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Born to win
1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) 设 ,则 ___________.
(2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面 垂直,则此平面方程为
___________.
(3) 微分方程 的通解为___________.
(4) 函数 在 点处沿 点指向 点方向的方向导数
为___________.
(5) 设 是 矩阵,且 的秩 ,而 ,则 ___________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 已知 为某函数的全微分,则 等于 ( )
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
(2) 设 有二阶连续导数,且 , ,则 ( )
(A) 是 的极大值
(B) 是 的极小值
(C) 是曲线 的拐点
(D) 不是 的极值, 也不是曲线 的拐点
(3) 设 ,且 收敛,常数 ,则级数
( )
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与 有关
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(4) 设 有连续的导数, , , ,且当
时, 与 是同阶无穷小,则 等于 ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(5) 四阶行列式 的值等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1) 求心形线 的全长,其中 是常数.
(2) 设 , ,试证数列 极限存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)
(1) 计算曲面积分 ,其中 为有向曲面 ,其
法向量与 轴正向的夹角为锐角.
(2) 设变换 可把方程 化简为 ,求常数 ,其
中 有二阶连续的偏导数.
五、(本题满分7分)
求级数 的和.
六、(本题满分7分)
设对任意 ,曲线 上点 处的切线在 轴上的截距等于
,求 的一般表达式.
七、(本题满分8分)
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设 在 上具有二阶导数,且满足条件 , ,其中 都是非
负常数, 是(0,1)内任一点,证明 .
八、(本题满分6分)
设 ,其中 是 阶单位矩阵, 是 维非零列向量, 是 的转置,证明：
(1) 的充要条件是 ；(2) 当 时, 是不可逆矩阵.
九、(本题满分8分)
已知二次型 的秩为2.
(1) 求参数 及此二次型对应矩阵的特征值；
(2) 指出方程 表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1) 设工厂 和工厂 的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由 和 的产品分别占60%和
40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属 生产的概率是__________.
(2) 设 、 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量,则随机变量
的数学期望 __________.
十一、(本题满分6分.)
设 、 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知 的分布律为 ,
=1,2,3,又设 , .
(1) 写出二维随机变量 的分布律：
1 2 3
1
2
3
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(2) 求随机变量 的数学期望 .
1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
【解析】这是 型未定式求极限.
方法一： ,
令 ,则当 时, ,
则 ,
即 .
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由题设有 ,得 .
方法二： ,
由题设有 ,得 .
(2)【答案】
【解析】方法一：所求平面过原点 与 ,其法向量 ；平
面垂直于已知平面 ,它们的法向量也互相垂直： ；
由此, .
取 ,则所求的平面方程为 .
方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点 的向量
,另一是平面 的法向量 )平行的平面,
即 ,即 .
(3)【答案】
【解析】微分方程 所对应的齐次微分方程的特征方程为
,解之得 .故对应齐次微分方程的解为 .
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由于非齐次项 不是特征根,设所给非齐次方程的特解为 ,代入
得 (也不难直接看出 ),故所求通解为
.
【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构：设 是二阶线性非齐次方程
的一个特解. 是与之对应的齐次方程
的通解,则 是非齐次方程的通解.
② 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
,可用特征方程法求解：即 中的 、 均是常数,方程
变为 .其特征方程写为 ,在复数域内解出两个特征根 ；
分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根 ,则通解为
(2) 两个相等的实数根 ,则通解为
(3) 一对共轭复根 ,则通解为 其中
为常数.
③ 对于求解二阶线性非齐次方程 的一个特解 ,可用待
定系数法,有结论如下：
如果 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中 是与 相同次数的多项式,而 按 不是特征方程的根、是特征方
程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程
的特解可设为
,
其中 与 是 次多项式, ,而 按 (或 )不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为 或 .
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(4)【答案】
【分析】先求方向 的方向余弦和 ,然后按方向导数的计算公式
求出方向导数.
【解析】因为 与 同向,为求 的方向余弦,将
单位化，即得 .
将函数 分别对 求偏导数得
,
,
,
所以
.
(5)【答案】
【解析】因为 ,所以矩阵 可逆,故 .
【相关知识点】 .若 可逆,则
.
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从而 ,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
【解析】由于存在函数 ,使得 ,
由可微与可偏导的关系,知
, ,
分别对 求偏导数,得
,
.
由于 与 连续,所以 ,即
,
故应选(D).
(2)【答案】(B)
【解析】因为 有二阶连续导数,且 所以由函数极限的局部保号性
可知,在 的空心领域内有 ,即 ,所以 为单调递增.
又由 , 在 由负变正,由极值的第一充分条件, 是 的极
小值点,即 是 的极小值.应选(B).
【相关知识点】极限的局部保号性：设 若 (或 ) 当
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时, (或 ).
(3)【答案】(A)
【解析】若正项级数 收敛,则 也收敛,且当 时,有
.
用比较判别法的极限形式,有
.
因为 收敛,所以 也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).
【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：
设 和 都是正项级数,且 则
(1) 当 时, 和 同时收敛或同时发散；
(2) 当 时,若 收敛,则 收敛；若 发散,则 发散；
(3) 当 时,若 收敛,则 收敛；若 发散,则 发散.
(4)【答案】(C)
【解析】用洛必达法则.
由题可知 ,
对该积分上限函数求导数,得
,
所以
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.
因为 与 是同阶无穷小,且 ,所以 为常数,即 时
有 ,
故应选(C).
【相关知识点】设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 ,
(1) 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；
(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；
(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .
若 不存在(不为 ),称 不可比较.
(5)【答案】(D)
【解析】可直接展开计算,
,
所以选(D).
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得
.
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由于 以 为周期,因而 的范围是 .
又由于 ,心形线关于极轴对称.由对称性,
.
(2)【解析】用单调有界准则.
由题设显然有 ,数列 有下界.
证明 单调减：用归纳法. ；设 ,则
.
由此, 单调减.由单调有界准则, 存在.
设 ,在恒等式 两边取极限,即
,
解之得 ( 舍去).
【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限.
2. 收敛数列的保号性推论：如果数列 从某项起有 (或 ),且 ,那
么 (或 ).
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)
(1)【分析一】见下图所示, 在 平面与 平面上的投影均易求出,分别为
；
,或 .
z
y z
1
1
D
D yz z y2
xy
O x
O y
O y
x
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图1
求 ,自然投影到 平面上.求 时,若投影到 平面上,被积函
数较简单且可利用对称性.
【分析二】令 ,则 .
这里, ,若用高斯公式求曲面积分 ,则较简单.因 不是封闭曲
面,故要添加辅助曲面.
【解析】方法一：均投影到平面 上,则
,
其中 , .
把 代入,得
,
由对称性得
, ,
所以 .
利用极坐标变换有
.
方法二：分别投影到 平面与 平面.
投影到 平面时 要分为前半部分 与后半部分
(见图1),则
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.
由题设,对 法向量与 轴成钝角,而对 法向量与 轴成锐角.将 化成二重积分得
或
(这里 是半径为 的圆面积的一半.)
(同方法一).
因此,
方法三：添加辅助面 ,法方向朝下,则
,
其中 是 在平面 的投影区域： .
与 即 与 围成区域 , 与 的法向量指向 内部,所以在 上
满足高斯公式的条件,所以
,
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其中, 是圆域： ,面积为 .
因此, .
(2)【解析】由多元复合函数求导法则,得
,
,
所以
,
,
代入 ,并整理得
.
于是,令 得 或 .
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时, ,故舍去, 时, ,因此仅当 时化简为 .
【相关知识点】多元复合函数求导法则：若 和 在点 处偏导数存
在,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数 在
点 处的偏导数存在,且
.
五、(本题满分7分)
【解析】先将级数分解,
令 ,
则 .
由熟知 幂级数展开式,即 ,得
,
因此, .
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六、(本题满分7分)
【解析】曲线 上点 处的切线方程为
.
令 得 轴上的截距 .由题意,
.
为消去积分,两边乘以 ,得 , (*)
将恒等式两边对 求导,得
,
即 .
在(*)式中令 得 自然成立.故不必再加附加条件.就是说 是微分方程
的通解.下面求解微分方程 .
方法一： ,
因为 ,所以 ,
两边积分得 .
方法二：令 ,则 ,解 得 .
再积分得 .
七、(本题满分8分)
【解析】由于问题涉及到 与 的关系,自然应当利用泰勒公式,而且应在点 展开：
, 在 与 之间.
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分别取 得
, 在 与 之间,
, 在 与 之间,
两式相减得 ,
于是 .
由此
.
八、(本题满分6分)
【解析】(1)因为 , 为数, 为 阶矩阵,所以
,
因此,
因为 是非零列向量,所以 ,故 即 .
(2)反证法.当 时,由(1)知 ,若 可逆,则 .
与已知 矛盾,故 是不可逆矩阵.
九、(本题满分8分)
【解析】(1)此二次型对应的矩阵为
.
因为二次型秩 ,由
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可得 .再由 的特征多项式
求得二次型矩阵的特征值为 .
(2)因为二次型经正交变换可化为 ,故
,即 .
表示椭圆柱面.
【相关知识点】主轴定理：对于任一个 元二次型
,
存在正交变换 ( 为 阶正交矩阵),使得
,
其中 是实对称矩阵 的 个特征值, 的 个列向量 是 对应于
特征值 的标准正交特征向量.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1)【答案】
【解析】设事件 “抽取的产品是次品”,事件 “抽取的产品是工厂 生产的”,
则事件 表示“抽取的产品是工厂 生产的”,依题意有
.
应用贝叶斯公式可以求得条件概率 ：
.
【相关知识点】贝叶斯公式：设试验 的样本空间为 . 为 的事件, 为 的
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一个划分,且 ,则
(*)
(*)式称为贝叶斯公式.
(2)【答案】
【解析】由于 与 相互独立且均服从正态分布 ,因此它们的线性函数
服从正态分布,且
,
所以有 .
代入正态分布的概率密度公式,有
.
应用随机变量函数的期望公式有
由凑微分法,有
.
【相关知识点】对于随机变量 与 均服从正态分布,则 与 的线性组合亦服从正态分布.
若 与 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
,
,
其中 为常数.
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十一、(本题满分6分.)
【解析】易见 的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意
,故 ,即
,
.
类似地可以计算出所有 的值列于下表中,得到随机变量 的联合分布律：
1 2 3
1 0 0
2 0
3
(2)将表中各行元素相加求出 的边缘分布
,
由离散型随机变量数学期望计算公式可得
.
【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式：
二维离散型随机变量 关于 与 的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为：
它们分别为联合分布律表格中第 行与第 列诸元素之和.
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2. 离散型随机变量数学期望计算公式： .
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