文档内容
® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
3
育
七年级
教
科
义务教育教科书
书
︵ （五·四学制）
五
·
四
下册
学
制
︶
数学 七年级 下册
数
数学
学
七
年
级
下
册
绿色印刷产品
数学七年级下封面绿标.indd 1 2013.9.16 2:26:58 PM义 务 教 育 教 科 书
（五·四学制）
数 学
七年级
下册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
·北 京·主 编：林 群
副 主 编：田载今 薛 彬 李海东
本册主编：薛 彬
主要编写人员：张劲松 王 嵘 薛 彬 宋莉莉 吴晓燕 王 冰
责任编辑：李龙才
美术编辑：王俊宏
封面设计：吕 旻 王俊宏
插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面）
义务教育教科书（ 五·四学制） 数学 七年级 下册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
重 印 ×××出版社
发 行 ×××新华书店
印 刷 ×××印刷厂
版 次 2013年10月第1版
印 次 年 月第 次印刷
开 本 787毫米×1092毫米 1/16
印 张 8.75
字 数 140千字
书 号 ISBN 978-7-107-27299-8
定 价 元
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如发现印、装质量问题，影响阅读，请与出版社联系调换。电话：010-83543867本册导引
亲爱的同学，新学期开始了。
你将要学习的这本书是我们根据 《义务教育数学课程标准 （２０１１年版）》
编写的教科书，这是你在六～九年级要学习的八册数学教科书中的第四册。
“二元一次方程组”提供了许多实际问题情境，引导你分析问题中的数量
关系，利用其中的相等关系列出二元一次方程组，解方程组得到问题的答案。
这样的过程将使你进一步感受方程是解决实际问题的重要数学工具。
在现实生活中存在着大量的需要研究不等关系的问题，例如，比较两个同
学的身高，就是要研究身高的不等关系。在 “不等式与不等式组”中，你会学
到列、解不等式的方法，你将看到如同方程可以解决具有相等关系的问题一
样，不等式可以解决具有不等关系的问题。
对三角形我们并不陌生，比如我们知道 “三角形的内角和等于１８０°”。这
个结论需要证明吗？又怎样证明呢？怎样利用这个结论求出四边形、五边
形……的内角和呢？请你到 “三角形”一章中去探索，在那里你不仅能够解决
上面的问题，而且能够学到研究几何图形的重要思想和方法，并初步了解所学
的图形知识在日常生活中的广泛应用。
“全等三角形”将带你认识 “全等”这种图形间特殊的关系，并探索判断
两个三角形形状、大小相同的条件，了解角的平分线的性质。学习了这些内
容，你会对几何图形有进一步的认识，进一步学习几何证明的思想，提高推理
论证和解决问题的能力。
我们已经了解了一些数据处理的基本方法，看到统计在现代生活中扮演着
越来越重要的角色。“数据的分析”将引导你进一步学习数据处理的方法，比
如如何分析数据的集中趋势，如何刻画数据的离散程度等。通过一些有趣的调
查活动，你会对数据的作用有更深刻的认识，对用样本估计总体的思想有更多
的体会。
数学伴着我们成长、数学伴着我们进步、数学伴着我们成功，让我们一起
随着这本书，继续畅游神奇、美妙的数学世界吧！目 录
第十五章 二元一次方程组
１５．１ 二元一次方程组 ２
１５．２ 消元———解二元一次方程组 ５
１５．３ 二元一次方程组与实际问题 １３
１５．４ 三元一次方程组的解法 １７
阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法 ２１
数学活动
２３
小结
２４
复习题１５
２５
第十六章 不等式与不等式组
１６．１ 不等式 ２８
阅读与思考 用求差法比较大小 ３５
１６．２ 一元一次不等式 ３６
１６．３ 一元一次不等式组 ４１
数学活动
４５
小结
４６
复习题１６
４７第十七章 三角形
１７．１ 与三角形有关的线段 ４９
信息技术应用 画图找规律 ５７
１７．２ 与三角形有关的角 ５８
阅读与思考 为什么要证明 ６５
１７．３ 多边形及其内角和 ６６
数学活动
７３
小结
７４
复习题１７
７５
第十八章 全等三角形
１８．１ 全等三角形 ７８
１８．２ 三角形全等的判定 ８２
信息技术应用 探究三角形全等的条件 ９３
１８．３ 角的平分线的性质 ９５
数学活动
１００
小结
１０１
复习题１８
１０２第十九章 数据的分析
１９．１ 数据的集中趋势 １０５
１９．２ 数据的波动程度 １１８
阅读与思考 数据波动程度的几种度量 １２３
１９．３ 课题学习 体质健康测试中的数据分析 １２５
数学活动
１２８
小结
１２９
复习题１９
１３０
部分中英文词汇索引
１３２第十五章 二元一次方程组
我们看下面的问题．
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队
胜１场得２分，负１场得１分．某队在１０场比赛
中得到１６分，那么这个队胜、负场数分别是多少？
在上面的问题中，要求的是两个未知数．如果
用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未
知数表示另一个未知数．能不能根据题意直接设两
个未知数，使列方程变得容易呢？我们从这个想
法出发开始本章的学习．
本章我们将从实际问题出发，认识二元一次
方程组，学会解二元一次方程组的方法，并运用
二元一次方程组解决一些实际问题．在此基础上，
学习三元一次方程组及其解法，进一步体会消元
的思想方法．通过本章的学习，你将对方程 （组）
有新的认识．
x y 10
2x y 16
x+y=10,
2x+y=16.
书书书１５．１ 二元一次方程组
引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是狓，负
的场数是狔，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分．
这两个条件可以用方程
狓＋狔＝１０， 这两个方程有
２狓＋狔＝１６
什么特点？与一元
一次方程有什么
表示．
不同？
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知
数 （狓和狔），并且含有未知数的项的次数都是１，
像这样的方程叫做二元一次方程 （ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎ
ｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）．
上面的问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数狓，狔必须同
时满足方程
狓＋狔＝１０ ①
和
２狓＋狔＝１６． ②
把这两个方程合在一起，写成
烄狓＋狔＝１０，
烅
烆２狓＋狔＝１６，
就组成了一个方程组．这个方程组中有两个未知数，每个方程中含未知数的项
的次数都是１，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组
（ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）．
２
!"#$%&’()*+,
满足方程①，且符合问题的实际意义的狓，狔的值有哪些？把它们填
入表中．
狓
狔
上表中哪对狓，狔的值还满足方程②？
由上表可知，狓＝０，狔＝１０；狓＝１，狔＝９；…；狓＝１０，狔＝０使方程狓＋狔＝
１０两边的值相等，它们都是方程狓＋狔＝１０的解．如果不考虑方程狓＋狔＝１０
与上面实际问题的联系，那么狓＝－１，狔＝１１；狓＝０．５，狔＝９．５；……也都是
这个方程的解．
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次
方程的解．
我们还发现，狓＝６，狔＝４既满足方程①，又满足方程②．也就是说，狓＝
６，狔＝４是方程①与方程②的公共解．我们把狓＝６，狔＝４叫做二元一次方
程组
烄狓＋狔＝１０，
烅
烆２狓＋狔＝１６
的解．这个解通常记作
烄狓＝６，
烅
烆狔＝４．
联系前面的问题可知，这个队在１０场比赛中胜６场、负４场．
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组
的解．
对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解．
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成９００件，第二道工序每人
每天可完成１２００件．现有７位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每
天第一、第二道工序所完成的件数相等？
３
!"#$%&’()*+,习题１５．１
１．填表，使上下每对狓，狔的值是方程３狓＋狔＝５的解．
狓 －２ ０ ０．４ ２
狔 －０．５ －１ ０ ３
２．选择题．
方程组
烄３狓＋４狔＝５，
烅 ５
－７狓＋９狔＝－
烆 ２
的解是 （ ）．
烄狓＝２， 烄狓＝－５．５， 烄狓＝１， 烄狓＝－１，
（Ａ）烅 （Ｂ）烅 （Ｃ）烅 （Ｄ）烅
烆狔＝－０．２５ 烆狔＝４ 烆狔＝０．５ 烆狔＝－０．５
３．如果三角形的三个内角分别是狓°，狔°，狔°，求：
（１）狓，狔满足的关系式；
（２）当狓＝９０时，狔的值；
（３）当狔＝６０时，狓的值．
４．我国古代数学著作 《孙子算经》中有 “鸡兔同笼”问题： “今有鸡兔同笼，上有
三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数
量关系吗？试找出问题的解．
５．把一根长７ｍ的钢管截成２ｍ长和１ｍ长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？
你有几种不同的截法？
４
!"#$%&’()*+,１５．２ 消元———解二元一次方程组
在１５．１节中我们已经看到，直接设两个未知数：胜狓场、负狔场，可以
烄狓＋狔＝１０，
列方程组
烅
表示本章引言中问题的数量关系．如果只设一个未知数：
烆２狓＋狔＝１６
胜狓场，那么这个问题也可以用一元一次方程
２狓＋（１０－狓）＝１６
来解．
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
我们发现，二元一次方程组中第一个方程狓＋狔＝１０可以写为狔＝１０－狓．
由于两个方程中的狔都表示负的场数，所以，我们把第二个方程２狓＋狔＝１６
中的狔换为１０－狓，这个方程就化为一元一次方程２狓＋（１０－狓）＝１６．解这个
方程，得狓＝６．把狓＝６代入狔＝１０－狓，得狔＝４．从而得到这个方程组
的解．
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二
元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，
然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫
做消元思想．
上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个
未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元
一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法 （ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ
ｍｅｔｈｏｄ）．
例１ 用代入法解方程组
烄狓－狔＝３， ①
烅
烆３狓－８狔＝１４． ②
５
!"#$%&’()*+,分析：方程①中狓的系数是１，用含狔的式子表示狓，比较简便．
解：由①，得
把③代入①可以
狓＝狔＋３． ③
吗？试试看．
把③代入②，得
３（狔＋３）－８狔＝１４．
解这个方程，得
狔＝－１．
把狔＝－１代入③，得
把狔＝－１代入
狓＝２．
①或②可以吗？
所以这个方程组的解是
烄狓＝２，
烅
烆狔＝－１．
例２ 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 （５００ｇ）和小瓶装 （２５０ｇ）两
种产品的销售数量 （按瓶计算）比为２∶５．某厂每天生产这种消毒液２２．５ｔ，
这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
分析：问题中包含两个条件：
大瓶数∶小瓶数＝２∶５，
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量．
解：设这些消毒液应该分装狓大瓶、狔小瓶．
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得
烄５狓＝２狔， ①
烅
烆５００狓＋２５０狔＝２２５０００００． ②
由①，得
５
狔＝ 狓． ③
２
把③代入②，得
５
５００狓＋２５０× 狓＝２２５０００００．
２
解这个方程，得
６
!"#$%&’()*+,狓＝２００００．
把狓＝２００００代入③，得
狔＝５００００．
所以这个方程组的解是
烄狓＝２００００，
烅
烆狔＝５００００．
答：这些消毒液应该分装２００００大瓶和５００００小瓶．
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
解得
变形
二 ５ ＝５０ ０００
元 ５ ＝２ ＝
一 ２ ＝２０ ０００
次 代入 解得
方
一元一次方程
程 消去
组 ５
５００ ＋２５０ ＝２２ ５００ ０００
５００ ＋２５０× ＝２２ ５００ ０００
２
用 ５ 代替 消去未知数
，
２
解这个方程组时，可以先消去狓吗？试试看．
１．把下列方程改写成用含狓的式子表示狔的形式：
（１）２狓－狔＝３； （２）３狓＋狔－１＝０．
２．用代入法解下列方程组：
烄狔＝２狓－３， 烄２狓－狔＝５，
（１）烅 （２）烅
烆３狓＋２狔＝８； 烆３狓＋４狔＝２．
３．有４８支队５２０名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队１０人，每支排
球队１２人，每名运动员只能参加一项比赛．篮球队、排球队各有多少支参赛？
４．张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，１．５ｈ
后到达县城．他骑车的平均速度是１５ｋｍ／ｈ，步行的平均速度是５ｋｍ／ｈ，路程
全长２０ｋｍ．他骑车与步行各用多少时间？
７
!"#$%&’()*+,
前面我们用代入法求出了方程组
烄狓＋狔＝１０， ①
烅
烆２狓＋狔＝１６ ②
的解．这个方程组的两个方程中，狔的系数有什么关系？利用这种关系你
能发现新的消元方法吗？
这两个方程中未知数狔的系数相等，②－①
可消去未知数狔，得
②－①就是用方程
狓＝６．
②的左边减去方程①的
把狓＝６代入①，得
左边，方程②的右边减
狔＝４．
去方程①的右边．
所以这个方程组的解是
烄狓＝６，
烅
烆狔＝４．
①－②也能消去
未知数狔，求得狓吗？
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
烄３狓＋１０狔＝２．８，
烅
烆１５狓－１０狔＝８．
从上面两个方程组的解法可以看出：当二元一次方程组的两个方程中同一
未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就
能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称
加减法 （ａｄｄｉｔｉｏｎｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ）．
８
!"#$%&’()*+,例３ 用加减法解方程组
烄３狓＋４狔＝１６， ①
烅
烆５狓－６狔＝３３． ②
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数互为相反数或相等，直接加
减这两个方程不能消元．我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系
数互为相反数或相等．
解：①×３，得
９狓＋１２狔＝４８． ③
②×２，得
１０狓－１２狔＝６６． ④
③＋④，得
１９狓＝１１４，
狓＝６．
把狓＝６代入 ① ，得
３×６＋４狔＝１６，
把狓＝６代入②
可以解得狔吗？
４狔＝－２，
１
狔＝－ ．
２
所以这个方程组的解是
如果用加减法消
烄狓＝６，
去狓应如何解？解得
烅 １ 的结果一样吗？
狔＝－ ．
烆 ２
例４ ２台大收割机和５台小收割机同时工作２ｈ共收割小麦３．６ｈｍ２ ，
３台大收割机和２台小收割机同时工作５ｈ共收割小麦８ｈｍ２．１台大收割机
和１台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
分析：如果１台大收割机和１台小收割机每小时各收割小麦狓ｈｍ２ 和狔ｈｍ２ ，
那么２台大收割机和５台小收割机同时工作１ｈ共收割小麦 ｈｍ２ ，
３台大收割机和２台小收割机同时工作１ｈ共收割小麦 ｈｍ２．由此得
到两个相等关系，列出方程组．
解：设１台大收割机和１台小收割机每小时各收割小麦狓ｈｍ２ 和狔ｈｍ２．
根据两种工作方式中的相等关系，得方程组
９
!"#$%&’()*+,烄２（２狓＋５狔）＝３．６，
烅
烆５（３狓＋２狔）＝８．
去括号，得
烄４狓＋１０狔＝３．６， ①
烅
烆１５狓＋１０狔＝８． ②
②－①，得
１１狓＝４．４．
解这个方程，得
狓＝０．４．
把狓＝０．４代入①，得
狔＝０．２．
因此，这个方程组的解是
烄狓＝０．４，
烅
烆狔＝０．２．
答：１台大收割机和１台小收割机每小时各收割小麦０．４ｈｍ２ 和０．２ｈｍ２．
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
解得
二
＝０．２
元 ４ ＋１０ ＝３．６ ①
＝０．４
一
解得
次
方
②－①
程 一元一次方程
组 １５ ＋１０ ＝８ ②
１１ ＝４．４
两方程相减 消去未知数
，
１．用加减法解下列方程组：
烄狓＋２狔＝９， 烄５狓＋２狔＝２５，
（１）烅 （２）烅
烆３狓－２狔＝－１； 烆３狓＋４狔＝１５；
１０
!"#$%&’()*+,烄２狓＋５狔＝８， 烄２狓＋３狔＝６，
（３）烅 （４）烅
烆３狓＋２狔＝５； 烆３狓－２狔＝－２．
２．一条船顺流航行，每小时行２０ｋｍ；逆流航行，每小时行１６ｋｍ．求轮船在静水
中的速度与水的流速．
３．运输３６０ｔ化肥，装载了６节火车车厢和１５辆汽车；运输４４０ｔ化肥，装载了
８节火车车厢和１０辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消
元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同．我们应根据方程组的
具体情况，选择适合它的解法．
（１）你怎样解下面的方程组？
烄２狓＋狔＝１．５， 烄狓＋２狔＝３，
烅 烅
烆０．８狓＋０．６狔＝１．３； 烆３狓－２狔＝５．
（２）选择你认为简便的方法解习题１５．１中的第４题 （“鸡兔同笼”问
题）．
习题１５．２
１．把下列方程改写成用含狓的式子表示狔的形式：
３ １ ７
（１） 狓＋２狔＝１； （２） 狓＋ 狔＝２；
２ ４ ４
（３）５狓－３狔＝狓＋２狔； （４）２（３狔－３）＝６狓＋４．
２．用代入法解下列方程组：
烄狔＝狓＋３， 烄３狊－狋＝５，
（１）烅 （２）烅
烆７狓＋５狔＝９； 烆５狊＋２狋＝１５；
烄４狓＋狔＝１５， 烄４（狓＋２）＋５狔＝１，
（３）烅 （４）烅
烆３狓－２狔＝３； 烆２狓＋３（狔＋２）＝３．
１１
!"#$%&’()*+,
书书书３．用加减法解下列方程组：
烄３狌＋２狋＝７， 烄２犪＋犫＝３，
（１）烅 （２）烅
烆６狌－２狋＝１１； 烆３犪＋犫＝４；
烄１ ３
烄２狓－５狔＝－３， 狓－ 狔＝－１，
（３）烅 （４）烅２ ２
烆－４狓＋狔＝－３；
烆２狓＋狔＝３．
４．某班去看演出，甲种票每张２４元，乙种票每张１８元．如果３５名学生购票恰好用
去７５０元，甲、乙两种票各买了多少张？
５．解下列方程组：
烄２狌 ３狏 １
＋ ＝ ，
烄３（狓－１）＝狔＋５， ３ ４ ２
（１）烅 （２）烅
烆５（狔－１）＝３（狓＋５）； ４狌 ５狏 ７
＋ ＝ ．
烆５ ６ １５
６．顺风旅行社组织２００人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数比到云水洞的人
数的２倍少１，到两地旅游的人数各是多少？
７．小方、小程两人相距６ｋｍ，两人同时出发相向而行，１ｈ相遇；同时出发同向而
行，小方３ｈ可追上小程．两人的平均速度各是多少？
８．一种商品有大、小盒两种包装，３大盒、４小盒共装１０８瓶，２大盒、３小盒共装
７６瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？
９．一个长方形的长减少５ｃｍ，宽增加２ｃｍ，就成为一个正方形，并且这两个图形的
面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？
１２
!"#$%&’()*+,１５．３ 二元一次方程组与实际问题
前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些
实际问题．本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题．同学们可
以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相
交流．
养牛场原有３０头大牛和１５头小牛，１天约用饲料６７５ｋｇ；一周后又
购进１２头大牛和５头小牛，这时１天约用饲料９４０ｋｇ．饲养员李大叔估
计每头大牛１天约需饲料１８～２０ｋｇ，每头小牛１天约需饲料７～８ｋｇ．你
能通过计算检验他的估计吗？
分析：设每头大牛和每头小牛１天各约用饲料狓ｋｇ和狔ｋｇ．
根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组
烄 ，
烅
烆 ．
解这个方程组，得
烄狓＝ ，
烅
烆狔＝ ．
这就是说，每头大牛１天约需饲料 ｋｇ，每头小牛１天约需饲料
ｋｇ．因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计 ，对小牛的食量估计
．
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是１∶２．现要把一
块长２００ｍ、宽１００ｍ的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植
这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比
是３∶４？
１３
!"#$%&’()*+,分析：如图１５．３１，一种种植方案为：甲、
D F C
乙两种作物的种植区域分别为长方形犃犈犉犇和
犅犆犉犈．此时设犃犈＝狓ｍ，犅犈＝狔ｍ ，根据问
题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组
E
烄 ， A x y B
烅
烆 ． 图１５．３１
解这个方程组，得
烄狓＝ ，
烅
烆狔＝ ． 你还能设计其
过长方形土地的长边上离一端 处，作 他种植方案吗？
这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．
较大一块土地种 种作物，较小一块土地种
种作物．
如图１５．３２，长青化工厂与Ａ，Ｂ两地有公路、铁路相连．这家工厂
从Ａ地购买一批每吨１０００元的原料运回工厂，制成每吨８０００元的产品运
到Ｂ地．已知公路运价为１．５元／（ｔ·ｋｍ），铁路运价为１．２元／（ｔ·ｋｍ），
且这两次运输共支出公路运费１５０００元，铁路运费９７２００元．这批产品的
销售款比原料费与运输费的和多多少元？
A
120 km
10 km
B
20 km 110 km
图１５．３２
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关．设制成狓ｔ产品，
购买狔ｔ原料．根据题中数量关系填写下页表．
１４
!"#$%&’()*+,产品狓ｔ 原料狔ｔ 合计
公路运费／元
铁路运费／元
价 值／元
题目所求数值是 ，为此需先解出 与 ．
由上表，列方程组
烄 ，
烅
烆 ．
解这个方程组，得
烄狓＝ ，
烅
烆狔＝ ．
因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 元．
从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．用
方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解
后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
习题１５．３
１．解下列方程组：
烄２狓 ３狔 １７
＋ ＝ ，
烄３狓－狔＝５， ３ ４ １２
（１）烅 （２）烅
烆５狔－１＝３狓＋５； 狓 狔 １
－ ＝－ ．
烆６ ２ ３
２．Ａ地至Ｂ地的航线长９７５０ｋｍ，一架飞机从Ａ地顺风飞往Ｂ地需１２．５ｈ，逆风
飞行同样的航线需１３ｈ．求飞机无风时的平均速度与风速．
３．一支部队第一天行军４ｈ，第二天行军５ｈ，两天共行军９８ｋｍ，且第一天比第二
天少走２ｋｍ．第一天和第二天行军的平均速度各是多少？
１５
!"#$%&’()*+,
４．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身２５个或盒底４０个，一个盒身与两个盒底
配成一套罐头盒．现有３６张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身
与盒底正好配套？
５．有大小两种货车，２辆大货车与３辆小货车一次可以运货１５．５ｔ，５辆大货车与６
辆小货车一次可以运货３５ｔ．３辆大货车与５辆小货车一次可以运货多少吨？
６．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走３ｋｍ，平路每小时
走４ｋｍ，下坡每小时走５ｋｍ，那么从甲地到乙地需５４ｍｉｎ，从乙地到甲地需
４２ｍｉｎ．甲地到乙地全程是多少？
７．用含药３０％和７５％的两种防腐药水，配制含药５０％的防腐药水１８ｋｇ，两种药水
各需多少千克？
８．打折前，买６０件Ａ商品和３０件Ｂ商品用了１０８０元，买５０件Ａ商品和１０件Ｂ
商品用了８４０元．打折后，买５００件Ａ商品和５００件Ｂ商品用了９６００元，比不
打折少花多少钱？
９．某家商店的账目记录显示，某天卖出３９支牙刷和２１盒牙膏，收入３９６元；另一
天，以同样的价格卖出同样的５２支牙刷和２８盒牙膏，收入５１８元．这个记录是
否有误？请说明理由．
１６
!"#$%&’()*+,１５．４ 三元一次方程组的解法
前面我们学习了二元一次方程组及其解法———消元法．有些有两个未知数
的问题，可以列出二元一次方程组来解决．实际上，有不少问题含有更多未知
数．我们看下面的问题：
小明手头有１２张面额分别为１元、２元、５元的纸币，共计２２元，其中
１元纸币的数量是２元纸币数量的４倍．求１元、２元、５元纸币各多少张．
自然的想法是，设１元、２元、５元的纸币分别为狓张、狔张、狕张，根
据题意，可以得到下面三个方程：
狓＋狔＋狕＝１２，
狓＋２狔＋５狕＝２２，
狓＝４狔．
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在
一起，写成
烄狓＋狔＋狕＝１２，
烅狓＋２狔＋５狕＝２２，
烆狓＝４狔．
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是１，并
且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或
加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能用同样的思
路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次
方程组呢？
让我们看前面列出的三元一次方程组
烄狓＋狔＋狕＝１２， ①
烅狓＋２狔＋５狕＝２２， ②
烆狓＝４狔． ③
仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含狔，
本节内容为选学内容．
１７
!"#$%&’()*+,狕的方程：
４狔＋狔＋狕＝１２，
４狔＋２狔＋５狕＝２２．
它们组成方程组
烄５狔＋狕＝１２，
烅
烆６狔＋５狕＝２２．
得到二元一次方程组之后，就不难求出狔和狕，进而可求出狓．
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过 “代入”
或 “加减”进行消元，把 “三元”化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为
解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的
思路是一样的．
例１ 解三元一次方程组
烄３狓＋４狕＝７， ①
烅２狓＋３狔＋狕＝９， ②
烆５狓－９狔＋７狕＝８． ③
分析：方程①只含狓，狕，因此，可以由②③消去狔，得到一个只含狓，狕
的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
解：②×３＋③，得
１１狓＋１０狕＝３５． ④
①与④组成方程组
烄３狓＋４狕＝７，
烅
烆１１狓＋１０狕＝３５．
解这个方程组，得
烄狓＝５，
烅
烆狕＝－２．
把狓＝５，狕＝－２代入② ，得
２×５＋３狔－２＝９，
１
所以 狔＝ ．
３
１８
!"#$%&’()*+,因此，这个三元一次方程组的解为
烄狓＝５， 你还有其他解
１
法吗？试一试，并
烅狔＝
３
，
与这种解法进行
比较．
烆狕＝－２．
例２ 在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝－１时，狔＝０；当狓＝２时，
狔＝３；当狓＝５时，狔＝６０．求犪，犫，犮的值．
分析：把犪，犫，犮看作三个未知数，分别把已知的狓，狔值代入原等式，
就可以得到一个三元一次方程组．
解：根据题意，得三元一次方程组
烄犪－犫＋犮＝０， ①
烅４犪＋２犫＋犮＝３， ②
烆２５犪＋５犫＋犮＝６０． ③
②－①，得
犪＋犫＝１； ④
③－①，得
４犪＋犫＝１０． ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
烄犪＋犫＝１，
烅
烆４犪＋犫＝１０．
解这个方程组，得
烄犪＝３，
烅
烆犫＝－２．
把犪＝３，犫＝－２代入①，得
犮＝－５．
因此
烄犪＝３，
烅犫＝－２，
烆犮＝－５，
即犪，犫，犮的值分别为３，－２，－５．
１９
!"#$%&’()*+,１．解下列三元一次方程组：
烄狓－２狔＝－９， 烄３狓－狔＋狕＝４，
（１）烅狔－狕＝３， （２）烅２狓＋３狔－狕＝１２，
烆２狕＋狓＝４７； 烆狓＋狔＋狕＝６．
１ １
２．甲、乙、丙三个数的和是３５，甲数的２倍比乙数大５，乙数的 等于丙数的 ．
３ ２
求这三个数．
习题１５．４
１．解下列三元一次方程组：
烄４狓＋９狔＝１２，
烄狔＝２狓－７，
３狔－２狕＝１，
（１）烅５狓＋３狔＋２狕＝２， （２）烅
１９
烆３狓－４狕＝４； ７狓＋５狕＝ ．
烆 ４
２．解下列三元一次方程组：
烄４狓－９狕＝１７， 烄２狓＋４狔＋３狕＝９，
（１）烅３狓＋狔＋１５狕＝１８， （２）烅３狓－２狔＋５狕＝１１，
烆狓＋２狔＋３狕＝２； 烆５狓－６狔＋７狕＝１３．
３．一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的７倍比个位、
十位上的数的和大２，且个位、十位、百位上的数的和是１４．求这个三位数．
４．解方程组
烄狓∶狔＝３∶２，
烅狔∶狕＝５∶４，
烆狓＋狔＋狕＝６６．
５．在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝１时，狔＝－２；当狓＝－１时，狔＝２０；当狓＝
３ １
与狓＝ 时，狔的值相等．求犪，犫，犮的值．
２ ３
２０
!"#$%&’()*+,
一次方程组的古今表示及解法
我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作 《九
章算术》中．《九章算术》的 “方程”一章，有许多关于一次方程组的内容．这一章的第一
个问题译成现代汉语是这样的：
上等谷３束，中等谷２束，下等谷１束，可得粮食
３９斗；上等谷２束，中等谷３束，下等谷１束，可得粮食
斗是过去的容积计
３４斗；上等谷１束，中等谷２束，下等谷３束，可得粮食
量单位．
２６斗．求上等谷、中等谷、下等谷每束各可得粮食几斗．
下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？
《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横
排，使三个横行表示三句话的含义．
不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有３个未知数的问题．
设上等谷、中等谷、下等谷每束各可得粮食狓斗、狔斗、狕斗．
根据题意，得三元一次方程组
烄３狓＋２狔＋狕＝３９， ①
烅２狓＋３狔＋狕＝３４， ② （）
烆狓＋２狔＋３狕＝２６． ③
通过消元，可以求出各未知数．
上图实际上就是用算筹列出的方程组（），它省略了各未知数，只用算筹表示出未知
２１
!"#$%&’()*+,数的系数与相应的常数项．
我国古代解方程组时，也用算筹做计算工具，具体解法是：在一个方程两边乘另一个
方程中某未知数的系数，然后再累减另一个方程．例如，解方程组（），在②的两边乘３，
然后累减①两次消去狓（这与②×３－①×２的结果一样）；在③的两边乘３，然后减①消
去狓，从而得到二元一次方程组
烄５狔＋狕＝２４，
烅
烆４狔＋８狕＝３９．
再用上面的方法消去狔，求得狕．
用现代高等代数的符号，可以将方程组（）中所有方程的系数与相应的常数项排成一
（ ）
个表
３ ２ １ ３９
２ ３ １ ３４．
１ ２ ３ ２６
这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉
伯数字替代了算筹．利用矩阵解一次方程组的方法，与前面说的算筹方法也是一致的．我
们祖先掌握上述解法，比起欧洲人来，要早一千多年．这是我国古代数学的一个光辉
成就．
２２
!"#$%&’()*+,
（１）在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程狓－狔＝０的一个解用
一个点表示出来吗？标出一些以方程狓－狔＝０的解为坐标的点．过这些点
中的任意两点作直线，你有什么发现？在这条直线上任取一点，这个点的
坐标是方程狓－狔＝０的解吗？
以方程狓－狔＝０的解为坐标的点的全体叫做方程狓－狔＝０的图象．
根据上面的探究想一想：方程狓－狔＝０的图象是什么．
（２）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都
是一条直线．根据这个结论，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方
程组
烄２狓＋狔＝４，
烅
烆狓－狔＝－１
中的两个二元一次方程的图象．
由这两个二元一次方程的图象，你能得出这个二元一次方程组的
解吗？
２０１０年的一项调查显示，全世界每天平均有１３０００人死于与吸烟有
关的疾病．我国吸烟者约３．５６亿人，占世界吸烟人数的四分之一．比较
一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界
其他国家约高０．１％．
根据上述资料，试用二元一次方程组解决以下问题：
我国及世界其他国家一年中死于与吸烟有关的疾病的人数分别是多少？
从报刊、图书、网络等再搜集一些资料，分析其中的数量关系，编成
问题．看看能不能用二元一次方程组解决这些问题．
２３
!"#$%&’()*+,小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们通过实际问题引入了二元一次方程 （组），并学习了二元一次方
程组的解法———代入消元法和加减消元法．在此基础上，学习了简单的三元一
次方程组及其解法．
消元是解二 （三）元一次方程组的基本方法．通过消元，我们把 “三元”
转化为 “二元”，把 “二元”转化为 “一元”，这一过程体现了化归思想．
二 （三）元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，在现实中具有广
泛的应用．用它解决实际问题时，要注意分析问题中的各种等量关系，引进适
当的未知量，建立相应的方程组．
请你带着下面问题，复习一下全章内容吧．
１．举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组．“代入”与 “加减”
的目的是什么？
２．比较解三元一次方程组与解二元一次方程组的联系与区别．你能说说
“消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
３．用二元或三元一次方程组解决一个实际问题，你能说说用方程组解决实
际问题的基本思路吗？
２４
!"#$%&’()*+,复习题１５
１．用代入法解下列方程组：
烄犪＝２犫＋３， 烄狓－狔＝１３，
（１）烅 （２）烅
烆犪＝３犫＋２０； 烆狓＝６狔－７；
烄狓－狔＝４， 烄５狓－狔＝１１０，
（３）烅 （４）烅
烆４狓＋２狔＝－１； 烆９狔－狓＝１１０．
２．用加减法解下列方程组：
烄３犿＋犫＝１１， 烄０．６狓－０．４狔＝１．１，
（１）烅 （２）烅
烆－４犿－犫＝１１； 烆０．２狓－０．４狔＝２．３；
烄１
狓＋３狔＝－６，
烄４犳＋犵＝１５， ２
（３）烅 （４）烅
烆３犵－４犳＝－３； １
狓＋狔＝２．
烆２
３．解下列方程组：
烄４（狓－狔－１）＝３（１－狔）－２， 烄２（狓－狔）狓＋狔
－ ＝－１，
（１）烅狓 狔 （２）烅 ３ ４
＋ ＝２；
烆２ ３ 烆６（狓＋狔）－４（２狓－狔）＝１６．
４．解下列方程组：
烄３狓－狔＋狕＝３， 烄５狓－４狔＋４狕＝１３，
（１）烅２狓＋狔－３狕＝１１， （２）烅２狓＋７狔－３狕＝１９，
烆狓＋狔＋狕＝１２； 烆３狓＋２狔－狕＝１８．
５．１号仓库与２号仓库共存粮４５０ｔ．现从１号仓库运出存粮的６０％，从２号仓库运
出存粮的４０％，结果２号仓库所余粮食比１号仓库所余粮食多３０ｔ．１号仓库与２
号仓库原来各存粮多少吨？
６．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同
时同地出发，反向而行，每隔２ｍｉｎ相遇一次；如果
同时同地出发，同向而行，每隔６ｍｉｎ相遇一次．已
知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？
７．用１块Ａ型钢板可制成２块Ｃ型钢板、１块Ｄ型钢
板；用１块Ｂ型钢板可制成１块Ｃ型钢板、２块Ｄ型
（第６题）
２５
!"#$%&’()*+,钢板．现需１５块Ｃ型钢板、１８块Ｄ型钢板，可恰好用Ａ型钢板、Ｂ型钢板各多
少块？
８． （我国古代问题）有大小两种盛酒的桶，已知５个大桶加上１个小桶可以盛酒３斛
（斛，音犺ú，是古代的一种容量单位），１个大桶加上５个小桶可以盛酒２斛．１个
大桶、１个小桶分别可以盛酒多少斛？
９．现有１角、５角、１元硬币各１０枚，从中取出１５枚，共７元．１角、５角、１元硬
币各取多少枚？
１０．某电脑公司有Ａ型、Ｂ型、Ｃ型三种型号的电脑，其中Ａ型每台６０００元、Ｂ型
每台４０００元、Ｃ型每台２５００元．某中学现有资金１００５００元，计划全部用于从
这家电脑公司购进３６台两种型号的电脑．请你设计几种不同的购买方案供这个
学校选择，并说明理由．
１１．甲地到乙地全程是３．３ｋｍ，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每
小时走３ｋｍ，平路每小时走４ｋｍ，下坡每小时走５ｋｍ，那么从甲地到乙地需
５１ｍｉｎ，从乙地到甲地需５３．４ｍｉｎ．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程
各是多少？
２６
!"#$%&’()*+,第十 六 章 不 等 式 与 不 等
式组
数量有大小之分，它们之间有相等关系，也
有不等关系．现实世界和日常生活中存在大量涉及
不等关系的问题．例如，当两家商场推出不同的优
惠方案时，到哪家商场购物花费少？这个问题就
蕴含了不等关系．对于这样的问题，我们常常把要
比较的对象数量化，分析其中的不等关系，列出
相应的数学式子———不等式 （组），并通过解不等
式 （组）而得出结论．这样的思路与利用方程
（组）研究相等关系是类似的．
本章我们将从什么是不等式说起，类比等式和方
程，讨论不等式的性质，学习一元一次不等式 （组）
及其解法，并利用这些知识解决一些问题，感受不等
式在研究不等关系问题中的重要作用．
50 0.95( x 5 0 ) 100 0.9 ( x 1 0 0 )
书书书１６．１ 不等式
１６．１．１ 不等式及其解集
问题 一辆匀速行驶的汽车在１１：２０距离Ａ
地５０ｋｍ，要在１２：００之前驶过Ａ地，车速应满
足什么条件？
分析：设车速是狓ｋｍ／ｈ．
从时间上看，汽车要在１２：００之前驶过Ａ地，
２
则以这个速度行驶５０ｋｍ所用的时间不到 ｈ，即
３
５０ ２
＜ ． ①
狓 ３
２
从路程上看，汽车要在１２：００之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶 ｈ的
３
路程要超过５０ｋｍ，即
２
狓＞５０． ②
３
式子①和②从不同角度表示了车速应满足的条件．
像①和②这样用符号 “＜”或 “＞”表示大小关系的式子，叫做不等式
（ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）．像犪＋２≠犪－２这样用符号 “≠”表示不等关系的式子也是不等式．
有些不等式中不含未知数，例如３＜４，－１＞－２．有些不等式中含有未知
数，例如①和②式中字母狓表示未知数．
虽然①和②式表示了车速应满足的条件，但是我们希望更明确地得出狓应
２ ２
取哪些值．例如对不等式②，当狓＝８０时， 狓＞５０；当狓＝７８时， 狓＞５０；当
３ ３
２ ２
狓＝７５时， 狓＝５０；当狓＝７２时， 狓＜５０．这就是说，当狓取某些值 （如８０，
３ ３
２ ２
７８）时，不等式 狓＞５０成立；当狓取某些值 （如７５，７２）时，不等式 狓＞５０
３ ３
不成立．与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
２８
!"#$%&’()&’(*
书书书２ ２
例如８０和７８是不等式 狓＞５０的解，而７５和７２不是不等式 狓＞５０的解．
３ ３
２
除了８０和７８，不等式 狓＞５０还有其他解吗？如果有，这些解应满
３
足什么条件？
２
可以发现，当狓＞７５时，不等式 狓＞５０总成立；而当狓＜７５或狓＝７５
３
２
时，不等式 狓＞５０不成立．这就是说，任何一个大于７５的数都是不等式
３
２
狓＞５０的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于７５的数都不是不
３
２ ２
等式 狓＞５０的解．因此，狓＞７５表示了能使不等式 狓＞５０成立的狓的取值
３ ３
范围，它可以在数轴上表示 （图１６．１１）．
在表示７５的点上
画空心圆圈，表示不包
0 75 含这一点．
图１６．１１
由上可知，在前面问题中，汽车要在１２：００之
前驶过Ａ地，车速必须大于７５ｋｍ／ｈ． 由不等式①能
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的 得出这个结果吗？
解，组成这个不等式的解集 （ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔ）．求不
等式的解集的过程叫做解不等式．
１．用不等式表示：
（１）犪是正数； （２）犪是负数；
（３）犪与５的和小于７； （４）犪与２的差大于－１；
（５）犪的４倍大于８； （６）犪的一半小于３．
２９
!"#$%&’()&’(*
书书书２．下列数中哪些是不等式狓＋３＞６的解？哪些不是？
－４，－２．５，０，１，２．５，３，３．２，４．８，８，１２．
３．直接说出下列不等式的解集：
（１）狓＋３＞６； （２）２狓＜８； （３）狓－２＞０．
１６．１．２ 不等式的性质
对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它们的解集，例如不等式狓＋３＞６
的解集是狓＞３，不等式２狓＜８的解集是狓＜４．但是对于比较复杂的不等式，
５狓＋１ 狓－５
例如 －２＞ ，直接得出解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不
６ ４
等式．与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质．
为此，我们先来看看不等式有什么性质．
我们知道，等式两边加或减同一个数 （或式子），乘或除以同一个数 （除
数不为０），结果仍相等．不等式是否也有类似的性质呢？
用 “＞”或 “＜”填空，并总结其中的规律：
（１）５＞３，５＋２ ３＋２，５－２ ３－２；
（２）－１＜３，－１＋３ ３＋３，－１－３ ３－３；
（３）６＞２，６×５ ２×５，６×（－５） ２×（－５）；
（４）－２＜３，（－２）×６ ３×６，（－２）×（－６） ３×（－６）．
根据发现的规律填空：当不等式两边加或减
同一个数 （正数或负数）时，不等号的方向
．当不等式两边乘同一个正数时，不等
换一些其他的数，
验证这个发现．
号的方向 ；而乘同一个负数时，不等号
的方向 ．
３０
!"#$%&’()&’(*一般地，不等式有以下性质．
不等式的性质１ 不等式两边加 （或减）同一个数 （或式子），不等号的
方向不变．
如果犪＞犫，那么犪±犮＞犫±犮．
不等式的性质２ 不等式两边乘 （或除以）同一个正数，不等号的方向
不变．
烄 犪 犫烌
如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞犫犮或 ＞ ．
烆 犮 犮烎
不等式的性质３ 不等式两边乘 （或除以）同一个负数，不等号的方向
改变．
烄 犪 犫烌
如果犪＞犫，犮＜０，那么犪犮＜犫犮或 ＜ ．
烆 犮 犮烎
比较上面的性质２和性质３，指出它们有什么区别．再比较等式的性质和
不等式的性质，它们有什么异同？
设犪＞犫，用 “＜”“＞”填空：
（１）犪＋２ 犫＋２； （２）犪－３ 犫－３；
犪 犫
（３）－４犪 －４犫； （４） ．
２ ２
例１ 利用不等式的性质解下列不等式：
（１）狓－７＞２６； （２）３狓＜２狓＋１；
２
（３） 狓＞５０； （４）－４狓＞３．
３
分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为狓＞犪或
狓＜犪（犪为常数）的形式．
解：（１）根据不等式的性质１，不等式两边加７，不等号的方向不变，所以
狓－７＋７＞２６＋７，
狓＞３３．
３１
!"#$%&’()&’(*（２）根据不等式的性质１，不等式两边减２狓，不等号的方向不变，所以
３狓－２狓＜２狓＋１－２狓，
狓＜１．
３
（３）根据不等式的性质２，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，所以
２
３ ２ ３
× 狓＞ ×５０，
２ ３ ２
狓＞７５．
（４）根据不等式的性质３，不等式两边除以－４，不等号的方向改变，所以
－４狓 ３
＜ ，
－４ －４
３
狓＜－ ．
４
不等式的解集也可以在数轴上表示，如上例中不等式狓－７＞２６的解集在
数轴上的表示如图１６．１２所示．
0 3 3图１６．１２
不等式３狓＜２狓＋１的解集在数轴上的表示如图１６．１３所示．
0 1
图１６．１３
请你在数轴上表示例１中其他两个不等式的解集．
像犪≥犫或犪≤犫这样的式子，也经常用来表
示两个数量的大小关系．例如，为了表示２０１１ 符号 “≥”与
年９月１日北京的最低气温是１９℃，最高气温 “＞”的意思有什
是２８℃，我们可以用狋表示这天的气温，狋是随
么区别？ “≤”与
“＜”呢？
时间 变 化 的，但 是 它 有一定的变化范围，即
狋≥１９℃并且狋≤２８℃．符号 “≥”读作 “大于
或等于”，也可说是 “不小于”；符号 “≤”读作
“小于或等于”，也可说是 “不大于”．犪≥犫或
犪≤犫形式的式子，具有与前面所说的不等式的
性质类似的性质．
３２
!"#$%&’()&’(*例２ 某长方体形状的容器长５ｃｍ，宽３ｃｍ，
高１０ｃｍ．容器内原有水的高度为３ｃｍ，现准备
向它继续注水．用犞（单位：ｃｍ３ ）表示新注入水
的体积，写出犞的取值范围．
解：新注入水的体积犞与原有水的体积的和
m
不能超过容器的容积，即 c
0
1 m
犞＋３×５×３≤３×５×１０，
5cm
3
c
犞≤１０５．
又由于新注入水的体积犞不能是负数，因
此，犞的取值范围是
犞≥０并且犞≤１０５．
在表示０和１０５的
在数轴上表示犞的取值范围如图１６．１４所示．
点上画实心圆点，表示
取值 范 围 包 含 这 两
0 105
个数．
图１６．１４
１．用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）狓＋５＞－１； （２）４狓＜３狓－５；
１ ６
（３） 狓＜ ； （４）－８狓＞１０．
７ ７
２．用不等式表示下列语句，写出它们的解集，并在数轴上表示解集：
（１）狓的３倍大于或等于１； （２）狓与３的和不小于６；
１
（３）狔与１的差不大于０； （４）狔的 小于或等于－２．
４
习题１６．１
１．下列数值中哪些是不等式２狓＋３＞９的解？哪些不是？
－４，－２，０，３，３．０１，４，６，１００．
３３
!"#$%&’()&’(*２．用不等式表示：
（１）犪与５的和是正数； （２）犪与２的差是负数；
（３）犫与１５的和小于２７； （４）犫与１２的差大于－５；
（５）犮的４倍大于或等于８； （６）犮的一半小于或等于３；
（７）犱与犲的和不小于０； （８）犱与犲的差不大于－２．
３．写出不等式的解集：
（１）狓＋２＞６； （２）２狓＜１０；
（３）狓－２＞０．１； （４）－３狓＜１０．
４．设犿＞狀，用 “＜”或 “＞”填空：
（１）犿－５ 狀－５； （２）犿＋４ 狀＋４；
１ １
（３）６犿 ６狀； （４）－ 犿 － 狀．
３ ３
５．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）狓＋３＞－１； （２）６狓≤５狓－７；
１ ２
（３）－ 狓＜ ； （４）４狓≥－１２．
３ ３
６．设犪＞犫，用 “＜”或 “＞”填空：
（１）２犪－５ ２犫－５；
（２）－３．５犫＋１ －３．５犪＋１．
７．根据机器零件的设计图纸 （如图），用不等式表
示零件长度的合格尺寸 （犔的取值范围）． L 40 0.02
８．一罐饮料净重约３００ｇ，罐上注有 “蛋白质含量
≥０．６％”，其中蛋白质的含量为多少克？
（第７题）
９．有一个两位数，如果把它的个位上的数犪和十位上的数犫对调，那么什么情况下
得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两位数小？
什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？
３４
!"#$%&’()&’(*
用求差法比较大小
制作某产品有两种用料方案，方案１用４块Ａ型钢板，８块Ｂ型钢板；方案２用３块
Ａ型钢板，９块Ｂ型钢板．Ａ型钢板的面积比Ｂ型钢板大．从省料角度考虑，应选哪种
方案？
设Ａ型钢板和Ｂ型钢板的面积分别为狓和狔．于是，两种方案用料面积分别为
４狓＋８狔和３狓＋９狔．
现在需要比较上面两个数量的大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数犪和犫比较大小，那么
当犪＞犫时，一定有犪－犫＞０；
当犪＝犫时，一定有犪－犫＝０；
当犪＜犫时，一定有犪－犫＜０．
反过来也对，即
当犪－犫＞０时，一定有犪＞犫；
当犪－犫＝０时，一定有犪＝犫；
当犪－犫＜０时，一定有犪＜犫．
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对
象的大小．
用求差的方法，你能回答前面的用料问题吗？
３５
!"#$%&’()&’(*１６．２ 一元一次不等式
我们已经知道了什么是不等式以及不等式的性质．本节我们将学习一元一
次不等式及其解法，并用它解决一些实际问题．
观察下面的不等式：
２
狓－７＞２６，３狓＜２狓＋１， 狓＞５０，－４狓＞３．
３
它们有哪些共同特征？
可以发现，上述每个不等式都只含有一个未知数，并且未知数的次数是１．
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一
元一次不等式 （ｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）．
从上节我们知道，不等式
狓－７＞２６
的解集是
狓＞３３．
这个解集是通过 “不等式两边都加７，不等号的方向不变”而得到的，事
实上，这相当于由狓－７＞２６得狓＞２６＋７．这就是说，解不等式时也可以 “移
项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．
一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程相类似的步骤，就可
以求出一元一次不等式的解集．
例１ 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
２＋狓 ２狓－１
（１）２（１＋狓）＜３； （２） ≥ ．
２ ３
解：（１）去括号，得
２＋２狓＜３．
移项，得
３６
!"#$%&’()&’(*２狓＜３－２．
合并同类项，得
２狓＜１．
系数化为１，得
１
狓＜ ．
２
这个不等式的解集在数轴上的表示如图１６．２１所示．
0 1
2
图１６．２１
（２）去分母，得
３（２＋狓）≥２（２狓－１）．
去括号，得
６＋３狓≥４狓－２．
移项，得
３狓－４狓≥－２－６．
合并同类项，得
要特别注意，当不
等式的两边都乘 （或除
－狓≥－８．
以）同一个负数时，不
系数化为１，得
等号的方向改变．
狓≤８．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图１６．２２所示．
0 8
图１６．２２
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为狓＝犪的形
式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为
狓＜犪或狓＞犪的形式．
３７
!"#$%&’()&’(*１．解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）５狓＋１５＞４狓－１； （２）２（狓＋５）≤３（狓－５）；
狓－１ ２狓＋５ 狓＋１ ２狓－５
（３） ＜ ； （４） ≥ ＋１．
７ ３ ６ ４
２．当狓或狔满足什么条件时，下列关系成立？
（１）２（狓＋１）大于或等于１；
（２）４狓与７的和不小于６；
（３）狔与１的差不大于２狔与３的差；
（４）３狔与７的和的四分之一小于－２．
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际
问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的答案．
例２ 去年某市空气质量良好 （二级以上）的天数与全年天数 （３６５）之
比达到６０％，如果明年 （３６５天）这样的比值要超过７０％，那么明年空气质
量良好的天数比去年至少要增加多少？
分析：“明年这样的比值要超过７０％”指出了这个问题中蕴含的不等关
明年空气质量良好的天数
系，转化为不等式，即 ＞７０％．
明年天数
解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了狓．
去年有３６５×６０％天空气质量良好，明年有 （狓＋３６５×６０％）天空气质量
良好，并且
狓＋３６５×６０％
＞７０％．
３６５
去分母，得
狓＋２１９＞２５５．５．
移项，合并同类项，得
狓＞３６．５．
由狓应为正整数，得
狓≥３７．
答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加３７，才能使这一年空气
质量良好的天数超过全年天数的７０％．
３８
!"#$%&’()&’(*
书书书例３ 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的
优惠方案：在甲商场累计购物超过１００元后，超出１００元的部分按９０％收费；
在乙商场累计购物超过５０元后，超出５０元的部分按９５％收费．顾客到哪家商
场购物花费少？
分析：在甲商场购物超过１００元后享受优惠，在乙商场购物超过５０元后
享受优惠．因此，我们需要分三种情况讨论：
（１）累计购物不超过５０元；
（２）累计购物超过５０元而不超过１００元；
（３）累计购物超过１００元．
解：（１）当累计购物不超过５０元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，
且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样．
（２）当累计购物超过５０元而不超过１００元时，在乙商场购物享受优惠，
在甲商场购物不享受优惠，因此到乙商场购物花费少．
（３）当累计购物超过１００元时，设累计购物狓（狓＞１００）元．
① 若到甲商场购物花费少，则
５０＋０．９５（狓－５０）＞１００＋０．９（狓－１００）．
解得 狓＞１５０．
这就是说，累计购物超过１５０元时，到甲商场购物花费少．
② 若到乙商场购物花费少，则
５０＋０．９５（狓－５０）＜１００＋０．９（狓－１００）．
解得 狓＜１５０．
这就是说，累计购物超过１００元而不到１５０元时，到乙商场购物花费少．
③ 若５０＋０．９５（狓－５０）＝１００＋０．９（狓－１００），解得
狓＝１５０．
这就是说，累计购物为１５０元时，到甲、乙两商场购物花费一样．
１．某工程队计划在１０天内修路６ｋｍ．施工前２天修完１．２ｋｍ后，计划发生变
化，准备至少提前２天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？
２．某次知识竞赛共有２０道题，每一题答对得１０分，答错或不答都扣５分．小明
得分要超过９０分，他至少要答对多少道题？
３９
!"#$%&’()&’(*习题１６．２
１．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（１）３（２狓＋５）＞２（４狓＋３）； （２）１０－４（狓－４）≤２（狓－１）；
狓－３ ２狓－５ ２狓－１ ３狓－４
（３） ＜ ； （４） ≤ ；
２ ３ ３ ６
５狓＋１ 狓－５ 狔＋１ ２狔－５
（５） －２＞ ； （６） － ≥１．
６ ４ ６ ４
４犪＋１
２．犪取什么值时，式子 表示下列数？
６
（１）正数； （２）小于－２的数； （３）０．
３．根据下列条件求正整数狓：
（１）狓＋２＜６； （２）２狓＋５＜１０；
狓－３ ２狓－５ ２＋狓 ２狓－１
（３） ≥ ； （４） ≥ －２．
２ ３ ２ ３
４．总结解一元一次不等式的一般步骤，并与解一元一次方程进行比较．
５．某商店以每辆２５０元的进价购入２００辆自行车，并以每辆２７５元的价格销售．两个
月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这时至少已售出多少辆自行车？
６．长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点１００ｍ时他以４ｍ／ｓ的速度向终点冲刺，在
他身后１０ｍ的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？
７．某工厂前年有员工２８０人，去年经过结构改革减员４０人，全厂年利润增加１００万元，
人均创利至少增加６０００元，前年全厂年利润至少是多少？
８．苹果的进价是每千克１．５元，销售中估计有５％的苹果正常损耗．商家把售价至少
定为多少，才能避免亏本？
９．电脑公司销售一批计算机，第一个月以５５００元／台的价格售出６０台，第二个月
起降价，以５０００元／台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过５５万元．这
批计算机最少有多少台？
１ ３
１０．求不等式５狓－１＞３（狓＋１）与 狓－１＜７－ 狓的解集的公共部分．
２ ２
４０
!"#$%&’()&’(*１６．３ 一元一次不等式组
问题 用每分可抽３０ｔ水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存
的污水超过１２００ｔ而不足１５００ｔ，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？
设用狓ｍｉｎ将污水抽完，则狓同时满足不等式
３０狓＞１２００， ①
３０狓＜１５００． ②
类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组
（ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ），记作
烄３０狓＞１２００，
烅
烆３０狓＜１５００．
怎样确定不等式组中狓的可取值的范围呢？
类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组
中狓可以取值的范围．
由不等式①，解得
狓＞４０．
由不等式②，解得
狓＜５０．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （图１６．３１）．
0 40 50
利用数轴体会：狓
图１６．３１
取值的范围是两个不等
从图１６．３１容易看出，狓取值的范围为
式解集的公共部分．
４０＜狓＜５０．
这就是说，将污水抽完所用时间多于４０ｍｉｎ
而少于５０ｍｉｎ．
４１
!"#$%&’()&’(*一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的
解集．解不等式组就是求它的解集．
例１ 解下列不等式组：
烄２狓－１＞狓＋１， ①
（１）
烅
烆狓＋８＜４狓－１； ②
烄２狓＋３≥狓＋１１， ①
（２） 烅２狓＋５
－１＜２－狓． ②
烆 ３
解：（１）解不等式①，得
狓＞２．
解不等式②，得
狓＞３．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （图１６．３２）．
0 2 3
图１６．３２
从图１６．３２可以找出两个不等式解集的公共部
分，得不等式组的解集
利用数轴可以确定
狓＞３．
不等式组的解集．
（２）解不等式①，得
狓≥８．
解不等式②，得
４
狓＜ ．
５
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （图１６．３３）．
0 4 8
5 图１６．３３
从图１６．３３可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解．
４２
!"#$%&’()&’(*例２ 狓取哪些整数值时，不等式
５狓＋２＞３（狓－１）
与
１ ３
狓－１≤７－ 狓
２ ２
都成立？
分析：求出这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是狓
可取的整数值．
解：解不等式组
烄５狓＋２＞３（狓－１），
烅１ ３
狓－１≤７－ 狓，
烆２ ２
得
５
－ ＜狓≤４．
２
所以狓可取的整数值是－２，－１，０，１，２，３，４．
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这
些解集的公共部分．利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
１．解下列不等式组：
烄２狓＞１－狓， 烄狓－５＞１＋２狓，
（１）烅 （２）烅
烆狓＋２＜４狓－１； 烆３狓＋２≤４狓；
烄２
狓＋５＞１－狓，
３
（３）烅
３ １
狓－１≤ 狓－ ．
烆 ４ ８
２．狓取哪些正整数值时，不等式狓＋３＞６与２狓－１＜１０都成立？
４３
!"#$%&’()&’(*习题１６．３
１．解下列不等式组：
烄狓－１＜３， 烄狓－１＞３，
（１）烅 （２）烅
烆狓＋１＜３； 烆狓＋１＞３；
烄狓－１＜３， 烄狓－１＞３，
（３）烅 （４）烅
烆狓＋１＞３； 烆狓＋１＜３．
２．解下列不等式组：
烄２狓－１＞０， 烄－３狓－１＞３，
（１）烅 （２）烅
烆狓＋１≤３； 烆２狓＋１＞３；
烄狓－３（狓－２）≥４，
烄３（狓－１）＋１３＞５狓－２（５－狓），
（３）烅 （４）烅１＋２狓
烆５－（２狓＋１）＜３－６狓； ＞狓－１；
烆 ３
烄１
烄狓－３（狓－２）≥４， （狓＋４）＜２，
２
（５）烅２狓－１ 狓＋１ （６）烅
＞ ； 狓＋２ 狓＋３
烆 ５ ２ ＞ ．
烆 ２ ３
３．狓取哪些整数值时，不等式
４（狓－０．３）＜０．５狓＋５．８
与
１
３＋狓＞ 狓＋１
２
都成立？
４．狓取哪些整数值时，２≤３狓－７＜８成立？
１ ３
５．你能求三个不等式５狓－１＞３（狓＋１）， 狓－１＞３－ 狓，狓－１＜３狓＋１的解集的
２ ２
公共部分吗？
６．把一些书分给几名同学，如果每人分３本，那么余８本；如果前面的每名同学分
５本，那么最后一人就分不到３本．这些书有多少本？共有多少人？
４４
!"#$%&’()&’(*
统计资料表明，２００５年Ａ省的城市建成区面积 （简称建成区面积）为
１３１６．４ｋｍ２ ，城市建成区园林绿地面积 （简称绿地面积）为３７３．４８ｋｍ２ ，
城市建成区园林绿地率 （简称绿地率）为２８．３７％．２０１０年该省建成区面
积增加了３００ｋｍ２ 左右，绿地率超过了３５％．
根据上述资料，试用一元一次不等式解决以下问题：
这五年 （２００５～２０１０年），Ａ 省增加的绿地面积超过了多少平方
千米？
从报刊、图书、网络等再搜集一些资料，分析其中的数量关系，编成
问题．看看能不能用一元一次不等式解决这些问题．
小丽在４张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取２张，并
将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是５，６，７，８中的
一个数，并且这４个数都能取到．猜猜看，小丽在４张纸片上各写了什
么数．
４５
!"#$%&’()&’(*小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
不等式 （组）是刻画不等关系的数学模型，它有广泛的应用．本章主要学习
不等式的基础知识以及一类最简单的不等式 （组）———一元一次不等式 （组），
并运用它们解决一些数学问题和实际问题．
在学习不等式的性质和一元一次不等式 （组）的解法时，与等式的性质和
方程 （组）的解法进行类比，有益于对知识的理解与掌握．
与解方程是逐步将方程化为狓＝犪的形式类似，解不等式是逐步将不等式
化为狓＞犪或狓＜犪的形式，两者都运用了化归的思想．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．总结不等式的性质，并与等式的性质进行比较．
２．总结一元一次不等式的解法，并与一元一次方程的解法进行比较．结合
例子说明：解未知数为狓的不等式，就是将不等式逐步变成狓＞犪或狓＜犪的
形式，而不等式的性质是变形的重要依据．
３．如何解一元一次不等式组？结合例子说明：解不等式组就是求有关不等
式的解集的公共部分．
４．举例说明数轴在解不等式 （组）中的作用．
５．结合实例体会运用不等式解决实际问题的过程．
４６
!"#$%&’()&’(*复习题１６
１．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（１）３（２狓＋７）＞２３； （２）１２－４（３狓－１）≤２（２狓－１６）；
狓＋３ ２狓－５ ２狓－１ ３狓－１ ５
（３） ＜ －１； （４） － ≥ ．
５ ３ ３ ２ １２
２．犪取什么值时，１５－７犪的值满足下列条件？
（１）大于１； （２）小于１； （３）等于１．
３．解下列不等式组：
烄２狓＋１＞－１， 烄－（狓－１）＞３，
（１）烅 （２）烅
烆２狓＋１＜３； 烆２狓＋９＞３；
烄－３（狓－２）≥４－狓，
烄３（狓－１）＋１＞５狓－２（１－狓），
（３）烅 （４）烅１＋２狓
烆５－（２狓－１）＜－６狓； ＞狓－１．
烆 ３
狓＋３
４． 的值能否同时大于２狓＋３和１－狓的值？说明理由．
５
５．赵军说不等式犪＞２犪永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以犪，就会
出现１＞２这样的错误结论．他的说法对吗？
６．解一元一次不等式组与解一元一次不等式有什么区别和联系？
７．一艘轮船从某江上游的Ａ地匀速驶到下游的Ｂ地用了１０ｈ，从Ｂ地匀速返回Ａ
地用了不到１２ｈ，这段江水流速为３ｋｍ／ｈ，轮船在静水里的往返速度狏不变，狏
满足什么条件？
８．老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了
２只，老李养兔数比买入种兔数的２倍少１只，老张养兔数不超过老李养兔数的
２
．一年前老张至少买了多少只种兔？
３
９．三个连续正整数的和小于３３３，这样的正整数有多少组？写出其中最大的一组．
４７
!"#$%&’()&’(*第十七章 三角形
三角形是一种基本的几何图形．从古埃
及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架
桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形
象．为什么在工程建筑、机械制造中经常采
用三角形的结构呢？这与三角形的性质有关．
一个三角形有三个角、三条边．三个角
之间有什么关系？三条边之间有什么关系？
在小学我们通过测量得知三角形的内角和等
于１８０°，但测量常常有误差，三角形有无数
多个，要说明任意一个三角形都符合这一规
律，就不能只靠测量，而必须通过推理证明．
本章中，我们就来证明这个结论．
三角形是最简单的多边形，也是认识其
他图形的基础．本章将在学习与三角形有关
的线段和角的基础上，学习多边形的有关知
识，如借助三角形的内角和探究多边形的内
角和．学习本章后，我们不仅可以进一步认
识三角形，而且还可以了解一些几何中研究
问题的基本思路和方法．１７．１ 与三角形有关的线段
１７．１．１ 三角形的边
在本章引言中，我们提到许多三角形的实际例子．
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相
A
接所组成的图形叫做三角形 （ｔｒｉａｎｇｌｅ）．
在图１７．１１中，线段犃犅，犅犆，犆犃是三角 c b
形的边．点犃，犅，犆是三角形的顶点．∠犃，
B C
a
∠犅，∠犆是相邻两边组成的角，叫做三角形的内
图１７．１１
角，简称三角形的角．
顶点是犃，犅，犆的三角形，记作△犃犅犆，读作 “三角形犃犅犆”．
△犃犅犆的三边，有时也用犪，犫，犮来表示．如图１７．１１，顶点犃所对的边犅犆
用犪表示，顶点犅所对的边犃犆用犫表示，顶点犆所对的边犃犅用犮表示．
我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形 （图１７．１２ （１））；有
两条边相等的三角形叫做等腰三角形 （图１７．１２ （２））．
图１７．１２ （３）中的三角形是三边都不相等的三角形．
A
A A
B C B C B C
1 2 3
图１７．１２
我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直
角三角形和钝角三角形．如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你
的想法，并与同学交流．
以 “是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和
等腰三角形．
４９
!"+$%,-.我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形．
综上，三角形按边的相等关系分类如下：
三边都不相等的三角形
烄
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
烅 烄
等腰三角形
烅
等边三角形
烆 烆
下面探究三角形三边之间的大小关系．
任意画一个△犃犅犆，从点犅出发，沿三角形的边到点犆，有几条线
路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？
对于任意一个△犃犅犆，如果把其中任意两个顶点 （例如犅，犆）看成定
点，由 “两点之间，线段最短”可得
犃犅＋犃犆＞犅犆． ①
同理有
犃犆＋犅犆＞犃犅， ②
犃犅＋犅犆＞犃犆． ③
一般地，我们有
三角形两边的和大于第三边．
由不等式②③移项可得犅犆＞犃犅－犃犆，犅犆＞犃犆－犃犅．对于边犃犅，犃犆
也有类似的结论成立．这就是说，三角形两边的差小于第三边．
例 用一条长为１８ｃｍ的细绳围成一个等腰三角形．
（１）如果腰长是底边长的２倍，那么各边的长是多少？
（２）能围成有一边的长是４ｃｍ的等腰三角形吗？为什么？
解：（１）设底边长为狓ｃｍ，则腰长为２狓ｃｍ．
狓＋２狓＋２狓＝１８．
解得狓＝３．６．
所以，三边长分别为３．６ｃｍ，７．２ｃｍ，７．２ｃｍ．
（２）因为长为４ｃｍ的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．
５０
!"+$%,-.如果４ｃｍ长的边为底边，设腰长为狓ｃｍ，则
４＋２狓＝１８．
解得狓＝７．
如果４ｃｍ长的边为腰，设底边长为狓ｃｍ，则
２×４＋狓＝１８．
解得狓＝１０．
因为４＋４＜１０，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长
是４ｃｍ的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长是４ｃｍ的等腰三角形．
D
１．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
A
２．（口答）下列长度的三条线段能否组成三角形？为
什么？ E
（１）３，４，８；（２）５，６，１１；（３）５，６，１０． B C
（第１题）
１７．１．２ 三角形的高、中线与角平分线
与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已
经学过的三角形的高．如图１７．１３，从△犃犅犆的顶点
犃向它所对的边犅犆所在直线画垂线，垂足为犇，所
得线段犃犇叫做△犃犅犆的边犅犆上的高 （ａｌｔｉｔｕｄｅ）．
用同样方法，
你能画出△犃犅犆的
A 另两条边上的高吗？
B D C
图１７．１３
我们再来看两种与三角形有关的线段．
如图１７．１４ （１），连接△犃犅犆的顶点犃和
用同样方法，
你能画出 △犃犅犆
它所对的边犅犆的中点犇，所得线段犃犇叫做
的另两条边上的中
△犃犅犆的边犅犆上的中线 （ｍｅｄｉａｎ）．
线吗？
５１
!"+$%,-.A A
F E 取一块质地均匀的
O 三角形木板，顶住三条
B D C B D C 中线的交点，木板会保
1 持平衡，这个平衡点就
图１７．１４
是这块三角形木板的
如图１７．１４ （２），三角形的三条中线相交于
重心．
一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
A
B D C
图１７．１５
画出△犃犅犆的
如图１７．１５，画∠犃的平分线犃犇，交∠犃所
另两条角平分线，
对的边犅犆于点犇，所得线段犃犇叫做△犃犅犆的
观察三条角平分线，
角平分线 （ａｎｇｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ）． 你有什么发现？
１．如图，（１）（２）和 （３）中的三个∠犅有什么不同？这三条△犃犅犆的边犅犆上的
高犃犇在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
A A A
C
B D B(D) C D B C
（１） （２） （３）
（第１题）
２．填空：
（１）如下页图 （１），犃犇，犅犈，犆犉是△犃犅犆的三条中线，则犃犅＝２ ，
１
犅犇＝ ，犃犈＝ ．
２
（２）如下页图 （２），犃犇，犅犈，犆犉是△犃犅犆的三条角平分线，则∠１＝
１
，∠３＝ ，∠犃犆犅＝２ ．
２
５２
!"+$%,-.A A
1 2
E
F
B D C B D C
（１） （２）
（第２题）
１７．１．３ 三角形的稳定性
工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架 （图１７．１６ （１）），其
中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上
斜钉一根木条 （图１７．１６ （２））．为什么要这样做呢？
（１） （２）
图１７．１６
如图１７．１７ （１），将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭
动它，它的形状会改变吗？
如图１７．１７ （２），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭
动它，它的形状会改变吗？
如图１７．１７（３），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻
的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
（１） （２） （３）
图１７．１７
可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．这
就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．
５３
!"+$%,-.还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．这是因为斜钉
一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的
窗框在未安装好之前也不会变形．
三角形的稳定性有广泛的应用，图１７．１８表示其中一些例子．你能再举一
些例子吗？
钢架桥 起重机
图１７．１８
四边形的不稳定性也有广泛的应用，图１７．１９表示其中一些例子．
活动挂架 伸缩门
图１７．１９
下列图形中哪些具有稳定性？
（１） （２） （３）
（ ４） （５） （６）
５４
!"+$%,-.习题１７．１
１．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
A
B D E C
（第１题）
２．长为１０，７，５，３的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？
３．对于下面每个三角形，过顶点犃画出中线、角平分线和高．
A
A
A
B C B C B C
（１） （２） （３）
（第３题）
４．如图，在△犃犅犆中，犃犈是中线，犃犇是角平分线，犃犉是高．填空：
１
（１）犅犈＝ ＝ ； A
２
１
（２）∠犅犃犇＝ ＝ ；
２
（３）∠犃犉犅＝ ＝９０°； B E DF C
（第４题）
（４）犛 ＝ ．
△犃犅犆
５．选择题．
下列图形中有稳定性的是 （ ）．
（Ａ）正方形 （Ｂ）长方形
（Ｃ）直角三角形 （Ｄ）平行四边形
６．一个等腰三角形的一边长为６ｃｍ，周长为２０ｃｍ，求其他两边的长．
７． （１）已知等腰三角形的一边长等于５，一边长等于６，求它的周长；
（２）已知等腰三角形的一边长等于４，一边长等于９，求它的周长．
５５
!"+$%,-.８．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝２，犅犆＝４．△犃犅犆的高犃犇与犆犈的比是多少？ （提
示：利用三角形的面积公式．）
A
E
B D C
（第８题）
９．如图，犃犇是△犃犅犆的角平分线．犇犈∥犃犆，犇犈交犃犅于点犈，犇犉∥犃犅，犇犉
交犃犆于点犉．图中∠１与∠２有什么关系？为什么？
A
E
F
1 2
B C
D
（第９题）
１０．要使四边形木架 （用４根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木
架和六边形木架呢？
（第１０题）
５６
!"+$%,-.
画图找规律
１．在计算机上用 《几何画板》软件任意画一个三角形，再画出它的三条中线，你发
现了什么规律？然后随意改变所画三角形的形状，看看这个规律是否改变．三角形的三条
高有这个规律吗？三条角平分线呢？
A
F
E
B
D
C
２．在计算机上用 《几何画板》软件任意画一个三角形，量出它的各内角并计算它们
的和．然后随意改变所画三角形的形状，再量出变化后的各内角，计算内角和．由此，你
能得出什么结论？
A
BAC 76.78e
ABC 50.27e
BCA 52.95e
BAC ABC BCA 180.00e
B
C
３．在计算机上用 《几何画板》软件任意画一个四边形，量出它的各内角并计算它们
的和．然后随意改变所画四边形的形状，再量出变化后的各内角，计算内角和．由此，你
能得出什么结论？
A
BAD 113.30e
D
ABC 79.43e
BCD 86.95e
B
CDA 80.32e
BAD ABC BCD CDA 360.00e
C
５７
!"+$%,-.１７．２ 与三角形有关的角
１７．２．１ 三角形的内角
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于１８０°．我们是通过
度量或剪拼得出这一结论的．
通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于１８０°．但是，由于测量常
常有误差，这种 “验证”不是 “数学证明”，不能完全让人信服；又由于形状不同的
三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于１８０°．所
以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于１８０°．
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个
平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
上面的拼合中，有不同的方法．你用了图１７．２１中的哪种方法？
l l
A
B C
A
A
B C B C B
（１） （２）
图１７．２１
在图１７．２１ （１）中，∠犅和∠犆分别拼在∠犃的左右，三个角合起来形
成一个平角，出现一条过点犃的直线犾，移动后的∠犅和∠犆各有一条边在直
线犾上．想一想，直线犾与△犃犅犆的边犅犆有什么关系？由这个图你能想出证
明 “三角形的内角和等于１８０°”的方法吗？
由上述拼合过程得到启发，过△犃犅犆的顶点犃作直线犾平行于△犃犅犆的
边犅犆（图１７．２２），那么由平行线的性质与平角的定义就能证明 “三角形的
内角和等于１８０°”这个结论．
５８
!"+$%,-.已知：△犃犅犆（图１７．２２）．
A l
求证：∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°． 4 5
1
证明：如图１７．２２，过点犃作直线犾，使犾∥犅犆．
∵ 犾∥犅犆，
2 3
B C
∴ ∠２＝∠４ （两直线平行，内错角相等）． 图１７．２２
同理 ∠３＝∠５．
∵ ∠１，∠４，∠５组成平角，
∴ ∠１＋∠４＋∠５＝１８０°（平角定义）．
由图１７．２
１（２），你能想出
∴ ∠１＋∠２＋∠３＝１８０°（等量代换）．
这个定理的其他
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都
证法吗？
等于１８０°，得到如下定理：
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于１８０°．
例１ 如图１７．２３，在△犃犅犆中，∠犅犃犆＝
C
４０°，∠犅＝７５°，犃犇是△犃犅犆的角平分线．求
∠犃犇犅的度数． D
解：由∠犅犃犆＝４０°，犃犇是△犃犅犆的角平分线，得
A B
１ 图１７．２３
∠犅犃犇＝ ∠犅犃犆＝２０°．
２
在△犃犅犇中，
∠犃犇犅＝１８０°－∠犅－∠犅犃犇
＝１８０°－７５°－２０°＝８５°．
例２ 图１７．２４是犃，犅，犆三岛的平面图，
C
犆岛在犃岛的北偏东５０°方向，犅岛在犃岛的北
E
D
偏东８０°方向，犆岛在犅岛的北偏西４０°方向．从犅
B
岛看犃，犆两岛的视角∠犃犅犆是多少度？从犆岛
A
看犃，犅两岛的视角∠犃犆犅呢？ 图１７．２４
分析：犃，犅，犆三岛的连线构成△犃犅犆，所求的∠犃犆犅是△犃犅犆的一
个内角．如果能求出∠犆犃犅，∠犃犅犆，就能求出∠犃犆犅．
解：∠犆犃犅＝∠犅犃犇－∠犆犃犇＝８０°－５０°＝３０°．
由犃犇∥犅犈，得
５９
!"+$%,-.∠犅犃犇＋∠犃犅犈＝１８０°．
所以
∠犃犅犈＝１８０°－∠犅犃犇＝１８０°－８０°＝１００°，
你还能想出其
∠犃犅犆＝∠犃犅犈－∠犈犅犆＝１００°－４０°＝６０°．
他解法吗？
在△犃犅犆中，
∠犃犆犅＝１８０°－∠犃犅犆－∠犆犃犅
＝１８０°－６０°－３０°＝９０°．
答：从犅岛看犃，犆两岛的视角∠犃犅犆是
６０°，从犆岛看犃，犅两岛的视角∠犃犆犅是９０°．
１．如图，从犃处观测犆处的仰角∠犆犃犇＝３０°，从犅处观测犆处的仰角
∠犆犅犇＝４５°．从犆处观测犃，犅两处的视角∠犃犆犅是多少度？
A
C
B
40e 150e
40e D
A D C
B
（第１题） （第２题）
２．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形犃犅犆犇，其中∠犃＝１５０°，∠犅＝
∠犇＝４０°．求∠犆的度数．
如图１７．２５，在直角三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°，
由三角形内角和定理，得 A
∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°，
即
∠犃＋∠犅＋９０°＝１８０°，
所以
∠犃＋∠犅＝９０°． B C
图１７．２５
也就是说，直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形可以用符号 “Ｒｔ△”表示，直角
三角形犃犅犆可以写成Ｒｔ△犃犅犆．
６０
!"+$%,-.例３ 如图１７．２６，∠犆＝∠犇＝９０°，犃犇，
犅犆相交于点犈．∠犆犃犈与∠犇犅犈有什么关系？ C
D
E
为什么？
解：在Ｒｔ△犃犆犈中，
A B
∠犆犃犈＝９０°－∠犃犈犆． 图１７．２６
在Ｒｔ△犅犇犈中，
∠犇犅犈＝９０°－∠犅犈犇．
∵ ∠犃犈犆＝∠犅犈犇，
∴ ∠犆犃犈＝∠犇犅犈．
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角
互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．
由三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形．
１．如图，∠犃犆犅＝９０°，犆犇⊥犃犅，垂足为犇．∠犃犆犇与∠犅有什么关系？为什么？
A
C
D
1
E
2
A D B C B
（第１题） （第２题）
２．如图，∠犆＝９０°，∠１＝∠２，△犃犇犈是直角三角形吗？为什么？
１７．２．２ 三角形的外角 A
如图１７．２７，把△犃犅犆的一边犅犆延长，得到
∠犃犆犇．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组
B C D
成的角，叫做三角形的外角．
图１７．２７
６１
!"+$%,-.
如图１７．２８，在△犃犅犆中，∠犃＝７０°，∠犅＝
A
６０°．∠犃犆犇是△犃犅犆的一个外角．能由∠犃，∠犅
70e
求出∠犃犆犇吗？如果能，∠犃犆犇与∠犃，∠犅有
什么关系？ 60e
B C D
任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个
图１７．２８
内角是否都有这种关系？
一般地，由三角形内角和定理可以推出下面
的推论 （请同学们自己证明）：
推论是由定理直
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
接推出的结论．和定理
一样，推论可以作为
例４ 如图１７．２９，∠犅犃犈，∠犆犅犉，∠犃犆犇
进一步推理的依据．
是△犃犅犆的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的
E
两个内角的和，得
A
∠犅犃犈＝∠２＋∠３， 1
∠犆犅犉＝∠１＋∠３，
2 3
B
∠犃犆犇＝∠１＋∠２． C D
F
所以 图１７．２９
∠犅犃犈＋∠犆犅犉＋∠犃犆犇＝２（∠１＋∠２＋∠３）．
由∠１＋∠２＋∠３＝１８０°，得
你还有其他解
法吗？
∠犅犃犈＋∠犆犅犉＋∠犃犆犇＝２×１８０°＝３６０°．
说出下列图形中∠１和∠２的度数：
80e 2 1
1
40e
60e 1 2 30e 2 40e
（１） （２） （３）
６２
!"+$%,-.A
E 60e 2
70e 1
1
2
40e 2 1 60e 20e 30e
B C D
犆犈平分∠犃犆犇
（４） （５） （６）
习题１７．２
１．求出下列图形中的狓的值：
xe xe
39e 108e xe xe
（１） （２）
72e xe
xe xe (x−36)e (x+36)e
（３） （４）
（第１题）
２． （１）一个三角形最多有几个直角？为什么？
（２）一个三角形最多有几个钝角？为什么？
A
（３）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？
1
３．△犃犅犆中，∠犅＝∠犃＋１０°，∠犆＝∠犅＋１０°．求
△犃犅犆的各内角的度数．
2 65e
４．如图，犃犇⊥犅犆，∠１＝∠２，∠犆＝６５°．求∠犅犃犆
B D C
的度数． （第４题）
５．如下页图，犃犅∥犆犇，∠犃＝４０°，∠犇＝４５°．求∠１和∠２的度数．
６３
!"+$%,-.B
D
D C
45e 1
45e O
2 A E
A 40e B C
（第５题） （第６题）
６．如图，犃犅∥犆犇，∠犃＝４５°，∠犆＝∠犈．求∠犆的度数．
７．如图，犅处在犃处的南偏西４５°方向，犆处在犃处的南偏东１５°方向，犆处在犅处
的北偏东８０°方向，求∠犃犆犅的度数．
A
A
A
E
D
100e
F
C 1 xe 3
B 2 4 C
B B C
（第７题） （第８题） （第９题）
８．如图，犇是犃犅上一点，犈是犃犆上一点，犅犈，犆犇相交于点犉，∠犃＝６２°，
∠犃犆犇＝３５°，∠犃犅犈＝２０°．求∠犅犇犆和∠犅犉犇的度数．
９．如图，∠１＝∠２，∠３＝∠４，∠犃＝１００°．求狓的值．
１０．如图，犃犅∥犆犇，∠犅犃犈＝∠犇犆犈＝４５°．填空：
∵ 犃犅∥犆犇，
∴ ∠１＋４５°＋∠２＋４５°＝ ．
∴ ∠１＋∠２＝ ．
∴ ∠犈＝ ．
A B E
45e
1
E
A
2
45e
C D B C D
（第１０题） （第１１题）
１１．如图，犆犈是△犃犅犆的外角∠犃犆犇的平分线，且犆犈交犅犃的延长线于点犈．求
证∠犅犃犆＝∠犅＋２∠犈．
６４
!"+$%,-.
为什么要证明
小明：我们观察任意一个三角形，量出它的每个内角，都能
得出它的内角和等于１８０°，为什么还要证明这个结论呢？
李老师：通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可
能有误差，试验可能受干扰，考察对象可能不具有一般性等原
因，一般来说由观察、试验等所产生的 “结论”未必正确．例
如，让一个班的学生每人任意画一个三角形，再量出它的每个内
角，计算三个内角的和，得到的结果未必全是１８０°，可能有的会
比１８０°大些，有的会比１８０°小些．
小明：如果观察细致，仪器精确，不产生误差，还需要证明吗？
李老师：仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力．例如，
即使不考虑误差等因素，当上面观察的所有结果全是１８０°时，人们还会
有疑问：“不同形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有
限个，其余的三角形的内角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证
吗？”事实上，不管我们经历多长时间，画出多少个三角形，观察、
试验的对象也是有限个．因此，要确认 “三角形的内角和等于１８０°”，
就不能依靠度量的手段和观察、试验、验证的方法，而必须进行推理
论证———对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平角，
从而得出 “无论三角形的具体形状如何，它的内角和一定等于１８０°”．
小明：现在我明白了，一个数学命题是否正确，需要经过理由
充足、使人信服的推理论证才能得出结论．观察、试验等是发现数
学公式、定理的重要途径，而证明则是确认数学公式、定理的必要
步骤．
６５
!"+$%,-.１７．３ 多边形及其内角和
１７．３．１ 多边形
观察图１７．３１中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段
围成的图形的形象，你能从图１７．３１中想象出几个由一些线段围成的图形吗？
图１７．３１
我们学过三角形．类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封
闭图形叫做多边形 （ｐｏｌｙｇｏｎ）．
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、
四边形、五边形……三角形是最简单的多边形．
如果一个多边形由狀条线段组成，那么这个多
边形就叫做狀边形．如图１７．３２，螺母底面的
边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形． 图１７．３２
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．图１７．３３中的∠犃，∠犅，
∠犆，∠犇，∠犈是五边形犃犅犆犇犈的５个内角．多边形的边与它的邻边的延长线组
成的角叫做多边形的外角．图１７．３４中的∠１是五边形犃犅犆犇犈的一个外角．
A A
1
B B
E E
C D C D
图１７．３３ 图１７．３４
６６
!"+$%,-.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 （ｄｉａｇｏｎａｌ）．
图１７．３５中，犃犆，犃犇是五边形犃犅犆犇犈的两条对角线．
A
五 边 形
犃犅犆犇犈共有几条
E
B 对角线？请画出它
的其他对角线．
C D
图１７．３５
如图１７．３６ （１），画出四边形犃犅犆犇的任何一条边 （例如犆犇）所在直
线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图
１７．３６ （２）中的四边形犃犅犆犇就不是凸四边形，因为画出边犆犇 （或犅犆）所
在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一
条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是
凸多边形．本节只讨论凸多边形．
A
A
B
C
B D
C D
（１） （２）
图１７．３６
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个
角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （ｒｅｇｕｌａｒｐｏｌｙｇｏｎ）．图１７．３７是
正多边形的一些例子．
图１７．３７
６７
!"+$%,-.１．画出下列多边形的全部对角线：
（第１题）
２．四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可
以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？
１７．３．２ 多边形的内角和
我们知道，三角形的内角和等于１８０°，正方形、长方形的内角和都
等于３６０°．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于３６０°呢？你能利用
三角形内角和定理证明四边形的内角和等于３６０°吗？
要用三角形内角和定理证明四边形的内角和
等于３６０°，只要将四边形分成几个三角形即可． D
如图１７．３８，在四边形犃犅犆犇中，连接对
4 C
角线犃犆，则四边形犃犅犆犇被分为△犃犅犆和
3
2
△犃犆犇两个三角形．
A
1
B
由此可得
图１７．３８
∠犇犃犅＋∠犅＋∠犅犆犇＋∠犇
＝∠１＋∠２＋∠犅＋∠３＋∠４＋∠犇
＝（∠１＋∠犅＋∠３）＋（∠２＋∠４＋∠犇）．
∵ ∠１＋∠犅＋∠３＝１８０°，
∠２＋∠４＋∠犇＝１８０°，
∴ ∠犇犃犅＋∠犅＋∠犅犆犇＋∠犇＝１８０°＋１８０°＝３６０°．
即四边形的内角和等于３６０°．
类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？
６８
!"+$%,-.观察图１７．３９，填空：
图１７．３９
从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为
个三角形，五边形的内角和等于１８０°× ．
从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为
个三角形，六边形的内角和等于１８０°× ．
通过以上过程，你能发现多边形的内角和与
边数的关系吗？ 把一个多边形
一般地，从狀边形的一个顶点出发，可以作 分成几个三角形，还
有其他分法吗？由新
（狀－３）条对角线，它们将狀边形分为 （狀－２）
的分法，能得出多边
个三角形，狀边形的内角和等于１８０°×（狀－２）．
形内角和公式吗？
这样就得出了多边形内角和公式：
狀边形内角和等于（狀－２）×１８０°．
例１ 如果一个四边形的一组对角互补，那
么另一组对角有什么关系？
解：如图１７．３１０，在四边形犃犅犆犇中，
C
∠犃＋∠犆＝１８０°．
D
∵ ∠犃＋∠犅＋∠犆＋∠犇＝（４－２）×１８０°
＝３６０°，
A B
∴ ∠犅＋∠犇＝３６０°－（∠犃＋∠犆）
图１７．３１０
＝３６０°－１８０°＝１８０°．
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那
么另一组对角也互补．
例２ 如图１７．３１１，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的
和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
６９
!"+$%,-.分析：考虑以下问题：
（１）任何一个外角同与它相邻的内角有什么
E 4 D
5
关系？
3
（２）六边形的６个外角加上与它们相邻的内 F
C
6
角，所得总和是多少？
2
A
1 B
（３）上述总和与六边形的内角和、外角和有
什么关系？
图１７．３１１
联系这些问题，考虑外角和的求法．
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于１８０°．因此六边形
的６个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于６×１８０°．
这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角
和，即外角和等于
６×１８０°－（６－２）×１８０°＝２×１８０°＝３６０°．
如果将例２中六边形换为狀边形 （狀是不小于３的任意整数），可以
得到同样结果吗？
由上面的思考可以得到：
多边形的外角和等于３６０°．
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外
角和等于３６０°．
如图１７．３１２，从多边形的一个顶点犃出发，
沿多边形的各边走过各顶点，再回到点犃，然后
转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，
就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各
个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等 A
于３６０°．
图１７．３１２
７０
!"+$%,-.１．求出下列图形中狓的值：
80e
150e2xe
120e
120e
140e
xe xe xe 75e xe
（１） （２） （３）
（第１题）
２．一个多边形的各内角都等于１２０°，它是几边形？
３．一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
习题１７．３
１．画出下面多边形的全部对角线：
（第１题）
２．求出下列图形中狓的值：
60e
3xe 4xe D
E
xe 150e
60e C
xe
xe
135e
A
xexe 3xe 2xe B AB CD
（１） （２） （３）
（第２题）
３．填表：
多边形的边数 ３ ４ ５ ６ ８ １２
内角和
外角和
７１
!"#$%&’(
书书书４．计算正五边形和正十边形的每个内角的度数．
５．一个多边形的内角和等于１２６０°，它是几边形？
６． （１）一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？
（２）一个多边形的内角和是外角和的２倍，它是几边形？
７．如图，在四边形犃犅犆犇中，∠犃＝∠犆，∠犅＝∠犇，犃犅与犆犇有怎样的位置关
系？为什么？犅犆与犃犇呢？
C
3
1 2
D B
4 O
D C
5 6
A B A
（第７题） （第８题）
８．如图，犅犆⊥犆犇，∠１＝∠２＝∠３，∠４＝６０°，∠５＝∠６．
（１）犆犗是△犅犆犇的高吗？为什么？
（２）∠５的度数是多少？
（３）求四边形犃犅犆犇各内角的度数．
９．如图，五边形犃犅犆犇犈的内角都相等，且∠１＝∠２，∠３＝∠４，求狓的值．
D
1 xe 3 E
D
E C
F
C
2 4
60e
A
A B B
（第９题） （第１０题）
１０．如图，六边形犃犅犆犇犈犉的内角都相等，∠犇犃犅＝６０°．犃犅与犇犈有怎样的位置
关系？犅犆与犈犉有这种关系吗？这些结论是怎样得出的？
７２
!"+$%,-.
有些地板的拼合图案如图１所示，它是用
正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴
墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地
面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作
就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部 图１
分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面 （或平面镶嵌）的
问题．
下面我们来探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并思考为什么会出
现这种结果．
（１）分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边
形，如果用其中一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图
案？如果用其中两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平面
图案？
（２）任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板，拼拼看，它们能否
镶嵌成平面图案．
1
2
2
3 1 3 4
三角形 四边形
（３）任意剪出一些形状、大小相同的四边形纸板，拼拼看，它们能否
镶嵌成平面图案．
你还可以搜集一些其他用多边形镶嵌的平面图案，或者设计一些地板
的平面镶嵌图，并与同学互相交流．
７３
!"+$%,-.小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
在本章中，我们进一步研究了三角形，如探索并证明了三角形三边之间的
关系以及三角形内角和定理．类似地，我们研究了多边形，如探索并证明了多
边形内角和公式．
三角形内角和定理是几何中一个很重要的结论，它可以由平行线的性质与
平角的定义证明．由这一定理可以进一步得出直角三角形两个锐角的关系以及
三角形外角的有关结论．
三角形是最简单的多边形．在研究多边形时，我们常常将它分为几个三角
形，再利用三角形的性质得出多边形的有关结论．例如，本章得到的多边形的
内角和公式就是上述方法的应用．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
２．三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？
３．直角三角形的两个锐角有怎样的关系？三角形的一个外角与和它不相邻
的两个内角有怎样的关系？这些结论能由三角形内角和定理得出吗？
４．狀边形的狀个内角有怎样的关系？如何推出这个结论？
５．狀边形的外角和与狀有关吗？为什么？
７４
!"+$%,-.复习题１７
１．如图，在△犃犅犆中，犃犇，犃犈分别是边犅犆上的中线
A
和高，犃犈＝２ｃｍ，犛 ＝１．５ｃｍ２．求犅犆和犇犆的长．
△犃犅犇
２．求出下列图形中狓的值．
xe
B D E C
50e 40e （第１题）
xe xe (x 10)e (x 70)e
xe
（１） （２） （３）
(x 10)e xe
xe
(x 20)e
(x 10)e
60e
xe
70e
（４） （５）
（第２题）
３．填表：
多边形的边数 ７ ２０
内角和 １５×１８０° ２３×１８０°
外角和
４．从八边形的一个顶点出发，可以作几条对角线？它们将八边形分成几个三角形？
这些三角形的内角和与八边形的内角和有什么关系？
５．一个多边形的内角和比四边形的内角和多５４０°，并且这个多边形的各内角都相等．
这个多边形的每个内角等于多少度？
６．如图，∠犅＝４２°，∠犃＋１０°＝∠１，∠犃犆犇＝６４°．求证犃犅∥犆犇．
A
D C
64e1
D
42e
A （第６题） B B （第７题） C
７５
!"+$%,-.７．如上页图，在△犃犅犆中，∠犆＝∠犃犅犆＝２∠犃，犅犇是边犃犆上的高．求∠犇犅犆
的度数．
８．如图，在△犃犅犆中，犃犇是高，犃犈，犅犉是角平分线，它们相交于点犗，∠犅犃犆＝５０°，
∠犆＝７０°．求∠犇犃犆和∠犅犗犃的度数．
A
A
F
O
P D
B E D C B C
（第８题） （第９题）
９．如图，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得
犃犅＋犃犇＞ ，
D
犘犇＋犆犇＞ ．
将不等式左边、右边分别相加，得
E C
犃犅＋犃犇＋犘犇＋犆犇＞ ，
即 犃犅＋犃犆＞ ．
１０．如图，五边形犃犅犆犇犈的内角都相等，犇犉⊥犃犅．
A F B
求∠犆犇犉的度数．
（第１０题）
１１．如图，△犃犅犆的∠犃犅犆和∠犃犆犅的平分线犅犈，犆犉相交于点犌．求证：
１
（１）∠犅犌犆＝１８０°－ （∠犃犅犆＋∠犃犆犅）；
２
１
（２）∠犅犌犆＝９０°＋ ∠犃．
２
A
A
E
D
F E
G
B C B F C
（第１１题） （第１２题）
１２．如图，在四边形犃犅犆犇中，∠犃＝∠犆＝９０°，犅犈平分∠犃犅犆，犇犉平分
∠犃犇犆．求证犅犈∥犇犉．
７６
!"+$%,-.第十八章 全等三角形
在我们的周围，经常可以看到形状、大小完
全相同的图形，这样的图形叫做全等形．研究全等
形的性质和判定两个图形全等的方法，是几何学
的一个重要内容．本章将以三角形为例，对这些问
题进行研究．
上一章我们通过推理论证得到了三角形内角
和定理等重要结论．本章中，推理论证将发挥更大
的作用．我们将通过证明三角形全等来证明线段或
角相等，利用全等三角形证明角的平分线的性质．
通过本章学习，你对三角形的认识会更加深入，
推理论证能力会进一步提高．１８．１ 全等三角形
图１８．１１所示的例子中都有形状、大小相同的图形，你能再举出一些类
似的例子吗？
图１８．１１
把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺
的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合
吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也
能够完全重合吗？
可以看到，形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合
的两个图形叫做全等形 （ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｆｉｇｕｒｅｓ）．
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 （ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｔｒｉａｎｇｌｅｓ）．
在图１８．１２ （１）中，把△犃犅犆沿直线犅犆平移，得到△犇犈犉．
在图１８．１２ （２）中，把△犃犅犆沿直线犅犆翻折１８０°，得到△犇犅犆．
在图１８．１２ （３）中，把△犃犅犆绕点犃旋转，得到△犃犇犈．
各图中的两个三角形全等吗？
７８
!"/$%0’,-.A
E
A D
B C
A
D
B C E F B C
D
（１） （２） （３）
图１８．１２
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变
化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻
全等用符号 “≌”表
折、旋转前后的图形全等．
示，读作 “全等于”．
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶
记两个三角形全等时，
点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的 通常把表示对应顶点的字
角叫做 对应角．例如，图 １８．１２ （１）中的 母写在对应的位置上．例
如，图１８．１２ （２）中的
△犃犅犆和△犇犈犉全等，记作△犃犅犆≌△犇犈犉，
△犃犅犆和△犇犅犆全等，点
其中点犃和点犇，点犅和点犈，点犆和点犉是
犃和点犇，点犅和点犅，
对应顶点；犃犅和犇犈，犅犆和犈犉，犃犆和犇犉 点犆和点犆是对应顶点，
是对应边；∠犃和∠犇，∠犅和∠犈，∠犆和∠犉
记作△犃犅犆≌△犇犅犆．
是对应角．
图１８．１２（１）中，△犃犅犆≌△犇犈犉，对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形有这样的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
１．说出图１８．１２（２）、图１８．１２（３）中两个全等三角形
C
B
的对应边、对应角．
２．如图，△犗犆犃≌△犗犅犇，点犆和点犅，点犃和点犇 O
是对应顶点．说出这两个三角形中相等的边和角． A
（第２题） D
７９
!"/$%0’,-.习题１８．１
１．如图，△犃犅犆≌△犆犇犃，犃犅和犆犇，犅犆和犇犃是对应边．写出其他对应边及对
应角．
A
A
B
D
B M N C
C
（第１题） （第２题）
２．如图，△犃犅犖≌△犃犆犕，∠犅和∠犆是对应角，犃犅和犃犆是对应边．写出其他
对应边及对应角．
３．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠１等于多少度？
54e
1
a c
b c
60e
b （第３题）
４．如图，△犈犉犌≌△犖犕犎，∠犉和∠犕是对应角．在△犈犉犌中，犉犌是最长边．
在△犖犕犎中，犕犎是最长边．犈犉＝２．１ｃｍ，犈犎＝１．１ｃｍ，犖犎＝３．３ｃｍ．
（１）写出其他对应边及对应角；
（２）求线段犖犕及线段犎犌的长度．
E
H
M
F
G
N
（第４题）
５．如下页图，△犃犅犆≌△犇犈犆，犆犃和犆犇，犆犅和犆犈是对应边．∠犃犆犇和∠犅犆犈
相等吗？为什么？
８０
!"/$%0’,-.A
C
D
E D
1 2
A E B B C
（第５题） （第６题）
６．如图，△犃犈犆≌△犃犇犅，点犈和点犇是对应顶点．
（１）写出它们的对应边和对应角；
（２）若∠犃＝５０°，∠犃犅犇＝３９°，且∠１＝∠２，求∠１的度数．
８１
!"/$%0’,-.１８．２ 三角形全等的判定
我们知道，如果△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，那么它们的对应边相等，对应角相等．
反过来，根据全等三角形的定义，如果△犃犅犆与△犃′犅′犆′满足三条边分别相
等，三个角分别相等，即
犃犅＝犃′犅′，犅犆＝犅′犆′，犆犃＝犆′犃′，
∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′，∠犆＝∠犆′，
就能判定△犃犅犆≌△犃′犅′犆′（图１８．２１）．
一定要满足三条边分别相等，三个角
A A
也分别相等，才能保证两个三角形全等
吗？上述六个条件中，有些条件是相关的．
能否在上述六个条件中选择部分条件，简 B C B C
捷地判定两个三角形全等呢？ 图１８．２１
本节我们就来讨论这个问题．
先任意画出一个△犃犅犆．再画一个△犃′犅′犆′，使△犃犅犆与△犃′犅′犆′满
足上述六个条件中的一个 （一边或一角分别相等）或两个 （两边、一边一
角或两角分别相等）．你画出的△犃′犅′犆′与△犃犅犆一定全等吗？
通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△犃犅犆与
△犃′犅′犆′不一定全等．满足上述六个条件中的三个，能保证△犃犅犆与
△犃′犅′犆′全等吗？
我们分情况进行讨论．
先任意画出一个△犃犅犆．再画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，犅′犆′＝
犅犆，犆′犃′＝犆犃．把画好的△犃′犅′犆′剪下来，放到△犃犅犆上，它们全等吗？
８２
!"/$%0’,-.画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝
A A 犃犆，犅′犆′＝犅犆：
（１）画犅′犆′＝犅犆；
（２）分别以点犅′，犆′为圆心，线段犃犅，犃犆
B C B C
长为半径画弧，两弧相交于点犃′；
图１８．２２ （３）连接线段犃′犅′，犃′犆′．
图１８．２２给出了画△犃′犅′犆′的方法，你是这样画的吗？探究２的结果反
映了什么规律？
由探究２可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
三边分别相等的两个三角形全等 （可以简写成 “边边边”或 “ＳＳＳ”）．
我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形
木架的形状、大小就不变了．就是说，三角形三条边的长度确定了，这个三角
形的形状、大小也就确定了．
例１ 在如图１８．２３所示的三角形钢架中，
A
犃犅＝犃犆，犃犇是连接点犃与犅犆中点犇的支架．求
证△犃犅犇≌△犃犆犇．
B D C
分析：要证△犃犅犇≌△犃犆犇，只需看这两个三 图１８．２３
角形的三条边是否分别相等．
证明：∵ 犇是犅犆的中点，
∴ 犅犇＝犆犇．
在△犃犅犇和△犃犆犇中， 犃犇既是△犃犅犇
的边又是△犃犆犇的边．
烄犃犅＝犃犆，
我们称它为这两个三
烅犅犇＝犆犇，
角形的公共边．
烆犃犇＝犃犇，
∴ △犃犅犇≌△犃犆犇 （ＳＳＳ）．
由三边分别相等判定三角形全等的结论，还可以得到用直尺和圆规作一个角
等于已知角的方法．
已知：∠犃犗犅．
求作：∠犃′犗′犅′，使∠犃′犗′犅′＝∠犃犗犅．
８３
!"/$%0’,-.B
B
D D
O C A O C A
图１８．２４
作法：（１）如图１８．２４，以点犗为圆心，任
意长为半径画弧，分别交犗犃，犗犅于点犆，犇； 想一想，为什
（２）画一条射线犗′犃′，以点犗′为圆心，犗犆 么 这 样 作 出 的
长为半径画弧，交犗′犃′于点犆′；
∠犃′犗′犅′和∠犃犗犅
是相等的？
（３）以点犆′为圆心，犆犇长为半径画弧，与
第２步中所画的弧相交于点犇′；
（４）过点犇′画射线犗′犅′，则∠犃′犗′犅′＝∠犃犗犅．
１．如图，犆是犃犅的中点，犃犇＝犆犈，犆犇＝犅犈．求证△犃犆犇≌△犆犅犈．
A
M
A
C
O
C D
N
B
B E
（第１题） （第２题）
２．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠犃犗犅是一个任意角，
在边犗犃，犗犅上分别取犗犕＝犗犖，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与
点犕，犖重合．过角尺顶点犆的射线犗犆便是∠犃犗犅的平分线．为什么？
先任意画出一个△犃犅犆．再画出一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝
犃犆，∠犃′＝∠犃（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△犃′犅′犆′剪
下来，放到△犃犅犆上，它们全等吗？
８４
!"/$%0’,-.E 画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝
C C 犃犆，∠犃′＝∠犃：
（１）画∠犇犃′犈＝∠犃；
（２）在射线犃′犇上截取犃′犅′＝犃犅，在射线
A B
犃′犈上截取犃′犆′＝犃犆；
A B D
图１８．２５ （３）连接犅′犆′．
图１８．２５给出了画△犃′犅′犆′的方法．你是这样画的吗？探究３的结果反映
了什么规律？
由探究３可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成 “边角边”或
“ＳＡＳ”）．
也就是说，三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角
形的形状、大小就确定了．
例２ 如图１８．２６，有一池塘，要测池塘两
端犃，犅的距离，可先在平地上取一个点犆，从 A B
点犆不经过池塘可以直接到达点犃和犅．连接犃犆
1
C
并延长到点犇，使犆犇＝犆犃．连接犅犆并延长到点 2
犈，使犆犈＝犆犅．连接犇犈，那么量出犇犈的长就
E D
是犃，犅的距离．为什么？ 图１８．２６
分析：如果能证明△犃犅犆≌△犇犈犆，就可以
得出犃犅＝犇犈．由题意可知，△犃犅犆和△犇犈犆
具备 “边角边”的条件．
证明：在△犃犅犆和△犇犈犆中，
烄犆犃＝犆犇， 想一想，∠１＝
烅∠１＝∠２， ∠２的根据是什么？
犃犅＝犇犈的根据是
烆犆犅＝犆犈，
什么？
∴ △犃犅犆≌△犇犈犆（ＳＡＳ）．
∴ 犃犅＝犇犈．
从例２可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线
段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决．
８５
!"/$%0’,-.
A
如图１８．２７，把一长一短的两根木棍的一端
固定在一起，摆出△犃犅犆．固定住长木棍，转动短
木棍，得到△犃犅犇．这个实验说明了什么？
B C D
图１８．２７
图１８．２７中的△犃犅犆与△犃犅犇满足两边和其中一边的对角分别相等，
即犃犅＝犃犅，犃犆＝犃犇，∠犅＝∠犅，但△犃犅犆与△犃犅犇不全等．这说明，
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
１．如图，两车从南北方向的路段犃犅的犃端出发，分别向东、向西行进相同的距离，
到达犆，犇两地．此时犆，犇到犅的距离相等吗？为什么？
B
A D
D A C
（第１题） B E （第２题） F C
２．如图，点犈，犉在犅犆上，犅犈＝犆犉，犃犅＝犇犆，∠犅＝∠犆．求证∠犃＝∠犇．
先任意画出一个△犃犅犆．再画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，∠犃′＝∠犃，
∠犅′＝∠犅（即两角和它们的夹边分别相等）．把画好的△犃′犅′犆′剪下来，放到
△犃犅犆上，它们全等吗？
E
D 画一个△犃′犅′犆′，使犃′犅′＝犃犅，∠犃′＝∠犃，
C C
∠犅′＝∠犅：
（１）画犃′犅′＝犃犅；
（２）在犃′犅′的同旁画∠犇犃′犅′＝∠犃，∠犈犅′犃′＝
∠犅，犃′犇，犅′犈相交于点犆′．
A B
A B
图１８．２８
８６
!"/$%0’,-.图１８．２８给出了画△犃′犅′犆′的方法．你是这样画的吗？探究４的结果反
映了什么规律？
由探究４可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 （可以简写成 “角边角”或
“ＡＳＡ”）．
也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角
形的形状、大小就确定了．
例３ 如图１８．２９，点犇在犃犅上，点犈在犃犆上，
A
犃犅＝犃犆，∠犅＝∠犆．求证犃犇＝犃犈．
分析：证明△犃犆犇≌△犃犅犈，就可以得出犃犇＝犃犈．
证明：在△犃犆犇和△犃犅犈中，
D E
烄∠犃＝∠犃（公共角），
B C
烅犃犆＝犃犅，
图１８．２９
烆∠犆＝∠犅，
∴ △犃犆犇≌△犃犅犈（ＡＳＡ）．
∴ 犃犇＝犃犈．
例４ 如图１８．２１０，在△犃犅犆和△犇犈犉中，∠犃＝∠犇，∠犅＝∠犈，
犅犆＝犈犉．求证△犃犅犆≌△犇犈犉．
A D
C F
B E
图１８．２１０
分析：如果能证明∠犆＝∠犉，就可以利用 “角边角”证明△犃犅犆和
△犇犈犉全等．由三角形内角和定理可以证明∠犆＝∠犉．
证明：在△犃犅犆中，∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°，
∴ ∠犆＝１８０°－∠犃－∠犅．
同理 ∠犉＝１８０°－∠犇－∠犈．
又 ∠犃＝∠犇，∠犅＝∠犈，
∴ ∠犆＝∠犉．
８７
!"/$%0’,-.在△犃犅犆和△犇犈犉中，
烄∠犅＝∠犈，
烅犅犆＝犈犉，
烆∠犆＝∠犉，
∴ △犃犅犆≌△犇犈犉（ＡＳＡ）．
因此，我们可以得到下面的结论：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （可以简写成
“角角边”或 “ＡＡＳ”）．
也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这
个三角形的形状、大小就确定了．
三个角分别相等的两个三角形全等吗？解答上述问题后，把三角形全
等的判定方法做一个小结．
１．如图，犃犅⊥犅犆，犃犇⊥犇犆，垂足分别为犅，犇，∠１＝∠２．求证犃犅＝犃犇．
A A
1 2
B C D F
B D
C E
（第１题） （第２题）
２．如图，要测量池塘两岸相对的两点犃，犅的距离，可以在池塘外取犃犅的垂线
犅犉上的两点犆，犇，使犅犆＝犆犇，再画出犅犉的垂线犇犈，使犈与犃，犆在一
条直线上，这时测得犇犈的长就是犃犅的长．为什么？
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这
两个直角三角形就全等了？
８８
!"/$%0’,-.由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一直角边及其相对
（或相邻）的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，
这两个直角三角形就全等了．如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直
角三角形全等吗？
任意画出一个Ｒｔ△犃犅犆，使∠犆＝９０°．再画一个Ｒｔ△犃′犅′犆′，使
∠犆′＝９０°，犅′犆′＝犅犆，犃′犅′＝犃犅．把画好的Ｒｔ△犃′犅′犆′剪下来，放到
Ｒｔ△犃犅犆上，它们全等吗？
N
画一个Ｒｔ△犃′犅′犆′，使∠犆′＝９０°，犅′犆′＝
犅犆，犃′犅′＝犃犅：
A A
（１）画∠犕犆′犖＝９０°；
（２）在射线犆′犕上截取犅′犆′＝犅犆；
（３）以点犅′为圆心，犃犅长为半径画弧，交
B C M B C
射线犆′犖于点犃′；
图１８．２１１
（４）连接犃′犅′．
图１８．２１１给出了画Ｒｔ△犃′犅′犆′的方法．你是这样画的吗？探究５的结果
反映了什么规律？
由探究５可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （可以简写成 “斜边、
直角边”或 “ＨＬ”）．
例５ 如图１８．２１２，犃犆⊥犅犆，犅犇⊥犃犇，垂足分别为犆，犇，犃犆＝
犅犇．求证犅犆＝犃犇．
证明：∵ 犃犆⊥犅犆，犅犇⊥犃犇，
∴ ∠犆与∠犇都是直角．
D C
在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犅犃犇中，
烄犃犅＝犅犃，
烅
烆犃犆＝犅犇， A B
图１８．２１２
∴ Ｒｔ△犃犅犆≌Ｒｔ△犅犃犇 （ＨＬ）．
∴ 犅犆＝犃犇．
８９
!"#$%&’()*
书书书１．如图，犆是路段犃犅的中点，两人从犆同时出发，以相同的速度分别沿两条直
线行走，并同时到达犇，犈两地．犇犃⊥犃犅，犈犅⊥犃犅．犇，犈到路段犃犅的距
离相等吗？为什么？
D
A C D
F E
C
E
A B
B
（第１题） （第２题）
２．如图，犃犅＝犆犇，犃犈⊥犅犆，犇犉⊥犅犆，垂足分别为犈，犉，犆犈＝犅犉．求证
犃犈＝犇犉．
习题１８．２
１．如图，犃犅＝犃犇，犆犅＝犆犇．△犃犅犆和△犃犇犆全等吗？为什么？
A
A
D E
C
B
B D C
（第１题） （第２题）
２．如图，犃犅＝犃犆，犃犇＝犃犈．求证∠犅＝∠犆．
３．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具 （卡钳）．
在图中，要测量工件内槽宽犃犅，只要测量哪些量？为什么？
D
A B
1 B 3
A
2 4
O
A
B C
（第３题） （第４题）
９０
!")$%*+&’(４．如上页图，∠１＝∠２，∠３＝∠４．求证犃犆＝犃犇．
５．如图，∠１＝∠２，∠犅＝∠犇．求证犃犅＝犆犇．
C
A D
1
E D
2
B C A B
（第５题） （第６题）
６．如图，从犆地看犃，犅两地的视角∠犆是锐角，从犆地到犃，犅两地的距离相等．
犃地到路段犅犆的距离犃犇与犅地到路段犃犆的距离犅犈相等吗？为什么？
７．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犃犇是高．求证：（１）犅犇＝犆犇；（２）∠犅犃犇＝∠犆犃犇．
A
A D
B D C C B
（第７题） （第８题）
８．如图，犃犆⊥犆犅，犇犅⊥犆犅，垂足分别为犆，犅，犃犅＝犇犆．求证∠犃犅犇＝∠犃犆犇．
９．如图，点犅，犈，犆，犉在一条直线上，犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉，犅犈＝犆犉．求证
∠犃＝∠犇．
A D D C
O
B E C F A B
（第９题） （第１０题）
１０．如图，犃犆和犅犇相交于点犗，犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇． A
求证犇犆∥犃犅．
１１．如图，点犅，犉，犆，犈在一条直线上，犉犅＝犆犈，
C
B E
犃犅∥犈犇，犃犆∥犉犇．求证：犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉． F
D
（第１１题）
９１
!"/$%0’,-.
１２．如图，犇是犃犅上一点，犇犉交犃犆于点犈，犇犈＝犉犈，犉犆∥犃犅．犃犈与犆犈有
什么关系？证明你的结论．
A
A
F
E
E
D
B C B D C
（第１２题） （第１３题）
１３．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇是犅犆的中点，点犈在犃犇上．找出图中
的全等三角形，并证明它们全等．
９２
!"/$%0’,-.
探究三角形全等的条件
用 《几何画板》软件的绘图功能可以方便地根据给定条件画出三角形，还可以测量三
角形中边和角的大小，从而帮助我们探究三角形全等的条件．
１．按照下面的步骤画一个△犃犅犆，使得犃犅＝２ｃｍ，犅犆＝５ｃｍ，犃犆＝６ｃｍ．
m BAC 51.34e
A
m ABC 110.46e
m BCA 18.20e
mAB 2.00 cm
mBC 5.00 cm
B C
mCA 6.00 cm
图１
（１）任意画一条直线犾，在犾上取两点犅，犆，使犅犆＝５ｃｍ；
（２）以点犆为圆心，６ｃｍ为半径画一个圆；
（３）以点犅为圆心，２ｃｍ为半径画一个圆，与半径为６ｃｍ的圆交于两个点，取其中
的一个点为犃；
（４）连接犃犅，犅犆，犆犃，隐藏所有的圆和直线犾．
测量△犃犅犆的三条边的长度和三个角的大小．你画出的三角形及测量结果与图１相
同吗？由此你能得到什么结论？
２．按照下面的步骤画一个△犃犅犆，使得犃犅＝４ｃｍ，犅犆＝５ｃｍ，∠犃犅犆＝７５°．
A
m BAC 60.74e
m ABC 75.00e
m BCA 44.26e
mAB 4.00 cm
mBC 5.00 cm
mCA 5.54 cm
B C
图２
（１）任意画一条直线犾，在犾上取两点犅，犆，使犅犆＝５ｃｍ；
９３
!"/$%0’,-.（２）连接犅犆，以点犅为中心，将犅犆逆时针旋转７５°，得到犅犆′；
（３）在犅犆′上取点犃，使犃犅＝４ｃｍ；
（４）连接犃犅，犆犃，隐藏直线犾和犅犆′．
测量△犃犅犆的三条边的长度和三个角的大小．你画出的三角形及测量结果与图２相
同吗？由此你能得到什么结论？
３．按照下面的步骤画一个△犃犅犆，使得∠犃＝４５°，∠犅＝７５°，∠犆＝６０°．
A
m BAC 45.00e
m ABC 75.00e
m BCA 60.00e
mAB 6.12 cm
mBC 5.00 cm
mCA 6.83 cm
B C
图３
（１）任意画一条直线犾，在犾上任意取两点犅，犆，连接犅犆；
（２）以点犅为中心，将犅犆逆时针旋转７５°，得到犅犆′；
（３）以点犆为中心，将犅犆顺时针旋转６０°，得到犆犅′；
（４）记犅犆′与犆犅′的交点为犃，连接犃犅，犆犃，隐藏直线犾和犅犆′，犆犅′．
测量△犃犅犆的三条边的长度和三个角的大小．你画出的三角形及测量结果与图３相
同吗？由此你能得到什么结论？
４．分别按 “角边角”“角角边”和 “边边角”的条件画几个三角形，每组三角形全等
吗？请你总结一下判定三角形全等的条件．
９４
!"/$%0’,-.１８．３ 角的平分线的性质
A
图１８．３１是一个平分角的仪器，其中犃犅＝
犃犇，犅犆＝犇犆．将点犃放在角的顶点，犃犅和犃犇
D B
沿着角的两边放下，沿犃犆画一条射线犃犈，犃犈就
是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？ C
E
图１８．３１
这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法．
已知：∠犃犗犅．
求作：∠犃犗犅的平分线．
作法：（１）以点犗为圆心，适当长为半径画弧，
A
交犗犃于点犕，交犗犅于点犖．
M
１
（２）分别以点犕，犖为圆心，大于 犕犖的长 C
２
O B
为半径画弧，两弧在∠犃犗犅的内部相交于点犆．
N
（３）画射线犗犆．射线犗犆即为所求 （图１８．３２）． 图１８．３２
如 图 １８．３３，任 意 作 一 个 角 ∠犃犗犅，作 出
A
∠犃犗犅的平分线犗犆．在犗犆上任取一点犘，过点犘
D
画出犗犃，犗犅的垂线，分别记垂足为犇，犈，测量 C
P
犘犇，犘犈并作比较，你得到什么结论？在犗犆上再取
O B
几个点试一试． E
图１８．３３
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么
性质？
９５
!"/$%0’,-.我们猜想角的平分线有以下性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
下面，我们利用三角形全等证明这个性质．首先，要分清其中的 “已知”
和 “求证”．显然，已知为 “一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为 “这
个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在
证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证．
如图１８．３４，∠犃犗犆＝∠犅犗犆，点犘在犗犆上，犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，垂
足分别为犇，犈．求证犘犇＝犘犈．
证明：∵ 犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，
A
∴ ∠犘犇犗＝∠犘犈犗＝９０°．
D
在△犘犇犗和△犘犈犗中，
C
烄∠犘犇犗＝∠犘犈犗， P
O B
烅∠犃犗犆＝∠犅犗犆， E
图１８．３４
烆犗犘＝犗犘，
∴ △犘犇犗≌△犘犈犗（ＡＡＳ）．
∴ 犘犇＝犘犈．
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
１．明确命题中的已知和求证；
２．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
３．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
如图１８．３５，要在犛区建一个集贸市场，
使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁
路的交叉处５００ｍ．这个集贸市场应建于何处
（在图上标出它的位置，比例尺为１∶２００００）？ S
图１８．３５
９６
!"/$%0’,-.我们知道，角的平分线上的点到角的两边的
距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的
平分线上呢？利用三角形全等，可以得到 按照上述证明命
题的步骤，自己证一
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的
证这个结论．
平分线上．
根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何
处了．
A
例 如图１８．３６，△犃犅犆的角平分线犅犕， D
N F
犆犖相交于点犘．求证：点犘到三边犃犅，犅犆， P M
犆犃的距离相等．
B E C
证明：过点犘作犘犇，犘犈，犘犉分别垂直于 图１８．３６
犃犅，犅犆，犆犃，垂足分别为犇，犈，犉．
∵ 犅犕 是△犃犅犆的角平分线，点犘在
犅犕上， 想一想，点犘
∴ 犘犇＝犘犈． 在∠犃的平分线上
吗？这说明三角形
同理 犘犈＝犘犉．
的三条角平分线有
∴ 犘犇＝犘犈＝犘犉．
什么关系？
即点犘到三边犃犅，犅犆，犆犃的距离相等．
１．如图，在直线犕犖上求作一点犘，使点犘到射线犗犃和犗犅的距离相等．
B
D
C
M N P E
O
A A B
（第１题） （第２题）
２．如图，△犃犅犆的两个外角的平分线犅犇与犆犈相交于点犘．求证：点犘到三边
犃犅，犅犆，犆犃所在直线的距离相等．
９７
!"#$%&’()*
书书书习题１８．３
１．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠犃犗犅的两边上，分别取犗犕＝
犗犖，再分别过点犕，犖作犗犃，犗犅的垂线，交点为犘，画射线犗犘，则犗犘平
分∠犃犗犅．为什么？
A
M
A
P
O
N
E F
B B D C
（第１题） （第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，且犅犇＝犆犇，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，
垂足分别为犈，犉．求证犈犅＝犉犆．
３．如图，犆犇⊥犃犅，犅犈⊥犃犆，垂足分别为犇，犈，犅犈，犆犇相交于点犗，犗犅＝
犗犆．求证∠１＝∠２．
A
A
1 2
D E
P
O
B E D F C
B C
（第３题） （第４题）
４．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，犘是犃犇
A
上的一点，犘犈∥犃犅，交犅犆于点犈，犘犉∥犃犆，交
D
C
犅犆于点犉．求证：点犇到犘犈和犘犉的距离相等．
F
５．如图，犗犆是∠犃犗犅的平分线，犘是犗犆上的一点， P
犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，垂足分别为犇，犈．犉是犗犆上
O E B
（第５题）
的另一点，连接犇犉，犈犉．求证犇犉＝犈犉．
９８
!"/$%0’,-.
６．如图，犃犇是△犃犅犆的角平分线，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足分别是犈，犉，连
接犈犉，犈犉与犃犇相交于点犌．犃犇与犈犉垂直吗？证明你的结论．
D C
A
E
E
G
F
B D C A B
（第６题） （第７题）
７．如图，∠犅＝∠犆＝９０°，犈是犅犆的中点，犇犈平分∠犃犇犆．求证：犃犈是
∠犇犃犅的平分线．（提示：过点犈作犈犉⊥犃犇，垂足为犉．）
９９
!"/$%0’,-.
图１是两个根据全等形设计的图案．仔细观察一下，每个图案中有哪
些全等形？有哪些全等三角形？
注意一下你的身边，哪些是全等形？哪些是全等三角形？各找几个例
子与同学交流．
图１
?
如图２，四边形犃犅犆犇中，犃犇＝犆犇，犃犅＝犆犅．我
D
们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做 “筝形”．请你
自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对
A C
角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的
猜想．
B
图２
１００
!"/$%0’,-.小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们学习了全等三角形的性质和判定方法．如果两个三角形全等，那
么它们的对应元素 （对应的边、角等）都相等，这就是全等三角形的性质；判
定三角形全等的条件是 “边边边”“边角边”“角边角”或 “角角边”，而对于
直角三角形的全等，还可以用 “斜边、直角边”来判定．
用全等三角形的定义判定三角形全等，需要六个条件．通过画图找规律、
推理论证等方法，我们减少条件，找到了更简便的判定方法．由此看出，实验
操作和推理论证都能帮助我们获得新的结论．
利用全等三角形知识，通过推理论证，我们得到了角的平分线的性质．今
后遇到证明线段相等或角相等的问题，可以尝试先判定两个三角形全等，再利
用其对应边相等或对应角相等解决问题．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？
２．全等三角形有什么性质？
３．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定
两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形全等的条件是什么？
４．学习本章后，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证
明角的平分线的性质吗？
５．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？
１０１
!"/$%0’,-.复习题１８
１．图中有三个正方形，请你指出图中所有的全等三角形．
A D
E
B F C
（第１题） （第２题）
２．如图，在长方形犃犅犆犇中，犃犉⊥犅犇，垂足为犈，犃犉交犅犆于点犉，连接犇犉．
（１）图中有全等三角形吗？
（２）图中有面积相等但不全等的三角形吗？
３．如图，犆犃＝犆犇，∠１＝∠２，犅犆＝犈犆．求证犃犅＝犇犈．
A
D
C D
E
2
1
B C A B
（第３题） （第４题）
４．如图，海岸上有犃，犅两个观测点，点犅在点犃的正东方，海岛犆在观测点犃的
正北方，海岛犇在观测点犅的正北方．如果从观测点犃看海岛犆，犇的视角∠犆犃犇
与从观测点犅看海岛犆，犇的视角∠犆犅犇相等，那么海岛犆，犇到观测点犃，犅
所在海岸的距离犆犃，犇犅相等．请你说明理由．
５．如图，在△犃犅犆中，犇是犅犆的中点，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足分别是犈，犉，
犅犈＝犆犉．求证：犃犇是△犃犅犆的角平分线．
A
E F
B （第５ D题） C （第６题）
６．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度
假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
１０２
!"/$%0’,-.
７．如图，两车从路段犃犅的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时
间后分别到达犆，犇两地．犆，犇两地到路段犃犅的距离相等吗？为什么？
A A D
C
E
F
D B B E C F
（第７题） （第８题）
８．如图，犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉，犅犈＝犆犉．求证：犃犅∥犇犈，犃犆∥犇犉．
９．如图，∠犃犆犅＝９０°，犃犆＝犅犆，犃犇⊥犆犈，犅犈⊥犆犈，垂足分别为犇，犈，犃犇＝
２．５ｃｍ，犇犈＝１．７ｃｍ．求犅犈的长．
B
E
C
D
D
C A A E B
（第９题） （第１０题）
１０．如图的三角形纸片中，犃犅＝８ｃｍ，犅犆＝６ｃｍ，犃犆＝５ｃｍ．沿过点犅的直线折
叠这个三角形，使点犆落在犃犅边上的点犈处，折痕为犅犇．求△犃犈犇的周长．
１１．如图，△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，犃犇，犃′犇′分别是△犃犅犆，△犃′犅′犆′的对应边上的
中线．犃犇与犃′犇′有什么关系？证明你的结论．
A A A
B D C B D C B D C
（第１１题） （第１２题）
１２．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线．求证：犛 ∶犛 ＝犃犅∶犃犆．
△犃犅犇 △犃犆犇
１３．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三
角形全等．
１０３
!"/$%0’,-.第十九章 数据的分析
用样本估计总体是统计的基本思想．当所要考
察的总体中个体很多或者对考察对象带有破坏性
时，我们常常通过用样本估计总体的方法来了解
总体．看下面的问题：
农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，
对甲、乙两个品种各用１０块自然条件相同的试验
田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 （见下
表）．根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种子
提出怎样的建议呢？
甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院选择
种子时所关心的问题．如何考察一种甜玉米的产量
和产量的稳定性呢？这要用到本章将要学习的如
何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方
差等知识．
通过本章的学习，你将对数据的作用有更多
的认识，对用样本估计总体的思想有更深的体会．
品
各试验田每公顷产量／ｔ
种
７．６５ ７．５０ ７．６２ ７．５９ ７．６５
甲
７．６４ ７．５０ ７．４０ ７．４１ ７．４１
７．５５ ７．５６ ７．５３ ７．４４ ７．４９
乙
７．５２ ７．５８ ７．４６ ７．５３ ７．４９
狓珚 ＝７．５３７ 狓珚 ＝７．５１５
甲 乙
狊２≈０．０１０ 狊２≈０．００２
甲 乙
书书书１９．１ 数据的集中趋势
当我们收集到数据后，通常是用统计图表整理和描述数据．为了进一步获
取信息，还需要对数据进行分析．以前通过数据计算，我们学习了平均数，知
道它可以反映一组数据的平均水平．本节我们将在实际问题情境中，进一步探
讨平均数的统计意义，并学习中位数、众数和方差等另外几个统计中常用来刻画数
据特征的量，了解它们在数据分析中的重要作用．
１９．１．１ 平均数
问题１ 一家公司打算招聘一名英文翻译．对甲、乙两名应试者进行了听、
说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩 （百分制）如表１９１所示．
表１９１
应试者 听 说 读 写
甲 ８５ ７８ ８５ ７３
乙 ７３ ８０ ８２ ８３
（１）如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均
成绩 （百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？
（２）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按
照２∶１∶３∶４的比确定，计算两名应试者的平均成绩 （百分制）．从他们的成
绩看，应该录取谁？
对于问题 （１），根据平均数公式，甲的平均成绩为
８５＋７８＋８５＋７３
＝８０．２５，
４
乙的平均成绩为
７３＋８０＋８２＋８３
＝７９．５．
４
因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲．
对于问题 （２），听、说、读、写成绩按照２∶１∶３∶４的比确定，这说明
各项成绩的 “重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加 “重
要”．因此，甲的平均成绩为
８５×２＋７８×１＋８５×３＋７３×４
＝７９．５，
２＋１＋３＋４
１０５
!"#$%&’()*乙的平均成绩为
７３×２＋８０×１＋８２×３＋８３×４
＝８０．４．
２＋１＋３＋４
因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙．
上述问题 （１）是利用平均数的公式计算平均成绩，其中的每个数据被认
为同等重要．而问题 （２）是根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程
度相应的比重，其中的２，１，３，４分别称为听、说、读、写四项成绩的权
（ｗｅｉｇｈｔ），相应的平均数７９．５，８０．４分别称为甲和乙的听、说、读、写四项
成绩的加权平均数 （ｗｅｉｇｈｔｅｄａｖｅｒａｇｅ）．
一般地，若狀个数狓，狓，…，狓 的权分别
１ ２ 狀
是狑，狑，…，狑，则
１ ２ 狀
狓狑＋狓狑＋…＋狓狑 权的英文是ｗｅｉｇｈｔ，
１ １ ２ ２ 狀 狀
狑＋狑＋…＋狑 有表示数据重要程度的
１ ２ 狀
叫做这狀个数的加权平均数．
意思．
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按
照３∶３∶２∶２的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？与上述问题中的
（１）（２）相比较，你能体会到权的作用吗？
例１ 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方
面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占５０％、演讲能力
占４０％、演讲效果占１０％，计算选手的综合成绩 （百分制）．进入决赛的前两名
选手的单项成绩如表１９２所示，请确定两人的名次．
表１９２
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
Ａ ８５ ９５ ９５
Ｂ ９５ ８５ ９５
分析：这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数，５０％，
４０％，１０％说明演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程
度，是三项成绩的权．
１０６
!"#$%&’()*解：选手Ａ的最后得分是
８５×５０％＋９５×４０％＋９５×１０％ 例１中两名选手
＝９０，
５０％＋４０％＋１０％ 的单项成绩都是两个
选手Ｂ的最后得分是 ９５分与一个８５分，
为什么他们的最后得
９５×５０％＋８５×４０％＋９５×１０％
＝９１． 分不同呢？从中你能
５０％＋４０％＋１０％
体会到权的作用吗？
由上可知选手Ｂ获得第一名，选手Ａ获得第二名．
１．某公司欲招聘一名公关人员．对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的
成绩 （百分制）如下表所示．
应试者 面试 笔试
甲 ８６ ９０
乙 ９２ ８３
（１）如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
（２）如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋
予它们６和４的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
２．晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为１００，其中早锻炼及体育课外活动占
２０％，期中考试成绩占３０％，期末考试成绩占５０％．小桐的三项成绩 （百分
制）依次是９５，９０，８５．小桐这学期的体育成绩是多少？
在求狀个数的平均数时，如果狓 出现犳 次，狓 出现犳 次……狓 出现犳
１ １ ２ ２ 犽 犽
次 （这里犳＋犳＋…＋犳＝狀），那么这狀个数的平均数
１ ２ 犽
狓犳＋狓犳＋…＋狓犳
狓＝ １ １ ２ ２ 犽 犽
狀
也叫做狓，狓，…，狓 这犽个数的加权平均数，其中犳，犳，…，犳 分别叫
１ ２ 犽 １ ２ 犽
做狓，狓，…，狓 的权．
１ ２ 犽
例２ 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如
下：１３岁８人，１４岁１６人，１５岁２４人，１６岁２人．求这个跳水队运动员的
平均年龄 （结果取整数）．
１０７
!"#$%&’()*解：这个跳水队运动员的平均年龄为
１３×８＋１４×１６＋１５×２４＋１６×２
狓＝ ≈１４（岁）．
８＋１６＋２４＋２
为了解５路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天５路公共汽车
每个运行班次的载客量，得到表１９３．这天５路公共汽车平均每班的载客
量是多少 （结果取整数）？
表１９３
载客量／人 组中值 频数 （班次）
１≤狓＜２１ １１ ３
数据分组后，一个小
２１≤狓＜４１ ３１ ５
组的组中值是指这个小组
４１≤狓＜６１ ５１ ２０
的两个端点的数的平均数．
６１≤狓＜８１ ７１ ２２ 例如，小组１≤狓＜２１的
８１≤狓＜１０１ ９１ １８ １＋２１
组中值为 ＝１１．
２
１０１≤狓＜１２１ １１１ １５
根据上面的频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各
组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权．例如在１≤狓＜２１之间的
载客量近似地看作组中值１１，组中值１１的权是它的频数３．因此这天５路公
共汽车平均每班的载客量是
１１×３＋３１×５＋５１×２０＋７１×２２＋９１×１８＋１１１×１５
狓＝
３＋５＋２０＋２２＋１８＋１５
≈７３（人）．
一般的计算器都有统计功能，利用统计功能可以求平均数．使用计算
器的统计功能求平均数时，不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作
时需要参阅计算器的使用说明书．通常需要先按动有关键，使计算器进入
统计状态；然后依次输入数据狓，狓，…，狓 以及它们的权犳，犳，…，
１ ２ 犽 １ ２
犳；最后按动求平均数的功能键 （例如
狓
键），计算器便会求出平均数狓＝
犽
狓犳＋狓犳＋…＋狓犳
１ １ ２ ２ 犽 犽的值．
狀
１０８
!"#$%&’()*１．下表是校女子排球队队员的年龄分布：
年龄／岁 １３ １４ １５ １６
频数 １ ４ ５ ２
求校女子排球队队员的平均年龄 （可以
使用计算器）．
14
２．为了绿化环境，柳荫街引进一批法国梧
12
桐．三年后这些树的树干的周长情况如 10
8
右图所示．计算这批法国梧桐树树干的 6
4
平均周长 （结果取整数，可以使用计算
2
器）． 0
40 5060 7080 90 cm
（第２题）
我们知道，当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计
中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识．例如，实际生活中经
常用样本的平均数来估计总体的平均数．
例３ 某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了５０只灯泡．
它们的使用寿命如表１９４所示．这批灯泡的平均使用寿命是多少？
表１９４
使用寿命狓／ｈ ６００≤狓＜１０００ １０００≤狓＜１４００１４００≤狓＜１８００１８００≤狓＜２２００２２００≤狓＜２６００
灯泡只数 ５ １０ １２ １７ ６
分析：抽出的５０只灯泡的使用寿命组成一个样本．可以利用样本的平均
使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命．
解：根据表１９４，可以得出各小组的组中值，于是
８００×５＋１２００×１０＋１６００×１２＋２０００×１７＋２４００×６ 用全面调
狓＝
５０ 查的方法考察
＝１６７２， 这批灯泡的平
均使用寿命合
即样本平均数为１６７２．
适吗？
因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是
１６７２ｈ．
１０９
!"#$%&’()*种菜能手李大叔种植了一批新品种黄瓜．为了
考察这种黄瓜的生长情况，他随机抽查了部 20
分黄瓜藤上长出的黄瓜根数，得到右面的条 15
形图．请估计这个新品种黄瓜平均每株结多少 10
5
根黄瓜 （结果取整数）．
0
10 13 14 15
１９．１．２ 中位数和众数
问题２ 表１９５是某公司员工月收入的资料．
表１９５
月收入／元 ４５０００ １８０００ １００００ ５５００ ５０００ ３４００ ３０００ １０００
人数 １ １ １ ３ ６ １ １１ １
（１）计算这个公司员工月收入的平均数；
（２）若用 （１）算得的平均数反映公司全体员工月收入水平，你认为合
适吗？
这个公司员工月收入的平均数为６２７６．但在２５名员工中，仅有３名员工
的收入在６２７６元以上，而另外２２名员工的收入都在６２７６元以下．因此，用
月收入的平均数反映所有员工的月收入水平，不太合适．利用中位数可以更好
地反映这组数据的集中趋势．
将一组数据按照由小到大 （或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数 （ｍｅｄｉａｎ）；如果数据的个
数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
利用中位数分析数据可以获得一些信息．例如，上述问题中将公司２５名
员工月收入数据由小到大排列，得到的中位数为３４００，这说明除去月收入为
３４００元的员工，一半员工收入高于３４００元，另一半员工收入低于３４００元．
上述问题中公司员工月收入的平均数为什么会比中位数高得多呢？
１１０
!"#$%&’()*例４ 在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得１２名选手所用的时间 （单位：
ｍｉｎ）如下：
１３６ １４０ １２９ １８０ １２４ １５４
１４６ １４５ １５８ １７５ １６５ １４８
（１）样本数据 （１２名选手的成绩）的中位数是多少？
（２）一名选手的成绩是１４２ｍｉｎ，他的成绩如何？
解：（１）先将样本数据按照由小到大的顺序排列：
１２４ １２９ １３６ １４０ １４５ １４６
１４８ １５４ １５８ １６５ １７５ １８０
这组数据的中位数为处于中间的两个数１４６，１４８的平均数，即
１４６＋１４８
＝１４７．
２
因此样本数据的中位数是１４７．
（２）根据 （１）中得到的样本数据的中位数，
可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选 根据例４中的
手的成绩快于１４７ｍｉｎ，有一半选手的成绩慢于 样本数据，你还有
其他方法评价 （２）
１４７ｍｉｎ．这名选手的成绩是１４２ｍｉｎ，快于中位
中这名选手在这次
数１４７ｍｉｎ，可以推测他的成绩比一半以上选手
比赛中的表现吗？
的成绩好．
下面的条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况：
10
8
6
4
2
0
3 4 5 6 7 8
请找出这些工人日加工零件数的中位数，并说明这个中位数的意义．
１１１
!"#$%&’()*一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 （ｍｏｄｅ）．
当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中趋势．例如，
问题２中公司员工月收入的众数为３０００，这说明公司中月收入３０００元的员工
人数最多．如果应聘公司的普通员工一职，这个众数能提供更为有用的信息．
例５ 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋３０双，各种尺码鞋的销售量
如表１９６所示．你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？
表１９６
尺码／ｃｍ ２２ ２２．５ ２３ ２３．５ ２４ ２４．５ ２５
销售量／双 １ ２ ５ １１ ７ ３ １
分析：一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖
出的鞋的尺码组成的一组数据的众数．一段时间内卖出的３０双女鞋的尺码组
成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数．进而可以估计
这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多．
解：由表１９６可以看出，在鞋的尺码组成的 分析表中的数据，
数据中，２３．５是这组数据的众数，即２３．５ｃｍ的 你还能为鞋店进货提
出哪些建议？
鞋销售量最大．因此可以建议鞋店多进２３．５ｃｍ
的鞋．
１．下面的扇形图描述了某种运动服的Ｓ号，Ｍ号，Ｌ号，ＸＬ号，ＸＸＬ号在一家
商场的销售情况．请你为这家商场提出进货建议．
8 16
XXL
10
XL
8
24 S 6
L
22 4
2
M
0
13 14 15 16 17 18
30
（第１题） （第２题）
２．某校男子足球队的年龄分布如上面的条形图所示．请找出这些队员年龄的平均
数、众数、中位数，并解释它们的意义．
１１２
!"#$%&’()*平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势，它们各有自己的
特点，能够从不同的角度提供信息．在实际应用中，需要分析具体问题的情
况，选择适当的量反映数据的集中趋势．
例６ 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据
目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，
商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额 （单位：万元），数据如下：
１７ １８ １６ １３ ２４ １５ ２８ ２６ １８ １９
２２ １７ １６ １９ ３２ ３０ １６ １４ １５ ２６
确定一个适当的月
１５ ３２ ２３ １７ １５ １５ ２８ ２８ １６ １９
销售目标是一个关键问
（１）月销售额在哪个值的人数最多？中间的
题．如果目标定得太高，
月销售额是多少？平均月销售额是多少？ 多数营业员完不成任
（２）如果想确定一个较高的销售目标，你认 务，会使营业员失去信
心；如果目标定得太
为月销售额定为多少合适？说明理由．
低，不能发挥营业员的
（３）如果想让一半左右的营业员都能达到销
潜力．
售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明
理由．
分析：商场服装部统计的每位营业员在某月的销售额组成一个样本，通过
分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计总体的情况，从而解决问题．
解：整理上面的数据得到表１９７和图１９．１１．
表１９７
销售额／万元 １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２２ ２３ ２４ ２６ ２８ ３０ ３２
人数 １ １ ５ ４ ３ ２ ３ １ １ １ ２ ３ １ ２
6
用图表整理和描述
4 样本数据，有助于我们
分析数据解决问题．
2
0
13 14 15 16 171819 22 23 24 2628 3032
图１９．１１
１１３
!"#$%&’()*（１）从表１９７或图１９．１１可以看出，样本数据的众数是１５，中位数是
１８，利用计算器求得这组数据的平均数约是２０．可以推测，这个服装部营业
员的月销售额为１５万元的人数最多，中间的月销售额是１８万元，平均月销售
额大约是２０万元．
（２）如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月２０万元
（平均数）．因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大．可
１
以估计，月销售额定为每月２０万元是一个较高目标，大约会有 的营业员获
３
得奖励．
（３）如果想让一半左右的营业员能够达到销售目标，月销售额可以定为每
月１８万元 （中位数）．因为从样本情况看，月销售额在１８万元以上 （含１８万
元）的有１６人，占总人数的一半左右．可以估计，如果月销售额定为１８万
元，将有一半左右的营业员获得奖励．
平均数、中位数、众数都刻画了数据的集 你知道在体操
中趋势，但它们各有特点． 比赛评分时，为什
么要去掉一个最高
平均数的计算要用到所有的数据，它能够
分和一个最低分
充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中
吗？
较为常用．但它受极端值 （一组数据中与其余
数据差异很大的数据）的影响较大．
当一组数据中某些数据多次重复出现时，
众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极
端值的影响．
中位数只需要很少的计算，它也不易受极
端值的影响．
１１４
!"#$%&’()*下面是某校八年级 （２）班两组女生的体重 （单位：ｋｇ）：
第１组 ３５ ３６ ３８ ４０ ４２ ４２ ７５
第２组 ３５ ３６ ３８ ４０ ４２ ４２ ４５
（１）分别求这两组数据的平均数、众数、中位数，并解释它们的实际意义 （结果
取整数）；
（２）比较这两组数据的平均数、众数、中位数，谈谈你对它们的认识．
习题１９．１
１．某公司有１５名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：
部门 人数 每人所创年利润／万元
Ａ １ １０
Ｂ ３ ８
Ｃ ７ ５
Ｄ ４ ３
这个公司平均每人所创年利润是多少？
２．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的１５名运动员的成绩如下表所示：
成绩／ｍ １．５０ １．６０ １．６５ １．７０ １．７５ １．８０
人数 ２ ３ ２ ３ ４ １
分别计算这些运动员成绩的平均数、中位数、众数 （结果保留小数点后两位）．
３．为了检查一批零件的质量，从中随机抽取１０件，测得它们的长度 （单位：ｍｍ）
如下：
２２．３６ ２２．３５ ２２．３３ ２２．３５ ２２．３７
２２．３４ ２２．３８ ２２．３６ ２２．３２ ２２．３５
根据以上数据，估计这批零件的平均长度 （结果保留小数点后两位）．
１１５
!"#$%&’()*４．在一次青年歌手演唱比赛中，评分办法采用１０位评委现场打分，每位选手的最后
得分为去掉最低分、最高分后的平均数．已知１０位评委给某位歌手的打分是：
９．５ ９．５ ９．３ ９．８ ９．４ ８．８ ９．６ ９．５ ９．２ ９．６
求这位歌手的最后得分．
５．某商场招聘员工一名，现有甲、乙、丙三人竞聘．通过计算机、语言和商品知识
三项测试，他们各自成绩 （百分制）如下表所示：
应试者 计算机 语言 商品知识
甲 ７０ ５０ ８０
乙 ９０ ７５ ４５
丙 ５０ ６０ ８５
（１）若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分
别赋权２，３，５，计算三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？
（２）若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占５０％，
３０％，２０％，计算三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？
６．某地某个月中午１２时的气温 （单位：°Ｃ）如下：
２２ ３１ ２５ １３ １８ ２３ １３ ２８ ３０ ２２
２０ ２０ ２７ １７ ２８ ２１ １４ １４ ２２ １２
１８ ２１ ２９ １５ １６ １４ ３１ ２４ ２６ ２９
（１）求这个月中午１２时的平均气温；
（２）请以４为组距对数据分组，作出频数分布表，根据频数分布表计算这个月中
午１２时的平均气温，与 （１）中的结果比较，你有什么发现，谈谈你的看法．
７．为了提高农民收入，村干部带领村民自愿投资办起了一个养鸡场．办场时买来的
１０００只小鸡，经过一段时间精心饲养，可以出售了．下表是这些鸡出售时质量
的统计数据：
质量／ｋｇ １．０ １．２ １．５ １．８ ２
频数 １１２ ２２６ ３２３ ２４１ ９８
（１）出售时这些鸡的平均质量是多少 （结果保留小数点后一位）？
（２）质量在哪个值的鸡最多？
（３）中间的质量是多少？
１１６
!"#$%&’()*８．下图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况．
10
8
6
4
2
0
50 51 52 53 54 55 kmeh1
（第８题）
应用你所学的统计知识，写一份简短的报告让交警知道这个时段路口来往车辆的
车速情况．
９．下表是某班学生右眼视力的检查结果：
视力 ４．０ ４．１ ４．２ ４．３ ４．４ ４．５ ４．６ ４．７ ４．８ ４．９ ５．０
人数 １ ２ ５ ４ ３ ５ １ １ ５ ９ ６
分析上表中的数据，你能得出哪些结论？
１０．查找资料，了解地球年平均气温的计算方法．收集近些年的年平均气温，用适当
的图表整理、描述这些数据，看看你能得到哪些信息．
１１７
!"#$%&’()*１９．２ 数据的波动程度
在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以
外，还有一类刻画数据波动 （离散）程度的量，其中最重要的就是方差．本节
我们将在实际问题情境中，了解方差的统计意义并运用方差解决问题．
我们来看引言中的问题．
问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的
产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的
相关情况，农科院各用１０块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田
每公顷的产量 （单位：ｔ）如表１９８所示．
表１９８
甲 ７．６５ ７．５０ ７．６２ ７．５９ ７．６５ ７．６４ ７．５０ ７．４０ ７．４１ ７．４１
乙 ７．５５ ７．５６ ７．５３ ７．４４ ７．４９ ７．５２ ７．５８ ７．４６ ７．５３ ７．４９
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
上面两组数据的平均数分别是
狓珚 ＝７．５３７，狓珚 ＝７．５１５，
甲 乙
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量 由样本平均数估计
相差不大．由此可以估计出这个地区种植这两种甜 总体平均数．
玉米，它们的平均产量相差不大．
为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的分布情况，我们把这两组数据画
成下面的图１９．２１和图１９．２２．
t t
8 8
7.9 7.9
7.8 7.8
7.7 7.7
7.6 7.6
7.5 7.5
7.4 7.4
7.3 7.3
7.2 7.2
7.1 7.1
7 7
0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12
图１９．２１ 甲种甜玉米的产量分布 图１９．２２ 乙种甜玉米的产量分布
１１８
!"#$%&’()*比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙
种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均产量附近．从图中看出的结果
能否用一个量来刻画呢？
为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法．统计中常采用下面的
做法：设有狀个数据狓，狓，…，狓，各数据与它们的平均数狓珚的差的平方
１ ２ 狀
分别是 （狓－狓珔）
２
，（狓－狓珔）
２
，…，（狓－狓珔）
２
，我们用这些值的平均数，即用
１ ２ 狀
１
狊２＝ ［（狓－狓珚） ２＋（狓－狓珚） ２＋…＋（狓－狓珚） ２ ］
狀 １ ２ 狀
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差 （ｖａｒｉａｎｃｅ），记作狊２．
从上面计算方差的式子可以看出：当数据分布比较分散 （即数据在平均数
附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数
据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小．反过
来也成立，这样就可以用方差刻画数据的波动程度，即：方差越大，数据的波
动越大；方差越小，数据的波动越小．
下面我们利用方差来分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度．
两组数据的方差分别是
（７．６５－７．５３７） ２＋（７．５０－７．５３７） ２＋…＋（７．４１－７．５３７）
２
狊２ ＝ ≈０．０１０，
甲 １０
（７．５５－７．５１５） ２＋（７．５６－７．５１５） ２＋…＋（７．４９－７．５１５）
２
狊２ ＝ ≈０．００２．
乙 １０
显然狊２ ＞狊２ ，即甲种甜玉米产量的波动较大，这与我们从图１９．２１和图
甲 乙
１９．２２看到的结果一致．
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均
数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以
推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个
品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米．
例１ 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧 《天鹅
湖》，参加表演的女演员的身高 （单位：ｃｍ）如表１９９所示．
表１９９
甲 １６３ １６４ １６４ １６５ １６５ １６６ １６６ １６７
乙 １６３ １６５ １６５ １６６ １６６ １６７ １６８ １６８
１１９
!"#$%&’()*哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是
１６３＋１６４×２＋１６５×２＋１６６×２＋１６７
狓 ＝ ＝１６５，
甲 ８
１６３＋１６５×２＋１６６×２＋１６７＋１６８×２
狓 ＝ ＝１６６．
乙 ８
方差分别是
（１６３－１６５） ２＋（１６４－１６５） ２＋…＋（１６７－１６５）
２
狊２ ＝ ＝１．５，
甲 ８
（１６３－１６６） ２＋（１６５－１６６） ２＋…＋（１６８－１６６）
２
狊２ ＝ ＝２．５．
乙 ８
由狊２ ＜狊２ 可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐．
甲 乙
使用计算器的统计功能可以求方差．使用计算器的统计功能求方差时，
不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明
书．通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据
狓，狓，…，狓；最后按动求方差的功能键 （例如σ狓２ 键），计算器便会求
１ ２ 狀
１
出方差狊２＝ ［（狓－狓） ２＋（狓－狓） ２＋…＋（狓－狓）
２
］的值．
狀 １ ２ 狀
１．用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎
样刻画数据的波动程度的．
（１）６ ６ ６ ６ ６ ６ ６
（２）５ ５ ６ ６ ６ ７ ７ 11
（３）３ ３ ４ ６ ８ ９ ９ 10
9
（４）３ ３ ３ ６ ９ ９ ９
8
２．如图是甲、乙两射击运动员的１０ 7
6
次射击训练成绩的折线统计图．观
察图形，甲、乙这１０次射击成绩 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
的方差狊２，狊２ 哪个大？ （第２题）
甲 乙
１２０
!"#$%&’()*例２ 某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品
加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决定
通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机
抽取１５个，记录它们的质量 （单位：ｇ）如表１９１０所示．根据表中数据，你
认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
表１９１０
甲 ７４ ７４ ７５ ７４ ７６ ７３ ７６ ７３ ７６ ７５ ７８ ７７ ７４ ７２ ７３
乙 ７５ ７３ ７９ ７２ ７６ ７１ ７３ ７２ ７８ ７４ ７７ ７８ ８０ ７１ ７５
解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的１５个鸡腿分别
组成一个样本，样本数据的平均数分别是
７４＋７４＋ …＋７２＋７３
狓珚 ＝ ≈７５，
甲 １５
７５＋７３＋ …＋７１＋７５
狓珚 ＝ ≈７５．
乙 １５
样本数据的方差分别是
（７４－７５） ２＋（７４－７５） ２＋…＋（７２－７５） ２＋（７３－７５）
２
狊２ ＝ ≈３，
甲 １５
（７５－７５） ２＋（７３－７５） ２＋…＋（７１－７５） ２＋（７５－７５）
２
狊２ ＝ ≈８．
乙 １５
由狓珚 ≈狓珚 可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由狊２ ＜狊２ 可知，甲
甲 乙 甲 乙
加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生
产的鸡腿．
某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛．下表是这两名
运动员１０次测验成绩 （单位：ｍ）：
５．８５ ５．９３ ６．０７ ５．９１ ５．９９
甲
６．１３ ５．９８ ６．０５ ６．００ ６．１９
６．１１ ６．０８ ５．８３ ５．９２ ５．８４
乙
５．８１ ６．１８ ６．１７ ５．８５ ６．２１
你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
１２１
!"#$%&’()*习题１９．２
１．甲、乙两台机床同时生产一种零件．在１０天中，两台机床每天出次品的数量如
下表：
甲 ０ １ ０ ２ ２ ０ ３ １ ２ ４
乙 ２ ３ １ １ ０ ２ １ １ ０ １
（１）分别计算两组数据的平均数和方差；
（２）从计算的结果看，在１０天中，哪台机床出次品的平均数较小？哪台机床出次
品的波动较小？
２．甲、乙两台包装机同时包装糖果．从中各抽出１０袋，测得它们的实际质量 （单
位：ｇ）如下表：
甲 ５０１ ５０６ ５０８ ５０８ ４９７ ５０８ ５０６ ５０８ ５０７ ４９９
乙 ５０５ ５０７ ５０５ ４９８ ５０５ ５０６ ５０５ ５０５ ５０６ ５０６
（１）分别计算两组数据的平均数和方差；
（２）哪台包装机包装的１０袋糖果的质量比较稳定？
３．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取１０株麦苗，测得苗高 （单
位：ｃｍ）如下表：
甲 １２ １３ １４ １５ １０ １６ １３ １１ １５ １１
乙 １１ １６ １７ １４ １３ １９ ６ ８ １０ １６
（１）分别计算两种小麦的平均苗高；
（２）哪种小麦的长势比较整齐？
４．在体操比赛中，往往在所有裁判给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，
然后计算余下分数的平均分．６个Ｂ组裁判员对某一运动员的打分数据 （动作完
成分）为：９．４，８．９，８．８，８．９，８．６，８．７．
（１）如果不去掉最高分和最低分，这组数据的平均数和方差分别是多少 （结果保
留小数点后两位）？
（２）如果去掉一个最高分和一个最低分，平均数和方差又分别是多少 （结果保留
小数点后两位）？
（３）你认为哪种统计平均分的方法更合理？
１２２
!"#$%&’()*
５．全班同学分成几个小组完成下面的活动：
（１）收集全班同学每个家庭在某个月的用水量；
（２）将本组同学每个家庭在这个月的用水量作为样本数据，计算样本数据的平均
数和方差，并根据样本数据的结论估计全班同学家庭用水量的情况；
（３）与其他小组进行交流，谈谈你对平均数、方差以及用样本估计总体的认识．
数据波动程度的几种度量
我们知道，方差是度量数据波动程度的量．此外，统计中还常用极差、平均差、标准
差等来度量数据的波动程度．
一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差．在反映数据波动程度的各种量
中，极差是最简单、最便于计算的一个量．但是它仅仅反映了数据的波动范围，没有提供
数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大．
为了更好地刻画数据的波动程度，可以考虑每一个数据与其平均数的 “距离”．一个
自然的想法就是计算每一个数据与其平均数的差的平均数，即
（狓－狓）＋（狓－狓）＋…＋（狓－狓）
１ ２ 狀 ，
狀
想一想，这种做法可行吗？存在什么问题？
上面的做法不可行．因为不论这组数据是什么具体数值，总有
狓＋狓＋…＋狓－狀狓 狓＋狓＋…＋狓
上式＝ １ ２ 狀 ＝ １ ２ 狀－狓＝狓－狓＝０，
狀 狀
所以它不能反映数据的波动程度．
修正上面缺点的一种做法是考虑每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，即
｜狓－狓｜＋｜狓－狓｜＋…＋｜狓－狓｜
１ ２ 狀 ，
狀
这个式子可以用来度量数据的波动程度，我们把它叫做这组数据的平均差．
另一种做法是用方差
１
狊２＝ ［（狓－狓）２＋（狓－狓）２＋…＋（狓－狓）２］
狀 １ ２ 狀
１２３
!"#$%&’()*来度量数据的波动程度．
此外，人们还引入了标准差的概念．标准差是方差的算术平方根，即
槡（狓－狓）２＋（狓－狓）２＋…＋（狓－狓）２
狊＝ １ ２ 狀 ，
狀
标准差的单位与原始数据的单位相同，实际中也常用它度量数据的波动程度．
请同学们利用上面的几种度量数据波动程度的量解决下面的问题．
一个家具厂有甲、乙两个木料货源．下面是家具厂向两个货源订货后等待交货天数的
样本数据：
等待天数 ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４
甲 ０ ０ ２ ８ ７ ３ ０ ０ ０
次数
乙 ４ ２ ０ ６ ２ ２ ２ ０ ２
分别计算样本数据的平均数、极差、平均差、方差和标准差．根据这些计算结果，看
看家具厂从哪个货源进货比较好？为什么？
１２４
!"#$%&’()*１９．３ 课题学习 体质健康测试中的数据分析
请同学们分组合作完成下面的调查活动．
收集近两年你校七年级部分学生的 《体质健康
标准登记表》，分析登记表中的数据，对你校七年
级学生的体质健康情况进行评定，提出增强学生体
质健康的建议．
下面提供一个调查样例供同学们活动时参考．
某学校七年级有４个班，共１８０人，其中男生８５人，女生９５人．
表１９１１是用来记录学生体质健康测试结果的登记表．
表１９１１ 体质健康标准登记表
姓名 班级 年龄 性别
身高 体重
５０米跑
身高标准体重 （１０）
肺活量体重指数 （２０）
立定跳远
选 台阶实验
测
一 选
项
１０００米跑 （男）
测
跳绳
一
３０ ８００米跑 （女） 项
篮球运球
２０
坐位体前屈
选
掷实心球
测
足球运球
一
握力体重指数
项
引体向上 （男）
２０
排球垫球
仰卧起坐 （女）
１．括号中的数字为单项测试的满分成绩；
说 ２．各单项成绩之和为最后得分；
明 ３．最后得分９０分及以上为优秀，７５～８９分为良好，６０～７４分为及格、５９分及以
下为不及格．
１２５
!"#$%&’()*一、收集数据
１．确定样本
从全校七年级的各班分别抽取５名男生和５名女生，组成一个容量为４０
的样本．
２．确定抽取样本的方法
按照各班的学号，分别在每个班抽取学号排在最前面的５名男生和５名
女生．
二、整理数据
整理体质健康登记表中的各项数据．
例如，计算每个个体的最后得分，按评分标准整理样本数据，得到表１９１２．
表１９１２
成 绩 划 记 频 数 百分比
不及格 ３ ７．５％
及 格 正 ８ ２０％
良 好 正 正 正 １７ ４２．５％
优 秀 正 正 １２ ３０％
合 计 ４０ ４０ １００％
三、描述数据
根据整理的各种表格，画出条形图、扇形图、折线图、直方图等，使得数
据分布的信息更清楚地显现出来．
例如，根据表１９１２，可以画出条形图 （图１９．３１）和扇形图 （图１９．３２）．
20 7.5
15 30 20
10
5 42.5
0
图１９．３１ 图１９．３２
１２６
!"#$%&’()*四、分析数据
根据原始数据或上面的各种统计图表，计算各组数据的平均数、中位数、
众数、方差等，通过分析图表和计算结果得出结论．
例如，根据表１９１２、图１９．３１、图１９．３２可知，样本的体质健康成绩
达到良好的最多，有１７人，良好及以上的有２９人，约占统计人数的７０％左
右．由此可以估计全校七年级学生的体质健康成绩有类似的结果．
五、撰写调查报告
题 目 全校七年级学生体质健康情况的调查
样 本 七年级各班部分学生 样本容量 ４０
数据来源 学生体质健康登记表
主要项目 整理、描述数据 分析数据得出结论
身 高
数
据 体 重
处
理
过 １０００米跑
程
８００米跑
仰卧起坐
总 结
主要建议
参加成员
教师意见
备 注
六、交流
写出活动总结，向全班同学介绍本小组的调查过程，展示调查结果，交流
通过数据处理寻找规律、得出结论的感受．
１２７
!"#$%&’()*
请同学们合作完成下面的活动：
１．全班同学一起讨论，提出５个问题对全班同学进行调查．例如，全
班同学的平均身高是多少？全班同学的平均体重是多少？等等．
２．全班同学分成五个小组，每个小组选择一个问题进行调查，并将
调查过程和结果在全班介绍和展示．
３．将各组的结果汇总到一起，得到全班同学的一个 “平均情况”，找
出一个最能代表全班 “平均情况”的同学．
请全班同学分成几个小组，合作完成下面的活动：
１．每个小组分别测量本组同学的每分脉搏次数，得到几组数据．
２．求出本组数据的平均数、中位数、众数、方差等．
３．与其他小组进行交流，估计一颗 “正常”心脏的每分跳动次数．
４．查找资料，看看一颗 “正常”心脏的每分跳动次数，与你们的调
查结果进行对照，谈谈你们对用样本估计总体的感受．
１２８
!"#$%&’()*小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
在生产和生活中，为了解总体的情况，我们经常从总体中抽取样本，通过
对样本数据的处理，获得一些结论，然后再利用这些结论对总体进行估计．这
就是用样本估计总体，它是统计的基本思想．
在整理、描述和分析样本数据时，我们可以通过绘制图表，如条形图、折
线图、扇形图和直方图等获得一些信息．还可以通过计算反映数据某方面特征
的量获得更多的信息，如利用平均数、中位数和众数，刻画数据的集中趋势；
利用方差刻画数据的波动程度．
平均数、中位数和众数从不同侧面反映了一组数据的集中趋势．因此，用
它们刻画数据时，要根据统计调查的目的和具体问题的特点进行选择．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明平均数、中位数、众数的意义．
２．算术平均数与加权平均数有什么联系和区别？举例说明加权平均数中
“权”的意义．
３．举例说明怎样用方差刻画数据的波动程度．
４．举例说明刻画数据特征的量在决策中的作用．
５．搜集关于 “统计学”方面的资料 （如学科发展史、思想方法、人物等），
从某个角度谈谈你对统计的认识．
１２９
!"#$%&’()*复习题１９
１．某水库为了解某种鱼的生长情况，从水库中捕捞了２０条这种鱼，称得它们的质量
（单位：ｋｇ）如下：
１．１５ １．０４ １．１１ １．０７ １．１０ １．３２ １．２５ １．１９ １．１５ １．２１
１．１８ １．１４ １．０９ １．２５ １．２１ １．２９ １．１６ １．２４ １．１２ １．１６
计算样本平均数 （结果保留小数点后两位），并根据计算结果估计水库中这种鱼
的平均质量．
２．在一次智力抢答比赛中，四个小组回答正确的情况如下图：
20
15
10
5
0
（第２题）
这四个小组平均正确回答多少道题目 （结果取整数）？
３．为了解某一路口的汽车流量，调查了１０天中同一时段通过该路口的汽车数量 （单
位：辆），结果如下：
１８３ ２０９ １９５ １７８ ２０４ ２１５ １９１ ２０８ １６７ １９７
在该时段中，平均约有多少辆汽车通过这个路口？
４．一家公司１４名员工的月薪 （单位：元）是：
８０００ ６０００ ２５５０ １７００ ２５５０ ４５９９ ４２００
２５５０ ５１００ ２５００ ４４００ ２５０００ １２４００ ２５００
（１）计算这组数据的平均数、中位数和众数；
（２）解释本题中平均数、中位数和众数的意义．
５．某年Ａ，Ｂ两座城市四季的平均气温 （单位：℃）如下表：
城市 春 夏 秋 冬
Ａ －４ １９ ９ －１０
Ｂ １６ ３０ ２４ １１
１３０
!"#$%&’()*（１）分别计算Ａ，Ｂ两座城市的年平均气温 （结果取整数）；
（２）哪座城市四季的平均气温较为接近？
６．下表是两种股票一周内的交易日收盘价格 （单位：元／股）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
Ａ股票 １１．６２ １１．５１ １１．３９ １１．９４ １１．１７
Ｂ股票 １３．５３ １４．０７ １３．４９ １３．８４ １４．８０
计算它们的平均数和方差 （结果保留小数点后两位），比较这两种股票在这段时
间内的涨、跌变化情况．
７．甲、乙两门大炮在相同条件下向同一目标各发射５０发炮弹，炮弹落点情况如下表：
炮弹落点与目标的距离／ｍ ４０ ３０ ２０ １０ ０
甲炮发射的炮弹个数 ０ １ ３ ７ ３９
乙炮发射的炮弹个数 １ ３ ２ ３ ４１
（１）分别计算两门大炮所发射的炮弹落点与目标的距离的平均数；
（２）哪门大炮射击的准确性好？
８．为了促进学生参加体育锻炼，学校决定购买一批运动鞋供学生选购．请设计一个
样本容量为３０的调查方案进行调查，并计算样本的平均数、众数、中位数，为学
校购买运动鞋提出建议．
９．统计全班同学上学所用时间，对所得数据进行整理、描述和分析，看看你能得出
哪些结论．
１３１
!"#$%&’()*部分中英文词汇索引
中文 英文 页码
二元一次方程 ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ ２
二元一次方程组 ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ ２
代入法 ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ５
加减法 ａｄｄｉｔｉｏｎｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ８
不等式 ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ２８
解集 ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔ ２９
一元一次不等式 ｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ ３６
一元一次不等式组 ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ ４１
三角形 ｔｒｉａｎｇｌｅ ４９
高 ａｌｔｉｔｕｄｅ ５１
中线 ｍｅｄｉａｎ ５１
角平分线 ａｎｇｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ ５２
多边形 ｐｏｌｙｇｏｎ ６６
对角线 ｄｉａｇｏｎａｌ ６７
正多边形 ｒｅｇｕｌａｒｐｏｌｙｇｏｎ ６７
全等形 ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｆｉｇｕｒｅｓ ７８
全等三角形 ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｔｒｉａｎｇｌｅｓ ７８
权 ｗｅｉｇｈｔ １０６
加权平均数 ｗｅｉｇｈｔｅｄａｖｅｒａｇｅ １０６
中位数 ｍｅｄｉａｎ １１０
众数 ｍｏｄｅ １１２
方差 ｖａｒｉａｎｃｅ １１９
１３２
+),-./012后 记
本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发
中心依据教育部《义务教育数学课程标准》（2011年版）编写的，经国家基础
教育课程教材专家工作委员会2013年审查通过。
本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课
改实验的教育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧。我们感谢
所有对教科书的编写、出版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友，以及整
体设计艺术指导吕敬人等。
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、
画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感
谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联系，以便支
付稿酬。
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝
贵意见，并将这些意见和建议及时反馈给我们。让我们携起手来，共同完成义
务教育教材建设工作！
联系方式
电 话：010-58758330
电子邮箱：jcfk@pep.com.cn
人民教育出版社 课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心
2013年5月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
3
育
七年级
教
科
义务教育教科书
书
︵ （五·四学制）
五
·
四
下册
学
制
︶
数学 七年级 下册
数
数学
学
七
年
级
下
册
绿色印刷产品
数学七年级下封面绿标.indd 1 2013.9.16 2:26:58 PM
