6.
x
将^ 7代入①，得
▽ + 2：y = 1.
3^
X
所以原方程组的解是
y
把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别相加
或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解
一兀一次方程.这种解方程组的方法叫作誦减消元法(elimination by
addition or subtraction)，简称加减法.
94① = 4,
用加减法解方程组
②
2x — 3^ = — 5.
①X3,得
③ 15工— 6^ — 12.
②X2,得
④
4x — 6^ = — 10.
③ 一④，得
设法使两+方程中含
y的项系数相等.
llx = 22.
x = 2.
将= 2代入①，得
5X2 一 2y — 4.
3； = 3.
1 = 2，
所以原方程组的解是
:V = 3.
可以消去未知数解例2中的方程组吗？
<7
國
N
用加减法解下列方程组：
\2x-\- y = 32, f 3x — y = — 4，
画 ⑴ (2)
[ 2^: — ^ — 0 ； [x — 2y = —3；
( 6工 + 5之= 25， ( 35 + 4^ = 7,
⑶
(4)
{3xJt-4：z = 20；
[ 3^ — 25 = 1.
95
1
0
.
3 解
二
元
I 次
方
程
组第10章二元一次方程组
1.用代入法解下列方程组：
^ Zx-^riy = 5^ Sy = 7 +工，
(1) (2)
x = 1 — y; 2x = 5.y；
^ u-\~v = 10, Sx + 2z = 11，
(3) (4)
3u — 2v = 5; ?>x — 5z = 4.
用加减法解下列方程组:
3j： — 4y = l9 3^ + 53； 二25,
(1) (2)
5sc-h2y = 6； lx + 3：y =15；
16,
2j： — 3y = 89 "2
(3) (4)
lx — by ^ — 5 ；
5.
"3 4
3.在等式：y = (2x + 6((2，6是常数)中，当时，y= 6；当：
—10时，x= — 3•求 <2，6的值.
:
96I
三元一 Hi方酲组
《九章算术》“方程”章第一个问题大
意是：上等稻三捆，中等稻二捆，下等
稻一捆，共收获粮食三十九斗；上等稻 二捆，中等稻三捆，下等稻一捆，共收
获粮食三十四斗；上等稻一捆，中等稻
二捆，下等稻三捆，共收获粮食二十六 斗.求上等稻、中等稻、下等稻各一捆
分别收获多少斗粮食.如何解决这个
问题？
设上等稻每捆收获I斗粮食，中等稻每捆收获:y斗粮食，下等
稻每捆收获％斗粮食，可以得到关于 > %的三个方程：
a
?>xJr2yJr 9
2x+33^+^==34?
xJr2y-\~?)Z=2& .
这个问题的解必须同时满足上面的三个方程，把三个方程联立
在一起，可写成
①
3x + 2^y + 之二39，
②
2xJr3yJrz = 34：^
③
.xJr2yJr3z = 26.
像这样，把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成
了一个三元一次方程组，解出这个三元一次方程组就能得到问题的解.
标有*的内容为选学内容.
97
1
0
.
4 三
元
I 次
方
程
组
二 石|<« ^ -/L
果上^ n 下承獅 街
禾 鍺 卷 一 策中f '- - - M 第 八 *二 卜 -lf 尽 ；粟 Yn _ iE 內
斗
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十 六
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1.':
…
承 ：
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斗 之
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^ ^
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: : ; ^ ? 株r£ 修 如 物
數
程
之 ,WM . ^ . . 1^
ii.
^ !
//
Ji第10章二元一次方程组
^xJr2y-\-z = 39, ①
解方程组 2x + 3^y + 2: = 34? ②
x-\-2y-\~i，z — 26. ③
①一②可以消去h再由方程①③或②③消去:^，这样原方程组就转
化为关于：?:，：V的二元一次方程组了.
①一②，得
x — ^ — 5. ④
②X3-③，得
5x-\-7y = 76. ⑤
^X — y = 5,
④与⑤联立，得方程组
[5x + 7y
76.
37
x T9
解这个方程组，得
17
尸
把i =誓，y =呈代人①，得z 11
T
37
X T9
所以原方程组的解是 17
尸了，
11
Z =—
4 -
用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，就可以把解三元
一次方程组转化为解二元一次方程组•
K 解下列方程组：
XJryJrZ—22^ 2x — y —之= 0，
國 (1) < 3x+ ；y = 47， (2) xJrz = 5^
x 4z + 2; Sx-j-y — 2z = 1.
981
1.解下列方程组： 9
4
三
3x + z = 10， 4^ + 3之= 9,
元
mm （1） < x-^-Zy — z = 6, (2) x — 2y -h 5z = 11，
、工十3； +之=12； — 6yJr7z= 13.
2. 在等式 +6>x+c（（2，6，c 是常数）
中，当一 1时，^ ^ 5；当时，
y=l;当:时，y=2.求<2, 6, c 的值.
10 14
3.在图中空白框内填入适当的数，使得
每条边上首尾的两数之和等于中间
的数.
（第3题）
“三根导线”的故事
上海市某饭店的一位电工在工作中发现，10楼有三根导线的电流
大小有差异.他怀疑这三根导线的电阻不同，但用万用表测量一根导线
的电阻时，需要把这根导线的两端连接到万用表上，由于这三根导线一
端在地下室，一端在10楼，用万用表无法测量如此长的导线的电阻.
如果你是电工，会怎么做呢？
这位电工的想法是把三根导线在 a
10楼上依次两两相连接，然后在地下
室测量连接后的导线电阻（图1）•设三
根导线X，Y，Z的电阻分别是I，7，
X Y Z X Y Z X Y Z
z，连接导线X，Y后测得的电阻之和
(1) (2) (3)
为a，连接导线Y，Z后测得的电阻之
图1
和为6,连接导线X，Z后测得的电阻
x + y
之和为c，于是得到一个三元 •次方程组＜ :V+之:
b，解这个方程组，
c.
即得到三根导线的电阻.
巧用方程组的知识，常常能解决生活中的一些难题！
99
I 次
方
程
组第10章二元一次方程组
用: 饫方酲组瞄决间题
■ JL
某水果摊在售卖菠萝和哈密瓜，
林老师用78元购买了 2个菠萝、
1个哈密瓜，叶老师用84元购买了
1个菠萝、2个哈密瓜.菠萝和
哈密瓜分别是多少元一个？
问题中要求的未知量有两个：哈密瓜和菠萝的单价.可以设两
个未知数，列二元一次方程组求解.
问题中的等量关系是
2个菠萝的价格+1个哈密瓜的价格=78元；
1个菠萝的价格+2个哈密瓜的价格=84元.
设菠萝z元/个，哈密瓜^元/个.
1.设两个合适的未知数
根据题意，得
j 2x + ^ — 78， 2.根据问题中的等量关系列出
\x-\-2y = 84.
二元一次方程组
解这个方程组，得
J x 二24，
U = 30. 3. 解二元一次方程组
所以菠萝24元/个，哈密瓜30元/个.
4.写出答案
100在班级联欢会筹备工作中，小明负责购买奖品，他用420元购买吉
祥物“冰墩墩”和“雪容融”共10个.已知“冰墩墩” 48元/个， 用
二
“雪容融” 38元/个，小明购买两种吉祥物各几个？ 元
设购买“冰墩墩” ：r个，“雪容融” y个.可以列表分析数量关系：
类型 “冰墩墩” “雪容融” 合计
单价/ （元/个）
48 38
一
个数/个
10
X :y
花费/元
48x 883； 420
设购买“冰墩墩” I个，“雪容融” 7个.
根据题意，得
'x-\- y = 10，
、48工 + 38^ ^ 420 .
解这个方程组，得
! 3^ = 6.
答：小明购买“冰墩墩” 4个，“雪容融” 6个•
用二元一次方程组解决问题，通常要先设两个合适的未知数，
然后根据实际问题中的两个等量关系列出方程组，解这个方程组，
并写出问题的答案.其中，列表是梳理、分析问题中等量关系的常
用策略.
1.《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：五头牛和两只
羊，价值十两金；两头牛和五只羊，价值八两金.一头牛、
画 一只羊分别价值几两金？请你解决这个问题•
2.某景区停车场的收费标准：每辆中型汽车8元/次，每辆小型汽
车6元/次.现在停车场内停有50辆中、小型汽车，这些车共
缴纳停车费360元，中、小型汽车各有多少辆？
101
I 次
方
程
组
解
决
问
题
10.5释㈣柳，霄
第10章二元一次方程组
某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水
不超过180 m3时，按基本水价收费；超过180 m3时，超过的部
分加价收费.该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表
所示：
居民 用水量/m3 水费/元
甲户
190 970
乙户
230 1 250
求该市居民用水的两种水价.
设该市居民用水基本水价为工元/m3，超过180 m3的部分水价为
:y元/m3•可以列表分析数量关系：
居民 基本用水水费/ (元/m3) 超过180 m3的部分水费/ (元/m3) 合计水费/元
甲户
180工 (190—180) ^ 970
乙户
180x (230一180) y 1 250
设该市居民用水的基本水价为I元/m3，超过180 m3的部分水价为
:y 元/m3 •
根据题意，得
1180：c+(190 — 180)3； = 970，
1180x + (230 一 180)5 = 1 250.
解这个方程组，得
[x = 5,
U = 7.
答：该市居民用水的基本水价为5元/m3,超过180 m3的部分水价
#为7元/m3 •
々 在例2中，如果某户居民去年交水费935元，那么该户居民的
用水量为多少立方米？
102^/劳动周中，某小组计划做一批“中国结”，如果
每人做5个，那么可比计划多做9个；如果每人
做4个，那么将比计划少做15个.该小组共有多
少人？计划做多少个“中国结”？
可
设该小组共有x人，计划做:y个“中国结’
以列表分析数量关系：
方案 每人做的个数/个 做的总个数/个 与计划数比较
多9个
方案一 5 bx
方案二 4 ix 少15个
设该小组共有I人，计划做^个“中国结” •
根据题意，得
bx — y — 9^
y — Ax = 15.
解这个方程组，得
J x = 24?
iy = 111.
答：该小组共有24人，计划做111个“中国结’
1.某域市规定•.出租车起步价允许行驶的最远路程为3 km，超
过3 km的部分按路程（不足1 km按1 km计算）另收费•甲乘
画
坐这种出租车行驶了 11km，付了 20元.乙乘坐这种出租车
行驶了 23km，付了 38元.这种出租车的起步价是多少元？
超过3 km后每千米收费多少元？
2.班级图书管理员从学校图书馆借来一批图书，如果全班每人
分3本，那么剩佘20本；如果全班每人分4本，那么还缺25
本.这个班有多少名学生？这批图书共有多少本？
\\\103
1
0
.
5 用
二
元
I
次
方
程
组
解
决
问
题第10章二元一次方程组
3.阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，
五只没去处，五只栖一树，闲了一裸树，请你仔细数，鸦树
各几何?”求诗句中鸦有多少只，树有多少棵.
某铁路桥长2 120 m，现有一列高铁列车从桥上通过.某人测得该
列车从开始上桥到完全过桥共用了 31 s，整列列车完全在桥上的时
间共22 s.求列车的平均速度和长度.
设列车的平均速度为x m/s，列车的长度为y m .可以画出如图
10-1所示的线形示意图.分析数量关系：
开始
上桥 :m/s, 31 :
^agiii
2 120 m
x m/s, 22 s
开始
2 1201 下桥
图10 1
由图10-1可知：
列车31 S行驶的路程=桥长+列车长，
列车22 s行驶的路程=桥长一列车长.
设列车的平均速度为x m/s,列车的长度为y m.
根据题意，得
31工= 2 120 +），
22x=2 120 —^y.
解这个方程组，得
Ji = 80，
1y=360.
答：列车的平均速度为80 m/s，列车的长度为360 m.
104小明、小党在400 m的环形跑道上跑步，
他们于同一个起点同时出发.如果同向
跑，那么经过200 s两人第一次相遇；如
果反向跑，那么经过40 s两人第一次相
遇.若小明比小亮跑得快，则小明、小
亮跑步的平均速度分别是多少？
设小明的平均速度是x m/s，小亮的平均速度是y m/s，可以列表
如下：
跑步方式 小明的路程/m 小亮的路程/m 相等关系
同向跑
200x 200：y ZOOx— 200^y=400
反向跑 iOx 40^ 40x+40^^400
设小明的平均速度是im/s，小亮的平均速度是y m/s.
根据题意，得
| 20Cb:—200^—400,
[ 40*3：+403^=400 .
解这个方程组，得
I 6 ?
.答：小明的平均速度是6 m/s，小亮的平均速度是4 m/s.
1.小红和姐姐相距1.6 km.如果她们同时出发且相向而行，那
么经过10 min两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红
画
先出发lOmin，那么在小红出发后15 min姐姐追上小红•小
红、姐姐的平均速度分别是多少？
105
1
0
.
5 用
二
元
I
次
方
程
组
解
决
问
题第10章二元一次方程组
A，B两地相距96 km，一艘船若从A地出发，则顺水航行
4h到达B地；若从B地出发，则逆水航行6h到达A地.求
该船在静水中航行的平均速度和水流平均速度.
1.某次篮球、排球比赛，共有24个队、260名运动员参加，其中篮
球队每队12人，排球队每队10人.参赛的篮球队、排球队各有
多少个？
mm
2.某快递公司使用机器人进行包裹分栋，若甲机器人工作2 h，乙
机器人工作4 h，一共可以分栋1 600件包裹；若甲机器人工作
3h，乙机器人工作2 h，一共可以分栋1 400件包裹.求甲、乙
两台机器人每小时各分拣多少件包裹.
（第2题） （第3题）
3.妈妈过生日时，小丽准备给妈妈买一束向日葵和康乃馨的混搭花
束.已知2枝向日葵和7枝康乃馨共需44元，3枝向日葵和8枝
康乃馨共需56元.小丽想购买4枝向日葵和6枝康乃馨，需要
多少元？
4.有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿
多十四，每人八竿多齐足•”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩
耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰
好用完.牧童有多少人，竹竿有多少根？请你解决这个问题•
1065.如图，CD//EF,AB 与 CD，相交，Zl= Cr+2：v)°，Z2=
ax-2y)%Z^=(2^+10)°.求 X，:y 的值.
Di ,F
A B
C1 IE
（第5题）
6. 一科考队乘坐汽车去某国家公园考察.汽车先以60 km/h的平
均速度在平路上行驶，后又以30 km/h的平均速度爬坡到达目的
地，共用了 6.5 h;返回时，汽车以40 km/h的平均速度下坡，
又以50 km/h的平均速度在平路上行驶，共用了 6h.出发地距该
国家公园有多远？
7. —玻璃厂熔炼玻璃液，其主要原料由石英砂和长石粉混合而成，
要求原料中含二氧化硅70% •经过化验，石英砂中含二氧化硅
95%，长石粉中含二氧化硅63% •要配制3. 2 t原料，需石英砂、
长石粉各多少吨？
8.小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个
两位数；lh后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位
数恰好互换了两个数字的位置；再过lh，看到里程碑上的数
是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0所得的三
位数.这三块里程碑上的数各是多少？
107
1
0
.
5 用
二
元
I 次
方
程
组
解
决
问
题本章知识结构：
解法
i兀一次方程 二元一次方程组
应用
本章在已经学过的一元一次方程的基础上，从具体实例引入二
元一次方程（组）的概念，探讨二元一次方程组的解法，并应用二
元一次方程组解决一些实际问题.
2.解方程组的基本思路是消元，将解三元一次方程组转化为解
二元一次方程组，将解二元一次方程组转化为解一元一次方程•在
解方程的过程中感悟转化与化归的思想，提升运算能力.
三元一次 代入消元或加减消元 j二兀一次 代入消元或加减消元 一元一次
方程组 转化 1方程组 转化 方程
3.用二元一次方程组解决问题的过程，可以表示如下：
找等量关系
实际问题
元一次方程组
设未知数
解方程组
实际问题的解 .元一次方程组的解
解释、检验
在利用方程组解决问题时，列表、画示意图是分析等量关系的
常用策略.学习本章有助于我们学会分析问题、解决问题，进一步
形成模型观念.
4. 一个二元一次方程组有可能无解或有无穷多个解吗？请举例
说明.
108Hi
隱暴 彳
一复习巩固
1.把二元一次方程+ 3^ — 4 = 0分别写成下列形式：
(1)用含工的代数式表示:y; (2)用含：y的代数式表示工•
2.方程2^-33； = 1有没有正整数解？如果有，写出其中的两个
3.解下列方程组：
'x-\-2y = 0, 5工+ 6^y = 16,
(1) (2)
、3工 + 4, = 6; 7*2： — = 5;
9工一11》+ 1 = 0? 0. 8x — 0. 9^ = 2,
(3) (4)
, 4^： — 5^ ~ 3 = 0 ； 6x — 83； = 2. 5 ；
2,y + 4 \x-\- y — 300,
x
⑹ i 5%1 + 53%) = 300 X 25%.
(5)
Zx — 4
y
\?>x — ay = 16, \x = 7,
4.已知关于工，3；的方程组彳 的解是 求“，
{2xJrby = 15 = 1*
b的值•
5.已知工与：y互为相反数，且2*x—ysS.求:r，：y的值.
6.已知梯形的面积是42，高是6，下底比上底的2倍多2•求
梯形上底、下底的长.
7.某饮品店果汁的价格如下表所示.
杯型 容量 价格
小杯 8元/杯
350 mL
大杯 500 mL 10元/杯
某天该店果汁的总销量为57 L，收入为1 200元，求这天该
店小杯果汁、大杯果汁各卖了多少杯.
\\\1098.港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门
的超大型跨海通道，其中技术难度最
高的是桥梁、隧道、人工岛组合的主
体工程.已知在这个主体工程中，隧
道长度比桥隧总长的4少0.7 km，桥
（第8题）
梁长度比桥隧总长的一半多8. 1 km.
求主体工程中的桥梁长度和隧道长度.
把一堆笔记本分给学生，如果每名学生分4本，那么多4
本；如果每名学生分5本，那么最后1名学生只有3本.有
多少名学生？有多少本笔记本？
10.如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，ZG4D = 9(T，ZB =
Z.ACB =x\Z.ACD = = (x —20)°.求《x，3；的值.
—i
0
^
.
（第10题） （第11题）
11.如图，宽为50 cm的大长方形是由10个相同的小长方形拼
成的，求其中一个小长方形的面积.
-灵活运用
12. A，B两地之间的路程是36 km，小丽从A地骑自行车去B
地，小明从B地骑自行车去A地，两人同时出发，相向
而行，经过lh后两人相遇；再过0. 5 h，小丽还需骑行的
路程是小明的2倍.小丽、小明骑车的平均速度分别是
多少？
110///13.学校为书法社团的10名同学购买毛笔和墨汁，如果每人各
买2支毛笔和1瓶墨汁，那么需按零售价购买，共支付380
元；如果每人各买3支毛笔和2瓶墨汁，那么可按批发价
购买，共支付480元.已知毛笔的批发价比零售价低3元/
支，墨汁的批发价比零售价低2元/瓶.毛笔和墨汁的批发
价各是多少？
-探索研究
14.探索下列二元一次方程组解的情况：
!a：—y = l9 lj：—y = l9 /、
（1） （2） （3） ] o ^
[ 2j：—y=3； i 2j：—2y=2； [ 2j：~2y=4.
15.现有一块质量为10 kg的甲、乙两种金属的合金.用甲种金
属若干与这块合金重新熔炼，所得的新合金中甲种金属占3
份，乙种金属占2份.如果再用相同数量的甲种金属与新
合金重新熔炼，那么所得合金中甲种金属占7份，乙种金
属占3份.每次所用的甲种金属有多少？原来这块合金中
含甲种金属的百分比是多少？
16.某水果批发市场香蕉的
价格如图所示：
某人两次共购买香蕉
o 香蕉
50 kg （第二次多于第一
Q 20 kg以下（含20 kg ） 6元/kg
O 20 kg以上40 kg以下 5元/kg
次），共付款264元，他
O 40 kg以上（含40 kg ） 4元/kg
第一次、第二次分别购
（第16题）
买了多少香蕉？
17.箱子里有若干个红球和白球，小明、小丽分别按下列方式
取球：小明的取法是每次取4个红球、3个白球，连续取了
几次后（不放回），箱子里只剩下6个红球；小丽的取法是
每次取6个红球、3个白球，连续取了几次后（不放回），箱
子里只剩下9个白球.计算箱子里红球、白球各有多少
个•你能用不同的方法解决这个问题吗？
111综合与实践
膳食结构与热量平衡
•、问题情境
对每一个人来说，膳食结构至关重要，它直接影响人们的身体
健康.你能针对不同人群，设计科学的膳食方案吗？
@中国居民平衡膳食宝塔(2022)
Chinese Food Guide Pagoda(2022)
盐 <5克
.(fi 25-30克
———
_j. 奶及奶别品 300- 500克
大豆及坚果类 25~35克
动物性食物 120~200克
■■ —每周至少2次水产品
——每天一个鸡蛋
蔬菜类 300~500克
水果类 200~350克
谷类 200~300克
一全谷物和杂豆 5CM50克
薯类 5CM00克
I 500-1 700毫升
每天活动3 000步
图片来源：中国营养学会.
二、学习任务
1.为健美运动员配制早餐.
某健美运动员在赛前第10周至赛前第3周训练早餐的饮食计划
为蛋清、燕麦、500 mL水和其他营养补充剂.他的蛋白质需求为
45 g，碳水化合物需求为100 g.请你根据蛋清和燕麦的营养成分表
112（表1），确定他的早餐中蛋清和燕麦的质量.
表1蛋清和燕麦的营养成分
食物 蛋白质 碳水化合物
100 g蛋清 11.6 g 3.1 g
100 g燕麦 14.4 g 65.3 g
2.进一步探究健美运动员的膳食计划•
开展小组活动，根据某健美运动员在赛前第10周至赛前第3周
的午餐与晚餐的营养摄入要求（表2）和食物的营养成分表（表3），
为他配制午餐和晚餐.
表2某健美运动员午餐和晚餐的营养摄入
用餐 蛋白质 碳水化合物 脂肪
午餐
50 g 60 g 8 g
晚餐
60 g 140 g 10 g
表3食物的营养成分
食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪
100 g米饭 3.0 g 24.0 g 0.3 g 100 g鸡胸肉 19.4 g 2.5 g 5.0 g
100 g馒头 7.0g 45.0 g l.Og 100 g牛肉 19.9 g 2.0 g 4.2 g
100 g蔬菜 1.0 g 4. 0 g 0. 4 g 100 g蛋清 11.6 g 3.1 g 0. 1 g
记录自己一天的饮食情况，通过查阅相关资料，估计自己一天
摄入多少能量、蛋白质、碳水化合物和脂肪，提出数学问题并与同
学交流.
1.查阅资料，了解各种运动每小时大约消耗多少热量，并根据
自己的运动时间，估计每天所消耗的热量.
2.进一步了解膳食结构与热量平衡的知识，为自己制订一个合
理的膳食和运动计划.
113一元一次不等式
不等式是表达两个数量之间不等关系的数学工
具•本章将学习不等式的概念、基本性质以及一元
一次不等式（组）的概念、解法和应用.
不等式的基本性质是解决不等式问题的基本依
v A
据，与等式的基本性质既有联系又有区别.在学
习一元一次不等式时，可以与一元一次方程进行类
比，要注意它们之间的不同之处.
不等关系在现实世界中普遍存在.一元一次
x_h20
e.
; , ^
:
猶 i s i ai l
8 缓
« i -^-?
1
:; -r
-
^s ; 卜
Kit....:
.. , I .• - •-. - ;
^ ^ s r
“欢乐夏日”游泳馆即将开业了，游泳馆夏季的收费标准如下
图所示：
__
-!
肩游渌馆
| 会员：会员费150元/人
游泳10元/次
非会员：游泳30元/次
e.
填写下表:
游泳次数
… 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
会员
总花费/元 … 190 …
非会员
… 120 …
小明今年夏季计划游泳10次，他选择哪种收费方式比较
合适？
你会选择哪种收费方式？说说你的理由•
w :- ,.
^
、< ^
\^; « ^?^ ^ ^凑:-
'*逢 >\ 〉 ''第11章一元一次不等式
Tilsit
不等式的概念
我们知道，任意两个数a，6—定满足下列三种关系中的一种：
Ci^>b ^ ci^^，b ，
其中“=”表示相等关系.“>” “<”分别表示“大于” “小于”
关系，它们都属于不等关系.a和6不相等也可以记为W，•
数量之间的不等关系普遍存在.
如图11-1，左边托盘中物体的质量小于右边托盘中物体的质
量，若设茶包的质量为:rg，则有x+ 20<50或50>:r+20.
图 11 -1 图 11-2
图11-2中的交通图标表7K该公路某路段上汽车的最高时速不
得超过80 km.如果一辆汽车的行驶速度是a km/h，那么a与80之
间的关系应满足a <80.这里表示a<80或者a=80，读作
“a小于等于80”，也可读作“a不大于80”.
U —6)2是一个非负数，即((2 —6)2 >0.
数量之间的不等关系，可以用数学式子来表示.
像 X十20<50，a<80，—6)2>0这样，用不等号(>，<，
>，<)表示数量之间关系的式子叫作不等式(imquaHu ),
116根据数的大小关系的传递性，可以得到:
不
等
如果a>6，b>c，那么0>0. 式
如果 ei<6，b9;
(4) /i>l. 79.
实际生活中有哪些表不不等关系的日常用语？
<7
用不等式表示下列数量之间的关系：
(1) 一辆48座的客车载有游客人，途中上来2人后，仍有空
座位；
(2)某天平均气温是〖°C，最低气温是一2°C，最高气温是6°C;
(3)小丽种了一棵高70 cm的小树，假设小树平均每周长高0. 5 cm，
sc周后这棵小树的高度不超过100 cm.
(1) x+2<48；
(2) t^>—2日 i<16；
(3) 0. 5jc+70<100.
\\\117第11章一元一次不等式
1.用不等式表示：
(1) a是负数； (2) a不小于4;
國
(3) x不等于0; (4) x与5的和大于2;
(5) x在数轴上的对应点在一2与3之间；
(6)x与y的差是非负数.
2.根据下列含有“最”字的实例，写出不等式：
(1)某动车组列车时速汰km/h)最高可达400 km/h；
(2)某班学生的身高/i(m)最高为1. 80 m；
(3)某班学生从家到校的路程Kkm)最短是1km.
3.用不等式表示下列数量关系：
(1)在章头活动中，小明计划游泳x次，选择办理会员卡更
合算；
(2)按下列方式搭“小鱼”，用60根火柴棒最多可搭^条
“小鱼”.
\ \ \ \ \ \
/ / / / /
［第3 (2)题］
不等式的基本性质
我们已经学过等式的基本性质，类似地，不等式具有什么性质？
小明的年龄比小丽大. 3年
后或3年前小明与小丽的年龄之
间有什么关系？如何用式子表示？
118设今年小明a岁，小丽6岁，那么
3年后小明与小丽的年龄关系可以表示为a +3>6+ 3；
不
等
3年前小明与小丽的年龄关系可以表示为a-3>b-3. 式
-般地，我们有不等式的基本性质1:
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方
向不变•
可以用符号表示为：如果“>6，那么“+^：>6 +6*或“一^：>
b — c.
如果a—6<0,那么是否一定有a<6?请说明理由.
如果a—63” “一5<—4” 为例进行探究•
用不等号填空：
EHi 不等式 在不等式两边乘（或除以）正数 在不等式两边乘（或除以）负数
5X2 3X2 5X (-2) 3X (-2)
5>3
5+2 3+2 5+ (—2) 3+ (—2)
(―5) X3 (―4) X3 (—5) X (—3) (—4) X (—3)
-5<-4
(一 5) +3 (—4) +3 ( — 5) + (—3) (—4) + (—3)
观察上面各组不等式的不等号方向，你可以得到什么结论？
119第11章一元一次不等式
一般地，我们有不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
可以用符号表为：如果a〉6，（:>0，那么
如果 <2>6，（:〈0，那么（2C〈6c.
不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？
<7
利用不等式的基本性质，将下列不等式化成2 C或:T < C （C为常
数）的形式.
(1)^ + 5>2； ⑵— 2x > 4； ⑶3工〈工+ 5 •
（1）不等式^+ 5 >2两边都减去5,根据不等式的基本性质1，得
x〉一 3.
（2）不等式一2x>4两边都除以一2,根据不等式的基本性质2,得
x〈— 2 .
（3）不等式3x6,用“>”或“<，，号填空:
國 (1) a + 2_ _ 6 -)- 2 ； (2) a — 5 b — 5;
(3) 4a_ _ 46；
(5) 4a — 3 46一3: (6)3 — 2a 3 — 2b
120議_
2.说出下列不等式变形的依据：
不
等
(1)由 i一 1〉2,得工〉3; (2)由一^工<—1，得工〉2; 式
(3)由3：r〈:r，得2工<0; (4)由工〉^，得工一1〉：V—2.
3.无论 <2为何值，是否一定有 <2 + 3 >a?请说明理由.
4.利用不等式的基本性质，将下列不等式化成x>c或
(c为常数)的形式：
(1)尤+3<2工； (2) —3工<6.
1.用不等式表示：
(1) z与6的差大于2;
(2) I的平方与一8的和是负数；
(3) x与：y的平方和与10的差是正数；
(4) y的三分之一与4的和是非负数•
2.用不等式表示下列数量之间的关系：
(1)边长为 <2 m的正方形桌面的面积大于1 m2;
(2)公园成人票a元/人，学生票6元/人，2名成人、3名学生的
门票费用不超过400元；
(3) 一件衬衫进价是100元，标价*2：元，打9折销售后至少盈利
20元.
3.把下列不等式化成x〉(:或i < c(c为常数)的形式：
(1)^+ 2>4； (2)2x〈x— 3；
4
(3) —X <— (4) 一 6工 > 8.
4.小明到离家1 500 m的农业基地参加劳动实践，早晨7: 00出发，
要在7: 20前到达.如果他平均每分钟走im，那么可以得到怎样
的不等式？把不等式化成为常数)的形式•
5.用不等式的基本性质说明a — 1 < a .
6.已知a 9,
0.5^+70<100这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1
的不等式叫作一元一次不等式(linear inequality with one unknown).
公路隧道入口处常有汽车限高标识(图11-3) •—辆货车车
厢底部离地面1. 1 ni，车厢高度分别为2 m，2. 5 m，3. 4 m时，
该货车能通过这条隧道吗？要通过这条隧道，该货车车厢高度应
满足什么条件？
陰
车［
厢
高
度［
l.j m
图 11-3
图11-3中的标识表示可以通过该隧道的汽车的高度不能超过
4. 2 m•显然，车厢高度为2 m，2. 5 m的汽车能通过隧道，车厢高度
为3. 4 m的汽车不能通过隧道.要通过隧道，车厢高度不能超过
4. 2-1. 1=3. 1 (m).
设车厢高度为xm.根据题意，得
1.1 ^ 4. 2 .
当工=2, 1=2. 5时，这个不等式成立.当i=3. 4时，这个不等式
不成立.
根据不等式的基本性质1，在不等式1. l+x<4. 2两边都减去
1.1，得^<3.1，即所有不大于3. 1的数都满足上述不等式•
122我们把满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解，所有
的解组成的全体叫作这个不等式的解集(solution set of inequality) •
元
求不等式解集的过程叫作解不等式(solving inequality).
例如，工=2,1=2.5都是不等式1.1+^<4.2的解，这样的解
有无数个.*2：<3.1是不等式1.1+^<4.2的解集，这个解集可以
借助数轴直观地表示如下：
0 3.1
这里在数轴上表示3. 1的点的位置画实心圆圈，表示不等式的
解集包含3.1这个数.如果画空心圆圈，那么表示不等式的解集不
包含该点所对应的数.
在数轴上表示下列不等式的解集：
(1) x<-2； (2) x<-2； (3)工>一2; (4) ^>-2.
(1) —2可以表7K为:
-2
(2) *2：<—2可以表示为：
-2
(3) :r> —2可以表7K为：
(4) *2：>—2可以表7K为：
123
I 次
不
等
式
的
概
念第11章一元一次不等式
1.下列数值中，哪些是不等式:c+ 2>4的解？
國
一5，一3，一1.5，0，1，2，3.4，4，5，6.2，9.
2. :r取任意负数时，不等式:r—2<0都成立，能说这个不等式
的解集是t<0吗？为什么？
在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x^ 2； (2)x^一 2;
(3)*2：< 鲁； (4)x>—
i.在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x^>2； (2) x ^ 3；
mm (3) x〈一备； (4)x
2.写出下列数轴上所表示的关于i的不等式的解集：
(1)
(2)
T
(3)
-2
(4)
T
3•写出不等式2工+1 >3的五个解，并比较它们与方程2x+l = 3的
解的大小.
124_
|
瞄一元一）S7iI_SC
怎样解一元一次不等式3^>^+6?
根据不等式的基本性质1，不等式的两边都减去得
3x> x + 6
?>x — i〉6. 移项
合并同类项，得 3jc - jc > 6
2x > 6.
根据不等式的基本性质2,不等式的两边都除以2,得
:c〉3.
这个不等式的解集在数轴上表示如图11-4所示：
图 11-4
与解一^兀一^次方程类似，解一^兀一^次不等式时要根据不等式的基
本性质，将原不等式转化为最简的：t：>C或z: 6 一I，并把它的解集在数轴上表示出来.
眶〉
移项，得
3*2： + i〉6 — 14.
合并同类项，得
2j: — 8.
根据不等式的基本性质2,
不等式的两边都除以一2,得 不等式的两边都除以一个
负数时，不等号的方向要
这个不等式的解集在数轴上表示如图11 - 5所示: 改变.
0 4
图 11 - 5
125
11.3
解
I
元
I
次
不
等
式第11章一元一次不等式
当:r取什么值时，代数式3—2x的值小于2?
K7
誦
K
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)2 +2a〉6; (2)5 —x
國
(3) 4r < 2工 + 3; ⑷一y工一1〉2;
(5) 2x一 1 > 4x+ 13; (6) 5m一 1 >>8m+ 3 .
解不等式2^ — 1 > ，并把它的解集在数轴上表示出来
不等式的两边都乘2,得
2(2x一1)^3x一 1.
去括号，得
4工一 2 > 3工一1.
移项，得
4x —3x^一 1 +2.
合并同类项，得
x^l.
这个不等式的解集在数轴上表示如图11 - 6所示:
图 11-6
126解不等式1 一 ，并把它的解集在数轴上表示出来
wm>
不等式的两边都乘6,得
6 一 3(:c + 6)〈2(2工 + 1) •
去括号，得
— 3x — 18〈 4工 + 2.
移项、合并同类项，得
— 7x 4; (2) 10 —3Cr + 6)4
x — 2
下面解不等式f— 的过程正确吗？为什么？
解：不等式的两边都乘2,得
•x + 5 — 1〈3工 + 2.
移项、合并同类项，得
— 2工〈
两边都除以一2,得
工〈1.
1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(Df >2； (2)—_>—3;
(3) 122 —3<5; (4) 2x 36 — 27.
2.解下列不等式：
(1) 3(jy —2)+1〈—2; (2) 4 — 2{x — 3) > 4Cx +1);
，0、2x + 3 / Zx -\- 1 (4) 2^1_4<_^±4>
3.求不等式2*2： — 3 < 5的正整数解.
4.当x满足什么条件时，代数式的值小于代数式
0 乙
的值？
128一元一汉爪篕式组
一元一次不等式组及其解集
长方形花圃的一边靠墙，墙的长度为20 m，另外三边用
总长为30 m的篱笛围成，垂直于墙的一边长度的范围是
€)
ill
多少？
设垂直于墙的一^边长度为^ m，根据题思，得
30 —2^： <20,
且 30 — 2工〉0.
这个问题的解必须使上面的两个不等式都成立，把两个不等式
联立在一'起，记作
| 30 — 2x ^ 20 9
I 30 —2x 0.
像这样，把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，
就组成了一个一元^一次不等式组（systern of linear inequalities
one unknown
[30 —2:r <20，① 上、
如何找出使不等式组 ^中两个不等式都成51
L 30 — 2工 > 0 ②
的未知数^的取值范围？
129
11.4
I
元
I
次
不
等
式
组第11章一元一次不等式
解不等式①，得
x ^ 5.
解不等式②，得
x〈 15.
在数轴上表示这两个不等式的解集（图11 _ 8）:
0 5 15
图 11 - 8
由图11-8可以看出，使不等式①和②都成立的未知数i的范
围，应是这两个不等式解集的公共部分，即
5 ^ 0
求不等式组解集的过程叫作解不等式组.
利用数轴确定不等C;1，的解集
在数轴上表示不等式x 1和:T < 2的解集（图11-9）：
一 1 o
图 11-9
由图11-9可知，不等式组的解集是
sc ^— 1.
13011 .根据图示，分别写出关于I的不等式组的解集:
-2 0 2
(1) (2)
(第1题)
2.利用数轴确定下列不等式组的解集：
⑴ 3’ (2){"<_h (3)|">0^ ⑷ Hl； ix^—2； [x^ 4； I 2^:^ 0.
解一元一次不等式组
①
(3x— 1 > 工+ 1，
解不等式组
②
.x + 4〈 4x — 2.
fWL>解不等式①，得
x^l.
解不等式②，得
x^>2.
在数轴上表示不等式①和②的解集(图ii-io):
0 1 2
图 11-10
由图11-10可知，不等式组的解集是
•X〉2.
解一元一次不等式组的一般步骤是什么？
<7
131
11.4
元
一
次
不
等
式
组第11章一元一次不等式
5工一 2 3(工 一 2),
①
解不等式组
— 5 ^ 1 ~x. ②
解不等式①，得
x 1，
2(x+ l) >4,
(3)
3*r < x+ 5;
2.已知工+2：y =—5•当x取什么值时，y的值是大于一1的负数？
1321.根据图示，分别写出关于X的不等式组的解集:
元
画 -1 0 -4 -2 0
(1) (2)
（第1题）
利用数轴确定下列不等式组的解集：
:T<0， (2) |
⑴'
X^—l； :r〉一1;
工<3， ⑷| 工〉2，
(3) <
[x 2工一 7 ；
2x 一 5 > 10 一 3x；
善(3—工)+2<—2,
| 2x — 8〉5工 + 1， 5
(3)- (4)^
111 — 2x
隊 设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高^ m的山坡上，那么这个高度
的平均气温是( 20 — ^ X 0. 6) °C.
根据题意，得
显然平均气
20 —点父0.6>17.
温彡20 °C.
解这个不等式，得
V\ ,
< 500.
答：这种杜鹃花应种在比山脚的海拔最多高500 m的山坡上.
1.已知一部电梯的最大载重是1 000 kg， ■名体重70 kg的
装修工人乘坐电梯，他最多还可携带25 kg/包的装修材料
画
多少包？
2.如图，用4根火柴棒可以搭1个正方形，用7根火柴棒可以
搭2个正方形，用10根火柴棒可以搭3个正方形.照此搭
法，用50根火柴棒最多可以搭多少个正方形？
(1) (2) (3)
(第2题)
135
1
1
.
5 用
一
元
I 次
不
等
式
解
决
问
题第11章一元一次不等式
林老师骑电动车上下班，已知他从家去学校的平均
速度是12 km/h，从学校回家的平均速度是
13 km/h，来回一趟的时间不少于1 h.林老师家和Q
学校的距离至少多远？
问题中数量之间的不等关系：
从家去学校的时间+从学校回家的时间＞1 h.
设林老师家和学校的距离是:r km.
根据题意，得
X \ X ^ ^
解这个不等式，得
^ 6. 24 .
答：林老师家和学校的距离至少6. 24 km .
某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，
每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本0.2万元.如果每套
软件定价0. 9万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？
问题中数量之间的不等关系：
总销售额＞固定成本十服务成本.
设售出x套软件.
根据题意，得
0. 9工＞ 160 +0.lx•
解这个不等式，得
要根据实际
问题检验答
x 228 ♦ • 案的合理性!
因为^为整数，所以i的最小值为229 .
答：至少需要售出229套软件才能不亏本.
136偷
: 在例3中，若软件公司在给软件定价时预计能销售200套，那
么至少定价多少元才能不亏本？
1.小明和爸爸从家出门去散步，小明平均每小时走4 km，他
先走30 min后，爸爸沿同一条路追赶小明，爸爸每小时最
快能走6 km.问爸爸至少需要多久能追上小明？
2.某科学展门票100元/人，入场2人以上（含2人），可在两
种优惠方式中任选一种：①一张票保持原价，其佘打7折；
②全部打8折.至少几人时选择第一种促销方式更合算？
1. 一个三角形的三边长都是整数，最长边为8，另两边边长相差2,
求该三角形最短边的最小值.
2•甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，
平一场得1分，负一场得0分.两队一共比赛了 10场，甲队保
持不败，得分超过22分.甲队至少胜了多少场？
3.某校七年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车•如
果44座的客车租用了 2辆，那么40座的客车至少需租用多少辆？
4.某出租车司机开车从甲地到乙地用时30 min，从乙地到丙地用时
40 min.如果甲、乙两地的距离比乙、丙两地的距尚多30 km，且
司机全程的平均速度不低于60 km/h，那么甲、乙两地至少多远？
5.某茶叶商店销售一批进价为30元/袋的茶叶.第一个月以
60元/袋的价格售出第二个月以50元/袋的价格将这批茶叶
全部售出，最后至少获利8 000元.这批荼叶至少有多少袋？
137
1
1
.
5 用
一
元
I
次
不
等
式
解
决
问
题本章知识结构：
解一元一次不等式
一元一次不等式
解决问题
不等式
一元一次不等式组 解一元一次不等式甩
本章中，我们从实际问题中的不等关系引入不等式的概念和不
等式的基本性质，类比一元一次方程学习一元一次不等式（组）的概
念和解法，并应用一元一次不等式解决一些实际问题.
2.不等式的基本性质是解一元一次不等式（组）的依据.这里要
注意一 一次不等式与一元一次方程在解法上的区别，明晰解一元
一次不等式每一步变形的依据，体会知识间的联系.特别地，一元
一次不等式的解集表示的是未知数的取值范围，而一元一次方程的
解是未知数的确定值.
在利用一兀一次不等式解决实际问题时，要重视不等关系的寻
找，依据不等关系构造不等式，从而解决问题.在这个过程中，进
一步发展抽象能力、运算能力，形成模型观念.用一元一次不等式
解决问题的过程，可以用下图表示：
找不等关系
实际问题
一元一次不等式
设未知数， 列不等式
解不等式 转化
检验
实际问题的解 不等式（组）的解集
3.如果方程6 — 5尤= 2 — 3x的解是i = 你能直接写出
5*r>2—3x，6—5^<2—3x 的解集吗？
138-复习巩固
1.解下列不等式：
(1) 8工一 5 ^ ~h 16；
(2) 6工+1 < 2x — 3；
(3) 3(:c — 3) —(3 — x) +了，
2.求下列不等式的最大整数解：
(1) —— 7) >y(3工+ 1);
(2) 3x — ^ <—4(工 一 5).
3.求下列不等式的最小整数解：
(1) 5x-2>|-(5x-13)；
(2)^3<6_3^4^#
4.解下列不等式组：
f2*x+4〉0，
(1)
ll-2x>0；
^3x — 6〈4 —工，
(2)
[x 一 1〉4x — 10；
[2(工— 3) ^ 3(1 —工)+ 1，
(3)
[3工 一 5(sc — 1) > 2(3 — 2j:):
\\\139TjX — 1、3工一 5
O ^ !
(4)
:r + 2 x
>1.
5.求同时满足不等式杬一 2>2Cr+ l)与i—3<5 —x的整
数解.
6.三个连续正偶数的和不大于128，求最小正偶数的最大值.
7.某商店以每件1⑻元的价格购进衬衫50件，现以每件160元
的价格销售，这家商店至少销售多少件衬衫，销售收入才能
超过进货总金额？
8.某款智能手机的进价为1 800元，标价为2 700元，如果要确
保利润率不低于10%，那么最低可以打几折出售这款手机？
9.小明计划在15天内阅读完一本408页的科普读物，前3天每
天阅读了 24页.此后，小明平均每天至少需要阅读多少页，
才能在计划的时间内完成阅读任务？
•■灵活运用
10.已知且一求》的取值范围•
11.已知方程x—(2:r—a)=2的解是正数，求 <2的取值范围.
12•当a取什么值时，2—a和3—2a的值的符号相反？
13. 一个长方形的长比宽多2，它的周长不超过39.求长的取值
范围.
14.为防风固沙，某乡镇计划购买甲、乙两种树苗共2 000株.
两种树苗的信息如下：
树苗种类 价格 成活率
甲
25元/株 75%
乙 40元/株 85%
要使这批树苗的成活率不低于83%，应如何购买树苗？
140/Z/〜探索研究
15.已知 <2>6>0，试比较a2与62的大小，并说明理由.
16. (1)用等号或不等号填空：
① 当 x = 2时，2：r_ _ _ _ x2 -\~1；
② 当 *2： = 1 时，2*2：_ _ x+ 1；
③ 当x = — 1时，2工_ _ _ x2 + 1.
(2)无论:c取什么值，2x与:r2 + l总有上面的大小关系吗？
请说明理由.
［工 > 1，
17.已知不等式组
lx〈a.
(1)如果这个不等式组无解，求a的取值范围；
(2)如果这个不等式组有解，求a的取值范围.
18.三角形的三边长分别为x+5，工一2，：r—8，求工的取值
范围.
19.据研究，初中生中等运动强度每天的能量需要量男性约为
11. 92MJ，女性约为9.62 MJ;初中生每天蛋白质推荐摄
入量男性约为75 g，女性约为60 g.下表为常见食物每百
克能量和蛋白质含量.
食物 大米 小米 小麦粉 牛乳 牛肉 鸡肉 鱼
能量/kcal 354 369 358 53 126 167 110
蛋白质/g 7.3 9.0 11.2 3. 0 19.9 19.3 17. 6
说明：1 000 kcal=4. 184 MJ, 1 MJ = 239 kcal.
请你根据上述信息，提出一些能用一元一次不等式解决的
问题，并与同学交流.
141综合与实践
生活中的不等式
•、问题情境
现实世界中，数量之间的大小关系处处可见.在日常生活和生
产中，人们常常利用不等式(组)解决问题，如核定价格范围、分
析决策等.你能找到生活和其他学科中的不等关系吗？如何利用不
等式解决实际问题？
.、学习任务
1.某品牌牛奶外包装盒部分信息如图1所示，你能根据图中的
信息写出哪些不等式？
生化全套(新)
空腹血糖(GLU) 5.24 mmol/L
参考值： 3.90〜6.10
Q 总胆固醇(CHOL) 3.41 mmol/L
参考值： 0.36〜5.69
风佳； 冻,冷藏后饮用 甘油三酯(TG) 0.44 mmol/L
%用前请^摇匀，开启后请 参考值： 0.38-1.7
(1 t时饮用，或于0〜6 1冷
藏，并在12小时内饮用完 钾(K) 4.41 mmol/L
毕!本品若出现少量乳脂凝 参考值： 3.50〜5.30
聚，乳蛋白沉淀，属自然现
象，可摇匀后正常饮用；如 钠(Na) 139.6 mmol/L
发现胀包，请勿饮用! 参考值：137.0〜147.0
图1 图2
请你查找并列出日常生活中食品包装盒(袋)上的不等式.
2.如图2,这是小明爸爸体检生化检验报告的一部分，他的各
项指标是否正常？
请你查阅资料，收集并列出医疗卫生领域中的不等式.
3.某城市居民用水价格、生活用电价格、管道天然气价格如下
表所本.
142本市居民用水阶梯水价表
水价/（元/米3）
供水类型 阶梯 户年用水量/米3
水费 水资源费 污水处理费 合计
第一阶梯 0〜180（含） 2.07 5
自来水 第二阶梯: 180〜260（含） 4. 07 1.57 1.36 7
第三阶梯 260以上 6. 07 9
第一阶梯 0〜180（含） 1.03 5
自备井 第二阶梯 180〜260（含） 3. 03 2.61 1.36 7
第i阶梯
260以上 5.03 9
本市居民生活用电电价表
用户 分档 户月用电量/（千瓦•时） 电压等级 电价/［元/（千瓦•时）］
不满1千伏
0. 488 3
一档 1〜240（含） 1千伏及以I
0. 478 3
试行阶梯 不满1千伏 0. 538 3
二档 240〜400（含）
电价用户 1千伏及以上
0. 528 3
不满1千伏
0. 788 3
|三档 400以上
1千伏及以上
0. 778 3
本市居民用管道天然气销售价格表
户年用气量/米3
分档 一般生活用气 壁挂炉 农村煤改气 气价/（元/米3）
（炊事、生活热水） 采暖用气 采暖用气
一档 0〜350（含） 0〜1 500（含） 0〜2 500（含） 2. 61
二档 350〜500（含） 1 500〜2 500（含）2 500〜3 000（含） 2. 83
三档 500以上 2 500以上 3 000以上 4. 23
执行居民价格的非居民户 2. 63
（1）请你根据上表写出一些不等式；
（2）假设按照上述计费标准，请你对自己家一年的用水、用电
或用气情况做出规划和预算•
1.根据你调查的结果，发现并提出问题，与同学交流并解决问题.
2.方程与不等式都是解决问题的数学工具，讨论它们在实际应
用中的特点与联系.
■IV:
四、应用拓展
请你查阅资料，收集并列出自然科学、前沿科技等领域中的不
等式，根据资料提出问题•
143定义 命题证明
概念、命题、推理是数学学科的基础.概念
需要定义，命题需要证明.
证明是数学学习与研究的基本活动.我们要
逐步掌握逻辑推理的基本方法，学会规范地表达
.E 证明过程.
通过定义和证明，我们不仅可以得到一些
C D
“信得过”的概念和结论，而且可以学会有逻辑地
ZA + ZB + ZACB = 180° 思考问题，养成“重证据、有条理”的思维习惯.观察江苏省行政区划示意图，用了几种颜色来区分相邻的
城市？
连云港市
徐州市
宿迁市
用了五种颜色！
盐城市
淮安市
fl
1杨州市
南通市
任何一张地图上的相邻区 /南京市填江市
域都可以用五种颜色区分
吗？能用更少的颜色吗？^
无锡市 苏州市
对于下面的图形，最少用几种颜色就可以区分相邻（指有公
共边）的区域？
你能用四种颜色区分上面江苏省行政区划示意图中的相邻
城市吗？
上面的问题涉及一个著名的猜想：不管什么样的地图，只需要
四种颜色就可以区分相邻区域.历经100多年的艰辛探索，数学家
终于证明了这个猜想.
这就是著名的“四色定理”！
有兴趣的同学可以查阅这个
定理的资料.第12章定义命题证明
定义
，'::o:
我们已经学习了许多数学概念，如：
正整数、负整数、零统称为整数；
含有未知数的等式叫作方程；
两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离；
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；
两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两
个角称为对顶角.
像这样，对一个概念作岀明确规定的语句叫作这个概念的定义
KH1），有时也说“给概念下定义”.根据概念的定义，就可以
准确地判断一个对象是否属于这个概念.
根据对顶角的定义判断下面哪些图形是对顶角.
<7
晒
>< >< V 〆
许多概念之间都是有关系的.如单项
式都属于整式，整式都属于代数式.数学
中常用如图12 - 1所示的方法直观地表达这 单项式
种从属关系.
图 12 - 1
:角形、等腰三角形、等边三角形之间有什么关系？画出表示它们
之间关系的示意图•
146f5
给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰，可以明确地区
分这个概念所包含的对象. S
义
小亮和几个好朋友玩游戏：每个人
隊
國
<7
轮流在空地上投七颗小石子，谁投的七
颗小石子的散度最小就算谁赢.
你觉得游戏中的“散度”是什么意
I
思？你能给“散度”下定义吗？
1.将下列图形分类，并说说分类的依据
國
2.回忆并写出下列概念的定义：
绝对值、余角、补角
画示意图表示下列概念之间的关系：
有理数、正有理数、负有理数、零.
147曹
第12章定义命题证明
1.写出“相反数”的定义.
2.自然数6的因数有1，2，3，6，这几个因数具有关系1+2+3=
6.像6这样的数叫作完全数(也称完美数).判断下列数中哪
些是“完全数”：
(1)8; (2) 28.
3.下面是小明给一些概念下的“定义”，你觉得这些“定义’’合适
吗？说说你的理由.
(1)像火车铁轨那样的两条线叫作平行线；
(2)三条边都相等的三角形叫作等边三角形；
(3)四条边都相等的四边形叫作正方形；
(4)有一个角是锐角的三角形叫作锐角三角形•
148///品题
口卩
题
下列语句能判断真假吗？
(1) 3加4等于几？ (2)对顶角相等.
fgffl
(3)直线a与6垂直吗？ (4)如果¥=1，那么
(5)如果a>b，b>c，那么a>c.(6)平方后等于1的数是1 •
(1)(3)是疑问句，不能判断真假•(2) (4) (5) (6)是陈述句，可
以判断真假.
像(2)(4)(5)(6)这样，可以判断真假的陈述句叫作命题4〕—0
:Muon;. 一个命题要么为真，要么为假，二者必居其一 •
例如，下列四个语句都是命题：
任何一个数的平方不小于零；
x=—l是方程2x+?>=I的解；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
如果ZA = ZB，那么ZA与ZB是对顶角.
判断下列语句是不是命题，并说明理由.
(1)锐角和钝角互补吗？ (2)如果a<6，c>0，那么ac<6c.
f^\
(3)同位角相等，两直线平行•(4)如果| a | = | 6 |，那么a=
数学命题一般都由条件和结论两部分组成.例如：
序号 命题 条件 结论
1 如果:c > 1，那么x > 0 •X > 1 :r〉0
同位角相等，两直线平行 同位角相等 两直线平行
2
两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等
3
当a是自然数时，a2+a是偶数 a是自然数 a2 a是偶数
4
5 如果a>o,6U 1 a>0,b<0 a |> 6 |
149第12章定义命题证明
有了条件和结论，就容易将命题改写成“如果……，那么……”
的形式.例如，上表中的命题4,可以改写成“如果a是自然数，
那么a2 +a是偶数”.
在上表的命题中，命题1，2, 3, 4所作的判断都是正确的，像
这样的命题叫作真命题(true proposition)；命题5所作的判断是错
误的，像这样的命题叫作假命题(false proposition).
下列命题是真命题还是假命题？
<7
圓 (1)有公共顶点的两个角是对顶角；
(2)等式两边都加上同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
命题(1)可以写成“如果两个角有公共顶点，那么这两个角是
对顶角”.这是一个假命题，图12 - 2中的ZAOB与ZBOC有公共
顶点0,但它们不是对顶角.
o
只要能举出一个反例，
就可以断定一个命题
是假命题.
C
图 12-2
命题(2)可以写成“如果一个等式两边都加上同一个数或同
一个整式，那么所得结果仍是等式' 根据等式的基本性质，这是
一个真命题.
在上一页的表格中，命题“同位角相等，两直线平行”和命题
“两直线平行，同位角相等”正好互换了条件与结论的位置，我们把
这样的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作原命题( original
proposition｝，另一^个叫作原命题的逆命题(converse proposition).
€
写出一对互逆命题，并判断原命题及其逆命题的真假.
1^1
150///1. 写出下列命题的条件与结论： 题口卩
画
(1)如果 a<<0，b〈0,那么 a +6〈0;
(2)如果 c90°，
ZB>90%则ZA+ZB>180。，所以ZA+ZB+ZC>180。，这与
ZA+ZB+ZC=180°矛盾.同理，当有三个钝角时，也与ZA+
ZB+ZC=180°矛盾.所以假设不正确.于是AABC中最多只能
有一个钝角.
像上面这样，我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反
过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法.
已知：a，6，c是3条不同的直线，a//b, b//c .
求证：a//c.
假设a，c不平行，那么它们相交于一点P（图12-11）.
••• a//b, b//c, 、、、、
过点P的两条直线a，c都与直线6平行. _ _ _p、_〜、〜a
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线 h
图 12-11
与这条直线平行”矛盾.
二假设不成立，a//c.
这样，我们就证明了平行线的性质定理：
平行于同一条直线的两条直线平行
用反证法证明一个命题的步骤一般为：
1.先假设命题的结论不成立.
2.从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾.
3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立
162///判断命题“对于任意的有理数〜6，如果a>6，那么 I >
I b| ”的真假，并说明理由.
这是一个假命题.理由如下：
取 <2 = 1，6二― 2,此时(2 >> 6,但是 I (2 I〈 I 6 I，
所以命题结论I a|>| b|不成立.
在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法•举反例
的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
1.用反证法证明：已知a，6，(:是3条不同的直线，如果a//
b, a与c相交，那么6与(：相交.
画
2.举反例说明下列命题是假命题：
(1)如果 | a | = | 6 |，那么 a = 6;
(2)任何数的平方都大于0;
(3)两个锐角的和是钝角；
(4)如果一点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线
段的中点
著名的反例
我们都知道，素数也被称为质数，是只能被1和它自身整除的自然
数，如2，3，5，7，11，13，17，19，23，…•如果一个自然数不仅
能被1和它自身整除，还能被其他自然数整除，那么这个自然数就是合
数.1既不是质数，也不是合数，因此，全体自然数就可分为四类： 0,
1，质数，合数.
163
1
2
.
4
■
■
■
■
定
理第12章定义命题证明
在欧几里得时代，人们就已经证明了素数有无穷多个.素数的排
列是否有规律呢？能否找到一个表达式来产生素数呢？这些问题让一
代又一代的数学家着迷，由此产生了一些著名的素数猜想.例如，著
名的数学家欧拉(LEiiler，1707—1783)就曾经提出过一个猜想：
对于任意的自然数77，722—72+41都是素数•
我们可以来验证前几项：
当 n=0时，n2 — n + 41 41为素数，
当 时，n2 —n + 41 41为素数，
当71=^2时，n2 — tz + 41 43为素数，
当 时，n2 —72 + 41 47为素数，
如此下去，欧拉发现，一直到= 时，结论都是正确的(你可以
自己验证几个数试试看)，但当72=41时，n2—72+41不是素数，从而否
定了这个著名的猜想.
1.在AABC中，根据下列条件，求ZA的度数：
(1)Z：C = 20% ZB=ZA；
(2) ZA, ZB,ZC的度数之比为1:2:3.
2.如图，AB//CD,AB，DE相交于点G，ZB=ZD.在下列括号
内填写推理的依据：
V AB //CD (已知)，
••• ZEGA = ZDC_ _ _ _ _ _ _ )• b
又= (已知)，
••• ZEGA=ZB(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ) • (第2题)
DE // BF (_ _ _ _ _ :
164///3.已知：如图，AB//CD，BC//DE.
求证：ZB+ZCDE=180°.
理
7B /E
C D D B
（第3题） （第4题）
4. （1）已知：如图，在直角三角形ABC中，ZACB = 90°，D是AB
上一点，且 ZACD =
求证：CD丄AB.
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
5.已知：如图，是AABC的角平分线，点£:在BC上，点F在
CA的延长线上，EF交AB于点G，且=
求证：EF //AD.
F
FD
C
r B
（第5题） （第6题）
6.已知:如图，在AABC中，ZA=ZABC,直线分别交AB，
AC和CB的延长线于点D，£：，F.
求证：ZF+ZFEC=2ZA.
7.证明：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.
8.判断命题的真假，并说明理由：任何正数的平方都大于这个数
本身.
9.证明：一个数加上一个负数比原来的数小•
10.已知：m是正整数，且m2是偶数.
求证：m是偶数•
\\\1651.本章知识结构:
概念 概念的定义
研究
对象
假命题 举反例
命题
真命题 证明
定理
概念与命题是数学的基本研究对象.概念需要定义，命题要确
定真假.判定假命题只需举出一个反例，判定一个真命题则需要给
出证明.证明过程是由一步一步的推理构成的，每一步推理都要有
理有据.
2.从简单和特殊情况入手、寻找规律、提出猜想（命题）、给
出证明是数学探究的基本过程，经历这样的过程有助于我们理解数
学知识之间的联系，感悟数学证明的必要性和逻辑性，形成初步的
推理能力和严谨求实的科学精神.
3.反证法是数学中的一种基本证明方法.你能够证明一个自然
数平方后的个位数不可能是3吗？
166-复习巩固
1.指出下列命题的条件和结论：
(1)同号两数相乘，积为正；
(2)等角的补角相等;
(3)四边形的内角和等于外角和.
2. (1)写出学过的四个真命题；
(2)写出两个假命题.
3.写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假：
(1)如果^ = 0,那么a = 0; (2)自然数是整数；
(3)不是对顶角的两个角不相等；(4)内错角相等•
4.说明下列命题是假命题：
(1) 如果 <2^0，b參0,那么 a2+62 = (a+6)2;
(2)质数都是奇数；
(3)多边形的外角和小于内角和；
(4)如果 a>6，那么(a+6)(a—6)>0.
5.下列命题是否为真命题？为什么？
(1)如果 a >6,那么 | a |>| 6 I;
(2) 一个角的补角大于这个角；
(3)偶数能被4整除；
(4)三角形的最大内角大于60°.
6.填空：
如图，点A，B，C，D在一条直线上，
A B C D
•/ EC //FD (已知)， (第6题)
••• ZF-Z_ _ _ (_ _ _ _ _
•••ZF=ZE(已知)，
••• Z_ _ _ =ZEC_ _ _ _ _
•••_ _ _ _ _ _ //_ _ _ _ _ _ _ (_ _ _ _ _ _ _ _ _
1677. （1）已知：如图，直线AB，CD，EF被直线JBF所截，
ZB+Z1=180% Z2 = Z3.
求证：ZB+ZF=180°.
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题.
A_ _ _ _ _ _ _ " ^
C- - - - - - -
E G F L C
（第7题） （第8题）
8.如图，在AABC中，点D，£：分别在AB，AC上.ZB+ZC
与Z1+Z2有怎样的数量关系？为什么？
9.已知：Med是一个四位数，a+6+c+（i可以被3整除.
求证：这个四位数可以被3整除•
10.如图，点 C，E1，B，F 在一条直线上，AC//FD，/_A=
ZD.由此，你能推出什么结论？证明其中的1〜2个结论.
A
（第10题）
-灵活铤爾
11.已知：如图，ZABC+ZC+ZCD£：=360。，GH 分别交
AB，ED亍点G，H.
求证：Z1 =Z%
c
（第11题）
168///12.有没有这样的多边形，它的内角和是它的外角和的3倍？
如果有，指出它是几边形，并说明理由•
13.如图，在四边形AJ3CD中，ZA+ZC= 180°，:是四边形
ABCD的一个外角./ABE与ZD相等吗？证明你的结论.
A
E
C D
（第13题） （第14题）
14.如图，在五角星形 :中，ZAVZB，ZC, ZD, ZE
的和等于多少度？证明你的结论•
15.已知：正整数7Z能被3整除，也能被7整除•
求证： 77能被21整除.
16.证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个
位数也不是5 .
-探索研究
17. （1）如图（1），AB//GD，试用不同方法证明ZB+ZD= ZE.
（2）如图（2），AB//CD，ZB. ZD，:之间有怎样的数
量关系？证明你的结论.
B
A-
E
c- D C- -D
(1) (2)
（第17题）
18.任意画ZA，在ZA的两边上分别取点B，C，在ZA的内
部取一点P，连接PB，PC.探索ZBPC与ZA，ZABP,
ZACP之间的数量关系，并证明你的结论.
169后记
本套教科书依据教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022
年版）》编写.
本套教科书全面落实立德树人根本任务，以学生发展为本，
以核心素养为导向，遵循初中学生的认知规律，着力优化课程结
构、内容组织和栏目设计，创新数学活动设计，提高教学效率，并
推进课程改革.
本套教科书由鲍建生担任主编，董林伟担任执行主编.本册
主编是徐德同，编写人员有石树伟、朱建明、孙学东、沈迎华、周
超、诸士金；参加本册教科书"综合与实践”编写的有鲁小莉、严
媛、孙永健.
本套教科书的编写继承了 2003年版《义务教育课程标准实验
教科书数学》（杨裕前、董林伟主编）和2012年版《义务教育教
科书数学》（杨裕前、董林伟主编）的经验，借鉴了国内外数学
教育与教科书设计的研究成果，充分调研了教科书的使用情况，
凝聚了众多学科专家、课程专家、教研人员、一线教师的智慧.
在本套教科书的编写过程中，《义务教育数学课程标准（2022
年版）》制定组的专家给予了悉心指导；教材审查组的专家提出了
中肯建议；章建跃、喻平、傅海伦、石小江、叶琳、朱晨菲、庄志
红、刘东升、杜荣庆、陈志廉、胡钰、钱小强、钱旭东、钱德春、
徐明悦、谢蓓蓓等对本册进行了细致审读；一大批教研员、教师、
学生参与了系统的试教试用.在此，我们对所有为本套教科书提
供帮助和支持的专家、教师及社会各界朋友一并表示衷心的
感谢！
教材建设是一项长期的系统工程，我们热切期望广大教师、
学生及家长为本套教科书的不断完善提出意见和建议，联系电话
为025- 86633140,联系邮箱为 skjc2022@163.com.
