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2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求
的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 设 是数列,下列命题中不正确的是：
(A) 若 ,则 (B) 若 , 则
(C) 若 ,则 (D) 若 ,则
(2) 设函数 在 内连续,其2阶导函数 的图形如下图所示,则曲线 的拐点
个数为：
(A) (B) (C) (D)
(3) 设 ,函数 在 上连续,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 下列级数中发散的是：
(A) (B) (C) (D)(5) 设矩阵 , .若集合 ，则线性方程组 有无穷多解的充分必
要条件为：
(A) (B) (C) (D)
(6) 设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，其中
，若 ，则 在正交变换 下的标准形为：
(A) (B) (C) (D)
(7) 若 为任意两个随机事件,则:
(A) (B)
(C) (D)
(8) 设总体 为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
(10) 设函数 连续， 若 则
(11) 若函数 由方程 确定，则
(12) 设函数 是微分方程 的解，且在 处取得极值3，则
(13) 设 阶矩阵 的特征值为 ， 其中E为 阶单位矩阵，则行列式
(14) 设二维随机变量 服从正态分布 ，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，求
的值.
(16) (本题满分10 分)
计算二重积分 ，其中
(17) (本题满分10分)
为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 为该商品的需求量， 为价格，
MC为边际成本， 为需求弹性 .
(I) 证明定价模型为 ；
(II) 若该商品的成本函数为 ，需求函数为 ，试由（I）中的定价模型确定
此商品的价格.
(18) (本题满分10分)
设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，由线 在点 处的切
线与直线 及 轴所围成区域的面积恒为4，且 ，求 的表达式.
(19) (本题满分 10分)
(I) 设函数 可导，利用导数定义证明
(II) 设函数 可导， ，写出 的求导公式.
(20) (本题满分11分)
设矩阵 ，且 .
(I) 求 的值；
(II)若矩阵 满足 ，其中 为3阶单位矩阵，求 .(21) (本题满分11分)
设矩阵 相似于矩阵 .
(I)求 的值；
(II)求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵.
(22) (本题满分11分)
设随机变量 的概率密度为
对 进行独立重复的观测,直到 个大于 的观测值出现的停止.记 为观测次数.
(I) 求 的概率分布；
(II) 求
(23) (本题满分11分)
设总体 的概率密度为
其中 为未知参数， 为来自总体 的简单随机样本.
(I) 求 的矩估计量.
(II) 求 的最大似然估计量.
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）答案
(1) 【答案】(D)
【考查分析】本题考查数列极限与子列极限的关系.
【详解】数列收敛，那么它的任何无穷子数列均收敛，所以(A)与(C)正确；一个数列存在多个无穷子
列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的.(B)正确，(D)错,故选
(D).
(2) 【答案】(C)
【考查分析】本题考查曲线的拐点.
【详解】拐点出现在二阶导数等于零，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数
异号.因此，由 的图形可得，曲线 存在两个拐点.故选(C).(3) 【答案】(B)
【考查分析】本题考查直角坐标和极坐标的转换.
【详解】在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
所以 ，选(B).
(4) 【答案】(C)
【考查分析】本题考查数项级数的敛散性.
【详解】选项(A)， 为正项级数，因为 ，所以根据正项级数的比值
判别法 收敛；选项(B)， 为正项级数，因为 ，根据 级数收
敛准则，知 收敛；
选项(C)， ，根据莱布尼茨判别法知 收敛， 发散，
所以根据级数收敛定义知， 发散；
选项(D)， 为正项级数，因为 ，所以
根据正项级数的比值判别法 收敛，所以选(C).
(5) 【答案】(D)
【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定
【详解】对增广矩阵进行初等行变换，得到
由 ，故 或 ，同时 或 .故选(D).(6) 【答案】(A)
【考查分析】本题考查二次型的正交变换.
【详解】由 ，故 .且
.
所以 .选(A).
(7) 【答案】(C)
【考查分析】本题考查概率的性质.
【详解】由于 ，按概率的基本性质，我们有
且 ，
从而 ，选(C).
(8) 【答案】(B)
【考查分析】本题考查统计量的数字特征.
【详解】根据样本方差 的性质 ，而 ，
从而 ，选(B).
(9) 【答案】
【考查分析】本题考查 型未定式极限.
【详解】方法一：
方法二：(10) 【答案】
【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.
【详解】因为 连续，所以 可导，所以 ；
因为 ，所以
又因为 ，所以
故
(11) 【答案】
【考查分析】本题考查隐函数的全微分.
【详解】当 ， 时代入 ，得 .
对 两边求微分，得
把 ， ， 代入上式，得
所以
(12) 【答案】
【考查分析】本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构和性质.
【详解】 的特征方程为 ，特征根为 ， ，
所以该齐次微分方程的通解为 ，
因为 可导，所以 为驻点，
即 ， ，所以 ， ，
故
(13) 【答案】
【考查分析】本题考查抽象型行列式的计算.
【详解】 的所有特征值为 的所有特征值为所以 .
(14) 【答案】
【考查分析】本题考查二维正态分布的性质.
【详解】由题设知， ，且 相互独立，从而
.
(15) 【答案】
【考查分析】本题考查利用等价无穷小的定义求参数.
【详解】方法一：利用泰勒公式.
即
方法二：利用洛必达法则.
因为分母的极限为 ，则分子的极限为 ，即，分母的极限为 ，则分子的极限为 ，即
，则 .
(16) 【答案】
【考查分析】本题考查利用简化性质计算二重积分.
【详解】
(17) 【答案】(I)略
(II) .
【考查分析】本题考查导数的经济应用.
【详解】(I)由于利润函数 ,两边对 求导，得
.
当且仅当 时，利润 最大，又由于 ,所以 ,
故当 时，利润最大.
23(II)由于 ,则 代入(I)中的定价模型，得
,从而解得 .
(18) 【答案】 .
【考查分析】本题考查导数的几何应用和一阶微分方程求解.
【详解】设 在点 处的切线方程为：
令 ，得到 .
由题意， ，即 ，
转化为一阶微分方程 ，
分离变量得到通解为： ，
已知 ，得到 ，因此 ；
即 .
(19) 【考查分析】本题考查导数的定义和导数的四则运算法则.
【详解】(I)
(II) 由题意得(20) 【答案】
【考查分析】本题结合矩阵方程考查矩阵的运算.
【详解】(I)
(II)由题意知
，
(21) 【答案】(I) .
(II)
，则 .
【考查分析】本题考查相似矩阵和矩阵的相似对角化.
【详解】(I) 则 即 .即
整理得到
(II)
的特征值 .
当 时， 的基础解系为
当 时， 的基础解系为
，则 的特征值为 .
令 ，则
.
(22) 【答案】(I) ， .
(II) .
【考查分析】本题考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.
【详解】(I) 记 为观测值大于 的概率，则 .
的概率分布为
，(II)
记 ，则
，
从而 .
(23) 【答案】(I) .
(II) .
【考查分析】本题考查矩估计和最大似然估计.
【详解】(I) .
令 ，即 ，解得 .
为 的矩估计量，其中 ；
(II) 似然函数
当 时， ，
取对数，得到 .
求导，得到 ，
则 越大，似然函数 越大，但是 ，
所以当 时，似然函数 最大.
为 的最大似然估计量.
