2017年考研数学二试题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_2017年考研数学二真题及解析

Born to win 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请 将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1））若函数 在 处连续，则（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】A 1 x 1 1 【解析】 1cos x 2 1 在x0处连续 bab .选A. lim  lim  ,  f(x) 2a 2 x0 ax x0 ax 2a （2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（ ） 【答案】B 【解析】 0 1 f(x)为偶函数时满足题设条件，此时 f(x)dx f(x)dx，排除C,D. 1 0 取 f(x)2x2 1满足条件，则 1 f(x)dx 1  2x2 1  dx 2 0，选B. 1 1 3 （3）设数列 收敛，则（ ） 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 【答案】D 【解析】特值法：（A）取 x  ，有limsinx 0,limx ，A错； n n n n n 取 ，排除B,C.所以选D. x 1 n （4）微分方程的特解可设为 ( 全国统一服务热线：400—668—2155 1Born to 精勤求学 自强不息 win! （A） （B） （C） （D） 【答案】A 2 480 22i 【解析】特征方程为： 1,2 f(x)e2x(1cos2x)e2x e2xcos2xy*  Ae2x,y*  xe2x(Bcos2xCsin2x),  1 2 故特解为： y*  y* y*  Ae2x xe2x(Bcos2xCsin2x), 选C. 1 2 （5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】C f(x,y) f(x,y) 【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调递减函数， 0, 0, f(x,y) x y x y 所以有 ，故答案选D. f(0,1) f(1,1) f(1,0) （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲 的时刻记为 （单位：s），则（ ） 2 2 全国统一服务热线：400—668—2155Born to win （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】从0到t 这段时间内甲乙的位移分别为 t 0v (t)dt, t 0v (t)dt,则乙要追上甲，则 0 1 2 0 0 t 0v (t)v (t)dt 10，当t 25时满足，故选C. 2 1 0 0 （7）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 B 【解析】 , 因此B正确。 （8）设矩阵 ,则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】由 可知A的特征值为2,2,1, 因为 ，∴A可相似对角化，即 由 可知B特征值为2,2,1. 因为 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴ ，但B不相似于C. ( 全国统一服务热线：400—668—2155 3Born to 精勤求学 自强不息 win! 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 曲线 的斜渐近线方程为_______ 【答案】 y  x2 【解析】 y 2 2 lim lim(1arcsin )1,limyxlimxarcsin 2,  x x x x x x x y  x2 (10) 设函数 由参数方程 确定，则 ______ 1 【答案】 8 【解析】 dy dx dy cost cost, 1et   dt dt dx 1et '  cost    d2y 1et  sint(1et)costet d2y 1      dx2 dx  1et2 dx2 t0 8 dt (11) _______ 【答案】1 【解析】 (12) 设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则 4 4 全国统一服务热线：400—668—2155Born to win 【答案】 【解析】 故 ， 因此 ，即 ，再由 ，可得 【答案】 【解析】 （13） 【答案】 . 【解析】交换积分次序： . （14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则 【答案】-1 【解析】设 ，由题设知 ，故 故 . 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. （15）（本题满分10分）求极限 【答案】 【解析】 ，令 ，则有 ( 全国统一服务热线：400—668—2155 5Born to 精勤求学 自强不息 win! （16）（本题满分10分）设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ， 【答案】 【解析】 结论： （17）（本题满分10分）求 【答案】 【解析】 6 6 全国统一服务热线：400—668—2155Born to win （18）（本题满分10分）已知函数 由方程 确定，求 的极值 【答案】极大值为 ，极小值为 【解析】 两边求导得： （1） 令 得 对（1）式两边关于x求导得 （2） 将 代入原题给的等式中，得 ， 将 代入（2）得 将 代入（2）得 故 为极大值点， ； 为极小值点， （19）（本题满分10分）设函数 在区间 上具有2阶导数，且 ，证明： 方程 在区间 内至少存在一个实根； 方程 在区间 内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 （I） 二阶导数， 解：1）由于 ，根据极限的保号性得 有 ，即 进而 又由于 二阶可导，所以 在 上必连续 那么 在 上连续，由 根据零点定理得： 至少存在一点 ，使 ，即得证 ( 全国统一服务热线：400—668—2155 7Born to 精勤求学 自强不息 win! （II）由（1）可知 ， ，令 ，则 由罗尔定理 ，则 ， 对 在 分别使用罗尔定理： 且 ，使得 ，即 在 至少有两个不同实根。 得证。 （20）（本题满分11分）已知平面区域 计算二重积分 。 【答案】 【解析】 （21）（本题满分11分）设 是区间 内的可导函数，且 ，点 是曲线L: 上任意 一点，L在点P处的切线与y轴相交于点 ，法线与x轴相交于点 ，若 ，求L上点的坐 标 满足的方程。 【答案】 【解析】设 的切线为 ，令 得 ，法线 ,令 得 。由 得 ，即 。 令 ， 则 ， 按 照 齐 次 微 分 方 程 的 解 法 不 难 解 出 , （22）（本题满分11分）设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 。 证明： 若 ，求方程组 的通解。 8 8 全国统一服务热线：400—668—2155Born to win 【答案】（I）略；（II）通解为 【解析】 （I）证明：由 可得 ，即 线性相关， 因此， ，即A的特征值必有0。 又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0. 且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 ∴ （II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有1个解向量， 由 可得 ，则 的基础解系为 ， 又 ，即 ，则 的一个特解为 ， 综上， 的通解为 （23）（本题满分 11 分）设二次型 在正交变换 下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵 . 【答案】 【解析】 ( 全国统一服务热线：400—668—2155 9Born to 精勤求学 自强不息 win! ，其中 由于 经正交变换后，得到的标准形为 ， 故 ， 将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则 ， 由 ，可得A的属于特征值-3的特征向量为 ； 由 ，可得A的属于特征值6的特征向量为 由 ，可得A的属于特征值0的特征向量为 令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可： ， 则 ， 10 10 全国统一服务热线：400—668—2155Born to win 如果想要了解更多，广大研友们也可加入2017考研复试交流群（118146590）和大家一起交流考研心 路历程。也可将自己考研的经验传授给学弟学妹们2018考研交流总群（337587371），希望他们在 2018年金榜题名。 ( 全国统一服务热线：400—668—2155 11