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Born to win
1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设方程 确定 是 的函数,则 _____ _ ____ _.
(2) 设 ,则 _____ _ ____ _..
(3) 设 是抛物线 上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足
的关系是 _____ _ ____ _.
(4) 设
, , ,
其中 .则线性方程组 的解是 _____ _ ____ _.
(5) 设由来自正态总体 容量为9的简单随机样本,得样本均值 ,则未
知参数 的置信度为0.95的置信区间为 _____ _ ____ _.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 累次积分 可以写成 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 下述各选项正确的是 ( )
(A) 若 和 都收敛,则 收敛
(B) 收敛,则 与 都收敛
(C) 若正项级数 发散,则
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(D) 若级数 收敛,且 ,则级数 也收敛
(3) 设 阶矩阵 非奇异( ), 是矩阵 的伴随矩阵,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设有任意两个 维向量组 和 ,若存在两组不全为零的数
和 ,使 ,则
( )
(A) 和 都线性相关
(B) 和 都线性无关
(C) 线性无关
(D) 线性相关
(5) 已知 且 ,则下列选项成立的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
三、(本题满分6分)
设 其中 有二阶连续导数,且 .
(1)求 ；
(2)讨论 在 上的连续性.
四、(本题满分6分)
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设函数 ,方程 确定 是 的函数,其中 可微；
, 连续,且 .求 .
五、(本题满分6分)
计算 .
六、(本题满分5分)
设 在区间 上可微,且满足条件 .试证:存在 使
七、(本题满分6分)
设某种商品的单价为 时,售出的商品数量 可以表示成 ,其中
均为正数,且 .
(1) 求 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.
(2) 要使销售额最大,商品单价 应取何值?最大销售额是多少?
八、(本题满分6分)
求微分方程 的通解.
九、(本题满分8分)
设矩阵 .
(1) 已知 的一个特征值为3,试求 ；
(2) 求矩阵 ,使 为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设向量 是齐次线性方程组 的一个基础解系,向量 不是方程组
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的解,即 .试证明:向量组 线性无关.
十一、(本题满分7分)
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周
5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障
所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?
十二、(本题满分6分)
考虑一元二次方程 ,其中 分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次
先后出现的点数.求该方程有实根的概率 和有重根的概率 .
十三、(本题满分6分)
假设 是来自总体X的简单随机样本；已知 .
证明：当 充分大时,随机变量 近似服从正态分布,并指出其分布参数.
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1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
【解析】方法1：方程 两边取对数得 ,再两边求微分,
.
方法2：把 变形得 ,然后两边求微分得
,
由此可得
(2)【答案】
【解析】由 ,两边求导数有
,
于是有
.
(3)【答案】 (或 ), 任意
【解析】对 两边求导得
所以过 的切线方程为 即
又题设知切线过原点 ,把 代入上式,得
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即
由于系数 ,所以,系数应满足的关系为 (或 ), 任意.
(4)【答案】
【解析】因为 是范德蒙行列式,由 知 .根据解与系数矩阵
秩的关系,所以方程组 有唯一解.
根据克莱姆法则,对于
,
易见
所以 的解为 ,即 .
【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组
或简记为
其系数行列式
,
则方程组有唯一解
其中 是用常数项 替换 中第 列所成的行列式,即
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.
(5)【答案】
【解析】可以用两种方法求解：
(1)已知方差 ,对正态总体的数学期望 进行估计,可根据
因 ,设有 个样本,样本均值 ,
有 ,将其标准化,由公式 得：
由正态分布分为点的定义 可确定临界值 ,
进而确定相应的置信区间 .
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值 的置信区间问题.
由教材上已经求出的置信区间 ,
其中 ,可以直接得出答案.
方法 1：由题设, ,可见 查标准正态分布表知分位点
本题 , , 因此,根据 ,有
,即 ,
故 的置信度为0.95的置信区间是 .
方法2：由题设, ,
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查得
, , 代入 得置信区间 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系 中是
即是由 与 轴在第一象限所围成的 y
1
平面图形,如右图.
2
由于 的最左边点的横坐标是 ,最右点的横坐标是1,
O 1 x
下边界方程是 上边界的方程是 ,从而 1
2
的直角坐标表示是
故(D)正确.
方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为
而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,
(C)中的积分区域是正方形
所以,他们都是不正确的.故应选(D).
(2)【答案】(A)
【解析】由于级数 和 都收敛,可见级数 收敛.由不等式
及比较判别法知级数 收敛,从而 收敛.
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又因为 即级数 收敛,故应选(A).
设 ,可知(B)不正确.
设 ,可知(C)不正确.
设 ,可知(D)不正确.
注：在本题中命题(D)“若级数 收敛,且 ,则级数 也收敛.”
不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数
一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.
(3)【答案】(C)
【解析】伴随矩阵的基本关系式为 ,
现将 视为关系式中的矩阵 ,则有 .
方法一：由 及 ,可得
故应选(C).
方法二：由 ,左乘 得
,即 .
故应选(C).
(4)【答案】(D)
【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组 线性无
关,即若 ,必有 .
既然 与 不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).
一般情况下,对于
不能保证必有 及 故(A)不正确.由已知条件,
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有
,
又 与 不全为零,故 线性相关.
故选(D).
(5)【答案】(B)
【解析】依题意
因 ,故有 .因此应选(B).
注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件 都成立,但是忽略了
全概率公式中要求作为条件的事件 应满足 ,且 是对立事
件.
【相关知识点】条件概率公式： .
三、(本题满分6分)
【解析】(1) 由于 有二阶连续导数,故当 时, 也具有二阶连续导数,此时,
可直接计算,且 连续；当 时,需用导数的定义求 .
当 时,
当 时,由导数定义及洛必达法则,有
.
所以
(2) 在 点的连续性要用定义来判定.因为在 处,有
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.
而 在 处是连续函数,所以 在 上为连续函数.
四、(本题满分6分)
【解析】由 可得 .
在方程 两边分别对 求偏导数,得
所以 .
于是 .
五、(本题满分6分)
【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法.
【解析】方法1:因为
所以
而
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,
故原式 .
方法2:
六、(本题满分5分)
【分析】由结论可知,若令 ,则 .因此,只需证明 在
内某一区间上满足罗尔定理的条件.
【解析】令 ,由积分中值定理可知,存在 ,使
,
由已知条件,有 于是
且 在 上可导,故由罗尔定理可知,存在 使得
即
【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数 在积分区间 上连续,则在 上至少
存在一个点 ,使下式成立：
.
这个公式叫做积分中值公式.
2.罗尔定理：如果函数 满足
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(1)在闭区间 上连续；
(2)在开区间 内可导；
(3)在区间端点处的函数值相等,即 ,
那么在 内至少有一点 ( ),使得 .
七、(本题满分6分)
【分析】利用函数的单调性的判定,如果在 的某个区间上导函数 ,则函数 单
调递增,反之递减.
【解析】(1)设售出商品的销售额为 ,则
令 得 .
当 时, ,所以随单价 的增加,相应销售额 也将增加.
当 时,有 ,所以随单价 的增加,相应销售额 将减少.
(2)由(1)可知,当 时,销售额 取得最大值,最大销售额为
.
八、(本题满分6分)
【解析】令 ,则 .
当 时,原方程化为 ,即 ,其通解为
或 .
代回原变量,得通解 .
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当 时,原方程的解与 时相同,理由如下:
令 ,于是 ,而且
.
从而有通解 ,即 .
综合得,方程的通解为 .
注：由于未给定自变量 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数 后得
,
从而,应当分别对 和 求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.
九、(本题满分8分)
【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题
转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题.
【解析】(1)因为 是 的特征值,故
所以 .
(2)由于 ,要 ,而
是对称矩阵,故可构造二次型 ,将其化为标准形 .即有 与 合同.亦即
.
方法一：配方法.
由于
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那么,令 即经坐标变换
有 .
所以,取 ,有 .
方法二：正交变换法.
二次型 对应的矩阵为
,
其特征多项式
.
的特征值 .由 ,即
,
和 ,即
,
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分别求得对应 的线性无关特征向量
,
和 的特征向量 .
对 用施密特正交化方法得 ,再将 单位化为 ,其中：
.
取正交矩阵
,
则 ,
即 .
十、(本题满分8分)
【解析】证法1： (定义法)若有一组数 使得
(1)
则因 是 的解,知 ,用 左乘上式的两边,有
. (2)
由于 ,故 .
对(1)重新分组为 . (3)
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把(2)代入(3)得 .
由于 是基础解系,它们线性无关,故必有 .
代入(2)式得: .
因此向量组 线性无关.
证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有
因此
由于 是基础解系,它们是线性无关的,秩 ,又 必不能
由 线性表出(否则 ),故 .
所以
即向量组 线性无关.
十一、(本题满分7分)
【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为 ,则 服从二项分布即 .
由二项分布的概率计算公式,有
设一周内所获利润 (万元),则 是 的函数,且
由离散型随机变量数学期望计算公式,
(万元).
【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：
若 ,则 , .
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2.离散型随机变量数学期望计算公式： .
十二、(本题满分6分)
【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.
设 事 件 “ 方 程 有 实 根 ” , “ 方 程 有 重 根 ” , 则
.
用列举法求有利于 的样本点个数( ),具体做法见下表:
有利于的意思就是使不等式 尽可能的成立,则需要 越大越好, 越小越好.
当 取遍1,2,3,4,5,6时,统计 可能出现的点数有多少种.
B 1 2 3 4 5 6
有利于 的样本点数 0 1 2 4 6 6
有利于 的样本点数 0 1 0 1 0 0
由古典型概率计算公式得到
【相关知识点】古典型概率计算公式：
十三、(本题满分6分)
【解析】依题意, 独立同分布,可见 也独立同分布.由
及方差计算公式,有
因此,根据中心极限定理
的极限分布是标准正态分布,即当 充分大时, 近似服从参数为 的正态分布.
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【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：
设随机变量 独立同分布,方差存在,记 与 分别是它们
相同的期望和方差,则对任意实数 ,恒有
其中 是标准正态分布函数.
2.方差计算公式： .
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