文档内容
2016 年重庆市中考数学试卷（B 卷）
一、（共12小题，每小题4分，满分48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中
只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）
1．4的倒数是（ ）
A．﹣4 B．4C．﹣ D．
2．下列交通指示标识中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．据重庆商报2016年5月23日报道，第十九届中国（重庆）国际投资暨全球采购会（简称渝洽会）集中签约
86个项目，投资总额1636亿元人民币，将数1636月科学记数法表示是（ ）
A．0.1636×104B．1.636×103C．16.36×102D．163.6×10
4．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1=55°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
5．计算（x2y）3的结果是（ ）
A．x6y3 B．x5y3 C．x5y D．x2y3
6．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．对重庆市居民日平均用水量的调查
B．对一批LED节能灯使用寿命的调查
C．对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查
D．对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查
7．若二次根式 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
8．若m=﹣2，则代数式m2﹣2m﹣1的值是（ ）
A．9B．7C．﹣1 D．﹣9
第1页（共36页）9．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共
有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（ ）
A．43 B．45 C．51 D．53
10．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点
E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．18 ﹣9π B．18﹣3π C．9 ﹣ D．18 ﹣3π
11．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α
是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1： ，则大楼
AB的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4
12．如果关于x的分式方程 ﹣3= 有负分数解，且关于x的不等式组 的解集
为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（ ）
第2页（共36页）A．﹣3 B．0C．3D．9
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．在﹣ ，0，﹣1，1这四个数中，最小的数是 ．
14．计算： +（ ）﹣2+（π﹣1）0= ．
15．如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB=40°，则∠C等于 度．
16．点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取
一个数作为b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 ．
17．为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小
茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间（t 秒）之间的函
数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 秒．
18．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，DE= DC，连接AE，将△ADE沿AE翻折，点D落在
点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是
．
第3页（共36页）三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程活推理步骤，
画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．
20．某学校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲五个社团，全校1600名学生每人都参加且只参加了其中一
个社团的活动．校团委从这1600名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果制
成了如图不完整的统计图．请根据统计图完成下列问题：
参加本次调查有 名学生，根据调查数据分析，全校约有 名学生参加了音乐社团；
请你补全条形统计图．
四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，满分40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程活推理步骤，
画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．计算：（1）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y） （2） ÷（2x﹣ ）
第4页（共36页）22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与
x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC= ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．
23．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价
时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20
日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元
的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元
的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的 ，两种猪肉销售
的总金额比5月20日提高了 a%，求a的值．
第5页（共36页）24．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种
分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）= ．例如12可以
分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全
平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数
减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最
大值．
五、解答题（本大题2个小题，每小题12分，满分24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程活推理步骤，
画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
25．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD= BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M是AE的中点．
（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；
（2）如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MN⊥AE；
（3）如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探
索 的值并直接写出结果．
第6页（共36页）26．如图1，二次函数y= x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为
（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交
点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S ：S =1：48．
△AMO 四边形AONB
（1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x
轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使
GH+ BH的值最小，求点H的坐标和GH+ BH的最小值；
第7页（共36页）（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y= x2﹣2x+1沿直线BC平移，平移的距离是（t t≥0），平
移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K′是直角三角形时，求t的值．
第8页（共36页）2016 年重庆市中考数学试卷（B 卷）
参考答案与试题解析
一、（共12小题，每小题4分，满分48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中
只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）
1．4的倒数是（ ）
A．﹣4 B．4C．﹣ D．
【考点】倒数．
【专题】计算题．
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数，即可求解．
【解答】解：4的倒数是 ．
故选D．
【点评】本题主要考查了倒数的定义，正确理解定义是解题关键．
2．下列交通指示标识中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
第9页（共36页）3．据重庆商报2016年5月23日报道，第十九届中国（重庆）国际投资暨全球采购会（简称渝洽会）集中签约
86个项目，投资总额1636亿元人民币，将数1636月科学记数法表示是（ ）
A．0.1636×104B．1.636×103C．16.36×102D．163.6×10
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的
绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1636=1636=1.636×103，
故选B．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1=55°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【考点】平行线的性质．
【分析】由两直线平行，同位角相等即可得出结果．
【解答】解：∵a∥b，∠1=55°，
∴∠2=∠1=55°；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质；熟记两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．
5．计算（x2y）3的结果是（ ）
A．x6y3 B．x5y3 C．x5y D．x2y3
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则求解．
【解答】解：（x2y）3=（x2）3y3=x6y3，
故选A．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
第10页（共36页）6．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．对重庆市居民日平均用水量的调查
B．对一批LED节能灯使用寿命的调查
C．对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查
D．对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】计算题；数据的收集与整理．
【分析】利用普查与抽样调查的定义判断即可．
【解答】解：A、对重庆市居民日平均用水量的调查，抽样调查；
B、对一批LED节能灯使用寿命的调查，抽样调查；
C、对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查，抽样调查；
D、对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查，全面调查（普查），
则最适合采用全面调查（普查）的是对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查．
故选D
【点评】此题考查了全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，
一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度
要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7．若二次根式 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】计算题；实数．
【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．
【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴a﹣2≥0，即a≥2，
则a的范围是a≥2，
故选A
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则
二次根式无意义．
第11页（共36页）8．若m=﹣2，则代数式m2﹣2m﹣1的值是（ ）
A．9B．7C．﹣1 D．﹣9
【考点】代数式求值．
【分析】把m=﹣2代入代数式m2﹣2m﹣1，即可得到结论．
【解答】解：当m=﹣2时，
原式=（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣1=4+4﹣1=7，
故选B．
【点评】本题考查了代数式求值，也考查了有理数的计算，正确的进行有理数的计算是解题的关键．
9．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共
有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（ ）
A．43 B．45 C．51 D．53
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】设图形n中星星的颗数是a（n为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化
n
规律“a =2+ ”，结合该规律即可得出结论．
n
【解答】解：设图形n中星星的颗数是a （n为自然是），
n
观察，发现规律：a =2，a =6=a +3+1，a =11=a +4+1，a =17=a +5+1，…，
1 2 1 3 2 4 3
∴a =2+ ．
n
令n=8，则a =2+ =51．
8
故选C．
第12页（共36页）【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a =2+ ”．本
n
题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律
是关键．
10．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点
E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．18 ﹣9π B．18﹣3π C．9 ﹣ D．18 ﹣3π
【考点】菱形的性质；扇形面积的计算．
【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=
菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°﹣60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=6× =3 ，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积=6×3 ﹣ =18 ﹣
9π．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题
的关键．
第13页（共36页）11．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α
是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1： ，则大楼
AB的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH= x米，在
Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明
△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6 +20（米），即可得出大楼AB的高度．
【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1： ，
∴BH：CH=1： ，
设BH=x米，则CH= x米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：x2+（ x）2=122，
解得：x=6，∴BH=6米，CH=6 米，
∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6 +20（米），
∵∠α=45°，
第14页（共36页）∴∠EAG=90°﹣45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=6 +20（米），
∴AB=AG+BG=6 +20+9≈39.4（米）；
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG
是解决问题的关键．
12．如果关于x的分式方程 ﹣3= 有负分数解，且关于x的不等式组 的解集
为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．﹣3 B．0C．3D．9
【考点】解一元一次不等式组；解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用．
【分析】把a看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式
方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积．
【解答】解： ，
由①得：x≤2a+4，
由②得：x＜﹣2，
由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，
分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，
第15页（共36页）把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即x=﹣ ，符合题意；
把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；
把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即x=﹣ ，符合题意；
把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；
把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即x=﹣ ，符合题意；
把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意；
把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即x=﹣ ，符合题意；
把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，
∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为9，
故选D
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．在﹣ ，0，﹣1，1这四个数中，最小的数是 ﹣ 1 ．
【考点】有理数大小比较．
【分析】根据负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案．
【解答】解：|﹣1|＞|﹣ |，
﹣1＜﹣ ．
﹣1＜﹣ ＜0＜1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了有理数大小比较，负数比较大小，绝对值大的数反而小．
第16页（共36页）14．计算： +（ ）﹣2+（π﹣1）0= 8 ．
【考点】零指数幂；实数的运算；负整数指数幂．
【分析】根据开立方，可得立方根；根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得
答案．
【解答】解：原式=﹣2+9+1
=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了零指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1是解题关
键．
15．如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB=40°，则∠C等于 2 5 度．
【考点】圆周角定理．
【分析】由三角形的内角和定理求得∠AOB=50°，根据等腰三角形的性质证得∠C=∠CAO，由三角形的外角
定理即可求得结论．
【解答】解：∵AB⊥CD，∠OAB=40°，
∴∠AOB=50°，
∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO，
∴∠AOB=2∠C=50°，
∴∠C=25°，
故答案为25．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关
键．
第17页（共36页）16．点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取
一个数作为b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；坐标确定位置．
【专题】计算题．
【分析】先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再根据第二象限点的坐标特征找出点P（a，b）在平面直
角坐标系中第二象限内的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，
所以点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率= = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了坐标确定位置．
17．为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小
茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间（t 秒）之间的函
数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 12 0 秒．
【考点】一次函数的应用．
【分析】分别求出OA、BC的解析式，然后联立方程，解方程就可以求出第一次相遇时间．
【解答】解：设直线OA的解析式为y=kx，
第18页（共36页）代入A（200，800）得800=200k，
解得k=4，
故直线OA的解析式为y=4x，
设BC的解析式为y =k x+b，由题意，得 ，
1 1
解得： ，
∴BC的解析式为y =2x+240，
1
当y=y 时，4x=2x+240，
1
解得：x=120．
则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．
故答案为120．
【点评】本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运
用，解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是关键．
18．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，DE= DC，连接AE，将△ADE沿AE翻折，点D落在
点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是
（ + ） ．
第19页（共36页）【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图，延长EF交BC于M，连接AM，OM，作FN⊥CD于N，FR⊥BC于R，GH⊥OM于H交FR于T，
首先证明△AMF≌△AMB，得BM=MF，设BM=MF=x，在RT△EMC中利用勾股定理求出x，推出BM=MC，
设GC=y，根据FT∥OH，得 = = = = ，列出方程求出GC，再想办法分别求出FG、BG、BF即可解决
问题．
【解答】解；如图延长EF交BC于M，连接AM，OM，作FN⊥CD于N，FR⊥BC于R，GH⊥OM于H交FR于
T．
在RT△AMF和RT△AMB中，
，
∴△AMF≌△AMB，
∴BM=MF，设BM=MF=x，
在RT△EMC中，∵EM2=EC2+MC2，
∴（2+x）2=（6﹣x）2+42，
∴x=3，
∴BM=MC=3，
∵OB=OD，
∴OM= CD=3，
∵FR∥EC，
∴ = ，
第20页（共36页）∴ = ，
∴FR= ，
设CG=y，则FT= ﹣y．OH=3﹣y，
∵FT∥OH，
∴ = = = = ，
∴ = ，
∴y=3，
∴CG=3，NG=CN﹣CG= ，
在RT△FNG中，FG= = = ，
在RT△BCG中，BG= =2 ，
∵AB=AF，MB=MF，
∴AM⊥BF，
∵ AM•BF=2× ×AB×BM，
∴BF= ，
∴△BFG的周长= +2 + = （ + ）．
第21页（共36页）故答案为 （ + ）．
【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理
等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，利用勾股定理构建方程解决问题，题目比较难，属于中
考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程活推理步骤，
画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和△CED全等，然
后根据全等三角形对应角相等证明即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECD，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴∠B=∠E．
第22页（共36页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边
的夹角是解题的关键．
20．某学校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲五个社团，全校1600名学生每人都参加且只参加了其中一
个社团的活动．校团委从这1600名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果制
成了如图不完整的统计图．请根据统计图完成下列问题：
参加本次调查有 24 0 名学生，根据调查数据分析，全校约有 6 0 名学生参加了音乐社团；请你补全条
形统计图．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】根据“演讲”社团的24个人占被调查人数的10%可得总人数，将总人数分别乘以“书法”、“舞
蹈”的百分比求出其人数，将总人数减去其余四个社团的人数可得“音乐”社团的人数，补全条形图即可．
【解答】解：参加本次调查的学生有24÷10%=240（人），
则参加“书法”社团的人数为：240×15%=36（人），
参加“舞蹈”社团的人数为：240×20%=48（人），
∴参加“音乐”社团的人数为：240﹣36﹣72﹣48﹣24=60（人），
补全条形图如图：
第23页（共36页）故答案为：240，60．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信
息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百
分比大小．
四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，满分40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程活推理步骤，
画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．计算：（1）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y） （2） ÷（2x﹣ ）
【考点】分式的混合运算；整式的混合运算．
【分析】（1）根据平方差公式、多项式乘多项式法则进行计算；
（2）根据分式混合运算法则进行计算．
【解答】解：（1）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）
=x2﹣2xy+y2﹣x2+xy+2y2
=﹣xy+3y2；
（2） ÷（2x﹣ ）
= ×
= ．
【点评】本题考查的是整式的混合运算、分式的混合运算，掌握平方差公式、多项式乘多项式法则、分式的混
合运算法则是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与
x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC= ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．
第24页（共36页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y= ．通过解直角三角形求出线段AE、OE的
长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标利用
待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即
可得出结论．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．
设反比例函数解析式为y= ．
∵AE⊥x轴，
∴∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC= ，∠AEO=90°，
∴AE=AO•sin∠AOC=3，OE= =4，
∴点A的坐标为（﹣4，3）．
第25页（共36页）∵点A（﹣4，3）在反比例函数y= 的图象上，
∴3= ，解得：k=﹣12．
∴反比例函数解析式为y=﹣ ．
（2）∵点B（m，﹣4）在反比例函数y=﹣ 的图象上，
∴﹣4=﹣ ，解得：m=3，
∴点B的坐标为（3，﹣4）．
设直线AB的解析式为y=ax+b，
将点A（﹣4，3）、点B（3，﹣4）代入y=ax+b中得：
，解得： ，
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1．
令一次函数y=﹣x﹣1中y=0，则0=﹣x﹣1，
解得：x=﹣1，即点C的坐标为（﹣1，0）．
S = OC•（y ﹣y ）= ×1×[3﹣（﹣4） = ．
△AOB A B
]
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，
解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出直线AB的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型
题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
23．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价
时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20
日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
第26页（共36页）（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元
的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元
的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的 ，两种猪肉销售
的总金额比5月20日提高了 a%，求a的值．
【考点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；
（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；
根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，
解得：x≥25．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；
（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；
根据题意得：40（1﹣a%）× （1+a%）+40× （1+a%）=40（1+ a%），
令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）× （1+y）+40× （1+y）=40（1+ y），
整理得：5y2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=20；
答：a的值为20．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题
的关键．
第27页（共36页）24．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种
分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）= ．例如12可以
分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全
平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数
减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最
大值．
【考点】实数的运算．
【专题】新定义．
【分析】（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）= =1；
（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求
出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．
【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1；
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t为“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，
∴y=x+2，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，
第28页（共36页）∴F（13）= ，F（24）= = ，F（35）= ，F（46）= ，F（57）= ，F（68）= ，F（79）= ，
∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是 ．
【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的
关键．
五、解答题（本大题2个小题，每小题12分，满分24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程活推理步骤，
画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
25．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD= BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M是AE的中点．
（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；
（2）如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MN⊥AE；
（3）如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探
索 的值并直接写出结果．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）先证明△ACE是直角三角形，根据CM= AE，求出AE即可解决问题．
（2）如图2中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长ED交AB于F，先证明△AMG≌△EMD，推
出EF∥AG，再证明△ABG≌△CAE，得∠ABG=∠CAE，由此即可解决问题．
第29页（共36页）（3）如图3中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F，先证明△ABG≌△CAE，
得到BG=AE，设BC=2a，在RT△AEF中求出AE，根据中位线定理MN= BG= AE，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接AD．
∵AB=AC=4，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACD=45°，BC= =4 ，
∵DC= BC=2 ，
∵ED=EC，∠DEC=90°，
∴DE=EC=2，∠DCE=∠EDC=45°，
∴∠ACE=90°，
在RT△ACE中，AE= = =2 ，
∵AM=ME，
∴CM= AE= ．
（2）如图2中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长ED交AB于F．
在△AMG和△EMD中，
，
∴△AMG≌△EMD，
∴AG=DE=EC，
∠MAG=∠MED，
∴EF∥AG，
∴∠BAG=∠BFE=180°﹣∠FBC﹣（90°﹣∠ECB）=45°+∠BCE=∠ACE，
在△ABG和△CAE中，
第30页（共36页），
∴△ABG≌△CAE，
∴∠ABG=∠CAE，
∵∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠ABG+∠BAE=90°，
∴∠AOB=90°，
∴BG⊥AE，
∵DN=NB，DM=MG，
∴MN∥BG，
∴MN⊥AE．
（3）如图3中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F．
∵△AMG≌△EMD，
∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，
∴AG∥DE，
∴∠F=∠DEC=90°，
∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∠BCD=30°，
∴∠BAG=∠ACE=120°，
在△ABG和△CAE中，
，
∴△ABG≌△CAE，
∴BG=AE，
∵BN=ND，DM=MG，
∵BG=AE=2MN，
∴∠FAC=∠BCD=30°，设BC=2a，则CD=a，DE=EC= a，AC= a，CF= a，AF= a，EF= a，
∴AE= = a，
第31页（共36页）∴MN= a，
∴ = = ．
【点评】本题考查相似形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解
题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，学会添加辅助线的方法，属于中考压轴题．
第32页（共36页）26．如图1，二次函数y= x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为
（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交
点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S ：S =1：48．
△AMO 四边形AONB
（1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x
轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使
GH+ BH的值最小，求点H的坐标和GH+ BH的最小值；
（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y= x2﹣2x+1沿直线BC平移，平移的距离是（t t≥0），平
移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K′是直角三角形时，求t的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据S ：S =1：48，求出三角形相似的相似比为1：7，从而求出BN，继而求出点B的
△AMO 四边形AONB
坐标，用待定系数法求出直线解析式．
（2）先判断出PE×PF最大时，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大时G（5， ），再简单的计算即可；
（3）由平移的特点及坐标系中，两点间的距离公式得A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，最
后分三种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵点C是二次函数y= x2﹣2x+1图象的顶点，
∴C（2，﹣1），
第33页（共36页）∵PE⊥x轴，BN⊥x轴，
∴△MAO∽△MBN，
∵S ：S =1：48，
△AMO 四边形AONB
∴S ：S =1：49，
△AMO △BMN
∴OA：BN=1：7，
∵OA=1
∴BN=7，
把y=7代入二次函数解析式y= x2﹣2x+1中，可得7= x2﹣2x+1，
∴x =﹣2（舍），x =6
1 2
∴B（6，7），
∵A的坐标为（0，1），
∴直线AB解析式为y=x+1，
∵C（2，﹣1），B（6，7），
∴直线BC解析式为y=2x﹣5．
（2）如图1，
设点P（x ，x +1），
0 0
∴D（ ，x +1），
0
∴PE=x +1，PD=3﹣ x ，
0 0
∵△PDF∽△BGN，
∴PF：PD的值固定，
∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，
第34页（共36页）PE×PD=（x +1）（3﹣ x ）=﹣ x 2+ x +3，
0 0 0 0
∴当x = 时，PE×PD最大，
0
即：PE×PF最大．此时G（5， ）
∵△MNB是等腰直角三角形，
过B作x轴的平行线，
∴ BH=B H，
1
GH+ BH的最小值转化为求GH+HB 的最小值，
1
∴当GH和HB 在一条直线上时，GH+HB 的值最小，
1 1
此时H（5，6），最小值为7﹣ =
（3）令直线BC与x轴交于点I，
∴I（ ，0）
∴IN= ，IN：BN=1：2，
∴沿直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，﹣1+2m），
∴A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，
当∠A′KC′=90°时，A′K2+KC′2=A′C′2，解得m= ，此时t= m=2 ± ；
当∠KC′A′=90°时，KC′2+A′C′2=A′K2，解得m=4，此时t= m=4 ；
当∠KA′C′=90°时，A′C′2+A′K2=KC′2，解得m=0，此时t=0．
第35页（共36页）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的结论
公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用．
第36页（共36页）
