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育
义 务 教 育 教 科 书
教
七年级
科
书
上册
七年级 上册
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初初中中数数学学六六三三制制七七上上封封面面..iinndddd 11 22002244//77//2244 1133::2266义 务 教 育 教 科 书
七年级
上册
人民教育出版社 课程教材研究所 编著
·北 京·顾 问：林 群 田 刚
主 编：王长平
执行主编：李海东
分册主编：王光明
编写人员：（以姓氏笔画为序）
王翠巧 朱 航 李龙才 姚 芳
秦德生 曹自由 梁 燕 雷晓莉
责任编辑：张艳娇
责任设计：王俊宏
责任校对：褚 君
责任印制：
义务教育教科书 数学 七年级 上册
人民教育出版社 课程教材研究所 编著
出 版
（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
版权所有·未经许可请勿擅用本书制作各类出版物·违者必究致同学
亲爱的同学，欢迎你使用本套数学教科书，希望它成为你学习数学的好帮手．
数学是重要的基础科学，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系
和规律．数学不仅对社会发展和科技进步作用巨大，而且在形成人的理性思维、
科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用．学好数学很重要．
为了帮助你学好数学，教科书在章、节引言中，在 “思考” “探究”等栏目
中，设计了由表及里、逐步深入的问题，引导你经历观察、实验、猜想、推理、
反思、交流等学习过程，获得数学知识和技能，体会数学思想，积累活动经验．
教科书安排了例题、不同层次的习题、“数学活动”、跨学科的 “综合与实践”，结
合解决数学、其他学科以及现实生活中的问题，带领你分析问题情境、探寻解决
问题的思路、落实解决问题的步骤、反思解决问题的过程，培养发现和提出问题、
分析和解决问题的能力．教科书的 “阅读与思考” “探究与发现” “图说数学史”
等选学内容为你提供了更广阔的数学天地，帮助你开阔视野、拓展探究，感受数
学的源远流长、博大精深，提升自主学习的能力，增强创新意识．
相信通过本套书的学习，你将逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学
的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．
千里之行，始于足下，让我们从七年级上册开始学习吧！
在本册书中，你认识的数的范围将扩大到 “有理数”，并学习 “有理数的运
算”，从中你将初步感受数系扩充的过程与方法，提升运算能力．
用字母表示数后，你会发现 “代数式”能简明地表示一般的数量和数量关系；
“整式的加减”让你进一步认识一类基本的代数式及其运算；“一元一次方程”为
你提供解决实际问题的一种数学模型．它们将带你走进代数的世界，提升你的抽
象能力、运算能力、模型观念和应用意识．
在 “几何图形初步”中，你将认识更多的几何图形，并研究线段、角等最基
本的几何图形，初步体会研究几何图形的方法，增强几何直观和空间观念．
“进位制的认识与探究”和 “设计学校田径运动会比赛场地”，将带你探究、
解决数学和现实世界中的综合性问题，进一步提升你的运算能力和应用意识．
数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功．让我们一起畅
游神奇、美妙的数学世界吧！
书书书目 录
第一章 有理数
１
１．１ 正数和负数 ２
阅读与思考 用正负数表示允许偏差 ６
１．２ 有理数及其大小比较 ７
图说数学史 漫漫长路识负数 １８
数学活动
２０
小结
２１
第二章 有理数的运算
２４
２．１ 有理数的加法与减法 ２５
阅读与思考 我国古代的正负数加减运算
法则———正负术 ３７
２．２ 有理数的乘法与除法 ３８
探究与发现 从数系扩充看有理数乘法法则 ５０
２．３ 有理数的乘方 ５１
数学活动
５８
小结
５９
综合与实践 进位制的认识与探究
６３第三章 代数式
６８
３．１ 列代数式表示数量关系 ６９
阅读与思考 数字１与字母Ｘ的对话 ７８
３．２ 代数式的值 ７９
数学活动
８３
小结
８５
第四章 整式的加减
８８
４．１ 整式 ８９
４．２ 整式的加法与减法 ９５
信息技术应用 用电子表格进行数据计算 １０４
数学活动
１０５
小结
１０７
第五章 一元一次方程
１１０
５．１ 方程 １１１
５．２ 解一元一次方程 １２０
探究与发现 无限循环小数化分数 １３２
５．３ 实际问题与一元一次方程 １３３
阅读与思考 初步认识数学模型 １４２
数学活动
１４３
小结
１４５第六章 几何图形初步
１４９
６．１ 几何图形 １５０
图说数学史 几何的起源 １６０
６．２ 直线、射线、线段 １６２
阅读与思考 长度的测量 １６８
６．３ 角 １７０
阅读与思考 角的度量 １８０
数学活动
１８２
小结
１８４
综合与实践 设计学校田径运动会
比赛场地
１８９第一章 有理数
在小学，我们从日常生活中的实例出发，学习了自然数、小数、分数及其
运算．在日常生活、生产和科研中，还会遇到另外一些数的表示问题．例如：
（１）北京冬季某一天的最高气温为零上３摄氏度，最低气温为零下３摄氏
度．如何用数区分 “零上３摄氏度”和 “零下３摄氏度”？
（２）某公司今年７月份盈利５０万元，８月份亏损１０万元．该公司在记账
时如何用数分别表示 “盈利５０万元”和 “亏损１０万元”？
（３）某年，我国棉花产量比上年增长７．８％，玉米产量比上年减少０．７％．
统计这两种农作物产量的变化情况时，如何用数分别表示 “增长７．８％”和
“减少０．７％”？
上面的问题都涉及意义相反的两个量，为了能用数表示像这样具有相反意
义的两个量，需要引入负数．本章我们将认识负数的意义，把数的范围扩大到
有理数，并在有理数范围内学习数的表示和大小比较等．
书书书１．１ 正数和负数
数的产生和发展离不开生活和生产的需要．人们对于数
的认识就是伴随着记数、测量、运算等方面的需求不断拓展
的 （图１．１１）．在小学，我们学过自然数、小数和分数，它
们都是大于或等于０的数，但是在日常生活和生产实践中，
为了表达和运算的需要，还有必要引入一类新的数．
在古埃及，由分物、测量，
在我国古代，由记数、排 在古印度，由表示 “没
１ １
序，产生数１，２，３，… 有”“空位”，产生数０ 产生分数 ， ，…
２ ３
图１．１１
在本章引言的问题中，温度比０℃高，称为零上温度；温度
比０℃低，称为零下温度．零上温度和零下温度是以０℃为分界
点的具有相反意义的量．从图１．１２的天气预报中可以看出，零
上３摄氏度用３℃表示，零下３摄氏度则用－３℃表示，这里出
现了 “－３”．类似地，盈利额和亏损额是具有相反意义的量，如
_
果用５０万元表示盈利５０万元，就可以用－１０万元表示亏损１０
万元；增长的百分率和减少的百分率是具有相反意义的量，如果
用７．８％表示增长７．８％，就可以用－０．７％表示减少０．７％． 图１．１２
在数学中，像３，５０，７．８％这样大于０的数叫作正数，像－３，－１０，
－０．７％这样在正数前加上符号 “－”的数叫作负数，其中符号 “－”是负号，
读作 “负”．有时，为了明确表达与负数的相反意义，在正数的前面也加上符
１
号 “＋” （读作 “正”）．例如，＋１８００，＋３，＋０．５，＋ ，…就是１８００，
３
１
３，０．５， ，…．一个数前面的 “＋”“－”号叫作这个数的符号．
３
０既不是正数，也不是负数．
２ 第一章 有理数##
我国是历史上最早认识和使用负数的国家．至迟成书于东
汉早期 （约１世纪）的我国古代数学著作 《九章算术》，在 “方
程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，如关
＋３ －２
于家畜买卖的第八题，使用 “正与负”来表示 “卖出与买入”，
我国古代用
将卖出家畜获得的钱数记为正，买入家畜付出的钱数记为负．
算筹来记数
魏晋时期的数学家刘徽在为 《九章算术》作注时，用不同颜
和计算
色的算筹分别表示正数和负数，红色为正，黑色为负．
如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们．
例１ 某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装．一箱橘子
的标准质量为２．５ｋｇ．如果用正数表示超过标准质量的克数，那么
（１）比标准质量多６５ｇ和比标准质量少３０ｇ各怎么表示？
（２）５０ｇ，－２７ｇ各表示什么意思？
解：（１）比标准质量多６５ｇ用＋６５ｇ表示，比标准质量少３０ｇ用－３０ｇ表示；
（２）５０ｇ表示这箱橘子的质量比标准质量多５０ｇ，－２７ｇ表示这箱橘子的
质量比标准质量少２７ｇ．
１．指出下面各数中的正数、负数：
４ １ ２
，－１，２．５，＋ ，０，－３．１４，１２０，－ ．
３ ４ ７
２．如果８０ｍ表示向右走８０ｍ，那么 表示向左走６０ｍ．
３．某天，月球表面白天的最高温度为零上１２６℃，如果把它记作１２６℃，
那么夜间的最低温度零下１５０℃记作 ℃．
４．在足球比赛中，如果甲队进３个球，记作＋３个，那么甲队失２个球，记作
个．
把０以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量．随着人们对
正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用．例如，在
表示某地的高度时，通常以海平面为基准，用０ｍ表示海平面的海拔，用正数
表示高于海平面的海拔，用负数表示低于海平面的海拔．我国水准零点位于山
第一章 有理数 ３东省青岛市 （图１．１３是 “中华人民共和国水准零点”标志）；世界最高峰珠
穆朗玛峰的海拔为８８４８．８６ｍ；我国陆地海拔最低处位于新疆吐鲁番盆地的艾
丁湖，其海拔为－１５４．３１ｍ．
０是正数与负数的
分界．０℃是一个确定的
温度，海拔０ｍ是一个
确定的海拔．０已不只是
表示 “没有”．
图１．１３
5
图１．１４是地理中的分层设色地形图，图１．１５是手机中的部分收支
款账单，其中的正数和负数的意义分别是什么？你能再举一些用正数、负
数表示具有相反意义的量的例子吗？
A 4 600 B 100
/m
图１．１４ 图１．１５
例２ （１）一个月内，李明体重增加１．２ｋｇ，张华体重减少０．５ｋｇ，刘伟
体重无变化，写出他们这个月的体重增长值．
（２）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率
如下：
Ａ品牌减少２％，Ｂ品牌增长４％，Ｃ品牌增长１％，Ｄ品牌减少３％．
写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率．
解：（１）这个月李明体重增长１．２ｋｇ，张华体重增长－０．５ｋｇ，刘伟体重
增长０ｋｇ．
４ 第一章 有理数（２）四种品牌的手机今年第二季度销售量的增
增长－２％，是什么
长率是：
意思？什么情况下增长率
Ａ品牌 －２％，Ｂ品牌 ４％，Ｃ品牌 １％， 是０？
Ｄ品牌 －３％．
１．如果水库的水位升高３ｍ时，水位变化记作＋３ｍ，那么水位下降３ｍ
时，水位变化记作 ｍ，水位不升不降时，水位变化记作 ｍ．
２．一袋面粉的标准质量是１０ｋｇ，如果比标准质量多０．１ｋｇ记作＋０．１ｋｇ，那
么－０．１ｋｇ，０ｋｇ，＋０．５ｋｇ分别表示什么？
３．若规定商品涨价为正，则甲商品涨价１０％可以记作 ，乙商品
降价５％可以记作 ．
１．指出下面各数中的正数、负数：
５ １２
５，－ ，０，０．５６，－３，－２５．８， ，－０．０００１，＋２，－６００．
７ ５
２．某年，我国全年平均降水量比上年增加５３．５ｍｍ，接下来的第二年比上年减
少８１．５ｍｍ，第三年比上年增加１０８．７ｍｍ．用正数和负数表示这三年我国全
年平均降水量比上年的增长量．
３． “不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？
４．科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带电荷是两种相反的电荷．物理
学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．氢原子中
的原子核与核外电子各带１个电荷，把它们所带电荷用正数和负数表示出来．
５．如果把一个物体向正后方移动５ｍ记作移动－５ｍ，那么这个物体又移动了
＋５ｍ是什么意思？这时物体距它两次移动前的位置多远？
６．在测量某些量 （如长度、质量、时间）时会产生误差，有时采用多次测量
求平均值的方法可以减小误差．某班七组同学分别测量同一座楼的高度，测得
第一章 有理数 ５的数据 （单位：ｍ）分别是：７９．４，８０．６，８０．８，７９．１，８０，７９．６，８０．５．这
些数据的平均值是多少？以平均值为标准，用正数表示超出的部分，用负数
表示不足的部分，它们对应的数分别是什么？
７．某地一天中午１２时的气温是７℃，过５ｈ气温下降了４℃，再过７ｈ气温又下
降了４℃，第二天０时的气温是多少？
８．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示 “０”的
刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向
旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转５个小格
记为 “＋５”，此时标记线对准的数是５，再顺时针旋转２个小
格记为 “－２”，再逆时针旋转３个小格记为 “＋３”，锁可以
打开，那么开锁密码就可以记为 “＋５，－２，＋３”，此时标
记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为 “－１５，
（第８题）
＋１０，－５”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记
线对准的刻度线表示哪个数？
用正负数表示允许偏差
在现代工业生产中，产品的尺寸、质量等都有标准规格．但是，一般在实
际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内，
只要不影响使用，产品比标准规格稍大或稍小一点，稍轻或稍重一点，都属于
合格品，而超出这个范围的产品就是不合格品．
生活中经常能看到用正负数表示允许偏差的情形．
如图１，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径
是４０ｍｍ±０．０５ｍｍ，这表示乒乓球的标准直径是
４０ｍｍ，偏差是±０．０５ｍｍ．也就是说实际直径最大
可以是（４０＋０．０５）ｍｍ，最小可以是（４０－０．０５）ｍｍ，
直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．
J J
类似地，你能说出图１中２．７４ｇ±０．０２ｇ的含 PP PP
义吗？你还能举出用正负数表示允许偏差的例子吗？
图１
６ 第一章 有理数１．２ 有理数及其大小比较
引入负数后，数的范围就扩大了．与小学对数的学习类
似，我们进一步在这个范围内学习数的表示以及大小比较等
问题．
１２１ 有理数的概念
5
在小学阶段和上一节中，我们认识了很多数．回想一下，到目前为
止，我们认识了哪些数？
我们学习过正整数，如１，２，３，…；０；负整数，如－１，－２，－３，…．
正整数、０、负整数统称为整数．
１ ２ １５
我们还学习过正分数，如 ， ， ，０．１，
２ ３ ７ １
０．１＝ ，－０．５＝
１０
５ ２ １
５．３２，０．３·，…；负分数，如－ ，－ ，－ ， １ １
２ ３ ７ － ，０．３·＝ ，…．事
２ ３
－０．５，－１５０．５，…．它们都是分数．
实上，有限小数和无限
进一步地，正整数可以写成正分数的形式，例 循环小数都可以化为分
数，因此它们也可以看
２
如２＝ ；负整数可以写成负分数的形式，例如－３＝
１ 成分数．
３ ０
－ ；０也可以写成分数的形式 ．这样，整数可以写成分数的形式．
１ １
可以写成分数形式的数称为有理数 （ｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ）．其中，可以写成正
分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数．
这样，引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围．
例１ 指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、
负整数：
３ １
１３，４．３，－ ，８．５％，－３０，－１２％， ，－７．５，２０，－６０，１．２·．
８ ９
第一章 有理数 ７１
解：正有理数：１３，４．３，８．５％， ，２０，１．２·；其中正整数有１３，２０．
９
３
负有理数：－ ，－３０，－１２％，－７．５，－６０；其中负整数有－３０，－６０．
８
１．所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合．把
下面的有理数填入它们属于的集合内：
１
１５，－ ，－５，７，０．５，－８０，１２，－４．２，２．３．
９
正有理数集合：｛ …｝．
负有理数集合：｛ …｝．
２．指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数：
３ １ １０
－１５，＋６，－２，－０．４·，１， ，０，３ ，０．６３，－ ．
５ ４ ３
４
３．在－１２， ，１９％，５０，－３．１·２·，－１１，－５％，６．３，２０２２中，正有
７
理数的个数为 ，其中正整数的个数为 ；负有理数的个数
为 ，其中负整数的个数为 ．
１２２ 数轴
在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出０和正数，并借助这种图形来
直观理解和分析问题．下面我们在此基础上直观表示有理数．看下面的问题．
问题 在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧３ｍ和
７．５ｍ处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧３ｍ和４．８ｍ处分
别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
如图１．２１，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直
线上任取一点犗表示汽车站牌的位置，规定１个单位长度 （线段犗犃的长）代
表１ｍ长．于是，在点犗右边，与点犗距离３个和７．５个单位长度的点犅和
点犆，分别表示柳树和交通标志杆的位置；在点犗左边，与点犗距离３个和
４．８个单位长度的点犇和点犈，分别表示槐树和电线杆的位置．
８ 第一章 有理数E D O A B C
3 3
4.8 7.5
图１．２１
5
怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的
相对位置关系 （方向、距离）？
在上面的问题中，“东”与 “西”、“左”与 “右”都具有相反意义．如图
１．２２，在一条直线上任取一点犗为基准点，规定１个单位长度 （线段犗犃的
长）代表１ｍ长，再用０表示点犗，用负数表示点犗左边的点，用正数表示点
犗右边的点．这样，我们就用负数、０、正数表示出了这条直线上的点．
E D O A B C
4.8 3 0 1 3 7.5
图１．２２
用上述方法，我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电
20
线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了．例如，３表示位
15
于汽车站牌东侧３ｍ处的柳树的位置，－４．８表示位于汽车站
10
牌西侧４．８ｍ处的电线杆的位置，等等． 5
0
5
5 10
图１．２３中的温度计可以看作表示正数、０和负数的直线．
它和图１．２２有什么共同点？
图１．２３
在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它
满足以下三个条件：
０是正数和负数的
（１）在直线上任取一个点表示数０，这个点叫
分界；原点是数轴的
作原点 （ｏｒｉｇｉｎ）； “基准点”．
（２）通常规定直线上从原点向右 （或上）为正
方向，从原点向左 （或下）为负方向；
第一章 有理数 ９（３）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度
取一个点，依次表示１，２，３，…；从原点向左，用类似方法依次表示－１，
－２，－３，… （图１．２４）．
3
2 6.5
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
图１．２４
像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 （ｎｕｍｂｅｒａｘｉｓ）．
原点将数轴 （原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的
正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴．
有理数可以用数轴上的点表示，例如，在数轴的正半轴上，距离原点６．５
３
个单位长度的点表示数６．５；在数轴的负半轴上，距离原点 个单位长度的点
２
３
表示数－ （图１．２４）．
２
3
一般地，设犪是一个正数，则数轴上表示数犪的点在数轴的正半轴
上，与原点的距离是犪个单位长度；表示数－犪的点在数轴的负半轴上，
与原点的距离是犪个单位长度．数轴上与原点的距离是犪个单位长度的
点，简称为数轴上与原点的距离是犪的点．
用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助
图形直观地表示很多与数相关的问题．
例２ 画出数轴，并在数轴上表示下列各数：
５
３，－４，４，０．５，０，－ ，－１．
２
解：如图１．２５所示．
5
4 1 0 0.5 3 4
2
4 3 2 1 0 1 2 3 4
图１．２５
１０ 第一章 有理数
１．如图，写出数轴上点犃，犅，犆，犇，犈表示的数．
E B A C D
3 2 1 0 1 2 2.5 3
（第１题）
２．画出数轴，并在数轴上表示下列有理数：
７ １ ３ ９
－５，３．５，－ ，－ ， ，５， ．
２ ２ ２ ２
３．在数轴上，表示－２与４的点之间 （包括这两个点）有 个点表示的
数是整数，它们表示的数分别是 ，其中负整数有 个．
４．在数轴上，点犃表示的数是－３，从点犃出发，沿数轴向某一方向移
动４个单位长度到达点犅，则点犅表示的数是多少？
１２３ 相反数
/
在数轴上，与原点的距离是３的点有几个？这些点分别表示什么数？
１
这些数之间有什么关系？与原点的距离是 的点呢？
２
可以发现，数轴上与原点的距离是３的点有两个，它们表示的数是３和
１
－３，这两个数只有符号不同；与原点的距离是 的点也有两个，它们表示的
２
１ １
数是 和－ ，这两个数也只有符号不同．
２ ２
3
一般地，设犪是一个正数，数轴上与原点的距离是犪的点有两个，它
们分别在正、负半轴上，表示犪和－犪（图１．２６），这两个数只有符号不同．
1 1
a 2 2 a
3 0 3
图１．２６
第一章 有理数 １１１ １
像３和－３， 和－ 这样只有符号不同的两个数，互为相反数 （ｏｐｐｏｓｉｔｅ
２ ２
ｎｕｍｂｅｒ）．这就是说，３的相反数是－３，－３的相反数是３，３与－３互为相反
１ １
数；同样地， 和－ 互为相反数．
２ ２
０的相反数是０．
一般地，犪和－犪互为相反数．这里，犪表示任
设犪表示一个数，
意一个数，可以是正数、负数，也可以是０．例如，
－犪一定是负数吗？
当犪＝１时，－犪＝－１，１的相反数是－１；同时，
－１的相反数是１．
容易看出，在正数前面添上 “－”号，就得到
这个正数的相反数．在任意一个数前面添上 “－”
你能借助数轴说明
号，新的数就表示原数的相反数．例如，
－（－５）＝＋５吗？
－（＋５）＝－５，－（－５）＝＋５，－０＝０．
４
例３ （１）分别写出－７和 的相反数；
３
（２）犪的相反数是２．４，写出犪的值．
４ ４
解：（１）－７的相反数是７， 的相反数是－ ；
３ ３
（２）因为２．４与－２．４互为相反数，所以犪的值是－２．４．
１．判断题．
（１）－６是相反数； （２）＋６是相反数；
（３）６是－６的相反数； （４）－６与＋６互为相反数；
（５）正数和负数互为相反数； （６）任何一个数都有相反数．
２．写出下列各数的相反数：
９ ５ １
－ ，６，－８，－３．５， ，１０，－１００， ．
４ ２ ３
３．如果犪＝－犪，那么表示数犪的点在数轴上的什么位置？
４．化简下列各数：
－（－７），－（＋０．５），－（－６８），－（＋３．８）．
１２ 第一章 有理数１２４ 绝对值
我们知道，互为相反数的两个数 （除０以外）只有符号不同．这两个数的
相同部分在数轴上表示什么？
看一个具体例子．１０和－１０互为相反数，在数轴上分别用点犃，犅表示
这两个数，可以发现，点犃，犅与原点的距离都是１０ （图１．２７）．
B O A
10 10
10 0 10
图１．２７
一般地，数轴上表示数犪的点与原点的距离叫
作数犪的绝对值 （ａｂｓｏｌｕｔｅｖａｌｕｅ），记作 犪 ．例 这里的数犪可以是
如，图１．２７中表示１０和－１０的点与原点的距离 正数、负数和０．
都是１０，所以１０和－１０的绝对值都是１０，即
１０ ＝１０， －１０ ＝１０．
显然 ０ ＝０．
/
一个数的绝对值与这个数有什么关系？借助数轴多取几个数试一试，
看能不能发现规律．
可以得到：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反
数；０的绝对值是０．即
（１）如果犪＞０，那么犪＝犪；
用字母表示数后，
（２）如果犪＝０，那么犪＝０； 可以用含字母的式子表
（３）如果犪＜０，那么犪＝－犪． 达一般规律．
７
例４ （１）写出１，－０．５，－ 的绝对值；
４
（２）如图１．２８，数轴上的点犃，犅，犆，犇分别表示有理数犪，犫，犮，犱，
这四个数中，绝对值最小的是哪个数？
A B C D
4 3 2 1 0 1 2 3
图１．２８
分析：对于 （２），一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；
第一章 有理数 １３反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小．
７ ７
解：（１） １ ＝１， －０．５ ＝０．５， － ＝ ；
４ ４
（２）因为在点犃，犅，犆，犇中，点犆离原点最近，所以在有理数犪，犫，
犮，犱中，犮的绝对值最小．
１．写出下列各数的绝对值：
２
８，－３．９，－ ，１００，７．５，０，－（－１３），－（＋１８）．
１１
２．判断题．
（１）绝对值是它本身的数是正数； （２）当犪≠０时，犪总是大于０；
（３）绝对值小于２的整数是１和－１．
３．如果犪＝ －２ ，那么犪＝ ；如果犿是负数，且 犿 ＝１０，
那么犿＝ ．
４．化简下列各数：
５
＋ －３．５ ，－ ＋ ，－ －１１ ， ＋（－１５）， －（－７）， －（＋９）．
６
１２５ 有理数的大小比较
我们已经知道两个正数 （或０）之间怎样比较大小，例如，０＜１，１＜２，
２＜３，…．引入负数后，任意两个有理数 （例如，－４和－３，－２和０，－１和
１）之间怎样比较大小呢？
5
图１．２９给出了未来一星
期中每天的最高气温和最低气
0!8 2!9
温，其中最低气温是多少？最 3!4
高气温呢？你能将这七天中每 1!7
*
天的最低气温按从低到高的顺
1!6
4!3
2!5
序排列吗？
图１．２９
１４ 第一章 有理数这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为
－４，－３，－２，－１，０，１，２．
按照这个顺序排列的温度，在竖直放置的温度计上所对应的点是从下到上的．
依次把这些数表示在水平的数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的 （图
１．２１０）．
4 3 2 1 0 1 2
图１．２１０
在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它
你在小学学过的正数
们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边
及０的大小比较符合这个
的数小于右边的数．
规定吗？
由这个规定可知：
－６＜－５，－５＜－４，－４＜－３，－２＜０，－１＜１，…．
5
对于正数、０和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数
之间如何比较大小？前面最低气温从低到高的排列与你的结论一致吗？
一般地，
（１）正数大于０，０大于负数，正数大于负数；
（２）两个负数，绝对值大的反而小．
例５ 比较下列各组数的大小：
（１）５和－２； （２）－３和－７；
（３）－（－１）和－（＋２）； （４）－（－０．５）和 －１．５ ．
解：（１）因为正数大于负数，所以５＞－２．
（２）先求绝对值， －３ ＝３， －７ ＝７．
因为 ３＜７，
即 －３ ＜ －７ ， 异号两数比较大小，
所以 －３＞－７． 要考虑它们的正负；同
（３）先化简，－（－１）＝１，－（＋２）＝－２． 号两数比较大小，要考
虑它们的绝对值．
因为正数大于负数，所以
１＞－２，
第一章 有理数 １５即 －（－１）＞－（＋２）．
（４）先化简，－（－０．５）＝０．５， －１．５ ＝１．５．
因为 ０．５＜１．５，
所以 －（－０．５）＜ －１．５ ．
１．比较下列各组数的大小：
（１）３和－５； （２）－３和－５；
１ ３ ３
（３）－２．５和－ －２ ； （４）－ 和－ ；
４ ５ ４
１
（５）－（＋８）和－（－９）； （６）－（－０．３）和 － ．
３
２．将下列各组数按从小到大的顺序排列，并用 “＜”连接：
（１）－３，＋２，＋５，０，－１０，８；
１ ３ １
（２）－ ，＋２．３，－０．３，０，－ ，－ ．
４ ２ ２
３．下面是我国几个城市某年１月份的平均气温，把这些温度按从高到低的
顺序排列．
北京 武汉 广州 哈尔滨 南京
－４．６℃ ３．８℃ １３．１℃ －１９．４℃ ２．４℃
１．把下列各有理数填在相应的集合内：
４ ３ １
３，－ ，０，１ ，０．４５，１２０，－７７，－２．５６，－１２３ ，０．３·．
５ ４ ２
正有理数集合：｛ …｝．
负有理数集合：｛ …｝．
整数集合：｛ …｝．
１６ 第一章 有理数２．如图，数轴上点犃表示的数是 ，点犅表示的数是 ，点犆表示的
数是 ，点犇表示的数是 ，点犈表示的数是 ．
D C A B E
3 2.5 2 1 0 1 2 2.5 3
（第２题）
１
３．７的相反数是 ，－ 是 的相反数，相反数是它本身的数是 ．
４
４．写出下列各数的绝对值，并指出哪个数的绝对值最大，哪个数的绝对值最小：
４
－９，３．７５，０， ，－０．００１，－１．
３
５．比较大小：
２ ４
（１）－２１ ０； （２）－１０ －５； （３）－ － ；
７ ７
２２ ５ ６
（４）－３ － ； （５）－ － ； （６）－（－３） － －３．０１ ．
７ ６ ７
６．在数轴上表示下列各数：
４ ４ １
２，２ ，－０．５，－２，０，－２ ， ，１．２．
５ ５ ２
７．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以
“×××Ｄ”的方式记录近视程度，例如，将近视５０度记录为 “－０．５０Ｄ”，近
视１００度记录为 “－１．００Ｄ”，等等．现有６位同学的验光记录如下：
－０．５０Ｄ，－１．２５Ｄ，－２．５０Ｄ，－０．７５Ｄ，－１．７５Ｄ，－２．２５Ｄ．
通常，近视超过２００度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这６位同学中，
有几位同学需要持续配戴眼镜？
８．在数轴上，如果点犃，犅分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距
离是５，那么这两个点所表示的数分别是多少？
９．如果犪是一个有理数，那么当犪满足什么条件时，
（１）犪＝－犪？ （２）－犪＞犪？ （３）－犪＜犪？
第一章 有理数 １７今天，负数在我们的日常生活中无处不在，比如温度、海拔、账户收支的表示等．你
肯定想不到这种对于负数的 “自然而然”的使用，在数学史上却是 “一波三折”的．让我
们一起来重温负数走过的漫漫长路吧．
在我国， 《九章算
在印度，数学家
术》的 “方程”章明确
婆罗摩笈多在算术运算
提出了 “正负术”———
中使用了负数．他研究
正数、负数的加减运算
了关 于 “财 产”（正
法则．
数）、 “债务”（负数）
这种源于方程解法
的和、差、倍数、分割
的探究，突破了正数的
等问题．
限制，引入了负数．
刘徽 （魏晋时期）
刘徽在为 《九章算术》作注时写
道：“今两算得失相反，要令正负以
名之．正算赤，负算黑．”即明确正
负数是表示相反意义的量，并用算筹
的颜色区分正负数．
婆罗摩笈多
《九章算术》中的 “正负术” （Ｂｒａｈｍａｇｕｐｔａ，约５９８—约６６５）
１８ 第一章 有理数在欧洲，对于负数 随着数学的发展，
的认识和使用进程缓慢 代数越来越抽象，与
而又艰难．意大利数学家 数字的 “实际”意义
斐波那契在 《算盘书》 相比，抽象运算越来越
（１２０２年）中面对 “一个 重要，对于负数的质疑
相对较小的数减去一个 消失了，负数完全成了
更大 的 数”时 使 用 了 数字系统中的一员．
负数．
笛卡儿
（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６—１６５０）
面对负数，欧洲大多数数学
家一方面使用着负数，另一方面
又不理解负数．如笛卡儿，虽然
他接受并比较全面和系统地使用
了负数，但他把方程的负根称作
“假根”．
斐波那契
（Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ，约１１７０—约１２５０）
欧洲人迟迟不肯接受负数和他们自古以来对 “数”的观念有关，比如０表示一无所有，
“世界上怎么还有比一无所有小的量？”而我国古代是在方程背景下，从 “相对”角度认识
正负数，于是自然地接受并使用负数．不过，欧洲人的 “质疑”“争论”也促使他们不断地
探寻负数及其他新数的意义，并最终建立了关于数的严密的理论．
第一章 有理数 １９
"FA
党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体
质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题
仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重 （单位：ｋｇ）的计算方式为：标准
体重＝（年龄×７－５）÷２．下表是七年级某小组６位同学的体重情况，其
中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．
编号 １ ２ ３ ４ ５ ６
体重情况 －１．１ ＋２ －０．５ ＋１０ ＋４．７ －８．３
（１）表中哪几位同学的体重超出标准体重？分析该小组同学的体重
超出或少于标准体重的情况．
（２）表中哪位同学的体重最符合标准体重？要想了解同学的体重情
况，除了判断正负数，还要考虑什么？据此进一步分析该小组同学的整
体体重情况．
请同学们根据这种标准体重的计算方式，计算自己的体重超出或少于
标准体重的千克数．以小组为单位填写上表，分析本组同学的体重情况，
并通过查阅资料或咨询体育老师等方式，制订适合你们小组的体育锻炼方案．
" (#
两个人合作，按下面的步骤完成游戏：
（１）第一位同学默想一个－５０～５０的整数并记住；
（２）第二位同学对第一位同学默想的数提出一个猜想，第一位同学
比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答 “大了”“小了”或者
“相等”，若相等则说明第二位同学猜中；
（３）若第二位同学没有猜中，则根据第一位同学的回答，调整猜想；
（４）重复步骤 （２）（３），直到猜中．
请大家玩一玩这个游戏，并思考，如何猜想能更快地猜中？多做几
次游戏，检验一下你的猜数策略是否有效．
２０ 第一章 有理数
%
+
本章我们通过研究实际问题中具有相反意义的量，引入了负数，使
数的范围扩大到有理数．
数轴是研究有理数的重要工具，有了数轴这个工具，就可以 “用数
轴上的点表示数”和 “用数表示数轴上的点”，这为我们数形结合地研究
数学问题提供了重要手段．本章我们还借助数轴研究了相反数和绝对值，
并探究了如何比较有理数的大小．利用数轴认识有理数，可以培养我们运
用图形直观描述和分析问题的意识和习惯．在后续学习中，数轴和数形结
合思想还将发挥更加重要的作用．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．梳理已学的数，数的范围扩大了几次？每次扩大数的范围时，引
入一类新的数的原因是什么？
２．你能举出一些实例，说明正数、负数在表示具有相反意义的量时
的作用吗？
３．你能用一个图表示有理数的分类吗？
４．数轴与普通的直线有什么不同？怎样在数轴上表示有理数？怎样
利用数轴解释一个数的相反数和绝对值？
第一章 有理数 ２１５．如何比较有理数的大小？数轴能发挥怎样的作用？
６．回忆小学学过的与数有关的内容，想一想接下来应该继续研究哪
些与有理数有关的问题．
１．填空题．
（１）如果温度上升３℃记作＋３℃，那么下降２℃记作 ℃；
（２）如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么－５６元表示 元．
２．在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用 “＜”连接起来：
３，－４，０，２，－２，－１．
３．分别写出－２，－５，７．５的相反数和绝对值．
４．比较下列各组数的大小：
（１）＋（－３）和－（－４）； （２）－（－２）和－ ＋２ ；
（ ）
１ １
（３）＋ －３ 和 －（＋５）； （４）－ ＋ 和－ － ．
２ ３
５．下表是某公司某年四个季度的盈利情况，把它们按从高到低的顺序排列．
时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
盈利／万元 －６．８ －１０．７ ３１．５ ２７．８
６．某年我国人均水资源比上年的增幅是－５．６％．后续三年各年比上年的增幅分别
是－４．０％，１３．０％，－９．６％．这些增幅中哪个最小？增幅是负数说明什么？
７．已知狓是整数，并且－３＜狓＜４，在数轴上表示狓可能取的所有数．
８．数轴上表示数犪，犫的点如图所示．把犪，－犪，犫，－犫按照从小到大的顺序排
列，正确的是 （ ）．
（Ａ）－犫＜－犪＜犪＜犫 （Ｂ）－犪＜－犫＜犪＜犫
（Ｃ）－犫＜犪＜－犪＜犫 （Ｄ）－犫＜犫＜－犪＜犪
a 0 b
（第８题）
２２ 第一章 有理数９．如图，检测５个排球，其中超过标准质量的克数记为正数．
（１）＋５，－３．５，＋０．７，－２．５，－０．６各表示什么？
（２）哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由．
5
3.5 0.7 2.5 0.6
（第９题）
１０． （１）－１与０之间有负数吗？０与１之间呢？如果
有，请举例；如果没有，请说明理由．
在本题中，犪与犫
（２）－３与－１之间有负整数吗？－２与２之间有 之间的数不包括犪和犫．
哪些整数？
（３）有比－１还大的负整数吗？
（４）写出３个小于－１００并且大于－１０３的数．
１１．如果狓＝２，那么狓一定是２吗？如果狓＝０，那么狓等于几？如果狓＝－狓，
那么狓等于几？
第一章 有理数 ２３第二章 有理数的运算
在第一章中，我们把数的范围扩大到了有理数．根据小学阶段学习数的经
验，接下来就要研究有理数的运算．
在实际问题中，我们也会遇到有理数的运算问题．例如：
（１）北京冬季某一天的气温为－３～３℃．这一天北京的温差是多少？
（２）李明同学经常对家里的生活垃圾分类，并卖出积攒的可回收物．这样
既保护了环境，又增加了零花钱．下表是他某个月零花钱的部分收支情况．
收支情况表
日期 收入 （＋）或支出 （－）／元 结余／元 注释
２日 ３．５ １８．５ 卖可回收物
８日 －６．５ １２．０ 买中性笔、记号笔
１２日 －１５．２ －３．２ 买科普书，同学代付
这里，“结余１２．０”和 “结余－３．２”是怎么得到的？
要解决上面的问题，就要计算３－（－３），１８．５＋（－６．５），１２．０＋（－１５．２）．
本章我们将在上一章以及小学已学的数的运算的基础上，进一步学习有理
数的运算，将数的运算推广到有理数范围内，从而初步感悟数系扩充的完整过
程，并认识运算在数学中的价值及其在解决实际问题中的作用．
第一章 有理数２．１ 有理数的加法与减法
数的范围扩大到有理数后，就要研究有理数的运算．我
们先把小学学习的加法与减法运算推广到有理数范围内．
２１１ 有理数的加法
在小学，我们学过正数及０的加法运算，引入负数后，在有理数范围内怎
样进行加法运算呢？
在实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算．例如，在本章引
言中，把收入记作正数，支出记作负数，在求 “结余”时，需要计算１８．５＋
（－６．５），１２．０＋（－１５．２）等．
5
小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与０相加以及０与０
相加．引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？
引入负数后，在有理数范围内，除了小学学过的加法运算，还有负数与负
数相加、负数与正数相加、负数与０相加等．下面借助具体情境和数轴来讨论
有理数的加法．
看下面的问题．
一个物体沿着一条直线做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为
负．例如，将向右运动５ｍ记作５ｍ，向左运动５ｍ记作－５ｍ．
5
如果物体沿着一条直线先向右运动５ｍ，再向右运动３ｍ，那么两次
运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？
两次运动后，物体从起点向右运动了８ｍ．写成算式就是
５＋３＝８． ①
若将物体的运动起点放在原点犗，则这个算式可以用数轴表示为图２．１１．
第二章 有理数的运算 ２５5 3
O
0
8
图２．１１
5
如果物体沿着一条直线先向左运动５ｍ，再向左运动３ｍ，那么两次
运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？
两次运动后，物体从起点向左运动了８ｍ．写成算式就是
（－５）＋（－３）＝－８． ②
这个算式也可以用数轴表示，如图２．１２所示，其中假设原点犗为物体的
运动起点．
3 5
O
0
8
图２．１２
从算式①②可以看出：符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝
对值等于加数的绝对值的和．
/
（１）如果物体沿着一条直线先向左运动３ｍ，再向右运动５ｍ，那么
两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？
（２）如果物体沿着一条直线先向右运动３ｍ，再向左运动５ｍ，那么
两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？
（１）结果是物体从起点向右运动了２ｍ．写成
算式就是
（－３）＋５＝２． ③
你能用数轴表示算
（２）结果是物体从起点向左运动了２ｍ．写成
式③④吗？
算式就是
３＋（－５）＝－２． ④
从算式③④可以看出：绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号
与绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与
较小者的差．
２６ 第二章 有理数的运算/
如果物体沿着一条直线先向右运动５ｍ，再向左运动５ｍ，那么两次
运动的最后结果是什么？
结果是物体仍在起点处．写成算式就是
５＋（－５）＝０． ⑤
算式⑤表明，互为相反数的两个数相加，结果为０．
如果物体第１ｓ向右 （或左）运动５ｍ，第２ｓ原地不动，那么２ｓ后物体
从起点向右 （或左）运动了５ｍ．写成算式就是
５＋０＝５ （或（－５）＋０＝－５）． ⑥
算式⑥表明，一个数与０相加，结果仍是这个数．
从算式①～⑥可知，在有理数的加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝
对值．你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗？
有理数加法法则：
１．同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．
２．绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的
绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得０．
３．一个数与０相加，仍得这个数．
显然，两个有理数相加，和是一个有理数．
5
按照有理数加法法则进行正数及０的加法运算，它和小学学过的正数
及０的加法运算一致吗？
例１ 计算：
（１）（－３）＋（－９）； （２）（－８）＋０； （３）１２＋（－８）；
（ １） （ １）
（４）（－４．７）＋３．９； （５） － ＋ ＋ ．
２ ２
解：（１）（－３）＋（－９）＝－（３＋９）＝－１２； 在运算过程中，“先
定和的符号，再算和的
（２）（－８）＋０＝－８；
绝对值”，是一种有效
（３）１２＋（－８）＝＋（１２－８）＝４；
的方法．
（４）（－４．７）＋３．９＝－（４．７－３．９）＝－０．８；
第二章 有理数的运算 ２７（ １） （ １）
（５） － ＋ ＋ ＝０．
２ ２
5
任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一
个负数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进
行说明．
１．用算式表示下面的结果：
（１）温度由－４℃上升７℃； （２）收入７元，又支出５元．
２．口算：
（１）（－４）＋（－６）； （２）４＋（－６）； （３）（－４）＋６；
（４）（－４）＋４； （５）（－４）＋１４； （６）（－１４）＋４；
（７）６＋（－６）； （８）０＋（－６）； （９）（－８）＋０．
３．计算：
（１）１５＋（－２２）； （２）（－１３）＋（－８）；
１ （ ２）
（３）（－０．９）＋１．５； （４） ＋ － ．
２ ３
４．请你用生活实例解释（－３）＋２＝－１，（－３）＋（－２）＝－５的意义．
有了有理数的加法法则后，还要研究加法的运算律．我们以前学过加法交
换律、结合律，对于有理数的加法，它们还成立吗？
/
计算
３０＋（－２０），（－２０）＋３０，
所得的和相同吗？换几组加数再试一试．
从上述计算中，你能得出什么结论？
在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
加法交换律：犪＋犫＝犫＋犪．
２８ 第二章 有理数的运算/
计算
［８＋（－５）］＋（－４），８＋［（－５）＋（－４）］，
所得的和相同吗？换几组加数再试一试．
从上述计算中，你能得出什么结论？
在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数
相加，和不变．
加法结合律：（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）．
根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，
也可以先把其中的几个数相加．
利用加法交换律、结合律，可以使运算简化．认识运算律对于理解运算有
很重要的意义．
例２ 计算：
（１）８＋（－６）＋（－８）； （２）１６＋（－２５）＋２４＋（－３５）．
解：（１） ８＋（－６）＋（－８）
＝［８＋（－８）］＋（－６）＝０＋（－６）
＝－６；
例２中是怎样使计
（２） １６＋（－２５）＋２４＋（－３５）
算简化的？依据是什么？
＝（１６＋２４）＋［（－２５）＋（－３５）］
＝４０＋（－６０）
＝－２０．
例３ １０袋小麦称后记录 （单位：ｋｇ）如图２．１３所示．１０袋小麦一共多
少千克？如果每袋小麦以５０ｋｇ为质量标准，１０袋小麦总计超过多少千克或不
足多少千克？
50.5 50.5 50.8 49.5 50.6
50.7 49.2 49.4 50.9 50.4
图２．１３
第二章 有理数的运算 ２９解法１：先计算１０袋小麦一共多少千克：
５０．５＋５０．５＋５０．８＋４９．５＋５０．６＋５０．７＋４９．２＋４９．４＋５０．９＋５０．４＝５０２．５．
再计算总计超过多少千克：
５０２．５－５０×１０＝２．５．
解法２：把每袋小麦超过５０ｋｇ的千克数记作正数，不足的千克数记作负
数．１０袋小麦对应的数分别为＋０．５，＋０．５，＋０．８，－０．５，＋０．６，＋０．７，
－０．８，－０．６，＋０．９，＋０．４．
０．５＋０．５＋０．８＋（－０．５）＋０．６＋０．７＋（－０．８）＋（－０．６）＋０．９＋０．４
＝［０．５＋（－０．５）］＋［０．８＋（－０．８）］＋［０．６＋
比较两种解法．解法２
（－０．６）］＋（０．５＋０．７＋０．９＋０．４）
中使用了哪些运算律？
＝２．５．
５０×１０＋２．５＝５０２．５．
答：１０袋小麦一共５０２．５ｋｇ，总计超过２．５ｋｇ．
１．计算：
（１）２３＋（－１７）＋６＋（－２２）； （２）（－２）＋３＋１＋（－３）＋２＋（－４）；
（ １） １ （ １） １ （ ３） ３ （ ２）
（３）１＋ － ＋ ＋ － ； （４）３ ＋ －２ ＋５ ＋ －８ ．
２ ３ ６ ４ ５ ４ ５
利用有理数的加法解下列各题 （第２～３题）：
２．某银行储蓄卡中存有人民币４５０元，先取出８０元，随后又存入１５０元．
储蓄卡中还存有人民币多少元？
３．一架飞机从９０００ｍ的高度先下降３００ｍ，再上升５００ｍ．这时飞机的
飞行高度是多少米？
２１２ 有理数的减法
实际问题中还经常涉及有理数的减法．例如，
如图２．１４，你能看
在本章引言中，北京某一天的气温是－３～３℃，计
出３℃比－３℃高多少摄
算这一天的温差 （最高气温减最低气温）就要计算
氏度吗？
３－（－３）．这里遇到了正数与负数的减法．
３０ 第二章 有理数的运算在小学，我们学习减法时，知道减法是加法的逆运算．
在把减法推广到有理数范围内时，为使减法运算具有一致
3
性，规定有理数的减法与加法之间仍然具有上述关系．这样，
计算３－（－３），就是要求一个数，使得它与－３相加得３．因
0 6
为６与－３相加得３，所以这个数应该是６，即
３－（－３）＝６． ①
另一方面，我们知道 -33
３＋（＋３）＝６， ②
图２．１４
由①②，得
３－（－３）＝３＋（＋３）． ③
/
从③式能看出减－３相当于加哪个数吗？把３分别换成０，－１，－５，
用上面的方法考虑
０－（－３），（－１）－（－３），（－５）－（－３）．
这些数减－３的结果与它们加＋３的结果相同吗？
换几个数再试一试．
计算
９－８，９＋（－８），１５－７，１５＋（－７），
从中又有什么新发现？
可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行．
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数．
有理数减法法则也可以表示成
犪－犫＝犪＋（－犫）．
显然，两个有理数相减，差是一个有理数．
例４ 计算：
（１）（－３）－（－５）； （２）０－７； （３）２－５；
（ １） １
（４）７．２－（－４．８）； （５） －３ －５ ．
２ ４
解：（１）（－３）－（－５）＝（－３）＋５＝２；
第二章 有理数的运算 ３１（２）０－７＝０＋（－７）＝－７；
（３）２－５＝２＋（－５）＝－３；
（４）７．２－（－４．８）＝７．２＋４．８＝１２；
（ １） １ （ １） （ １） ３
（５） －３ －５ ＝ －３ ＋ －５ ＝－８ ．
２ ４ ２ ４ ４
5
在小学，只有当犪大于或等于犫时 （其中
在数学发展史中，
犪，犫是０或正数），我们才能计算犪－犫（如
使较小的正数减去较大
２－１，１－１）．现在，当犪小于犫时，你能计算 正数的运算能正常进
犪－犫（如１－２，（－１）－１）吗？ 行，并与已有的运算不
矛盾，是引入负数的一
一般地，在有理数范围内，较小的数减去
个重要原因．
较大的数，所得差的符号是什么？
１．计算：
（１）６－９； （２）（＋４）－（－７）； （３）（－５）－（－８）；
（４）０－（－５）； （５）０－０．２； （６）（－２．５）－５．９；
（ １） １ （ ２） （ １）
（７）１．９－（－０．６）； （８） － － ； （９） ＋１ － －３ ．
２ ４ ７ ２
２．计算：
（１）比２℃低８℃的温度； （２）比－３℃低６℃的温度．
下面研究怎样进行有理数的加减混合运算．
例５ 计算（－２０）＋（＋３）－（－５）－（＋７）．
分析：这个算式中既有加法，也有减法．可以先根据有理数减法法则，把
减法转化为加法，即把这个算式改写为
（－２０）＋（＋３）＋（＋５）＋（－７），
再进行有理数的加法运算．
解： （－２０）＋（＋３）－（－５）－（＋７）
＝（－２０）＋（＋３）＋（＋５）＋（－７）
３２ 第二章 有理数的运算＝［（－２０）＋（－７）］＋［（＋３）＋（＋５）］
这里使用了哪些运
＝（－２７）＋（＋８）
算律？
＝－１９．
3
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算．例如
犪＋犫－犮＝犪＋犫＋（－犮）．
算式（－２０）＋（＋３）＋（＋５）＋（－７）是－２０，＋３，＋５，－７这四个数的
和．为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为
－２０＋３＋５－７．
这个算式可以读作 “负２０、正３、正５、负７的和”，或读作 “负２０加３
加５减７”．例５的运算过程也可以简单地写为
（－２０）＋（＋３）－（－５）－（＋７）
＝－２０＋３＋５－７
＝－２０－７＋３＋５
＝－２７＋８
＝－１９．
例６ 计算１４－２５＋１２－１７．
解： １４－２５＋１２－１７
＝１４＋１２－２５－１７
＝２６－４２
＝－１６．
/
在数轴上，点犃，犅分别表示数犪，犫．对于下列各组数犪，犫：
犪＝２，犫＝６；犪＝０，犫＝６；犪＝２，犫＝－６；犪＝－２，犫＝－６．
（１）观察点犃，犅在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？
（２）利用有理数的运算，你能用含有犪，犫的算式表示上述各组点
犃，犅之间的距离吗？
一般地，你能发现点犃，犅之间的距离与数犪，犫之间的关系吗？
第二章 有理数的运算 ３３
１．计算：
（１）１－４＋３－０．５；
（２）－２．４＋３．５－４．６＋３．５；
（３）（－７）－（＋５）＋（－４）－（－１０）；
３ ７ （ １） （ ２）
（４） － ＋ － － － －１．
４ ２ ６ ３
２．将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算：
（１）（－５２）－（＋３７）＋（－１９）－（－２４）；
（ ３） （ １） （ ３） （ １）
（２） ＋２ － － － －３ － ＋５ ．
４ ２ ４ ２
１．计算：
（１）（－１０）＋（＋６）； （２）（＋１２）＋（－４）； （３）（－５）＋（－７）；
（４）（＋６．２）＋（－９．３）； （５）（－０．９）＋（－２．７）； （６）（－２．１）＋（＋３．９）；
（ ） （ ） （ ） （ ）
２ ３ １ ２ １ １
（７） ＋ － ； （８） － ＋ ； （９） －３ ＋ －１ ．
５ ５ ３ ５ ４ １２
２．计算：
（１）（－８）＋１０＋２＋（－１）；
（２）５＋（－６）＋３＋９＋（－４）＋（－７）；
（３）（－０．８）＋１．２＋（－０．７）＋（－２．１）＋０．８＋３．５；
（ ） （ ） （ ）
１ ２ ４ １ １
（４） ＋ － ＋ ＋ － ＋ － ．
２ ３ ５ ２ ３
３．计算：
（１）（－８）－８； （２）（－８）－（－８）； （３）８－（－８）；
（４）８－８； （５）０－６； （６）０－（－６）；
（７）１６－４７； （８）（－３．８）－（＋７）； （９）（－５．９）－（－６．１）．
３４ 第二章 有理数的运算４．计算：
（ ） （ ） （ ） （ ）
２ ３ ２ ３
（１） ＋ － － ； （２） － － － ；
５ ５ ５ ５
（ ）
１ １ １ １
（３） － ； （４） － － ；
２ ３ ２ ３
（ ） （ ）
２ １ ３
（５）－ － － ； （６）０－ － ；
３ ６ ４
（ ） （ ） （ ） （ ）
２ ３ １ １
（７）（－２）－ ＋ ； （８） －１６ － －１０ － ＋１ ．
３ ４ ４ ２
５．计算：
１ ５ ２ １
（１）－４．２＋５．７－８．４＋１０； （２）－ ＋ ＋ － ；
４ ６ ３ ２
（３）１２－（－１８）＋（－７）－１５； （４）４．７－（－８．９）－７．５＋（－６）；
（ ） （ ） （ ） （ ）
７ １ １ １
（５） －４ － －５ ＋ －４ － ＋３ ；
８ ２ ４ ８
（ ） （ ）
２ １ ５ １
（６） － ＋ ０－５ ＋ －４ ＋ －９ ．
３ ６ ６ ３
６．如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的
湖，两处高度相差多少米？
8848.86 m
432 m
（第６题）
７．某地一天早晨的气温是－７℃，中午上升了１１℃，半夜又下降了９℃，半夜
的气温是多少摄氏度？
８．某食品店一星期中各天的盈亏情况如下 （记盈余为正）：
４３２元，－１２．５元，－１０．５元，３２７元，－８７元，５３６．５元，６９８元．
食品店这一星期总的盈亏情况如何？
第二章 有理数的运算 ３５９．有８筐白菜，以每筐２５ｋｇ为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克
数记作负数，称后的记录 （单位：ｋｇ）如下：
１．５，－３，２，－０．５，１，－２，－２，－２．５．
这８筐白菜一共多少千克？
１０．某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所示，哪天的温差最大？哪
天的温差最小？
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温／℃ １０ １２ １１ ９ ７ ５ ７
最低气温／℃ ２ １ ０ －１ －４ －５ －５
１１．填空题．
（１） ＋１１＝２７； （２）７＋ ＝４；
（３）（－９）＋ ＝９； （４）１２＋ ＝０；
（５）（－８）＋ ＝－１５； （６） ＋（－１３）＝－６．
１２．计算下列各式的值：
（－２）＋（－２），
（－２）＋（－２）＋（－２），
（－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２），
（－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）．
猜想下列各式的值：
（－２）×２， （－２）×３， （－２）×４， （－２）×５．
你能进一步猜出负数乘正数的法则吗？
１３．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护．某天早晨他们从Ａ地出
发，晚上最终到达Ｂ地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录 （单位：
ｋｍ）如下：
＋１８，－９，＋７，－１４，－６，＋１３，－６，－８．
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶．
（１）Ｂ地在Ａ地的哪个方向？它们相距多少千米？
（２）如果汽车行驶１ｋｍ平均耗油犪Ｌ，那么这天汽车共耗油多少升？
３６ 第二章 有理数的运算
我国古代的正负数加减运算法则———正负术
我国古代数学著作 《九章算术》的 “方程”一章，给出了名为 “正负术”
的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名
相益，正无入正之，负无入负之．”你知道它的意思吗？
我们按照加法、减法的顺序，先来看 “正负术”中的后四句话，它们符合
有理数的加法法则，可以用现代算式解释如下：
“异名相除”，即异号两数相加时，括号前为绝对值较大的加数的符号，括
号内为加数的绝对值中较大的减去较小的．例如：
（＋５）＋（－３）＝＋（５－３），（－５）＋（＋３）＝－（５－３）．
“同名相益”，即同号两数相加时，括号前为加数的符号，括号内为加数的
绝对值之和．例如：
（＋５）＋（＋３）＝＋（５＋３），（－５）＋（－３）＝－（５＋３）．
“正无入正之，负无入负之”，即０加正数得正数本身，０加负数得负数本
身．例如：
０＋（＋３）＝＋３，０＋（－３）＝－３．
对于 “正负术”中的前四句话，其实它们符合有理数的减法法则，其中的
“异名相益，正无入负之，负无入正之”，可以用现代算式解释如下：
“异名相益”，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减
数的绝对值与减数的绝对值之和．例如：
（＋５）－（－３）＝＋（５＋３），（－５）－（＋３）＝－（５＋３）．
“正无入负之，负无入正之”，即０减正数得负数 （该正数的相反数），０减
负数得正数 （该负数的相反数）．例如：
０－（＋３）＝－３，０－（－３）＝＋３．
对于 “同名相除”，你能用现代算式加以解释吗？
《九章算术》中给出的 “正负术”实际上符合现代有理数的加减运算法则，
这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古代数学的一个辉煌
成就．
第二章 有理数的运算 ３７２．２ 有理数的乘法与除法
与加法、减法一样，乘法、除法也是有理数的基本运算．
小学时学习的乘法、除法运算也可以推广到有理数范围内．
２２１ 有理数的乘法
我们已经熟悉正数及０的乘法．与加法类似，
在有理数范围内，
数的范围扩大到了有理数后，我们希望在有理数范
除了已有的正数与正数
围内，所有数都能像正数及０一样进行乘法运算，
相乘、正数与０相乘以
并使乘法运算具有一致性，那么该怎样进行有理数
及０与０相乘，乘法还
的乘法运算呢？ 有哪几种情况？
分别观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？
第二章 有理数的运算
书书书
櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲
（１）３×３＝９， （２）３×３＝９，
３×２＝６， ２×３＝６，
３×１＝３， １×３＝３，
３×０＝０； ０×３＝０．
可以发现，对于 （１）中的算式，随着后一乘数逐次递减１，积逐次递减３．
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
３×（－１）＝－３，
３×（－２）＝ ，
３×（－３）＝ ．
对于 （２）中的算式，随着前一乘数逐次递减１，积逐次递减３．要使这个
规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
（－１）×３＝ ，
（－２）×３＝ ，
（－３）×３＝ ．
从符号和绝对值两个角度分别观察上述所有算式，可以归纳如下：
３８正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负
数．积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律？
（－３）×３＝ ，
（－３）×２＝ ，
（－３）×１＝ ，
（－３）×０＝ ．
可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减１，积逐次增加
３．按照上述规律，下面的空格应各填什么数？从中可以归纳出什么结论？
（－３）×（－１）＝ ，
（－３）×（－２）＝ ，
（－３）×（－３）＝ ．
可以归纳出如下结论：
负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
与有理数加法类似，有理数相乘，也既要确定积的符号，又要确定积的绝
对值．一般地，我们有如下的有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
任何数与０相乘，都得０．
有理数乘法法则也可以表示如下：
设犪，犫为正有理数，犮为任意有理数，则
（＋犪）×（＋犫）＝＋（犪×犫），（－犪）×（－犫）＝＋（犪×犫）；
（－犪）×（＋犫）＝－（犪×犫），（＋犪）×（－犫）＝－（犪×犫）；
犮×０＝０，０×犮＝０．
显然，两个有理数相乘，积是一个有理数．
例１ 计算：
（ １） （ ２） （ ５）
（１）８×（－１）； （２） － ×（－２）； （３） － × － ．
２ ３ ７
解：（１）８×（－１）＝－（８×１）＝－８；
第二章 有理数的运算 ３９（ １） （１ ）
（２） － ×（－２）＝＋ ×２ ＝１；
２ ２
（ ２） （ ５） （２ ５） １０
（３） － × － ＝＋ × ＝ ．
３ ７ ３ ７ ２１
（ １） １
在例１ （２）中， － ×（－２）＝１，我们说－ 和－２互为倒数．一般地，
２ ２
在有理数中仍然有：
乘积是１的两个数互为倒数．
例２ 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座
山峰，每登高１ｋｍ气温的变化量为－６℃．登高３ｋｍ后，气温有什么变化？
解：（－６）×３＝－１８．
答：登高３ｋｍ后，气温下降１８℃．
１．计算：
（１）６×（－９）； （２）（－４）×６； （３）（－６）×（－１）；
１ ２ （ ９）
（４）（－６）×０； （５）（－４）× ； （６） × － ．
４ ３ ４
２．商店降价销售某种商品，每件降５元，售出６０件．与按原价销售同样
数量的商品相比，销售额有什么变化？
３．写出下列各数的倒数：
１ １ ２ ２
１，－１， ，－ ，５，－５， ，－ ．
３ ３ ３ ３
有了有理数的乘法法则后，就要研究乘法的运算律．在小学我们学过乘法
的交换律、结合律，乘法对加法的分配律，对于有理数的乘法，它们还成立吗？
/
计算
５×（－６），（－６）×５，
所得的积相同吗？换几组乘数再试一试．
从上述计算中，你能得出什么结论？
４０ 第二章 有理数的运算一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换
乘数的位置，积不变．
犪×犫也可以写为
乘法交换律：犪犫＝犫犪．
犪·犫或犪犫．当用字母表
类似地，可以发现有理数的乘法结合律仍然成 示乘数时， “×”可以
立，即在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个
写为 “·”或省略．
数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．
乘法结合律：（犪犫）犮＝犪（犫犮）．
根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，
也可以先把其中的几个数相乘．
/
计算
５×［３＋（－７）］，５×３＋５×（－７），
所得的结果相同吗？换几组数再试一试．
从上述计算中，你能得出什么结论？
一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相
乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积 交换律、结合律、
相加． 分配律等运算律在运算
中有重要作用，它们是
分配律：犪（犫＋犮）＝犪犫＋犪犮．
解决许多数学问题的
基础．
例３ （１）计算２×３×０．５×（－７）；
（１ １ １）
（２）用两种方法计算 ＋ － ×１２．
４ ６ ２
解：（１） ２×３×０．５×（－７）
＝（２×０．５）×［３×（－７）］
＝１×（－２１）
＝－２１．
第二章 有理数的运算 ４１（１ １ １）
（２）解法１： ＋ － ×１２
４ ６ ２
（３ ２ ６）
＝ ＋ － ×１２
１２ １２ １２
比较解法１与解法
１
＝－ ×１２＝－１．
２，它们在运算顺序上
１２
有什么区别？解法２用
（１ １ １）
解法２： ＋ － ×１２ 了什么运算律？哪种解
４ ６ ２
法更简便？
１ １ １
＝ ×１２＋ ×１２－ ×１２
４ ６ ２
＝３＋２－６＝－１．
/
改变例３ （１）的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子．
观察这些式子，它们的积是正的还是负的？
２×３×（－０．５）×（－７），
２×（－３）×（－０．５）×（－７），
（－２）×（－３）×（－０．５）×（－７）．
几个不为０的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？
如果有乘数为０，那么积有什么特点？
可以得到：几个不为０的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；
负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为０，那
么积为０．
这样，遇到多个不为０的数相乘，可以先用上面的结论确定积的符号，再
把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值．例如：
５ （ ９） （ １）
（－３）× × － × －
６ ５ ４
（ ５ ９ １） ９
＝－ ３× × × ＝－ ，
６ ５ ４ ８
（ ４） １
（－５）×６× － ×
５ ４
４ １
＝５×６× × ＝６．
５ ４
４２ 第二章 有理数的运算
１．计算：
（ ７） （ １）
（１）（－８５）×（－２５）×（－４）； （２） － ×１５× －１ ；
８ ７
（９ １）
（３） － ×３０；
１０ １５
（ ６） （ ２） （ ６） （ １７）
（４） － × － ＋ － × ＋ ．
５ ３ ５ ３
２．计算：
（ ５） ８ １ （ ２）
（１） － × × × － ；
１２ １５ ２ ３
（ ５） ８ ３ （ ２）
（２）（－１）× － × × × － ×０×（－１）．
４ １５ ２ ３
２２２ 有理数的除法
在小学，我们学习除法时，知道除法是乘法的逆运算．在把除法推广到有
理数范围内时，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然
具有上述关系．
怎样计算８÷（－４）？
根据除法是乘法的逆运算，计算８÷（－４），就是要求一个数，使它与－４
相乘得８．
因为 （－２）×（－４）＝８，
所以 ８÷（－４）＝－２． ①
另一方面，我们有
（ １）
８× － ＝－２， ②
４
于是有
（ １）
８÷（－４）＝８× － ． ③
４
第二章 有理数的运算 ４３１
③式表明，一个数除以－４可以转化为乘－
４ 换其他数的除法进
来进行，即一个数除以－４，等于乘－４的倒数 行类似讨论，是否仍有
１
除以犪（犪≠０）可以转化
－ ．
４ １
为乘 ？
犪
一般地，对于有理数的除法，有如下法则：
除以一个不等于０的数，等于乘这个数的倒数．
这个法则也可以表示成
１
犪÷犫＝犪· （犫≠０）．
犫
两个有理数相除 （除数不为０），商是一个有理数．
从有理数除法法则，容易得出：
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对
这是有理数除法法
值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．０
则的另一种说法．
除以任何一个不等于０的数，都得０．
例４ 计算：
（ １２） （ ３）
（１）（－３６）÷９； （２） － ÷ － ．
２５ ５
解：（１）（－３６）÷９＝－（３６÷９）＝－４；
（ １２） （ ３） （ １２） （ ５） ４
（２） － ÷ － ＝ － × － ＝ ．
２５ ５ ２５ ３ ５
例５ 化简：
－２ －４５
（１） ； （２） ．
３ －１２
－２ ２
解：（１） ＝（－２）÷３＝－（２÷３）＝－ ；
３ ３
－４５ １５
（２） ＝（－４５）÷（－１２）＝４５÷１２＝ ．
－１２ ４
－２ ２ －２
在例５中，我们得到 ＝－ ，这表明 是负分数，因而是有理数；反
３ ３ ３
２ －２ ２ －２
过来看，－ ＝ ，又表明－ 可以写成 这样两个整数相除的形式．
３ ３ ３ ３
４４ 第二章 有理数的运算狆
一般地，根据有理数的除法，形如 （狆，狇
狇
是整数，狇≠０）的数都是有理数；有理数又都可以 有理数表示为分数
写成上述形式 （整数可以看成分母为１的分数）．这 形式非常重要．在以后
的学习中，你将逐渐体
狆
样，有理数就是形如 （狆，狇是整数，狇≠０）
狇 会到它在数学中的价值．
的数．
１．计算：
（１）（－１８）÷６； （２）（－６３）÷（－７）； （３）１÷（－９）；
（ ６） （ ２）
（４）０÷（－８）； （５）（－６．５）÷０．１３； （６） － ÷ － ．
５ ５
２．化简：
－７２ －３０ ０ ２７
（１） ； （２） ； （３） ； （４） ．
９ －４５ －７５ －６
因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律简
化运算．乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求
出结果．
例６ 计算：
（ ５） ５ （ １）
（１） －１２５ ÷（－５）； （２）－２．５÷ × － ．
７ ８ ４
第二章 有理数的运算
櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲
（ ５） ５ （ １）
解：（１） －１２５ ÷（－５） （２） －２．５÷ × －
７ ８ ４
（ ５） １ ５ ８ １
＝ １２５＋ × ＝ × ×
７ ５ ２ ５ ４
１ ５ １ ＝１．
＝１２５× ＋ ×
５ ７ ５
１
＝２５＋
７
１
＝２５ ；
７
４５有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小
学所学的混合运算一样，按照 “先乘除，后加减”的顺序进行．
例７ 计算：
（１）－８＋４÷（－２）； （２）（－７）×（－５）－９０÷（－１５）．
第二章 有理数的运算
櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲
解：（１） －８＋４÷（－２） （２） （－７）×（－５）－９０÷（－１５）
＝－８＋（－２） ＝３５－（－６）
＝－１０； ＝３５＋６
＝４１．
例８ 某公司去年１月—３月平均每月亏损１．５万元，４月—６月平均每月
盈利３２万元，７月—１０月平均每月盈利２１．７万元，１１月—１２月平均每月亏
损２．３万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？
解：记盈利额为正数，亏损额为负数．由
（－１．５）×３＋３２×３＋２１．７×４＋（－２．３）×２
＝－４．５＋９６＋８６．８－４．６
＝１７３．７
可知，这个公司去年全年盈利１７３．７万元．
计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，
比笔算要快捷得多．例如，可以用计算器计算例８中的
（－１．５）×３＋３２×３＋２１．７×４＋（－２．３）×２．
如果计算器带符号键 ，只需按键
有的计算器用 代
， 替 ；有时候计算器显
显示结果为 狆
示的结果是分数± 的
狇
１７３．７，
形式，可以再通过相关
就可以得到答案１７３．７．
操作转换为小数形式．
不同品牌计算器的操作方法可能有所不同，具
体参见计算器的使用说明．
４６
１．计算：
１ （ ９）
（１） ÷（－６）； （２） －３６ ÷９；
５ １１
（ １） （ ２） ８
（３）（－１２）÷（－４）÷ －１ ； （４） － × ÷（－０．２５）．
５ ３ ５
２．计算：
（１）６－（－１２）÷（－３）； （２）３×（－４）＋（－２８）÷７；
（ ２） （ ３）
（３）（－４８）÷８－（－２５）×（－６）； （４）４２× － ＋ － ÷（－０．５）．
３ ４
３．用计算器计算：
（１）３５７＋（－１５４）＋２６＋（－２１２）；
（２）－５．１３＋４．６２＋（－８．４７）－（－２．３）；
（３）２６×（－４１）＋（－３５）×（－１７）；
（４）１．２５２÷（－４４）－（－３５６）÷（－０．１９６）（结果保留小数点后三位）．
１．计算：
（１）（－８）×（－７）； （２）１２×（－５）； （３）２．９×（－０．４）；
（４）（－３０．５）×０．２； （５）１００×（－０．００１）； （６）（－４．８）×（－１．２５）．
２．计算：
（ ） （ ） （ ）
１ ８ ５ ３
（１） × － ； （２） － × － ；
４ ９ ６ １０
（ ） （ ）
３４ １０
（３） － ×２５； （４）（－０．３）× － ．
１５ ７
３．写出下列各数的倒数：
５
（１）－１５； （２）－ ； （３）－０．２５；
９
１ ２
（４）０．１７； （５）４ ； （６）－５ ．
４ ５
第二章 有理数的运算 ４７４．计算：
（ ）
８
（１） － ×１．２５×（－８）； （２）（－１０）×（－８．２４）×（－０．１）；
２５
（ ） （ ）
７ ５ ３ ７ ３ １
（３） － ＋ － ×３６； （４）－ × ８－１ －０．０４ ．
９ ６ ４ １８ ４ ３
５．计算：
（１）（－２）×３×（－４）； （２）（－６）×（－５）×（－７）；
１１
（３）（－６）×（－０．２５）× ； （４）（－１７）×（－４９）×０×１３．
１４
６．计算：
（１）１６÷（－３）； （２）（－９１）÷１３； （３）（－５６）÷（－１４）；
４ ３
（４） ÷（－１）； （５）（－１６）÷（－４８）； （６）（－０．２５）÷ ．
５ ８
７．填空题．
１×（－５）＝ ； １÷（－５）＝ ；
１＋（－５）＝ ； １－（－５）＝ ；
（－１）×（－５）＝ ； （－１）÷（－５）＝ ；
（－１）＋（－５）＝ ； （－１）－（－５）＝ ．
８．化简：
－２１ ３ －５４ －６
（１） ； （２） ； （３） ； （４） ．
７ －３６ －８ －０．３
９．计算：
（ ） （ ） （ ）
３ １ １
（１）０．１÷（－０．００１）÷（－１）； （２） － × －１ ÷ －２ ；
４ ２ ４
（３）（－７）×（－５６）×０÷（－１３）； （４）（－９）×（－１１）÷３÷（－３）．
１０．计算：
３
（１）２３×（－５）－（－３）÷ ；
１２８
（２）（－７）×（－３）×（－０．５）＋（－１２）×（－２．６）；
（ ） （ ） （ ） （ ）
３ ７ ７ ７ ７ ３ ７ ７
（３）１ － － ÷ － ＋ － ÷１ － － ；
４ ８ １２ ８ ８ ４ ８ １２
２ １ ２ １ １
（４）－ － － － × － － － －３ ．
３ ２ ３ ３ ４
４８ 第二章 有理数的运算１１．用计算器计算 （结果保留小数点后两位）：
（１）（－３６）×１２８÷（－７４）；
（２）（－６．２３）÷（－０．２５）×９４；
（３）（－４．３２５）×（－０．０１２）－２．３１÷（－５．３１５）；
（４）１８０．６５－（－３２）×４７．８÷（－１５．５）．
１２．记盈利额为正数，用正数或负数填空：
（１）小商店平均每天盈利２５０元，一个月 （按３０天计算）的利润是 元；
（２）小商店一星期的利润是１４００元，平均每天的利润是 元；
（３）小商店一星期共亏损８４０元，平均每天的利润是 元．
１３．一架直升机从高度为４５０ｍ的位置开始，先以４ｍ／ｓ的速度竖直上升６０ｓ，
后以５ｍ／ｓ的速度竖直下降１２０ｓ，这时直升机所在高度是多少？
（ ）
１ １
１４．计算２×１，２× ，２×（－１），２× － ．
２ ２
联系这类具体的数的乘法，你认为一个非零有理数一定小于它的２倍吗？为
什么？
１５．利用分配律可以得到
－２×６＋３×６＝（－２＋３）×６，
－２×（－５）＋３×（－５）＝（－２＋３）×（－５）．
如果用犪表示任意一个数，那么利用分配律可以得到－２犪＋３犪等于什么？
１６．计算（－４）÷２，４÷（－２），（－４）÷（－２）．
联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立 （犪，犫是有理数，且
犫≠０）？从中可以总结出什么规律？
－犪 犪 犪 －犪 犪
（１） ＝ ＝－ ； （２） ＝ ．
犫 －犫 犫 －犫 犫
第二章 有理数的运算 ４９
从数系扩充看有理数乘法法则
我们知道，引入负数后，数的范围从非负有理数
扩大到有理数．在有理数范围内，除了小学已学的正
数与正数相乘、正数与０相乘、０与０相乘，还有正 正有理数、０统称
数与负数相乘、０与负数相乘、负数与负数相乘，其 非负有理数．
中最典型、最简单的情况分别为１×（－１），０×（－１），
（－１）×（－１）．应当怎样规定这些运算呢？下面我们
从数系扩充的角度来探究一下．
在把非负有理数的加法、乘法运算推广到有理数范围内时，我们希望在有
理数中新规定的加法、乘法运算与非负有理数中相应的运算具有一致性，并且
加法、乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
在研究了有理数的加法运算之后，依照上述设想，研究１×（－１），０×（－１），
（－１）×（－１）的结果．
对于１×（－１），如果分配律成立，那么
１×（－１）＋１×１＝１×［（－１）＋１］＝１×０＝０，
从而
如果犪＋犫＝０，那么
１×（－１）＝－（１×１）＝－１．
犪＝－犫．
对于０×（－１），如果分配律成立，那么
０×（－１）＋０×１＝０×［（－１）＋１］＝０×０＝０，
从而
０×（－１）＝－（０×１）＝０．
对于（－１）×（－１），如果分配律成立，那么
（－１）×（－１）＋１×（－１）＝［（－１）＋１］×（－１）＝０×（－１）＝０，
从而
（－１）×（－１）＝－［１×（－１）］＝－（－１）＝１．
综合上述分析，从数系扩充的角度来看，为了保证有理数的加法、乘法运
算与已有的非负有理数的加法、乘法运算保持一致，规定１×（－１）＝－１，０×
（－１）＝０，（－１）×（－１）＝１是合理的．
一般地，你能从数系扩充的角度说明有理数乘法法则的合理性吗？
５０ 第二章 有理数的运算２．３ 有理数的乘方
在数学和实际问题中，经常会遇到一种特殊形式的乘法
运算，其中的各个乘数都相同．下面就来学习这种乘法运算．
２３１ 乘方
我们知道，边长为２ｃｍ的正方形的面积是２×２＝４ （ｃｍ２ ）；棱长为２ｃｍ
的正方体的体积是２×２×２＝８ （ｃｍ３ ）．
２×２，２×２×２都是相同乘数的乘法．为了简便，我们将它们分别记作２２ ，
２３．２２ 读作 “２的平方”（或 “２的２次方”），２３ 读作 “２的立方”（或 “２的３
次方”）．
同样地，
（－２）４ 与－２４ 相等
（－２）×（－２）×（－２）×（－２）记作 （－２）
４
，读
吗？为什么？
作 “－２的４次方”；
（ ２） （ ２） （ ２） （ ２） （ ２）
－ × － × － × － × － 记
５ ５ ５ ５ ５
（ ２） ２
作 － ５，读作 “－ 的５次方”．
５ ５
一般地，狀个相同的乘数犪相乘，即犪·犪·…·犪，记作犪狀 ，读作 “犪的
烏 烐 烑
狀个
狀次方”．
求狀个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作
幂 （ｐｏｗｅｒ）．在犪狀 中，犪叫作底数，狀叫作指数，当犪狀 看作犪的
狀次方的结果时，也可读作 “犪的狀次幂”．例如，在９４ 中，底数 an
是９，指数是４，９４ 读作 “９的４次方”，或 “９的４次幂”．
一个数可以看作这个数本身的１次方．例如，５就是５１．指数１通常省略不写．
因为犪狀 就是狀个犪相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的
乘方运算．
例１ 计算：
（ ２）
（１）（－４） ３ ； （２）（－２） ４ ； （３） － ３．
３
第二章 有理数的运算 ５１解：（１）（－４） ３＝（－４）×（－４）×（－４）＝－６４；
（２）（－２） ４＝（－２）×（－２）×（－２）×（－２）＝１６；
（ ２） （ ２） （ ２） （ ２） ８
（３） － ３＝ － × － × － ＝－ ．
３ ３ ３ ３ ２７
/
请再举一些计算乘方的例子，结合例１，你发现负数的幂的正负与指
数有什么关系？
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
显然，正数的任何次幂都是正数，０的任何正整数次幂都是０．
例２ 用计算器计算 （－８） ５ 和 （－３） ６．
解：用带符号键 的计算器，有
显示结果为
－３２７６８；
显示结果为
７２９．
因此，（－８） ５＝－３２７６８，（－３） ６＝７２９．
１． （１）（－７） ８ 中，底数、指数各是什么？
（２）（－１０）
８
中，－１０叫作什么数？８叫作什么数？（－１０）
８
是正数还是
负数？
２．计算：
（１）（－１）
１０
； （２）（－１）
７
； （３）８３ ； （４）（－５）
３
；
（ １）
（５）０．１３ ； （６） － ４； （７）（－１０） ４ ； （８）（－１０） ５．
２
３．用计算器计算：
（１）（－１１） ６ ； （２）１６７ ； （３）８．４３ ； （４）（－５．６） ３．
５２ 第二章 有理数的运算引入有理数的乘方运算后，做有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算
时，应注意以下运算顺序：
１．先乘方，再乘除，最后加减；
２．同级运算，从左到右进行；
３．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例３ 计算：
（１）２×（－３） ３－４×（－３）＋１５；
（２）（－２） ３＋（－３）×（－４２＋２）－（－３） ２÷（－２）．
解：（１）原式＝２×（－２７）－（－１２）＋１５
＝－５４＋１２＋１５
＝－２７；
（２）原式＝－８＋（－３）×（－１６＋２）－９÷（－２）
＝－８＋（－３）×（－１４）－（－４．５）
＝－８＋４２＋４．５
＝３８．５．
例４ 观察下面三行数：
－２， ４， －８， １６， －３２， ６４， …； ①
０， ６， －６， １８， －３０， ６６， …； ②
－１， ２， －４， ８， －１６， ３２， …． ③
（１）第①行中的数可以看成按什么规律排列？
（２）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
（３）取每行中的第１０个数，计算这三个数的和．
分析：观察第①行中的数，发现各数均为２的倍数．联系数的乘方，从符
号和绝对值两方面考虑，可以发现排列的规律．
解：（１）第①行中的数可以看成按如下规律排列：
－２，（－２）
２
，（－２）
３
，（－２）
４
，…．
（２）对比第①②两行中位置对应的数，可以发现：第②行中的数是第①行
中相应的数加２，即
－２＋２，（－２） ２＋２，（－２） ３＋２，（－２） ４＋２，…；
对比第①③两行中位置对应的数，可以发现：第③行中的数是第①行中相
第二章 有理数的运算 ５３１
应数的 ，即
２
１ １ １ １
（－２）× ，（－２） ２× ，（－２） ３× ，（－２） ４× ，…．
２ ２ ２ ２
（３）每行中第１０个数的和是
１
（－２） １０＋［（－２） １０＋２］＋（－２） １０×
２
１
＝１０２４＋（１０２４＋２）＋１０２４×
２
＝１０２４＋１０２６＋５１２
＝２５６２．
计算：
（ １）
（１）（－１） １０×２＋（－２） ３÷４； （２）（－５） ３－３× － ４；
２
１１ （１ １） ３ ５
（３） × － × ÷ ； （４）（－１０） ４＋［（－４） ２－（３＋３２ ）×２］．
５ ３ ２ １１ ４
２３２ 科学记数法
在现实生活中，我们会遇到一些比较大的数．例如，太阳的半径约为
６９６０００ｋｍ；光的速度约为３００００００００ｍ／ｓ；２０２２年１１月１５日，联合国宣布世
界人口达到８０００００００００人；等等．读、写这样大的数有一定的困难．
观察１０的乘方，有如下特点：
１０２＝１００，１０３＝１０００，１０４＝１００００，…．
一般地，１０的狀次幂等于１０…０ （在１的后面有狀个０），因此可以利用
１０的乘方表示一些大数，例如，
６９６０００＝６．９６×１０５ ，
读作 “６．９６乘１０的５次方 （幂）”．这样不仅可以使书写简短，同时还便于
读数．
５４ 第二章 有理数的运算像上面这样，把一个大于１０的数表示成犪×１０狀 的形式 （其中犪大于或等
于１，且犪小于１０，狀是正整数），使用的是科学记数法．
对于小于－１０的数也可以类似表示，例如，
－５６７００００００＝－５．６７×１０８．
例５ 用科学记数法表示下列各数：
１００００００，３００００００００，８０００００００００，１０１０００００．
解：１００００００＝１×１０６ ， ３００００００００＝３×１０８ ，
８０００００００００＝８×１０９ ， １０１０００００＝１．０１×１０７．
在上面的式子中，等号左边整数的位数与右边１０的指数有什么关系？
用科学记数法表示一个狀位整数 （狀大于或等于２），其中１０的指数是 ．
２３３ 近似数
先看一个例子．对于参加同一个会议的人数，有两则报道．一则报道说：
“会议秘书处宣布，参加今天会议的有５０５人．”这里数字５０５确切地反映了实
际人数，它是一个准确数．另一则报道说： “约有五百人参加了今天的会议．”
五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数
（ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｎｕｍｂｅｒ）．
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似
数．例如，宇宙的年龄约为１３８亿年，长江长约６３００ｋｍ，圆周率π约为
３．１４，这里都使用了近似数．
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示．例如，在前面的例子
中，五百是精确到百位的近似数，它与准确数５０５的误差为５．
按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有
π≈３ （精确到个位），
π≈３．１ （精确到０．１，或叫作精确到十分位），
π≈３．１４ （精确到０．０１，或叫作精确到百分位），
π≈３．１４２ （精确到０．００１，或叫作精确到千分位），
π≈３．１４１６ （精确到０．０００１，或叫作精确到万分位），
……
第二章 有理数的运算 ５５例６ 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
（１）０．０１５８ （精确到０．００１）； （２）３０４．３５（精确到个位）；
（３）１．８０４（精确到０．１）； （４）１．８０４（精确到百分位）．
解：（１）０．０１５８≈０．０１６；
这里的１．８和１．８０
（２）３０４．３５≈３０４；
的精确度相同吗？表示
（３）１．８０４≈１．８；
近似数时，能简单地把
（４）１．８０４≈１．８０． １．８０后面的０去掉吗？
１．用科学记数法表示下列各数：
１０００００，７４０００００，５６００００００，５６７００００００．
２．下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？
１×１０７ ，４×１０３ ，８．５×１０６ ，７．０４×１０５ ，３．９６×１０７．
３．我国的陆地面积约为９６０００００ｋｍ２ ，用科学记数法表示这个数．
４．用四舍五入法对下列各数取近似数：
（１）０．００３５６ （精确到万分位）； （２）６１．２３５ （精确到个位）；
（３）１．８９３５ （精确到０．００１）； （４）０．０５７１ （精确到０．１）．
１．计算：
（１）（－３）
３
； （２）（－５）
４
； （３）（－１．７）
２
；
（ ）
４ ３
（４） － ； （５）－（－２） ３ ； （６）（－２） ２×（－３） ２．
３
２．用计算器计算：
（１）（－１２） ８ ； （２）１０３４ ； （３）７．１２３ ； （４）（－４５．７） ３．
３．计算：
（ ）
１ ４
（１）（－１） １００×５＋（－２） ４÷４； （２）（－３） ３－３× － ；
３
５６ 第二章 有理数的运算（ ）
７ １ １ ３ ３
（３） × － × ÷ ； （４）（－１０） ３＋［（－４） ２－（１－３２ ）×２］；
６ ６ ３ １４ ５
（ ）
４ ２ ２
（５）（－２３ ）÷ × － ； （６）４＋（－２） ３×５－（－０．２８）÷４．
９ ３
４．用科学记数法表示下列各数：
（１）２３５００００００； （２）１８８５２００００；
（３）７０１０００００００００； （４）３６００００００．
５．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
３×１０７ ，１．３×１０３ ，８．０５×１０６ ，２．００４×１０５．
６．用四舍五入法对下列各数取近似数：
（１）０．００４５７（精确到０．０００１）； （２）５６６．１２３５（精确到个位）；
（３）３．８９６３（精确到０．０１）； （４）０．０５７１（精确到千分位）．
７．什么数的平方等于９？什么数的立方等于－２７？
８．一个长方体的长、宽都是犪，高是犺，它的体积和表面积怎样计算？当犪＝
２ｃｍ，犺＝５ｃｍ时，它的体积和表面积各是多少？
９．一天有８．６４×１０４ｓ，一年按３６５天计算，一年有多少秒 （用科学记数法
表示）？
１０．地球绕太阳公转的速度约是１．１×１０５ｋｍ／ｈ，声音在空气中的传播速度约是
３４０ｍ／ｓ，比较两个速度的大小．
１１．（１）计算０．１２ ，１２ ，１０２ ，１００２．观察这些结果，底数的小数点向左 （或右）
移动一位时，平方数的小数点有什么移动规律？
（２）计算０．１３ ，１３ ，１０３ ，１００３．观察这些结果，底数的小数点向左 （或右）
移动一位时，立方数的小数点有什么移动规律？
（３）计算０．１４ ，１４ ，１０４ ，１００４．观察这些结果，底数的小数点向左 （或右）
移动一位时，四次方数的小数点有什么移动规律？
１２．计算 （－２）
２
，２２ ， （－２）
３
，２３．联系这类具体的数的乘方，你认为当犪＜０
时下列各式是否成立？
（１）犪２＞０； （２）犪２＝（－犪）
２
； （３）犪２＝－犪２ ； （４）犪３＝－犪３．
第二章 有理数的运算 ５７
" )B,
帮助家庭记录一个月 （或一星期）的生活收支账目，收入记为正数，
支出记为负数，计算当月 （或当星期）的总收入、总支出、总结余以及
每日平均支出等数据，并对家庭支出提出合理化建议．
妥善保存账目，作为日后家庭理财的参考资料．
"
幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．
“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何
处，如今有各种传说．图１即洛书．数出图１中各处的圆圈和圆点个数，
并按照图１中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方 （图２）．
在这个幻方中，９个格中的数分别是１，２，３，４，５，６，７，８，９，每一
横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为１５．
8 3 4
1 5 9
6 7 2
图１ 图２ 图３
请将－４，－３，－２，－１，０，１，２，３，４这９个数分别填入图３的
幻方的９个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的
数的和都相等．
与同学交流一下，你们填这个幻方的方法相同吗？
５８ 第二章 有理数的运算
在把数的范围从非负有理数 （正有理数、０统称非负有理数）扩大到
有理数后，本章我们研究了有理数的运算，把非负有理数的加法、乘法
推广到有理数范围内，还研究了有理数的加法、乘法的逆运算———减法、
除法，从而将非负有理数系扩充成有理数系．从中你可以初步认识数系的
扩充过程，体会运算的一致性．
在研究有理数的运算时，一般要考虑两个方面：一是数是正数、负
数还是０；二是数的绝对值．实际上，与负数有关的运算，我们都借助绝
对值，将它们转化为正数之间的运算．数轴不仅能直观表示数，而且能帮
助我们理解数的运算，这可以进一步培养我们运用图形直观描述和分析
问题的意识和习惯．在运算的过程中，数形结合、转化是很重要的思想
方法．
在有理数系中，有理数的和、差、积、商 （除数不为０）仍然是有理
数．有理数的四则运算法则可以表示为如下形式：
犿 狆 犿狇±狀狆
（１） ± ＝ ；
狀 狇 狀狇
第二章 有理数的运算 ５９犿 狆 犿狆
（２） × ＝ ；
狀 狇 狀狇
犿 狆 犿狇
（３） ÷ ＝ （狆≠０）．
狀 狇 狀狆
其中，犿，狀，狆，狇均为整数，狀，狇均不为０．
我们从具体数的加法和乘法运算中，归纳出了交换律、结合律和分
配律等运算律．运算律不仅能给数的运算带来方便，而且还是今后研究代
数问题 （如解方程、不等式等）的基础．在后续学习中，你将会进一步体
会到运算律的作用．有理数运算的学习，可以进一步提升我们根据运算法
则和运算律进行运算的能力，并促进数学推理能力的发展．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明如何借助绝对值，把与负数有关的运算转化为正数之间
的运算．
２．数轴可以帮助我们直观理解有理数的加法、减法运算，请举例说明．
３．数系的扩充给数的运算带来了新的变化．例如，对于减法，在引
进负数之前，被减数不能小于减数，而在有理数范围内，任意两个有理
数总能进行减法运算．对于有理数的除法，你有什么体会？
４．有理数的加法与减法、乘法与除法各有什么关系？有理数的混合
运算都能转化为加法与乘法运算吗？
５．有理数有哪些运算律？结合例子说明运算律在有理数运算中的
作用．
６．什么是有理数的乘方？对于有理数的混合运算，应按什么顺序
进行？
７．学习了有理数的运算，可以进一步认识有理数．谈谈你对有理数
狆
就是形如 （狆，狇为整数，狇≠０）的数的理解．
狇
８．联系第一章有理数的学习，请你梳理从非负有理数系扩充到有理
数系的过程，并谈谈对数系扩充的认识．
６０ 第二章 有理数的运算
１．计算：
（１）－１５０＋２５０； （２）－１５＋（－２３）； （３）－５－６５；
（ ）
１
（４）－２６－（－１５）； （５）（－６）×（－１６）； （６） － ×２７；
３
（ ）
（ ） （ ）
２ ３ ４
（７）８÷（－１６）； （８）（－２５）÷ － ； （９） － ÷ － ．
３ ４ ５
２．计算：
（ ）
１
（１）６＋ － －２－（－１．５）；
５
（２）（－０．０２）×（－２０）×（－５）×４．５；
（ ）
１
（３）（－６．５）×（－２）÷ － ÷（－５）；
３
（４）（－６６）×４－（－２．５）÷（－０．１）；
（５）（－２） ２×５－（－２） ３÷４；
（６）－（３－５）＋３２×（１－３）．
３．互为相反数的两个数的和是多少？互为倒数的两个数的积是多少？
４．用科学记数法表示下列各数：
（１）１００００００００； （２）４５０００００； （３）６９２４００００００００．
５．用四舍五入法对下列各数取近似数：
（１）２４５．６３５（精确到０．１）； （２）１７５．６５（精确到个位）；
（３）１２．００４（精确到百分位）； （４）６．５３７８（精确到０．０１）．
６．计算：
（１）－２－ －３ ； （２） －２－（－３）．
７．红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分为４∶２；蓝
队胜黄队，比分为３∶１；红队负蓝队，比分为２∶３．如果进球数记为正，失球
数记为负，那么三队的净胜球数各是多少？
８．下列各数是十名学生的数学检测成绩：
８２，８３，７８，６６，９５，７５，６１，９３，８２，８１．
第二章 有理数的运算 ６１先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估值
能力．
９．某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示 （记盈余为正，单位：元）．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
－２７．８ －７０．３ ２００ １３８．１ －８ １８８ ４５８
表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六
是盈利还是亏损，金额是多少．
１０．巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先向东走了７ｋｍ，又向
东走了３ｋｍ，然后折返向西走了１１．５ｋｍ，此时他在驻地的什么方向？与驻地
的距离是多少千米？
１１．在０～４０℃范围内，当温度每上升１℃时，某种金属丝约伸长０．００２ｍｍ；反
之，当温度每下降１℃时，金属丝约缩短０．００２ｍｍ．把２０℃的这种金属丝加
热到３０℃，再使它冷却降温到５℃，金属丝的长度经历了怎样的变化？最后的
长度比原长度约伸长多少毫米？
１２．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，１个天文单位是地球与太阳之
间的平均距离，约为１．４９６亿千米．试用科学记数法表示１个天文单位是多少
千米．
１３．结合具体的数的运算，通过特例进行归纳，然后比较下列数的大小：
（１）小于１的正数犪，犪的平方，犪的立方；
（２）大于－１的负数犫，犫的平方，犫的立方．
１４．结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法是否正确．如果认为正
确，请说明理由；如果认为错误，请举出反例．
（１）任何数都不等于它的相反数；
（２）互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等；
（３）如果犪大于犫，那么犪的倒数小于犫的倒数．
１５．用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：
１×１＝ ； １１×１１＝ ；
１１１×１１１＝ ； １１１１×１１１１＝ ．
（１）你发现了什么？
（２）不用计算器，你能直接写出１１１１１１１１１×１１１１１１１１１的结果吗？
６２ 第二章 有理数的运算综合与实践
进位制的认识与探究
你还记得自己最早学习加法时的情景吗？是
不是把双手一伸，掰着手指计算的？手指是世界
上最古老的 “计算器”，这种掰手指算数的方式，
与目前使用最广泛的 “十进制记数法”密切相关．
而计算机使用的 “二进制记数法”，同样具有划时
代的意义．
两种不同进位制的意义分别是什么？为什么
会有不同的进位制？不同进位制的数之间能否互相转换？如何转换？二进制数
之间能否进行运算？如何运算？是否还有其他进位制？让我们带着这些问题一
起来探究进位制．
认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换以及进制数的加法运算，挖
掘古代灿烂文明和现代科学技术的联系．
查阅相关资料，初步了解二进制；查找第十四届国际数学教育大会
（ＩＣＭＥ１４）标识及其介绍．
认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是
十进制，逢二进一就是二进制．也就是说， “逢几进一”就是几进制，几进制
的基数就是几．
在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用０～９十个数字记
数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示
综合与实践 进位制的认识与探究 ６３几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、
千位……．例如，十进制数３７２１中的３表示３个千，７表示７个百，２表示２
个十，１表示１个一，于是我们得到下面的式子：
３７２１＝３×１０３＋７×１０２＋２×１０１＋１×１００． 规定当犪≠０时，
可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基 犪０＝１．
数的幂的乘积之和的形式．
任务１ 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为０或１．请把二进制数
１０１１表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进
制数．
说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，（１０１１）
２
就是二进制数１０１１的简单写法．十进制数一般不标注基数．
任务２ 把８９转换为二进制数和八进制数．
提示：转换为二进制数时，把８９表示成０或１与基数２的幂的乘积之和的
形式；转换为八进制数时，把８９表示成０，１，２，３，４，５，６或７与基数８的
幂的乘积之和的形式．
任务３ 通过研究二进制数及十进制数之间的转换，你有哪些发现？进一
步地，你能进行其他不同进制数之间的转换吗？
探究进制数的加法运算
二进制只用０和１两个数字，这正好与电路的断和通两种状态相对应，因
此计算机内部都使用二进制．计算机在进行数 （十进制）的运算时，先把接收
到的数转换为二进制数进行运算，再把运算结果转换为十进制数，并输出结果．
任务１ 查阅资料，分析计算机运算选择二进制的原因，从多个角度分析
选择二进制的优越性．
任务２ 小组合作，研究二进制数的加法运算法则，并填写表１中的活动
记录单．
表１ 活动记录单
加数 ０ ０ １ １
加数 ０ １ ０ １
和
６４ 综合与实践 进位制的认识与探究（１）根据上面的加法运算法则，计算 （１００１０）＋（１１１），并交流一下计算
２ ２
方法．
（２）① 计算４５＋２３；
② 把４５，２３分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它
们的和，再把和转换为十进制数；
③ 比较①②的计算结果是否相同．
任务３ 计算机的存储容量是指存储器能存放二进制代码的总位数，用于
计量存储容量的基本单位是字节 （ｂｙｔｅ）．请研究手机、计算机等电子存储设备
的容量以及它们存储的一些电子文件的大小，它们通常以什么单位表示？这些
单位之间有什么关系？
任务４ 古人在研究天文、历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十
进制记数法．至今，我们仍然使用一星期７天、一年１２个月、一小时６０分钟
的记时方法．结合角度、时间等实际问题，分小组讨论一下六十进制数的加法
运算法则．
任选下列主题之一进行研究
１．国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、
规模最大的学术盛会，每四年一届．ＩＣＭＥ１４于２０２１年
在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．
大会标识 （图１）中蕴含着很多数学文化元素，以中国
传统文化中 “洛书”与 “河图”为原本，并将其与我国 图１
古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精
深．其中八卦符号 （图２）可以用于记数，请探究这个
符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．
图２
提示：八卦中 称为阳爻， 称为阴爻，每卦均由三个阳爻或
阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字１，阴爻对应数字
０，这样，图２中从左起第一个符号表示的二进制数为 （０１１）．
２
大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为八进制数
综合与实践 进位制的认识与探究 ６５得到一个四位数；将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转换为
十进制数．
２．除了十进制、二进制、八进制等记数法，日常生活中还经常使用其他
进位制，如十二进制、六十进制等．结合上述学习，写一篇与进位制有关的文
章，包括进位制的意义及其运算，不同进位制的特点、适用范围及互相转
换等．
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．
６６ 综合与实践 进位制的认识与探究附：综合与实践活动研究报告的参考形式
报告主题：
年级 班 组 报告时间：
１．活动名称
２．研究小组成员与分工
３．选题的意义
４．研究方案
５．研究过程
６．研究成果
７．收获与体会
８．对此研究报告的评价 （由评价小组或教师填写）
综合与实践 进位制的认识与探究 ６７第三章 代数式
在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示
数和数量关系，这样的式子在数学中有重要作用，并在解决实际问题中有着广
泛的应用．看下面的问题．
智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器
人平均每秒可以完成５ｍ２ 范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，
它的一个机械手平均８ｓ可以采摘一个苹果．根据这些数据回答下列问题：
（１）该机器人１０ｓ能识别多大范围内的苹果？６０ｓ呢？狋ｓ呢？
（２）该机器人识别狀ｍ２ 范围内的苹果需要多少秒？
（３）若该机器人搭载了犿个机械手 （犿＞１），它与采摘工人同时工作１ｈ，
已知工人平均５ｓ可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？
回答上面的问题，要用到含有字母的式子，即本章将要研究的代数式．通
过对本章的学习，你将进一步体会到代数式可以简明地表示数量和数量关系，
为后续学习方程、不等式、函数等打下基础．
书书书３．１ 列代数式表示数量关系
实际问题中包含着一些数量和数量关系，可以用数学式
子简明地表达．
先来看本章引言中的问题，其中包含三个量：工作量、工作效率和工作时
间，它们之间的关系为
工作量＝工作效率×工作时间．
对于问题 （１），该机器人１０ｓ能识别的范围 （单位：ｍ２ ）是
５×１０＝５０；
６０ｓ能识别的范围 （单位：ｍ２ ）是
在含有字母的式子
５×６０＝３００； 中如果出现乘号，通常
狋ｓ能识别的范围 （单位：ｍ２ ）是 将数放在字母前，乘号
写作 “·”或省略不写．
５×狋＝５狋．
例如，５×狋可以写成
观察上面的式子，可以看出５×１０，５×６０表
５·狋或５狋．
示机器人在两个具体时间内完成的工作量，含有字
母狋的式子５狋表示机器人在任意时间狋内完成的工作量．用字母代替数使我们
的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性．
狀
对于问题 （２），该机器人识别狀ｍ２ 范围内的苹果需要的时间是 ｓ．
５
对于问题 （３），
机器人多采摘的苹果个数
＝机器人采摘的苹果个数－工人采摘的苹果个数
＝一个机械手的采摘效率×工作时间×机械手的个数－工人的采摘效率×
工作时间
１ １
＝ ×３６００×犿－ ×３６００
８ ５
＝４５０犿－７２０．
下面，再来看两个用含有字母的式子表示数量和数量关系的问题．
（１）某工程队负责铺设一条长２ｋｍ的地下管道，经过犱天完成，用式子
第三章 代数式 ６９表示这支工程队平均每天铺设的管道长度．
（２）一个正方形的边长是犪，这个正方形的周长犾是多少？面积犛呢？
对于问题 （１），平均每天铺设的管道长度＝铺
设的管道总长度÷工作天数．因此，这支工程队平
相同字母相乘，可
２ 以写成幂的形式，例如，
均每天铺设的管道长度是 ｋｍ．
犱 犪·犪写成犪２．
对于问题 （２），由正方形的周长及面积公式，
可得周长犾＝４犪，面积犛＝犪２．
狀
上述问题中列出的式子５狋， ，４５０犿－７２０，
５
这里的运算包括加、
２
犱
，４犪，犪２ ，它们都是用运算符号把数或表示数的
减、乘、除、乘方、开
字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 方．开方将在以后学习．
（ａｌｇｅｂｒａｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）．
单独的一个数或字母也是代数式，例如，５，狋都是代数式．
例１ （１）苹果原价是狆元／ｋｇ，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹
果的售价；
（２）一个长方形的长是０．９ｍ，宽是狆ｍ，用代数式表示这个长方形的面积；
（３）某产品前年的产量是狀件，去年的产量比前年产量的２倍少１０件，
用代数式表示去年的产量；
（４）一个长方体水池底面的长和宽都是犪ｍ，高是犺ｍ，池内水的体积占
水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积．
解：（１）苹果的售价是０．９狆元／ｋｇ；
（２）这个长方形的面积是０．９狆ｍ２ ；
（３）去年的产量是 （２狀－１０）件；
（４）由长方体的体积＝长×宽×高，得这个长方体水池的容积是犪·犪·
１
犺ｍ３ ，即犪２犺ｍ３ ，故池内水的体积为 犪２犺ｍ３．
３
用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关
系．例如，在例１第 （１）（２）题中，０．９狆既可以表示苹果的售价，也可以表
示长方形的面积．你能再举出一个例子吗？
７０ 第三章 代数式例２ 说出下列代数式的意义：
犮
（１）２犪＋３； （２）２（犪＋３）； （３） ； （４）狓２＋２狓＋８．
犪犫
解：（１）２犪＋３的意义是犪的２倍与３的和；
（２）２（犪＋３）的意义是犪与３的和的２倍；
举例说明２犪＋３，
犮 ２（犪＋３）所表示的实际
（３） 的意义是犮除以犪，犫的积的商；
犪犫 问题中的数量关系．
（４）狓２＋２狓＋８的意义是狓的平方，狓的２倍，
与８的和．
１．填空题．
（１）每包书有１０册，６包书有 册，狀包书有 册；
（２）王芳今年犿岁，她去年 岁，６年后 岁；
（３）将狆ｋｇ糖装入狀个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋装入糖 ｋｇ；
（４）棱长为犪的正方体的体积是 ．
２．说出下列代数式的意义：
３犪
（１）２犪＋３犮； （２）３（犿－狀）； （３）犪２＋１； （４） ．
５犫
３．代数式１００－２狓可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明．
在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含
有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式．
如何用代数式表示犪，犫两数的和与差的积？
可以按下面的步骤列代数式：
在本套书中，如无
+
特别说明，犪，犫两数的
+/
差，犪与犫的差，都指
+
“犪－犫”．
第三章 代数式 ７１所以犪，犫两数的和与差的积为（犪＋犫）（犪－犫）．
例３ 用代数式表示：
（１）购买２个单价为犪元的面包和３瓶单价为犫元的饮料所需的钱数．
（２）把犪元钱存入银行，存期３年，年利率为２．７５％，到期时的利息是多
少元？
（３）某商品的进价为狓元，先按进价的１．１倍标价，后又降价８０元出售，
现在的售价是多少元？
分析： （１）总钱数＝２个面包的总价＋３瓶饮料的总价； （２）利息＝本
金×年利率×存期；（３）现在的售价＝原来的标价－降价数．
解：（１）购买２个单价为犪元的面包和３瓶单价为犫元的饮料所需的钱数
为 （２犪＋３犫）元．
（２）根据题意，得犪×２．７５％×３＝８．２５％犪，因此到期时的利息为
８．２５％犪元．
（３）现在的售价为 （１．１狓－８０）元．
例４ 甲、乙两地之间公路全长２４０ｋｍ，汽车从甲地开往乙地，行驶速度
为狏ｋｍ／ｈ．
（１）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？
（２）如果汽车的行驶速度增加３ｋｍ／ｈ，那么汽车从甲地到乙地需要行驶
多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？
分析：本题包含路程、速度和时间三个量，它们之间具有关系：时间＝
路程
．另外，早到的时间＝原来需要行驶的时间－加快速度后需要行驶的时间．
速度
２４０
解：（１）汽车从甲地到乙地需要行驶 ｈ．
狏
（２）如果汽车的行驶速度增加３ｋｍ／ｈ，那么汽车从甲地到乙地需要行驶
２４０ （２４０ ２４０）
ｈ．汽车加快速度后可以早到 － ｈ．
狏＋３ 狏 狏＋３
从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从
而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性．
７２ 第三章 代数式
１．用代数式表示：
（１）比犪的２倍大１的数；
（２）犪的相反数与犫的一半的差；
（３）犪的平方除以犫的商．
２．某种商品每袋４．８元，一个月内销售了犿袋．用代数式表示这个月内
销售这种商品的收入．
３．有两块棉田，一块面积为犿ｈｍ２ （公顷，１ｈｍ２＝１０４ｍ２ ），平均每公顷
产棉花犪ｋｇ；另一块面积为狀ｈｍ２ ，平均每公顷产棉花犫ｋｇ．用代数式
表示两块棉田的棉花总产量．
４．在一个大正方形铁皮中挖去一个小正方形铁皮，大正方形的边长是
犪ｍｍ，小正方形的边长是犫ｍｍ．用代数式表示剩余铁皮的面积．
再来看本章引言中的问题 （１）．机器人狋ｓ能识别的范围是５狋ｍ２ ，也就是
说，机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的 （等于５）．因此机器人
能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系．
一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正
比例的量，它们成正比例关系．下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作
时间与工作效率之间的关系．先看一个实际问题．
问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．
在冬季奥运会前，某赛场计划造雪２６００００ｍ３．解答下列问题：
（１）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表３．１１．
表３１１
每天造雪量／ｍ３ ５０００ ５２００ ６５００ …
造雪天数 …
（２）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么
关系？
第三章 代数式 ７３此问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数，根据它们之间的
关系
造雪总量
造雪天数＝ ，
每天造雪量
２６００００
每天造雪量为５０００ｍ３ 时，造雪天数为 ＝５２；每天造雪量为５２００ｍ３
５０００
２６００００ ２６００００
时，造雪天数为 ＝５０；每天造雪量为６５００ｍ３ 时，造雪天数为 ＝
５２００ ６５００
４０．因此，表３．１１中依次填５２，５０，４０．
可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天
造雪量的乘积一定，总是２６００００．例如，５０００×５２＝５２００×５０＝６５００×４０＝
２６００００．
像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个
量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例
关系．
如果用字母狓和狔表示两个相关联的量，用犽表示它们的积 （犽是一个确
定的值，且犽≠０），反比例关系可以用狓狔＝犽来表示．
例５ 如图３．１１，四个圆柱形容器内部的底面
积分别为１０ｃｍ２ ，２０ｃｍ２ ，３０ｃｍ２ ，６０ｃｍ２．分别往
这四个容器中注入３００ｃｍ３ 的水．
（１）四个容器中水的高度分别是多少厘米？
（２）分别用狓（单位：ｃｍ２ ）和狔（单位：ｃｍ）
表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示狔
图３．１１
与狓的关系，狔与狓成什么比例关系？
分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆
圆柱的体积
柱的体积＝底面积×高，高＝ ．
底面积
解：（１）四个容器中水的高度分别为
３００ ３００ ３００ ３００
＝３０（ｃｍ）， ＝１５（ｃｍ）， ＝１０ （ｃｍ）， ＝５ （ｃｍ）．
１０ ２０ ３０ ６０
（２）狓狔＝３００．狔与狓成反比例关系．
７４ 第三章 代数式
生活中，成反比例关系的例子是很常见的．例如，在购买某种物品
时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系．你还能举出一些
例子吗？
１．如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反
比例关系？为什么？
２．判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：
（１）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱
的质量；
（２）长方体的体积一定，长方体的底面积与高；
（３）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用．
３．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的
关系如下表所示．
每天运输的吨数 ５００ ２５０ １００ ５０ …
运输的天数 １ ２ ５ １０ …
（１）这批货物共有多少吨？
（２）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？
（３）用狋表示运输的天数，用犪表示每天运输的吨数，用式子表示狋与
犪的关系．狋与犪成什么比例关系？
１．用代数式表示：
２
（１）犿的２倍； （２）狀的 ；
３
（３）比狓的２倍少１的数； （４）犪的立方除以犫的商．
第三章 代数式 ７５２．说出下列代数式的意义：
狀＋１
（１）３狓＋６； （２）５（犿－２）； （３）犪２＋犫２ ； （４） ．
狀－１
３．用代数式表示：
（１）棱长为犪的正方体的表面积．
（２）位于江苏省常州市金坛区的华罗庚纪念馆目前累计接待中外参观者犪万
人，预计今后每年平均接待参观者犫万人，犮年后累计接待的总人数为多
少万人？
?
?
（３）设某银行一年定期存款的利率是１．５％，存入犪元钱，一年后得到的利息
是多少元？本息和 （存入的钱与利息的和）是多少元？
（４）甲、乙两地相距狊ｋｍ．李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时狋ｈ；后因
天气原因，改乘公交车前往，结果提前１ｈ到达乙地．公交车的速度是
多少？
４．判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：
（１）２００名同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与
排数；
（２）三角形的面积是６ｃｍ２ ，它的一条边的长与这条边上的高；
（３）张华每小时可以制作１２０朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间．
５．糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数
和总袋数如下表所示．
每袋装的颗数 １０ １２ １８ ２０ ２４ …
总袋数 ３６０ ３００ ２００ １８０ １５０ …
（１）这批水果糖共有多少颗？
（２）总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？
７６ 第三章 代数式（３）用狀表示总袋数，犿表示每袋装的颗数，用式子表示狀与犿的关系．狀与
犿成什么比例关系？
６． （１）如图，一个手工串珠作品由５颗红色珠子与５颗黑色珠
子串成，红色珠子每颗犪元，黑色珠子每颗犫元，购买
这些珠子共花费 元．
（２）甲、乙两车间生产同一种化工产品，甲车间每天生产
犪ｔ，乙车间每天生产犫ｔ．两车间各生产５天，一共生 （第６（１）题）
产 ｔ化工产品．
观察你所列的代数式，再举出一个用它表示数量或数量关系的例子．
７．说出下列各组代数式的意义有什么不同，并举例说明它们表示的实际问题中
的数量关系：
１ １
（１）２犿－１与２（犿－１）； （２） 犪与 ＋犪．
２ ２
８．观察一组数：５，１０，１５，２０，２５，…．
（１）你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用文字描述这组数可能的排
列规律．
（２）根据 （１）中的规律，用代数式表示第狀个数．
９．甲、乙、丙３名同学阅读同一本书，丙的阅读时间最长．
（１）甲读完这本书用了１４天，每天读１８页．乙读完这本书用了２１天，每天
读多少页？丙读完这本书用了狓天，每天读多少页？他们读的天数和每
天读的页数之间有什么关系？
（２）两星期内，照这样的速度阅读狋天，他们各读了多少页？还剩多少页？已
读的页数和剩下的页数成反比例关系吗？为什么？
１０． （１）设狀表示任意一个整数，用含狀的代数式表示任意一个偶数及任意一个
奇数；
（２）一个三位数的个位上的数字为犪，十位上的数字为犫，百位上的数字为
犮，用含犪，犫，犮的代数式表示这个三位数．
１１．３支球队进行单循环比赛 （每两队之间都比赛一场），总的比赛场数是多少？
４支球队呢？５支球队呢？狀支球队呢？
第三章 代数式 ７７
数字１与字母Ｘ的对话
１：数学的产生从数开始，数是数学世界的主人．
Ｘ：我是字母，我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种
各样的数，可以代表你１，也可以代表其他数．
１：由我们数组成的式子有确切的大小．例如，人们一见到
１＋２就知道是１与２的和，即３．你们字母能做到吗？
Ｘ：含有我们字母的式子进行运算和推理时具有一般性．例
如，狓＋狔可以表示任何两个数的和，包括１＋２；狓＋狔＝狔＋狓
能表示任何两个数相加时都可以交换顺序，即加法满足交换律．
１：人们解决实际问题时，需要根据已知的具体的数进行计算，进而求得结
果．字母能发挥什么作用呢？
Ｘ：在解决实际问题时，用字母表示未知数，把字母列入算式 （方程），能
更方便地表示数量关系．数和字母一起运算使问题的解法更简单．
１：人们经过长期实践创造出了数，并建立了专门研究数及其运算的数学分
支———算术．有专门研究字母的数学分支吗？
Ｘ：随着实践的发展，人们发现只有算术还不够，用字母表示数会起到更
大的作用，于是产生了代数这一数学分支．它首先研究的就是用字母表示的式
子的运算法则和方程的解法．从算术发展到代数是数学的一大进步．
１：算术几乎是伴随着人类社会活动的产生和发展而逐渐形成的，它有着非
常悠久的历史，代数有怎样的历史呢？
Ｘ：代数的历史可以追溯到约３８００年前的古埃及和古巴比伦时期，那时就
有代数思想的萌芽．中国的 《九章算术》中的 “方程”是古典代数学研究的核
心内容．３世纪，代数在希腊获得显著的发展，其代表人
物是被誉为代数学鼻祖的丢番图 （活动于２５０年前后）．
之后，印度的代数发展得很快．同时，阿拉伯地区的代
数研究也取得很大进展，其中著名的代表作是数学家花
拉子米 （约７８０—约８５０）于８２０年左右发表的 《代数
学》，这本书第一次提出了这门学科的名称．
７８ 第三章 代数式３．２ 代数式的值
在解决具体问题时，列出代数式后，往往还需要求出所
需的数值．
看下面的问题．
问题 为了开展体育活动，学校要购置一批排球，每班配５个，学校另外
留２０个．学校总共需要购置多少个排球？
记全校的班级数是狀，则需要购置的排球总数是
５狀＋２０．
如果班级数是１５，用１５代替字母狀，那么需要购置的排球总数是
５狀＋２０＝５×１５＋２０＝９５．
如果班级数是２０，用２０代替字母狀，那么需要购置的排球总数是
５狀＋２０＝５×２０＋２０＝１２０．
一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出
的结果，叫作代数式的值．当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同．
例１ 根据下列狓，狔的值，分别求代数式２狓＋３狔的值：
１
（１）狓＝１５，狔＝１２； （２）狓＝１，狔＝ ．
２
解：（１）当狓＝１５，狔＝１２时，
２狓＋３狔＝２×１５＋３×１２＝６６；
１
（２）当狓＝１，狔＝ 时，
２
１ ７
２狓＋３狔＝２×１＋３× ＝ ．
２ ２
犫
例２ 根据下列犪，犫的值，分别求代数式犪２－ 的值：
犪
（１）犪＝４，犫＝１２； （２）犪＝－３，犫＝２．
解：（１）当犪＝４，犫＝１２时，
犫 １２
犪２－ ＝４２－ ＝１３；
犪 ４
第三章 代数式 ７９（２）当犪＝－３，犫＝２时，
犫 ２ ２９
犪２－ ＝（－３） ２－ ＝ ．
犪 －３ ３
１．填图：
a 2U3a
4 U10
0
2
U
3
U3
２．根据下列狓，狔的值，分别求代数式狓２＋２狓狔＋狔２ 的值：
１
（１）狓＝２，狔＝－３； （２）狓＝ ，狔＝－４．
２
３．一辆汽车从甲地出发，行驶３．５ｋｍ后，又以狏ｋｍ／ｈ的速度行驶了狋ｈ，求
这辆汽车行驶的全部路程．如果狏＝５６，狋＝０．５，求汽车行驶的全部路程．
有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述．例如，在行程问题
中，用狊表示路程，狏表示速度，狋表示时间，就可以得到路程公式狊＝狏狋，它
表示了路程、速度、时间这三个量之间的关系．知道狏，狋的值，就可以利用公
式求出狊的值．在小学，我们学习过许多公式，如长方形、正方形、三角形、
梯形、圆等图形的面积公式，长方体、正方体等图形的体积公式，等等．在解
决有关问题时，经常用这些公式进行计算．
例３ 如图３．２１，某学校操场最内侧的跑道由两段
直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为犪，半
b
圆形弯道的直径为犫．
a
（１）用代数式表示这条跑道的周长；
图３．２１
（２）当犪＝６７．３ｍ，犫＝５２．６ｍ时，求这条跑道的
周长 （π取３．１４，结果取整数）．
分析：跑道的周长是两段直道和两段弯道的长度和．由圆的周长公式可以
８０ 第三章 代数式求出弯道的长度．
解：（１）两段直道的长为２犪；两段弯道组成一个圆，它的直径为犫，周长
为π犫．因此，这条跑道的周长为２犪＋π犫．
（２）当犪＝６７．３ｍ，犫＝５２．６ｍ时，
２犪＋π犫＝２×６７．３＋３．１４×５２．６≈３００ （ｍ）．
因此，这条跑道的周长约为３００ｍ．
例４ 一个三角尺的形状和尺寸如图３．２２所示，用代数式表示这个三角尺的
面积犛．当犪＝１０ｃｍ，犫＝１７．３ｃｍ，狉＝２ｃｍ时，求这个三角尺的面积 （π取３．１４）．
分析：三角尺的面积＝三角形的面积－圆的面积．
根据三角形、圆的面积公式可以求出三角尺的面积．
a
r
１
解：三角形的面积为 犪犫，圆的面积为π狉２ ，这个
２
b
１ 图３．２２
三角尺的面积 （单位：ｃｍ２ ）犛＝ 犪犫－π狉２．
２
当犪＝１０ｃｍ，犫＝１７．３ｃｍ，狉＝２ｃｍ时，
１
犛＝ ×１０×１７．３－３．１４×２２＝７３．９４ （ｃｍ２ ）．
２
因此，这个三角尺的面积是７３．９４ｃｍ２．
１．填空题．
（１）若犪，犫分别表示平行四边形的底和高，则面积犛＝ ；当犪＝
２ｃｍ，犫＝３ｃｍ时，犛＝ ｃｍ２．
（２）若犪，犫分别表示梯形的上底和下底，犺表示梯形的高，则面积
犛＝ ；当犪＝２ｃｍ，犫＝４ｃｍ，犺＝５ｃｍ时，犛＝ ｃｍ２．
２．一个长方体纸箱的长是犪，宽与高都是犫，用代数式
表示这个纸箱的体积犞．当犪＝６０ｃｍ，犫＝４０ｃｍ时，
r
求这个纸箱的体积．
３．如图，用代数式表示圆环的面积．当犚＝１５ｃｍ，狉＝ R
１０ｃｍ时，求圆环的面积 （π取３．１４）． （第３题）
第三章 代数式 ８１
１．填空题．
（１）当犪＝－１时，代数式２－犪的值是 ；
１
（２）当犫＝－ 时，代数式１－犫２ 的值是 ．
２
２．已知犪＝１２，犫＝－１８，求下表中代数式的值．
犪 犫
代数式 犪＋犫 犪－犫 犪犫
犫 犪
代数式的值
３．根据下列犪，犫的值，分别求代数式犪２＋犫２ 与 （犪＋犫）
２
的值：
（１）犪＝３，犫＝－２； （２）犪＝－３，犫＝２．
４．求下列代数式的值：
狀２＋１ １
（１） ，其中狀＝４； （２）（犪－犮） ２＋ 犫，其中犪＝７，犫＝３，犮＝５．
狀－１ ４
１
５．已知圆锥的体积犞＝ π狉２犺，其中狉为底面半径，犺为圆锥的高．当狉＝
３
１５ｃｍ，犺＝１６ｃｍ时，求圆锥的体积 （π取３．１４）．
６．一段钢管的形状和尺寸如图所示．如果大圆的半径是犚，
小圆的半径是狉，钢管的长度是犪，用代数式表示这段钢 r
R
管的体积犞．当犚＝３０ｍｍ，狉＝１５ｍｍ，犪＝１２０ｍｍ
a
时，求这段钢管的体积 （π取３．１４）． （第６题）
７．Ａ，Ｂ两地相距狊ｋｍ，甲、乙两人驾车分别以犪ｋｍ／ｈ，犫ｋｍ／ｈ的速度从Ａ
地到Ｂ地，且甲用的时间较少．
（１）用代数式表示甲比乙少用的时间；
（２）当狊＝１８０，犪＝７２，犫＝６０时，求 （１）中代数式的值，并说明这个值表
示的实际意义．
８．摄氏温标与华氏温标是两种计量温度的标准，它们分别用摄氏度和华氏度 （）
来计量温度，二者可以互相转换．请你查阅有关资料，解决下列问题：
（１）将２５℃转换成华氏度；（２）将－４转换成摄氏度．
８２ 第三章 代数式
" #
（１）如图１，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含
有２，３或４个三角形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有狀个三
角形，需要多少根火柴棍？
图１
（２）如图２，用相同的小正方形拼大正方形，拼第１个正方形需要４
个小正方形，拼第２个正方形需要９个小正方形……．拼一拼，想一想，
按照这样的方法拼成的第狀个正方形比第 （狀－１）个正方形多几个小正
方形？
第１个正方形 第２个正方形 第３个正方形
图２
" -+
密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它
与数学有密切关系．例如，对于密文 “Ｌｄｐｄｖｗｘｇｈｑｗ”，
如果给一把破译它的 “钥匙”狓－３，联想英语字母表中字
x-3
母的顺序：
ａｂｃｄｅｆｇｈｉｊｋｌｍｎｏｐｑｒｓｔｕｖｗｘｙｚ
如果规定ａ又接在ｚ的后面，使２６个字母排成圈，并能想
到狓－３可以代表 “把一个字母换成字母表中从它向前移动
第三章 代数式 ８３３位的字母”，按这个规律就有
Ｌｄｐｄｖｗｘｇｈｑｗ→Ｉａｍａｓｔｕｄｅｎｔ．
这样就能把密文 “Ｌｄｐｄｖｗｘｇｈｑｗ”破译成明文 “Ｉａｍａｓｔｕｄｅｎｔ”，从而
解读出密文的意思了．
请你研究以下问题：
（１）将２６个英文字母ａ，ｂ，ｃ，…，ｚ依次对应自然数１，２，３，…，
２６．对于密文 “２６ ２ １９ ７”，给出密文与明文之间的关系如下：
当密文中的数狓为奇数时，明文对应的序号为狓＋１；当密文中的数
狓
狓为偶数时，明文对应的序号为 ．
２
请将密文破译成用英文字母表示的明文．
（２）请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互
相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信．
８４ 第三章 代数式
在本章中，我们学习了代数式、列代数式及代数式的值．用字母表示
数，字母参与运算，就得到了代数式．代数式可以简明地表达现实世界中
的某些数量和数量关系，同时具有一般性，这给研究问题和计算带来方
便．这是数学史上的一个重大发展．
代数式的学习，能够使我们感悟符号的数学功能，认识符号表达的
现实意义．把现实世界中数量与数量关系抽象成代数式，能够使我们体会
到用符号表达数量关系和规律是数学表达和数学思考的重要形式，提升
抽象能力和推理能力．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．代数式可以简明地表示某些数量和数量关系，你能举例说明吗？
２．同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，你能
举例说明吗？
３．用代数式表示数量关系时，关键要弄清楚数量的意义及相互关系．
对此你有什么体会？
４．两个相关联的量何时满足反比例关系，你能举例说明吗？
５．在解决具体问题时，往往需要求代数式的值．求值时，要注意运
算符号与运算顺序，你能举例说明吗？
第三章 代数式 ８５
１．用代数式表示：
（１）比犪的３倍小４的数．
（２）犪的一半与犫的和的平方．
（３）我国自主研发的一种近防炮，每分钟可发射１００００发炮弹．近防炮狋ｍｉｎ
能发射多少发炮弹？
（４）购买狀件单价为犮元的商品要花多少元？若支付１０００元还有剩余，应找回
多少元？
２．用代数式表示：
（１）某地冬季一天的温差是１５℃，这天最低气温是狋℃，最高气温是多少？
（２）某种商品原价为每件犫元，第一次降价打八折，第二次降价每件又降１０元，
第一次降价后的售价是多少元？第二次降价后的售价是多少元？
（３）３０天中，李明的长跑路程累计达到４５０００ｍ，刘伟的长跑路程累计为犪ｍ，
李明和刘伟平均每天各跑多少米？若刘伟的累计长跑路程多于李明，则刘
伟平均每天比李明多跑多少米？
３． （１）若一个长方形的长为狆，宽为狇，则２（狆＋狇）表示什么？
（２）举两个例子说明代数式３犪＋２犫表示的实际问题中的数量关系．
４．用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为狓ｍ和狔ｍ．
（１）当绳子的长为１２ｍ时，用式子表示狔与狓的关系．
（２）当长方形的面积为１２ｍ２ 时，用式子表示狔与狓的关系．
（３）当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积
一定时呢？为什么？
５．根据下列犪，犫的值，分别求代数式犪２－犫２ 与 （犪－犫）
２
的值：
１
（１）犪＝－１，犫＝－３； （２）犪＝２，犫＝－ ．
２
６．礼堂第１排有犪个座位，后面每排都比前一排多１个座位．
（１）第２排有多少个座位？第３排呢？用代数式表示第狀排的座位数．
（２）当犪＝２０时，计算第１９排的座位数．
８６ 第三章 代数式A 4 D
B C
第三章 代数式
b
７．如图，正方形犃犅犆犇的边长为犪．
（１）根据图中数据，用含犪，犫的代数式表示阴影部分
的面积犛；
（２）当犪＝６，犫＝２时，求阴影部分的面积．
a
（第７题）
８．如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第狀个图
形需要多少枚棋子？
第１个 第２个 第３个
（第８题）
９．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，
一般是用竹签穿上山楂，再蘸上熔化的冰
糖液制作而成．
（１）若每根竹签穿５个山楂，穿狀串冰糖
葫芦需要多少个山楂？需要的山楂总
数与冰糖葫芦的串数成什么比例
关系？
（２）若用２００个山楂穿了犫串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫
芦的山楂个数是多少？每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成什么
比例关系？
（３）若有犪个山楂，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了犫串冰糖葫
芦，还剩余犮个山楂，则每串冰糖葫芦的山楂个数是多少？当犪＝１３０，犫＝
１６，犮＝２时，求每串冰糖葫芦的山楂个数．
８７第四章 整式的加减
港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大
桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为９６ｋｍ／ｈ，在海底隧道
和主桥上行驶的平均速度分别为７２ｋｍ／ｈ和９２ｋｍ／ｈ．请根据这些数据回答下
列问题：
（１）汽车在主桥上行驶狋ｈ的路程是多少千米？
（２）如果汽车通过海底隧道需要犪ｈ，从香港口岸行驶到东人工岛的时间
是通过海底隧道时间的１．２５倍，你能用含犪的代数式表示香港口岸到西人工
岛的全长吗？
（３）如果汽车通过主桥需要犫ｈ，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时
间少０．１５ｈ，你能用含犫的代数式表示主桥与海底隧道长度的和吗？主桥与海
底隧道的长度相差多少千米？
要解决上面的问题，需要进一步学习代数式．在本章中，我们将学习一类
基本的代数式———整式，以及整式的加减运算，并进一步学习列代数式表示数
量和数量关系，体会数与整式在加减运算中的一致性，为后续学习方程、不等
式、函数等内容打下基础．
第三章 代数式
４．１ 整式
代数式的类型多种多样，下面我们学习一类基本的代数
式———整式．
我们来看本章引言中的问题 （１）．
汽车在主桥上行驶的平均速度为９２ｋｍ／ｈ，根据路程、速度、时间之间的
关系：路程＝速度×时间，汽车在主桥上行驶狋ｈ的路程 （单位：ｋｍ）是
９２×狋＝９２狋．
我们来看９２狋和上一章中遇到过的一些代数式
１
犪２ ，０．９狆， 犪２犺，
３
这些代数式有什么共同特点？
这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式 （ｍｏｎｏｍｉａｌ）．
单独的一个数或一个字母也是单项式，例如，－６，狓都是单项式．
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．例如，单项式９２狋，犪２ ，
１ １
０．９狆， 犪２犺的系数分别是９２，１，０．９， ．单项式表示数与字母相乘时，通
３ ３
常把数写在前面，如９２狋． 单项式的系数是１或－１时，１通常省略不写，如
犪３ ，－狓．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．如果一个单
项式的次数是狀，那么称这个单项式是狀次单项式．例如，在单项式９２狋中，
１
字母狋的指数是１，９２狋的次数就是１，它是一次单项式；在单项式 犪２犺中，
３
１
字母犪与犺的指数的和是３， 犪２犺的次数就是３，它是三次单项式．
３
对于一个非零的数，规定它的次数为０．
第四章 整式的加减 ８９例１ 用单项式填空，并指出它们的系数和次数．
（１）若三角形的一条边长为犪，这条边上的高为犺，则这个三角形的面积
为 ．
（２）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为狓ｃｍ，狔ｃｍ，狕ｃｍ，则这个长方
体包装盒的体积为 ｃｍ３．
（３）有理数狀的相反数是 ．
（４）《北京２０２２年冬奥会———冰上运动》是为了纪念北京２０２２年冬奥会
冰上运动发行的邮票．邮票１套共５枚，价格为６元，其中一种版式为一张１０
枚 （２套），如图４．１１所示．某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了犿张这
种版式的邮票作为奖品，共花费 元．
图４．１１
（５）《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高
之比为３∶２，有五种通用尺度 （尺寸规格）．若一种尺度的国旗的长为犪ｃｍ，
则这种尺度的国旗旗面的面积为 ｃｍ２．
１ １
解：（１） 犪犺，它的系数是 ，次数是２．
２ ２
（２）狓狔狕，它的系数是１，次数是３．
（３）－狀，它的系数是－１，次数是１．
（４）１２犿，它的系数是１２，次数是１．
２ ２
（５） 犪２ ，它的系数是 ，次数是２．
３ ３
９０ 第四章 整式的加减
１．填表：
２狏狋
单项式 ２犪２ －１．２犺 狓狔２ －狋２ －
３
系数
次数
２．用单项式填空，并指出它们的系数和次数．
（１）国家速滑馆 “冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制
冰系统，不仅安全，而且绿色环保．如果使用传统制冷剂，同等用
量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的３９８５倍．若使用一批二氧化
碳制冷剂的碳排放量为犿ｔ，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量
为 ｔ．
（２）某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促
销．若每售出一件这种商品获利犿元，则售出狀
件这种商品共获利 元． r
（３）测量降水量的基本仪器是雨量器．如图，一个雨量
h
器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半径为狉，
高为犺，则这个集雨斗的容积为 ． （第２（３）题）
在上一章中，我们还遇到一些代数式
１
２狀－１０，狓２＋２狓＋８，２犪＋３犫， 犪犫－π狉２ ，
２
这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？
这些式子都可以看作几个单项式的和．例如，２狀－１０可以看作单项式２狀
与－１０的和，狓２＋２狓＋８可以看作单项式狓２ ，２狓与８的和．
像这样，几个单项式的和叫作多项式 （ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ）．其中，每个单项式叫
作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．例如，多项式２狀－１０的项是２狀与
－１０，其中－１０是常数项．
第四章 整式的加减 ９１多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多
１
项式的次数．例如，多项式２狀－１０有２项，次数最 ２犪＋３犫， 犪犫－π狉２
２
高的项是一次项２狀，这个多项式的次数是１；多项 的项和次数分别是什么？
式狓２＋２狓＋８有３项，次数最高的项是二次项狓２ ，
这个多项式的次数是２．
单项式与多项式统称整式 （ｉｎｔｅｇｒａｌｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）．例如，前面学习的单项
１ １
式９２狋，犪２ ，０．９狆， 犪２犺，以及多项式２狀－１０，狓２＋２狓＋８，２犪＋３犫， 犪犫－
３ ２
π狉２ 等都是整式．
例２ 用多项式填空，并指出它们的项和次数．
（１）一个长方形相邻两条边的长分别为犪，犫，则这个长方形的周长
为 ．
（２）犿为一个有理数，犿的立方与２的差为 ．
（３）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放犪辆，为环保和安全起
见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收犫辆．第三年年底，该地区共有
这家公司的共享单车的辆数为 ．
（４）现存于陕西历史博物馆的我
国南北朝时期的官员独孤信的印章如
图４．１２所示，它由１８个相同的正方
形和８个相同的等边三角形围成．如
果其中正方形和等边三角形的边长都
为犪，等边三角形的高为犫，那么这个 图４．１２
印章的表面积为 ．
解：（１）２犪＋２犫，它的项分别为２犪，２犫，次数是１．
（２）犿３－２，它的项分别为犿３ ，－２，次数
是３．
注意多项式中的每
（３）２犪－１２犫，它的项分别为２犪，－１２犫，次 一项都包含它前面的正
数是１． 负号．
（４）１８犪２＋４犪犫，它的项分别为１８犪２ ，４犪犫，次
数是２．
９２ 第四章 整式的加减
１．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．
３
２犪＋１，４狉２ ，２狓２－５狔＋１，３， 犿３－５狀．
８
单项式 多项式
２．填表：
１
多项式 －５犪２犫＋２犪犫－犫４ －２犺＋１狉犾＋２狉２ 狋２－２狋＋３ 狓３－２狔＋狓２
２
项
次数
３．鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智
玩具 （图 （１）），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图 （２）
所示，这个面的面积为 ．
第四章 整式的加减
b
d
a
c
（１） （２）
（第３题）
１．单项式－４犪２犫３犮的系数是 ，次数是 ．
９３２．写出一个系数是２，次数是３的单项式．
第四章 整式的加减
x
x
4
x
2
3
2
３．多项式犪４－２犪２犫＋犫２ 的项为 ，次
数是 ．
４．一所住宅的建筑平面图如图所示 （图中长度单
位：ｍ），分为 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这
所住宅的建筑面积可以用一个多项式表示为
，这个多项式的次数是 ．
3
（第４题）
５．今年 “十一”假期期间，某公园接待的游客数比去年同期增长了５．７％．若去
年同期这个公园接待了游客狓万人，求今年 “十一”假期期间这个公园比去
年同期多接待的游客人数．
６．我国古代数学著作 《周髀算经》中提到，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、
惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气中，在同一地点
测量每个节气正午时同一根杆的日影长，发现每个节气与它后一个节气的日
影长的差近似为定值．若这个定值为犱尺 （这里的尺是我国古代长度单位），
立春当日的日影长为１０．５尺，求立夏当日日影长的近似值．
７．世界杯排球赛的积分规则为：比赛中以３０（胜３局负０局）或者３１取胜的
球队积３分，负队积０分；比赛中以３２取胜的球队积２分，负队积１分．若
某球队以３１胜了犪场，以３２胜了犫场，以２３负了犮场，则这支球队的积
分用多项式可以表示为 ．
８．设狀表示任意一个整数，用含狀的代数式表示：
（１）能被３整除的整数； （２）除以３余数为１的整数．
９．鞋号表明了鞋子的大小，我国１９９８年发布了新鞋号标准．新鞋号标准对应于
２０世纪６０年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下：
新鞋号 ２２０ ２２５ ２３０ ２３５ … ２７０
旧鞋号 ３４ ３５ ３６ ３７ … 犪
（１）求犪的值；
（２）若新鞋号为犿，旧鞋号为狀，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式．
９４４．２ 整式的加法与减法
数能进行加减运算，整式中的每个字母都表示数，这
样，整式与数一样，也可以进行加减运算．
我们来看本章引言中的问题 （２）．
汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，
另一段为海底隧道．如果汽车通过海底隧道需要犪ｈ，那么从香港口岸到东人
工岛所需时间是１．２５犪ｈ，香港口岸到西人工岛的全长 （单位：ｋｍ）是
７２犪＋９６×１．２５犪，
即 ７２犪＋１２０犪．
如何计算７２犪＋１２０犪呢？下面我们类比数的运算，讨论整式７２犪，１２０犪
的加法运算．
/
（１）运用运算律计算：
７２×２＋１２０×２＝ ；
７２×（－２）＋１２０×（－２）＝ ．
（２）根据 （１）中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：
７２犪＋１２０犪＝ ．
在 （１）中，根据分配律可得
７２×２＋１２０×２＝（７２＋１２０）×２＝１９２×２，
７２×（－２）＋１２０×（－２）＝（７２＋１２０）×（－２）＝１９２×（－２）．
在 （２）中，多项式７２犪＋１２０犪表示７２犪与１２０犪两项的和，它与 （１）中
的式子
７２×２＋１２０×２
和
７２×（－２）＋１２０×（－２）
有相同的结构，并且字母犪代表的是一个乘数，因此根据分配律也有
７２犪＋１２０犪＝（７２＋１２０）犪＝１９２犪．
第四章 整式的加减 ９５/
填空：
（１）７２犪－１２０犪＝（ ）犪；
（２）３犿２＋２犿２＝（ ）犿２ ；
（３）３狓狔２－４狓狔２＝（ ）狓狔２．
上述运算有什么共同特点？你能从中得出什么规律？
对于上面的 （１）（２）（３），利用分配律可得
７２犪－１２０犪＝（７２－１２０）犪＝－４８犪；
３犿２＋２犿２＝（３＋２）犿２＝５犿２ ；
３狓狔２－４狓狔２＝（３－４）狓狔２＝－狓狔２．
观察 （１）中的多项式的项７２犪和－１２０犪，它们含有相同的字母犪，并且犪
的指数都是１；（２）中的多项式的项３犿２ 和２犿２ ，含有相同的字母犿，并且犿
的指数都是２；（３）中的多项式的项３狓狔２ 与－４狓狔２ ，都含有字母狓，狔，并且
狓的指数都是１，狔的指数都是２． 像７２犪与－１２０犪，３犿２ 与２犿２ ，３狓狔２ 与
－４狓狔２ 这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几
个常数项也是同类项．
因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以利用交换律、结合律、
分配律把多项式中的同类项进行合并．例如，
４狓２＋２狓＋７＋３狓－８狓２－２
通常我们把一个多
＝４狓２－８狓２＋２狓＋３狓＋７－２ （交换律）
项式的各项按照某个字
＝（４狓２－８狓２ ）＋（２狓＋３狓）＋（７－２） （结合律） 母的指数从大到小 （降
＝（４－８）狓２＋（２＋３）狓＋（７－２） （分配律） 幂）或者从小到大 （升
幂）的顺序排列．
＝－４狓２＋５狓＋５．
把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它
的指数不变．
例１ 合并下列各式的同类项：
１
（１）狓狔２－ 狓狔２ ； （２）４犪２＋３犫２＋２犪犫－４犪２－４犫２．
５
９６ 第四章 整式的加减（ ）
１ １ ４
解：（１）狓狔２－ 狓狔２＝ １－ 狓狔２＝ 狓狔２ ；
５ ５ ５
（２） ４犪２＋３犫２＋２犪犫－４犪２－４犫２
＝（４犪２－４犪２ ）＋（３犫２－４犫２ ）＋２犪犫
＝（４－４）犪２＋（３－４）犫２＋２犪犫
＝－犫２＋２犪犫．
１
例２ （１）求多项式２狓２－５狓＋狓２＋４狓－３狓２－２的值，其中狓＝ ；
２
１ １ １
（２）求多项式３犪＋犪犫犮－ 犮２－３犪＋ 犮２ 的值，其中犪＝－ ，犫＝２，犮＝－３．
３ ３ ６
分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求
值，这样做往往可以简化计算．
解：（１） ２狓２－５狓＋狓２＋４狓－３狓２－２
＝（２＋１－３）狓２＋（－５＋４）狓－２
＝－狓－２．
１ １ ５
当狓＝ 时，原式＝－ －２＝－ ．
２ ２ ２
请你把字母的值直
接代入原式求值．与例２
１ １
（２） ３犪＋犪犫犮－ 犮２－３犪＋ 犮２
的运算过程比较，哪种
３ ３
（ ） 方法更简便？
１ １
＝（３－３）犪＋犪犫犮＋ － ＋ 犮２
３ ３
＝犪犫犮．
（ ）
１ １
当犪＝－ ，犫＝２，犮＝－３时，原式＝ － ×２×（－３）＝１．
６ ６
例３ （１）水库水位第一天连续下降了犪ｈ，平均每小时下降２ｃｍ；第二
天连续上升了犪ｈ，平均每小时上升０．５ｃｍ．这两天水位总的变化情况如何？
（２）某商店原有５袋大米，每袋大米为狓ｋｇ．上午售出３袋，下午又购进
同样包装的大米４袋．进货后这个商店有大米多少千克？
解：（１）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一
天水位的变化量是－２犪ｃｍ，第二天水位的变化量是０．５犪ｃｍ．由
－２犪＋０．５犪＝（－２＋０．５）犪＝－１．５犪
可知，这两天水位总的变化情况为下降了１．５犪ｃｍ．
第四章 整式的加减 ９７（２）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量
是－３狓ｋｇ，下午大米质量的变化量是４狓ｋｇ．由
５狓－３狓＋４狓＝（５－３＋４）狓＝６狓
可知，进货后这个商店有大米６狓ｋｇ．
１．合并下列各式的同类项：
１ ２
（１）５狓＋４狓； （２） 狔－ 狔＋２狔； （３）－７犪犫＋６犪犫；
３ ３
（４）１０狔２－０．５狔２ ； （５）犿狀２＋３犿狀２ ；
（６）－３狓２狔＋３狓狔２＋２狓２狔－２狓狔２．
２．先化简，再求值：
（１）３犪＋２犫－５犪－犫，其中犪＝－２，犫＝１；
（２）３狓－４狓２＋７－３狓＋２狓２＋１，其中狓＝－３．
４ R
３．如图，大圆的半径是犚，小圆的面积是大圆面积的 ，
９
求阴影部分的面积．
（第３题）
与数的运算一样，进行整式的运算时也会遇到去括号的问题．
我们来看本章引言中的问题 （３）．
汽车通过主桥的行驶时间是犫ｈ，那么汽车在主桥上行驶的路程是９２犫ｋｍ；
通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少０．１５ｈ，那么汽车在海底隧道行驶
的时间是 （犫－０．１５）ｈ，行驶的路程是７２（犫－０．１５）ｋｍ．因此，主桥与海底隧
道长度的和 （单位：ｋｍ）为
９２犫＋７２（犫－０．１５）， ①
主桥与海底隧道长度的差 （单位：ｋｍ）为
９２犫－７２（犫－０．１５）． ②
上面的代数式①②都带有括号，应如何化简它们？
由于字母表示的是数，所以可以利用分配律，将括号前的乘数与括号内的
各项相乘，去掉括号，再合并同类项，得
９２犫＋７２（犫－０．１５）＝９２犫＋７２犫－１０．８＝１６４犫－１０．８，
９８ 第四章 整式的加减９２犫－７２（犫－０．１５）＝９２犫－７２犫＋１０．８＝２０犫＋１０．８．
一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的
数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．
特别地，＋（狓－３）与－（狓－３）可以看作１与－１分别乘 （狓－３）．利用分
配律，可以将式子中的括号去掉，得
＋（狓－３）＝狓－３， －（狓－３）＝－狓＋３．
这也符合上面的去括号的方法．
利用去括号，可以对整式进行化简．
例４ 化简：
（１）８犪＋２犫＋（５犪－犫）； （２）（４狔－５）－３（１－２狔）．
解：（１） ８犪＋２犫＋（５犪－犫）
＝８犪＋２犫＋５犪－犫
＝１３犪＋犫；
（２） （４狔－５）－３（１－２狔）
为什么－３×（－２狔）＝６狔？
＝４狔－５－３＋６狔
＝１０狔－８．
例５ 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在
静水中的速度都是５０ｋｍ／ｈ，水流速度是犪ｋｍ／ｈ．
（１）２ｈ后两船相距多远？
（２）２ｈ后甲船比乙船多航行多少千米？
解：顺水航速＝静水航速＋水流速度＝（５０＋犪）ｋｍ／ｈ，
逆水航速＝静水航速－水流速度＝（５０－犪）ｋｍ／ｈ．
（１）由
２（５０＋犪）＋２（５０－犪）＝１００＋２犪＋１００－２犪
＝２００
可知，２ｈ后两船相距２００ｋｍ．
（２）由
２（５０＋犪）－２（５０－犪）＝１００＋２犪－１００＋２犪
＝４犪
可知，２ｈ后甲船比乙船多航行４犪ｋｍ．
第四章 整式的加减 ９９
１．下列去括号的过程是否正确？如果错误，请改正．
（１）犪２－（２犪－犫＋犮）＝犪２－２犪－犫＋犮；
（２）－（狓－狔）＋（狓狔－１）＝－狓－狔＋狓狔－１．
２．去括号：
（１）犪＋（犫－犮）； （２）犪－（－犫＋犮）；
（３）（犪－犫）＋（犮＋犱）； （４）－（犪＋犫）－（－犮＋犱）．
３．化简：
（ ）
１
（１）１２（狓－０．５）； （２）－５１－ 狓；
５
１
（３）－５犪＋（３犪－２）－（３犪－７）； （４ ） （９狔－３）＋２（狔＋１）．
３
４．某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过１５ｍ３ ，每立方米
犪元；超过部分每立方米 （犪＋２）元．若该地区某家庭上月用水量为
２０ｍ３ ，则应缴水费多少元？
合并同类项和去括号是进行整式加减运算的基础，利用它们就可以进行整
式的加减运算．
例６ 计算：
（１）（２狓－３狔）＋（５狓＋４狔）； （２）（８犪－７犫）－（４犪－５犫）．
解：（１） （２狓－３狔）＋（５狓＋４狔） （２） （８犪－７犫）－（４犪－５犫）
＝２狓－３狔＋５狓＋４狔 ＝８犪－７犫－４犪＋５犫
＝７狓＋狔； ＝４犪－２犫．
第四章 整式的加减
櫲櫲櫲櫲櫲
例７ 做大、小两个长方体纸盒，尺寸如表４．２１所示．
表４２１ 长方体纸盒的尺寸
类型 长／ｃｍ 宽／ｃｍ 高／ｃｍ
小纸盒 犪 犫 犮
大纸盒 １．５犪 ２犫 ２犮
（１）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？
（２）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？
１００解：小纸盒的表面积是 （２犪犫＋２犫犮＋２犮犪）ｃｍ２ ，
大纸盒的表面积是 （６犪犫＋８犫犮＋６犮犪）ｃｍ２．
（１）由
（２犪犫＋２犫犮＋２犮犪）＋（６犪犫＋８犫犮＋６犮犪）
＝２犪犫＋２犫犮＋２犮犪＋６犪犫＋８犫犮＋６犮犪
＝８犪犫＋１０犫犮＋８犮犪
可知，做这两个纸盒共用纸 （８犪犫＋１０犫犮＋８犮犪）ｃｍ２．
（２）由
（６犪犫＋８犫犮＋６犮犪）－（２犪犫＋２犫犮＋２犮犪）
＝６犪犫＋８犫犮＋６犮犪－２犪犫－２犫犮－２犮犪
＝４犪犫＋６犫犮＋４犮犪
可知，做大纸盒比做小纸盒多用纸 （４犪犫＋６犫犮＋４犮犪）ｃｍ２．
通过上面的学习，我们得到整式加减的运算法则：
几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
（ ） （ ）
１ １ ３ １ ２
例８ 求 狓－２狓－ 狔２ ＋ － 狓＋ 狔２ 的值，其中狓＝－２，狔＝ ．
２ ３ ２ ３ ３
（ ） （ ）
１ １ ３ １
解： 狓－２狓－ 狔２ ＋ － 狓＋ 狔２
２ ３ ２ ３
１ ２ ３ １
＝ 狓－２狓＋ 狔２－ 狓＋ 狔２
２ ３ ２ ３
先将式子化简，再
＝－３狓＋狔２．
代入数值进行计算往往
２ 比较简便．
当狓＝－２，狔＝ 时，
３
（ ）
２ ４ ４
原式＝（－３）×（－２）＋ ２ ＝６＋ ＝６ ．
３ ９ ９
１．计算：
（ ）
１ ２
（１）－ 犪犫－４犪２＋３犪２－ － 犪犫；
３ ３
（２）狓３－（狓２－狓＋１）－２（狓３－狓２－１）－１；
第四章 整式的加减１０１１ １
（３） 犪－ （犪－８犫－１２犮）＋３（－２犮＋２犫）．
３ ２
１ ９
２．求狓２－５狓狔－３狓２－２（１－２狓狔－狓２ ）的值，其中狓＝－ ，狔＝ ．
９ ２
３．笔记本的单价是狓元，中性笔的单价是狔元．王芳买了３本笔记本，
２支中性笔；李明买了４本笔记本，３支中性笔．买这些笔记本和中性
笔，王芳和李明一共花费多少元？
１．合并同类项：
（１）２狓－１０．３狓； （２）３狓－狓－５狓；
（３）－犫＋０．６犫－３．６犫； （４）犿－狀２－６犿＋２狀２．
２．化简：
（１）２（４狓－０．５）； （２）－３（１－狓）；
（３）－狓＋２（２狓－２）－（３狓＋５）； （４）３犪２＋犪２－（２犪２－２犪）＋（３犪－犪２ ）．
３．计算：
（１）（５犪＋４犮＋７犫）＋（５犮－３犫－６犪）； （２）（８狓狔－狓２＋狔２ ）－（狓２－狔２＋８狓狔）；
（ ） （ ）
１ １
（３） 狓２－１＋３狓－４狓－狓２＋ ；（４）３狓２－［７狓－（４狓－３）－２狓２ ］．
３ ２
４．先化简，再求值：
４（３犪２犫－犪犫２ ）－２（３犪犫２－犪２犫）－１４犪２犫，
１
其中犪＝１，犫＝－ ．
２
５．甲地的海拔是犺ｍ，乙地比甲地高２０ｍ，丙地比甲地低３０ｍ．列式表示乙、
丙两地的海拔，并计算乙地与丙地的海拔差．
６．在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：
选择犪的一个值，求５犪３－（犪２－３犪＋３犪３ ）＋（犪２－犪－２犪３ ）－２犪＋２０３５的值．
１０２第四章 整式的加减甲说：“当犪＝０时，原式＝２０３５．”
乙说：“当犪＝１时，原式＝２０３５．”
丙说：“当犪为任何一个有理数时，原式＝２０３５．”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由．
７．已知三角形的第一条边的长为３犪＋２犫（犪＞０，犫＞０），第二条边比第一条边
短２犪，第三条边比第二条边的长的２倍还长犪－犫．
（１）求第二条边和第三条边的长；（２）求这个三角形的周长．
第四章 整式的加减
a
a
８．窗户的形状如图所示 （图中长度单位：ｃｍ），其上部是半
圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方
形的边长是犪ｃｍ，计算：
（１）窗户的面积； （２）窗户的外框的总长．
９．一种商品每件进价为犪元，商家原来在进价的基础上增加
２０％定为售价，每件商品的售价为多少元？现在由于库存
（第８题）
积压，商家按原售价的９０％出售，现售价为多少元？每
件还能盈利多少元？
１０．如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条 “边”上有狀（狀＞１）
个点 （包括两个顶点），那么这个图形中点的总数犛是多少？当狀＝５，７，１１
时，犛各是多少？
狀＝２ 狀＝３ 狀＝４ 狀＝５
（第１０题）
１１．１０个棱长为犪ｃｍ的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是多少平
方厘米？
（第１１题）
１０３
用电子表格进行数据计算
电子表格软件是常用的办公软件．电子表格通常由一些行和列组成，行和
列相交的部分叫作单元格．单元格是电子表格的基本元素，是进行整体操作的
最小单位．如果行号用数字１，２，３，…表示，列号用字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示，
那么单元格就可以用列号和行号表示，例如，Ａ２表示Ａ列第２行，列号在前，
行号在后．
利用电子表格可以进行数据计算．
例如，如图１，在单元格 Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，Ａ５，Ａ６中分别输入１６３，
２２３，５１６，８７，１９８，３７９，选中这六个单元格，底部状态栏就会显示它们的和
１５６６与平均值２６１．这里的求和 （或平均值）就是求当犪＝１６３，犪＝２２３，
１ ２
犪＝５１６，犪＝８７，犪＝１９８，犪＝３７９时，多项式犪＋犪＋犪＋犪＋犪＋犪
３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ４ ５ ６
（ ）
犪＋犪＋犪＋犪＋犪＋犪
或 １ ２ ３ ４ ５ ６ 的值．
６
图１ 图２
又如，如图２，计算当狓＝１６３，狔＝２３５时多项式２狓２＋３狔的值，可以在
电子表格的单元格Ａ１和Ｂ１中输入１６３和２３５（即狓和狔的值），然后在Ｃ１中
输入 “＝Ａ１ ２２＋Ｂ１３”（“ ”表示乘方，“”表示乘号），电子表格软件
就会算出２狓２＋３狔的值５３８４３，并自动填入Ｃ１．类似地，可以计算出当狓＝
１７２，狔＝３４７时，多项式２狓２＋３狔的值是６０２０９．
电子表格操作简单、功能强大，可以有效地进行数据计算和数据处理．在
复杂的统计问题中，电子表格的作用可以得到充分的发挥．
１０４第四章 整式的加减
" +/
同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们
知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们
一起来探索吧！
图１是某月的月历，请仔细观察并思考
下列问题：
（１）蓝色方框中的９个数的和与方框正 图１
中心的数有什么关系？
（２）如果将蓝色方框移至图２的位置，
（１）中的关系还成立吗？
（３）不改变蓝色方框的大小，将方框移
动几个位置试一试，你能得出什么结论？
（４）这个结论对于任何一个月的月历都 图２
成立吗？你能说明理由吗？
（５）仿照上述探究的方法，请你在月历中画出一个图形，例如，图３
中的 “＋”形，图４中的 “Ｈ”形．图形中的数有什么关系？先从具体的
图形开始研究，进而猜想一般结论，并说明结论成立的理由．
图３ 图４
第四章 整式的加减１０５"7&=K+>
在小学，我们知道像１２，２７，３６，４５，１０８，…这样的自然数能被３
整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被３整除，那
么这个自然数就能被３整除．你能说出其中的道理吗？
先来看两位数的情形．
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为犪，犫，则通常记这个两
位数为犪犫．于是
犪犫＝１０犪＋犫＝９犪＋（犪＋犫）．
显然９犪能被３整除，因此，如果犪＋犫能被３整除，那么９犪＋（犪＋犫）就
能被３整除，即犪犫能被３整除．
请你用类似的方法表示三位数、四位数，并说明前面结论的道理．你
还可以继续研究五位数、六位数等情形吗？
１０６第四章 整式的加减
在本章中，我们学习了一类基本的代数式———整式，并重点研究了
整式的加减运算．整式及其加减运算在现实生活中有广泛的应用，也是后
续学习一元一次方程等内容的基础．
用字母表示数，字母和数一起运算，就可以得到表示数量关系的代
数式．其中表示数或字母的积的式子叫作单项式，几个单项式的和叫作多
项式，单项式与多项式统称整式．因此，整式可以看作仅包含乘法，或仅
包含乘法与加法的代数式．
整式中的每个字母都表示数，因此，数的一些运算规律也适用于整
式．例如，利用分配律可以合并同类项、去括号，从而可以进行整式的加
减运算．整式加减的学习，能使我们进一步体会代数式可以表示数量和数
量关系，提升抽象能力和运算能力．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举出一些用单项式、多项式表示数量关系的实际例子，并指出其
中的单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数．
２．合并同类项和去括号是整式加减的基础，合并同类项和去括号的
依据是什么？请举例说明．
３．整式的加减运算法则是什么？请举例说明．
第四章 整式的加减１０７
１．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多
项式的指出项和次数：
１ 犿４狀２
－ 犪２犫， ，狓２＋狔２－１，狓，３狓２－狔＋３狓狔２＋狓４－１，３２狋３ ，２狓－狔．
２ ７
２．写出一个单项式，使它与多项式犿＋２狀２ 的和为单项式．
３．计算：
３ １
（１）狓２狔－３狓２狔； （２）－ 犪２犫犮＋ 犪２犫犮；
２ ２
１ １
（３） 犿狀－ 犿狀＋２； （４）５狓４＋３狓２狔－８－３狓２狔－狓４－２；
４ ３
（５）７犪犫－３犪２犫２＋７＋８犪犫２＋２犪２犫２－３－５犪犫．
４．计算：
（１）（４犪３犫－１０犫３ ）＋（－３犪２犫２＋１０犫３ ）；
（２）（４狓２狔－５狓狔２ ）－（３狓２狔－４狓狔２ ）；
（３）３（２犪２＋４犫）＋３（－５犪２－２犫）；
（４）３（狓２－２狓狔）－４（２狓２－狓狔＋１）；
（５）５犪２－［犪２＋（５犪２－２犪）－２（犪２－３犪）］；
［ （ ） ］
１
（６）３狓２－ ５狓－ 狓－３ ＋２狓２ ．
２
５．先化简，再求值：
（１）５狓２＋４－３狓２－５狓－２狓２－５＋６狓，其中狓＝－３；
（ ）
１
（２）２犪２犫＋ 犪犫２ －３（犪２犫－１）－２犪犫２－１，其中犪＝－２，犫＝２．
２
６． （１）列式表示比犪的５倍大４的数与比犪的２倍小３的数，并计算这两个数
的和；
（２）列式表示比犫的７倍小３的数与比犫的６倍大５的数，并计算这两个数
的差．
１０８第四章 整式的加减７．某轮船先顺水航行３ｈ，后逆水航行１．５ｈ，已知轮船在静水中的速度是犪ｋｍ／ｈ，
水流速度是犫ｋｍ／ｈ，轮船共航行了多少千米？
８．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜
色．按照这样的规律，第４个图案中有多少个涂色的小正方形？第狀个图案呢？
（１） （２） （３）
（第８题）
９．用代数式表示十位上的数字是犪、个位上的数字是犫的两位数，再把这个两位数
的十位上的数字与个位上的数字交换位置，计算所得数与原数的和．这个和能被
１１整除吗？
１０．把（犪＋犫）和（狓＋狔）各看成一个整体，对下列各式进行化简：
（１）４（犪＋犫）＋２（犪＋犫）－（犪＋犫）；
（２）３（狓＋狔） ２－７（狓＋狔）＋８（狓＋狔） ２＋６（狓＋狔）．
第四章 整式的加减１０９第五章 一元一次方程
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营１ｋｍ
的一号营地出发，每小时行进１．２ｋｍ；乙队从距大本营３ｋｍ的二号营地出
发，每小时行进０．８ｋｍ．多长时间后，甲队在途中追上乙队？
你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？本章我们将学习一种新的方
法，通过列方程来解决这个问题．方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的
数学工具．解决许多实际问题时，人们经常用字母表示其中的未知数，通过分
析问题中的数量关系，列出方程表示相等关系，然后解方程求出未知数，从而
获得实际问题的答案．
怎样根据问题中的数量关系列方程？怎样解方程？这是本章研究的主要
问题．
通过解决本章中丰富多彩的问题，你将初步感受方程的作用，并学习利用
一元一次方程解决问题的方法．
第四章 整式的加减５．１ 方程
在小学，我们利用算术方法解决了很多实际问题．接下
来，我们将引入方程解决一些实际问题．首先来认识一下什
么是方程．
５１１ 从算式到方程
先来看本章引言中的问题．请你先试着用列算式的方法解决．
下面，我们引入一种新的方法来解决这个问题．在这个问题中，甲、乙两
队的行进速度是已知的，行进的时间和路程是未知
的．如果设两队行进的时间为狓ｈ，根据 “路程＝
想一想，甲队追上乙
速度×时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为
队时，他们距大本营的路
１．２狓ｋｍ和０．８狓ｋｍ，从而甲、乙两队距大本营的路
程之间有什么关系？
程可以分别表示为 （１．２狓＋１）ｋｍ和 （０．８狓＋３）ｋｍ．
甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时
甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程，
因此
１．２狓＋１＝０．８狓＋３．
这样，我们就根据实际问题中的相等关系，得到了一个含有未知数狓的等式．
通过本章的学习，我们将能够从这个含有未知数狓的等式中解出未知数的值
狓＝５，从而求出５ｈ后甲队追上乙队．
再来看两个实际问题．
问题１ 用买３个大水杯的钱，可以买４个小水杯，大水杯的单价比小水
杯的单价多５元，两种水杯的单价各是多少元？
如果设大水杯的单价为狓元，那么小水杯的单价为 （狓－５）元．因为用买
３个大水杯的钱，可以买４个小水杯，所以
３狓＝４（狓－５）．
由这个含有未知数狓的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯
的单价．
第五章 一元一次方程１１１问题２ 图５．１１是一枚长方形的庆祝中国共产
党成立１００周年纪念币，其面积是４０００ｍｍ２ ，长
（ ）
５
和宽的比为８∶５ 即宽是长的 ．这枚纪念币的长
８
和宽分别是多少毫米？
图５．１１
如果设这枚纪念币的长为狓ｍｍ，则纪念币的宽
５ ５
可以表示为 狓ｍｍ，面积可以表示为 狓２ｍｍ２．已
８ ８
在我国古代，一般
知纪念币的面积为４０００ｍｍ２ ，所以
用 “天元”“地元”“人
５ 元” “物元”等表示未
狓２＝４０００．
８
知数．１７世纪，法国数
由这个含有未知数狓的等式可以求出这枚纪念
学家笛卡儿最早使用狓，
币的长，进而可以求出纪念币的宽． 狔，狕等字母表示未知
数，这种做法一直沿用
像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问
至今．
题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这
样的等式叫作方程 （ｅｑｕａｔｉｏｎ）．
##
汉语中 “方程”一词源于讨论含多个未知数
的等式的问题．我国古代数学著作 《九章算术》
中有专门的 “方程”章，其中以一些实际应用问
题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的
解法，称为 “方程术”．１９世纪５０年代，清代数
学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将ｅｑｕａｔｉｏｎ
（指含有未知数的等式）一词译为 “方程”． 李善兰 （１８１１—１８８２）
用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只
含有已知数，不含未知数；而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中
既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便．
通过今后的学习，你会逐步认识到：从算式到方程是数学的一大进步．
１１２第五章 一元一次方程例１ 根据下列问题，设未知数并列出方程：
（１）某校女生占全体学生数的５２％，比男生多
８０人，这所学校有多少名学生？
5m
（２）如图５．１２，一块正方形绿地沿某一方向
加宽５ｍ，扩大后的绿地面积是５００ｍ２ ，求正方形
绿地的边长． 图５．１２
解：（１）设这所学校的学生数为狓，那么女生
数为０．５２狓，男生数为（１－０．５２）狓．根据 “女生比
男生多８０人”，列得方程 你能解释这些方程
的左边、右边各表示什么
０．５２狓－（１－０．５２）狓＝８０．
意思吗？由此体会如何根
（２）设正方形绿地的边长为狓ｍ，那么扩大后
据相等关系列方程．
的绿地面积为（狓２＋５狓）ｍ２．根据 “扩大后的绿地
面积是５００ｍ２ ”，列得方程
狓２＋５狓＝５００．
3
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数
学解决实际问题的一种方法．这个过程可以表示如下：
KKM /
根据下列问题，设未知数并列出方程：
１．甲种铅笔每支１．４元，乙种铅笔每支１．８元．用２３元钱买这两种铅笔，
一共买了１５支，两种铅笔各买了多少支？
２．有两条电线，第一条长９０ｍ，第二条长４０ｍ．要从第一
条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等．求截下
的那段电线的长度 （两条电线接头部分的长度忽略不计）．
３．某圆环形状的工件如图所示，它的面积是２００ｃｍ２ ，外
沿大圆的半径是１０ｃｍ，内沿小圆的半径是多少厘米？
（第３题）
第五章 一元一次方程１１３列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出
方程中未知数的值．
对于前面根据本章引言中的问题列出的方程１．２狓＋１＝０．８狓＋３，可以发
现，当狓＝５时，左边＝１．２×５＋１＝７，右边＝０．８×５＋３＝７，这时方程左、
右两边的值相等．
一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 （ｓｏｌｕ
ｔｉｏｎ）．例如，狓＝５就是方程１．２狓＋１＝０．８狓＋３的解．求方程的解的过程，叫
作解方程．
３
例２ （１）狓＝２，狓＝ 是方程２狓＝３的解吗？
２
（２）狓＝１０，狓＝２０是方程３狓＝４（狓－５）的解吗？
解：（１）当狓＝２时，方程２狓＝３的左边＝２×２＝４，右边＝３，方程左、
右两边的值不相等，所以狓＝２不是方程２狓＝３的解；
３ ３
当狓＝ 时，方程２狓＝３的左边＝２× ＝３，右边＝３，方程左、右两边的
２ ２
３
值相等，所以狓＝ 是方程２狓＝３的解．
２
（２）当狓＝１０时，方程３狓＝４（狓－５）的左边＝３×１０＝３０，右边＝４×
（１０－５）＝２０，方程左、右两边的值不相等，所以狓＝１０不是方程３狓＝４（狓－５）
的解．
当狓＝２０时，方程３狓＝４（狓－５）的左边＝３×２０＝６０，右边＝４×（２０－
５）＝６０，方程左、右两边的值相等，所以狓＝２０是方程３狓＝４（狓－５）的解．
５
狓＝６０是方程 狓２＝４０００的解吗？狓＝８０呢？
８
方程有多种类型，本章我们先来研究一类最简单的方程．
观察方程
１．２狓＋１＝０．８狓＋３，３狓＝４（狓－５），０．５２狓－（１－０．５２）狓＝８０，
它们有什么共同特征？
１１４第五章 一元一次方程一般地，如果方程中只含有一个未知数 （元），且含有未知数的式子都是
整式，未知数的次数都是１，这样的方程叫作一元一次方程 （ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎ
ｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）．
##
用 “元”表示未知数，源于我国宋元时期的 “天元术”．天元术指的是
用 “天元”表示未知数，进而列出方程．现存的使用天元术的最早著作是这
一时期我国数学家李冶 （１１９２—１２７９）于１２４８年所著的 《测圆海镜》，书中
的 “立天元一”相当于现在的 “设未知数狓”．后来在研究涉及多个未知数
的问题时，又引入 “地元”“人元”“物元”等表示多个未知数．
１．判断狓＝２和狓＝４是不是方程２狓－３＝５的解．
２．下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
（１）２＋３＝３＋２； （２）８狔－９＝９－狔； （３）狓２＋２狓＋１＝４．
５１２ 等式的性质
像２狓＝３，狓＋１＝３这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，但是对
于比较复杂的方程，仅靠观察来解方程是困难的．因此，还要研究怎样解方程．
方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质．
像犿＋狀＝狀＋犿，狓＋２狓＝３狓，３×３＋１＝５×２，３狓＋１＝５狔这样的式子，
都是等式．我们可以用犪＝犫表示一般的等式．
首先，给出关于等式的两个基本事实．
等式两边可以交换．如果犪＝犫，那么犫＝犪．
相等关系可以传递．如果犪＝犫，犫＝犮，那么犪＝犮．
在小学，我们已经知道：等式两边同时加 （或减）同一个正数，同时
乘同一个正数，或同时除以同一个不为０的正数，结果仍相等．引入负数
后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试．
第五章 一元一次方程１１５一般地，等式有以下性质：
等式的性质１ 等式两边加 （或减）同一个数 （或式子），结果仍相等．
如果犪＝犫，那么犪±犮＝犫±犮．
等式的性质２ 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等．
如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮；
犪 犫
如果犪＝犫，犮≠０，那么 ＝ ．
犮 犮
例３ 根据等式的性质填空，并说明依据：
（１）如果２狓＝５－狓，那么２狓＋ ＝５；
（２）如果犿＋２狀＝５＋２狀，那么犿＝ ；
（３）如果狓＝－４，那么 ·狓＝２８；
３
（４）如果３犿＝４狀，那么 犿＝ ·狀．
２
解：（１）２狓＋狓＝５；根据等式的性质１，等式两边加狓，结果仍相等．
（２）犿＝ ５ ；根据等式的性质１，等式两边减２狀，结果仍相等．
（３）－７·狓＝２８；根据等式的性质２，等式两边乘－７，结果仍相等．
３
（４） 犿＝２·狀；根据等式的性质２，等式两边除以２，结果仍相等．
２
利用等式的性质可以解方程．
例４ 利用等式的性质解下列方程：
１
（１）狓＋７＝２６； （２）－５狓＝２０； （３）－ 狓－５＝４．
３
分析：要使方程狓＋７＝２６转化为狓＝犿 （常数）的形式，需要去掉方程
左边的７，利用等式的性质１，方程两边减７就得出狓的值．类似地，利用等式
的性质，可以将另外两个方程转化为狓＝犿的形式．
解：（１）方程两边减７，得
狓＋７－７＝２６－７．
于是
狓＝１９．
１１６第五章 一元一次方程（２）方程两边除以－５，得
－５狓 ２０
＝ ．
－５ －５
解以狓为未知数的
于是
方程，就是把方程逐步
狓＝－４． 转化为狓＝犿 （常数）
（３）方程两边加５，得 的形式．等式的性质是
转化的重要依据．
１
－ 狓－５＋５＝４＋５．
３
化简，得
１
－ 狓＝９．
３
方程两边乘－３，得
狓＝－２７．
一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个
１
值能否使方程左、右两边的值相等．例如，将狓＝－２７代入方程－ 狓－５＝４
３
的左边，得
（ ）
１
－ × －２７ －５＝４．
３
１
方程左、右两边的值相等，所以狓＝－２７是方程－ 狓－５＝４的解．
３
１．根据等式的性质填空：
（１）如果狓＝狔，那么狓＋１＝狔＋ ；
（２）如果狓＋２＝狔＋２，那么 ＝狔；
（３）如果狓＝狔，那么 ·狓＝５狔；
（４）如果３狓＝６狔，那么狓＝ ·狔．
２．利用等式的性质解下列方程，并检验：
（１）狓－５＝６； （２）０．３狓＝４５；
１
（３）５狓＋４＝０； （４）２－ 狓＝３．
４
第五章 一元一次方程１１７
１．列等式表示：
（１）比犪大５的数等于８；
第１题是把用文字
（２）犫的三分之一等于９；
表示的关系转化成用等
（３）狓的２倍与１０的和等于１８； 式表示．
（４）狓的三分之一与狔的差等于６；
（５）比犪的３倍大５的数等于犪的４倍；
（６）比犫的一半小７的数等于犪与犫的和．
２．根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程：
x 3
x 2 x 1
3xc
xc xc
x x
（１） （２） （３）
（第２题）
３．狓＝３，狓＝０，狓＝－２分别是下列哪个方程的解？
（１）５狓＋７＝７－２狓； （２）６狓－８＝８狓－４；
（３）３狓－２＝４＋狓； （４）２狓－３＝５狓－６．
４．利用等式的性质解下列方程：
１
（１）狓－４＝２９； （２） 狓＋２＝６；
２
（３）３狓＋１＝４； （４）４狓－２＝２．
列方程 （第５～１０题）：
４
５．某校七年级 （１）班共有学生４８人，其中女生人数比男生人数的 多３，这个
５
班有男生多少人？
６．把１００００元奖学金按照两种奖项奖给２０名学生，其中一等奖每人８００元，二
等奖每人４００元．获得一等奖的学生有多少人？
１１８第五章 一元一次方程７．去年某镇居民人均可支配收入为３０４３８元，比前年增长了６．８％，前年这个
镇居民人均可支配收入为多少元？
８．一辆汽车已行驶了１２０００ｋｍ，计划每月再行驶８００ｋｍ，几个月后这辆汽车行驶
的总路程为２０８００ｋｍ？
９．一个圆柱形包装盒 （厚度忽略不计）的高是１２ｃｍ，表面积是１０８．５πｃｍ２．这
个包装盒的底面半径是多少厘米？
１０．某校号召学生用零花钱为地震灾区捐款．七年级 （１）班全体学生一共捐款
４２８元，七年级 （２）班平均每名学生捐款１０元，七年级 （１）班的捐款数比
七年级 （２）班少２２元．七年级 （２）班有多少名学生？
１１．一个两位数个位上的数字是１，十位上的数字是狓．把１与狓对调，新的两
位数比原两位数小１８，狓的值是多少？请你用方程解决这个问题．
第五章 一元一次方程１１９５．２ 解一元一次方程
我们已经知道，直接利用等式的性质可以解简单的方程．
本节我们将结合方程的具体特点，继续研究如何解一元一次
方程．
问题１ 某校三年共购买计算机１４０台，去年购买的数量是前年的２倍，
今年购买的数量又是去年的２倍．前年这所学校购买了多少台计算机？
设前年购买计算机狓台，则去年购买计算机２狓台，今年购买计算机４狓
台．根据 “三年共购买计算机１４０台”，可以得到如下相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝１４０．
列得方程
“各部分量的和＝
狓＋２狓＋４狓＝１４０． 总量”是一个基本的相
把含有狓的项合并同类项，得 等关系．
７狓＝１４０．
系数化为１，得
狓＝２０． 请你自己检验狓＝
２０是方程狓＋２狓＋４狓＝
因此，前年这所学校购买了２０台计算机．
１４０的解．
上面解方程中 “合并同类项”起了什么作用？
例１ 解下列方程：
５
（１）２狓－ 狓＝６－８；
２
根据等式的性质解
（２）７狓－２．５狓＋３狓－１．５狓＝－１５×４－６×３．
一元一次方程时，得到
解：（１）合并同类项，得
的狓＝犿就是方程的解
１ （想一想为什么）．今后，
－ 狓＝－２．
２ 检验环节通常可以省略．
系数化为１，得
１２０第五章 一元一次方程狓＝４．
（２）合并同类项，得
６狓＝－７８．
系数化为１，得
狓＝－１３．
例２ 有一列数１，－３，９，－２７，８１，－２４３，…，其中第狀个数是（－３）
狀－１
（狀＞１），如果这列数中某三个相邻数的和是－１７０１，那么这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可以发现这列数的排列规律，后面的
数是它前面的数与－３的乘积．
解：设所求三个数中的第１个数是狓，则后两个数分别是－３狓，９狓．
由三个数的和是－１７０１，得
狓－３狓＋９狓＝－１７０１．
合并同类项，得
７狓＝－１７０１．
系数化为１，得
狓＝－２４３．
所以
－３狓＝７２９，
９狓＝－２１８７．
答：这三个数是－２４３，７２９，－２１８７．
１．解下列方程：
狓 ３狓
（１）５狓－２狓＝９； （２） ＋ ＝７；
２ ２
（３）－３狓＋０．５狓＝１０； （４）７狓－４．５狓＝２．５×３－５．
２．某工厂的产值连续增长，２０２２年是２０２１年的１．５倍，２０２３年是２０２２
年的２倍，这三年的总产值为５５０万元．２０２１年的产值是多少万元？
３．某洗衣机厂今年计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共２５５００台，其中
Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为１∶２∶１４．洗衣机厂计划生
产这三种洗衣机各多少台？
第五章 一元一次方程１２１问题２ 把一批图书分给某班学生阅读，若每人分３本，则剩余２０本；若
每人分４本，则缺２５本．这个班有多少名学生？
这批书的总数有几种
设这个班有狓名学生．
表示方法？它们之间有什
每人分３本，共分出３狓本，加上剩余的２０
么关系？
本，这批书共 （３狓＋２０）本．
每人分４本，需要４狓本，减去缺的２５本，这
批书共 （４狓－２５）本．
这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子
“表示同一个量的
应相等，根据这一相等关系列得方程 两个不同的式子相等”，
是一个基本的相等关系．
３狓＋２０＝４狓－２５．
方程３狓＋２０＝４狓－２５的两边都有含狓的项 （３狓与４狓）和不含字母
的常数项 （２０与－２５），怎样才能把它转化为狓＝犿 （常数）的形式呢？
为了使方程的右边没有含狓的项，等式两边减４狓，利用等式的性质１，得
３狓＋２０－４狓＝－２５．
为了使方程的左边没有常数项，等式两边减２０，利用等式的性质１，得
３狓－４狓＝－２５－２０．
把上面的方程与原方程作比较，这个变形相当于
U U U 把某项从等式的一边
移到另一边时，这项有什
么变化？
U UU U
即把原方程左边的２０变为－２０移到右边，把右边的４狓变为－４狓移到左边．
像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项．
下面，我们继续解这个方程．
对方程３狓－４狓＝－２５－２０合并同类项，得
－狓＝－４５．
１２２第五章 一元一次方程系数化为１，得
狓＝４５．
由上可知，这个班有４５名学生．
上面解方程中 “移项”起了什么作用？
例３ 解下列方程：
３
（１）３狓＋７＝３２－２狓； （２）狓－３＝ 狓＋１．
２
解：（１）移项，得 （２）移项，得
３狓＋２狓＝３２－７． ３
狓－ 狓＝１＋３．
２
合并同类项，得
合并同类项，得
５狓＝２５．
１
系数化为１，得
－ 狓＝４．
２
狓＝５．
系数化为１，得
狓＝－８．
第五章 一元一次方程
櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲
例４ 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的
最大量还多２００ｔ；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少１００ｔ．新、
旧工艺的废水排量之比为２∶５，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？
分析：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为２∶５，所以可设它们分别为
２狓ｔ和５狓ｔ，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程．
解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为２狓ｔ和５狓ｔ．
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
５狓－２００＝２狓＋１００． 等式两边代表哪个
移项，得 数量？
５狓－２狓＝１００＋２００．
合并同类项，得
３狓＝３００．
系数化为１，得
１２３狓＝１００．
所以
２狓＝２００，５狓＝５００．
答：采用新、旧工艺的废水排量分别为２００ｔ和５００ｔ．
##
约８２０年，阿拉伯数学家花拉子米著有 《代数学》 （又称 《还原与对
消计算概要》），其中，“还原”指的是 “移项”，“对消”隐含着移项后合
并同类项．我国古代数学著作 《九章算术》的 “方程”章，更早使用了
“对消”和 “还原”的方法．
１．解下列方程：
（１）３狓＝４狓＋３； （２）６狓－８＝４狓；
１ ３
（３）６狔－７＝４狔－５； （４） 狔－６＝ 狔．
２ ４
２．解根据本章引言中的问题列出的方程１．２狓＋１＝０．８狓＋３．
３．李明出生时父亲２８岁，现在父亲的年龄是李明年龄的３倍．求现在李
明的年龄．
４．王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘８ｋｇ，张华平均每小
时采摘７ｋｇ．采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出０．２５ｋｇ给了张
华，这时两人的樱桃一样多．她们采摘用了多长时间？
问题３ 某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量
减少２０００ｋＷ·ｈ （千瓦时），全年的用电量是１５００００ｋＷ·ｈ．这个工厂去年
上半年平均每月的用电量是多少？
设去年上半年平均每月的用电量是狓ｋＷ·ｈ，
一台功率为１ｋＷ
则下半年平均每月的用电量是 （狓－２０００）ｋＷ·ｈ； 的电器１ｈ的用电量是
上半年的用电量是６狓ｋＷ·ｈ，下半年的用电量是 １ｋＷ·ｈ．
６（狓－２０００）ｋＷ·ｈ．
１２４第五章 一元一次方程根据全年的用电量是１５００００ｋＷ·ｈ，列得方程
６狓＋６（狓－２０００）＝１５００００．
方程左边去括号，得
当方程中有带括号
６狓＋６狓－１２０００＝１５００００． 的式子时，去括号是常
移项，得 用的化简步骤．
６狓＋６狓＝１５００００＋１２０００．
合并同类项，得
１２狓＝１６２０００．
系数化为１，得
狓＝１３５００．
由上可知，这个工厂去年上半年平均每月的用电量是１３５００ｋＷ·ｈ．
例５ 解下列方程：
（１）２狓－（狓＋１０）＝５狓＋２（狓－１）； （２）３狓－７（狓－１）＝３－２（狓＋３）．
解：（１）去括号，得 （２）去括号，得
２狓－狓－１０＝５狓＋２狓－２． ３狓－７狓＋７＝３－２狓－６．
移项，得 移项，得
２狓－狓－５狓－２狓＝－２＋１０． ３狓－７狓＋２狓＝３－６－７．
合并同类项，得 合并同类项，得
－６狓＝８． －２狓＝－１０．
系数化为１，得 系数化为１，得
４ 狓＝５．
狓＝－ ．
３
第五章 一元一次方程
櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲
例６ 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了２ｈ；从乙码头返回甲码头
逆水而行，用了２．５ｈ．已知水流的速度是３ｋｍ／ｈ，求船在静水中的平均速度．
分析：一般情况下，可以认为这艘船往返的路程相等．根据这个相等关
系，可以列方程求出船在静水中的平均速度．
解：设船在静水中的平均速度为狓ｋｍ／ｈ，则顺水速度为 （狓＋３）ｋｍ／ｈ，
逆水速度为 （狓－３）ｋｍ／ｈ．
根据往返路程相等，列得方程
２（狓＋３）＝２．５（狓－３）．
１２５去括号，得
２狓＋６＝２．５狓－７．５．
移项及合并同类项，得
－０．５狓＝－１３．５．
系数化为１，得
狓＝２７．
答：船在静水中的平均速度为２７ｋｍ／ｈ．
１．解下列方程：
（１）２（狓＋３）＝５狓；
（２）４狓＋３（２狓－３）＝１２－（狓＋４）；
（ ） （ ）
１ １
（３）６ 狓－４ ＋２狓＝７－ 狓－１ ；
２ ３
（４）２－３（狓＋１）＝１－２（１＋０．５狓）．
２．一个长方形的长减少２ｃｍ，宽增加２ｃｍ后，面积
保持不变．已知这个长方形的长是６ｃｍ，求它
的宽．
３．编织大、小两种中国结共６个，总计用绳２０ｍ．已知
编织１个大号中国结需用绳４ｍ，编织１个小号中
国结需用绳３ｍ．问这两种中国结各编织了多少个．
问题４ 如图５．２１，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山５０ｋｍ，距绿水
７０ｋｍ．某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表
５．２１所示．王家庄距翠湖的路程有多远？
x km
50 km 70 km
图５．２１
１２６第五章 一元一次方程表５２１
地名 王家庄 青山 绿水
时间 １０：００ １３：００ １５：００
设王家庄距翠湖的路程为狓ｋｍ，则王家庄距
青山的路程为 （狓－５０）ｋｍ，王家庄距绿水的路程
为 （狓＋７０）ｋｍ．由表５．２１可知，汽车从王家庄
到青山的行驶时间为３ｈ，从王家庄到绿水的行驶
时间为５ｈ．
根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程
你还能列得其他方
狓－５０ 狓＋７０ 程吗？
＝ ．
３ ５
这个方程中未知数的系数不是整数，如果能化去分母，把未知数的系数化成整
数，就可以使解方程中的计算更简便些．
我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等．这个方程中各分母的最小
公倍数是１５，方程两边都乘１５，得
５（狓－５０）＝３（狓＋７０）．
去括号，得
５狓－２５０＝３狓＋２１０．
移项，得
５狓－３狓＝２１０＋２５０．
合并同类项，得
２狓＝４６０．
系数化为１，得
狓＝２３０．
因此，王家庄距翠湖的路程为２３０ｋｍ．
３狓＋１ ３狓－２ ２狓＋３
为了更全面地研究问题，我们再以方程 －２＝ － 为例，
２ １０ ５
以框图的形式展示解这类一元一次方程的步骤．
第五章 一元一次方程１２７方程两边的每一项
都要乘分母的最小公倍
数１０．
你能说出每个步骤
的依据吗？
1
3
解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类
项、系数化为１等．通过这些步骤，可以使以狓为未知数的一元一次方程
逐步转化为狓＝犿的形式．这个过程主要依据等式的性质和运算律等．
例７ 解下列方程：
狓＋１ ２－狓 狓－１ ２狓－１
（１） －１＝２＋ ； （２）３狓＋ ＝３－ ．
２ ４ ２ ３
解：（１）去分母 （方程两边乘４），得
２（狓＋１）－４＝８＋（２－狓）．
去括号，得
２狓＋２－４＝８＋２－狓． 对于２狓＋２－４＝
移项，得 ８＋２－狓，也可以先合
并同类项，再移项．
２狓＋狓＝８＋２－２＋４．
合并同类项，得
３狓＝１２．
１２８第五章 一元一次方程系数化为１，得
狓＝４．
（２）去分母 （方程两边乘６），得
１８狓＋３（狓－１）＝１８－２（２狓－１）．
去括号，得
１８狓＋３狓－３＝１８－４狓＋２．
移项，得
１８狓＋３狓＋４狓＝１８＋２＋３．
合并同类项，得
２５狓＝２３．
系数化为１，得
２３
狓＝ ．
２５
１．解下列方程：
１９ ２１ 狓＋１ 狓
（１） 狓＝ （狓－２）； （２） －２＝ ；
１００ １００ ２ ４
５狓－１ ３狓＋１ ２－狓 ３狓＋２ ２狓－１ ２狓＋１
（３） ＝ － ； （４） －１＝ － ．
４ ２ ３ ２ ４ ５
２．伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵
的文物———莱茵德纸草书．这是古埃及人
用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草
片上的著作．书中记载了许多数学问题，
其中有一道著名的问题：一个数，它的三
分之二，它的一半，它的七分之一，它的
全部，加起来总共是３３．这个数是多少？
请你用方程解决这个问题．
３．一辆客车和一辆卡车同时从Ａ地出发沿同
一公路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是７０ｋｍ／ｈ，卡车的行驶速度
是６０ｋｍ／ｈ，客车比卡车早１ｈ经过Ｂ地．求Ａ，Ｂ两地相距的路程．
第五章 一元一次方程１２９
１．解下列方程：
（１）狓＋３狓＝－１６； （２）１６狔－２．５狔－７．５狔＝５；
（３）３狓＋５＝４狓＋１； （４）９－３狔＝５狔＋５．
２．解下列方程：
（１）５犮＋（２－４犮）＝０； （２）２５犫－（犫－５）＝２９；
（３）７狓＋２（３狓－３）＝２０； （４）８狔－３（３狔＋２）＝６．
３．解下列方程：
３狓＋５ ２狓－１ 狓－３ ３狓＋４
（１） ＝ ； （２） ＝ ；
２ ３ －５ １５
３狔－１ ５狔－７ ５狔＋４ 狔－１ ５狔－５
（３） －１＝ ； （４） ＋ ＝２－ ．
４ ６ ３ ４ １２
４．用方程解答下列问题：
（１）狓的５倍与２的和等于狓的３倍与４的差，求狓；
（２）狔与－５的积等于狔与５的和，求狔；
（３）狓与４的和的１．２倍等于狓与１４的差的３．６倍，求狓；
１ １
（４）狔的３倍与１．５的和的 等于狔与１的差的 ，求狔．
２ ４
５．用一根６０ｍ长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的１．５倍．长方形的长
和宽各应是多少米？
６．几个人共同种一批树苗，如果每人种１０棵，则剩下６棵树苗未种；如果每人
种１２棵，则缺６棵树苗．求参加种树的人数．
７．买两种布料共６４ｍ，花了５５０元，其中蓝布料每米８元，黑布料每米９元．
两种布料各买了多少米？
８．一个两位数的个位上数字的３倍加１是十位上的数字，个位上的数字与十位
上数字的和等于９．这个两位数是多少？
９．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步
推广．喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式．
灌溉三块同样大的田地，第一块用漫灌方式，
第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式．后两
种方式的用水量分别是漫灌的２５％和１５％．
１３０第五章 一元一次方程（１）设第一块田地用水狓ｔ，则另两块田地的用水量各如何表示？
（２）如果三块田地共用水４２０ｔ，三块田地各用水多少吨？
１０．某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产．去年１０月该厂生产再生纸
２０５０ｔ，比前年１０月再生纸产量的２倍还多１５０ｔ．前年１０月该造纸厂生产
再生纸多少吨？
１１．张华和李明登一座山．张华平均每分钟登高１０ｍ，并且先出发３０ｍｉｎ，李明
平均每分钟登高１５ｍ，两人同时登上山顶．设张华登山用了狓ｍｉｎ．
（１）如何用含狓的代数式表示李明登山所用时间？
（２）试用方程求狓的值．由狓的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？
１２．两辆汽车从相距８４ｋｍ的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度
快２０ｋｍ／ｈ，半小时后两车相遇．两车的速度各是多少？
１３．在风速为２４ｋｍ／ｈ的条件下，一架飞机顺风从Ａ机场飞到Ｂ机场要用２．８ｈ，
它逆风飞行同一航线要用３ｈ．求：
（１）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；
（２）两机场之间的航程．
１４．如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一
列的三个日期数之和能否为３０？如果能，这三
个日期数分别是多少？
（第１４题）
１５．有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天３名一级技工去粉刷８个房间，结果
有５０ｍ２ 墙面没来得及粉刷；同样时间内５名二级技工除了粉刷了１０个房
间，还多粉刷了另外的４０ｍ２ 墙面．每名一级技工比二级技工每天多粉刷
１０ｍ２ 墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积．
１６．李明骑自行车从Ａ地到Ｂ地，刘伟骑自行车从Ｂ地到Ａ地，两人沿同一公路
匀速前进．已知两人在上午８时同时出发，到上午８时半，两人相距９ｋｍ，到
上午９时，两人又相距９ｋｍ．求Ａ，Ｂ两地相距的路程．
１７．一列火车匀速行驶，经过一条长３００ｍ的隧道需要２０ｓ的时间．隧道的顶上
有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是１０ｓ．
（１）设火车长狓ｍ，用含狓的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯
下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度．
第五章 一元一次方程１３１（２）设火车长狓ｍ，用含狓的代数式表示：从车头进入隧道到车尾离开隧
道，火车所走的路程和这段时间内火车的速度．
（３）求这列火车的长度．
无限循环小数化分数
１
我们知道分数 可以写成小数０．３，反过来，无限循环小数０．３ 可以
３
１ 狆
写成分数 ．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数 （狆，狇是
３ 狇
整数，狇≠０）的形式吗？如果可以，应怎样写呢？
先以无限循环小数０．７为例进行讨论．
设０．７＝狓，由０．７＝０．７７７…可知，１０狓＝７．７７７…，所以１０狓－狓＝７．
７ ７
解方程，得狓＝ ．于是，０．７＝ ．
９ ９
想一想：如何把像０．１，０．２，…，０．９ 这样的无限循环小数化为分数
形式？动手试一试．
再以无限循环小数０．７３为例，作进一步的讨论．
无限循环小数０．７３＝０．７３７３７３…，它的循环节有两位，类比上面的
做法，可以想到：
设０．７３＝狓，由０．７３＝０．７３７３７３…可知，１００狓＝７３．７３７３…，所以
７３ ７３
１００狓－狓＝７３．解方程，得狓＝ ．于是０．７３＝ ．
９９ ９９
想一想：如何把像０．１０，０．１２，…，０．９８ 这样的无限循环小数化为
分数形式？动手试一试．
想一想：如何把无限循环小数０．７３５，０．８２３１化为分数形式？动手试
一试，并总结把无限循环小数化为分数形式的一般方法．
１３２第五章 一元一次方程５．３ 实际问题与一元一次方程
从前面的学习可以看出，方程是分析和解决问题的一种
很有用的数学工具．本节我们重点研究如何用一元一次方程
解决实际问题．
例１ 某车间有２２名工人，每人每天可以生产１２００个螺栓或２０００个螺
母．１个螺栓需要配２个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排
生产螺栓和螺母的工人各多少名？
分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的２倍时，它们刚好配套．
解：设应安排狓名工人生产螺栓，（２２－狓）名
如果设狓名工人生
工人生产螺母．
产螺母，怎样列方程？
根据螺母数量应是螺栓数量的２倍，列得方程
２０００（２２－狓）＝２×１２００狓．
解方程，得
狓＝１０． 这类问题中配套的
进而 物品之间具有一定的数
量关系，这可以作为列
２２－狓＝１２．
方程的依据．
答：应安排１０名工人生产螺栓，１２名工人生
产螺母．
例２ 整理一批图书，由１人整理需要４０ｈ完成．现计划由一部分人先整
理４ｈ，然后增加２人与他们一起整理８ｈ，完成这项工作．假设这些人的工作
效率相同，应先安排多少人进行整理？
分析：如果把总工作量设为１，则人均效率 （一个人１ｈ完成的工作量）
１ ４狓
为 ，狓人先整理４ｈ完成的工作量为 ，增加２人后再整理８ｈ完成的工作
４０ ４０
８（狓＋２）
量为 ，这两个工作量之和应等于总工作量．
４０
解：设先安排狓人整理４ｈ．
第五章 一元一次方程１３３
书书书根据先后两个时段的工作量之和等于总工作
量，列得方程
这类问题中常常把
４狓 ８（狓＋２） 总工作量看作１，并利
＋ ＝１．
４０ ４０ 用 “工作量＝人均效率×
解方程，得 人数×时间”的关系考
虑问题．
狓＝２．
答：应先安排２人进行整理．
3
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方
程、解方程、检验所得结果、确定答案．正确分析问题中的相等关系是列
方程的基础．
１．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要１２天，由乙工程队单独铺设需要２４
天．如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
２．在一次劳动课上，有２７名同学在甲处劳动，有１９名同学在乙处劳动．
现在从其他班级另调２０人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的
２倍，应调往甲、乙两处各多少人？
３．一台仪器由１个Ａ部件和３个Ｂ部件构成．用１ｍ３ 钢材可以做４０个Ａ
部件或２４０个Ｂ部件．现要用６ｍ３ 钢材制作这种仪器，应用多少立方
米钢材做Ａ部件，多少立方米钢材做Ｂ部件，才能制作尽可能多的仪
器？最多能制成多少台仪器？
１３４第五章 一元一次方程有些实际问题中的数量关系比较隐蔽，需要仔细分析才能列出方程．下面
我们进一步探究几个这样的问题．
/
销售中的盈亏
一商店以每件６０元的价格卖出两件衣服，
其中一件盈利２５％，另一件亏损２５％，卖这两
件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
分析：有同学可能认为，一件盈利２５％，另一
件亏损２５％，合起来是不盈不亏；实际上，是盈是 可以先大体估计盈
亏要看这家商店买进这两件衣服时共花了多少元． 亏，再通过准确计算检
如果总售价大于总进价就盈利，总售价小于总进价
验你的判断．
就亏损，相等就不盈不亏．
假设一件商品的进价是４０元，如果卖出后盈利２５％，那么商品利润是
４０×２５％元；如果卖出后亏损２５％，那么商品利润是４０×（－２５％）元．
在本问题中，设盈利２５％的那件衣服的进价是狓元，它的商品利润就是
０．２５狓元．根据进价与利润的和等于售价，列得方程
狓＋０．２５狓＝６０．
解得
狓＝４８．
类似地，可以设另一件衣服的进价为狔元，它的商品利润是－０．２５狔元，
列得方程
狔－０．２５狔＝６０．
解得
狔＝８０．
两件衣服的总进价是４８＋８０＝１２８ （元），而两件衣服的总售价是６０＋６０＝
１２０（元），总售价小于总进价，由此可知卖这两件衣服共亏损８元．
列、解方程后得出的结论与你先前的估计一致吗？通过对本题的探究，你
对方程在实际问题中的应用有什么新的认识？
第五章 一元一次方程１３５
１．某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少１０元，而它们的售
后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为３０％，每个大书包的利
润率为２０％．试求两种书包的进价．
２．一件商品按成本价提高２０％后标价，再打八折销售，售价为１４４元．售
出这件商品是盈利还是亏损？
/
球赛积分表问题
表５３１ 某次篮球联赛积分
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 １４ １０ ４ ２４
东方 １４ １０ ４ ２４
光明 １４ ９ ５ ２３
蓝天 １４ ９ ５ ２３
雄鹰 １４ ７ ７ ２１
远大 １４ ７ ７ ２１
卫星 １４ ４ １０ １８
钢铁 １４ ０ １４ １４
（１）胜一场和负一场各积多少分？
（２）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系．
（３）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
分析：（１）观察表５．３１，从最下面一行数据可以看出，负一场积１分．
设胜一场积狓分，由表５．３１中其他任何一行可以列方程，求出狓的值．
例如，由第一行得方程
１０狓＋１×４＝２４．
解得
狓＝２．
用表５．３１中其他行可以验证，得出结论：胜一场积２分，负一场积１分．
１３６第五章 一元一次方程（２）若一支球队胜犿场，则负 （１４－犿）场，胜场积分为２犿，负场积分
为１４－犿，总积分为
２犿＋（１４－犿），
即
犿＋１４．
（３）设一支球队胜了狔场，则负了 （１４－狔）场．若这支球队的胜场总积
分等于负场总积分，则得方程
２狔＝１４－狔．
解得
１４
狔＝ ．
３
想一想，狔表示什么量？它可以不取整数吗？
由此你能得出什么结论？
解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符 这个问题说明：利
用方程不仅能求具体数
合实际．因为狔（所胜的场数）的值必须是整数，
值，而且可以进行推理
１４
所以狔＝ 不符合实际，由此可以判定没有哪支球 判断．
３
队的胜场总积分等于负场总积分．
上面的问题说明，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否
正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．
１．在足球联赛中，胜一场得３分，平一场得１分，负一场得０分．某队９
场比赛保持不败．
（１）如果这支球队９场比赛得到的积分是２１分，你能算出这９场比赛
中的胜场数和平场数吗？
（２）这支球队９场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？
２．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其
中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
第五章 一元一次方程１３７课外小组活动 文艺小组 科技小组
年级
总时间／ｈ 活动次数 活动次数
七年级 １２．５ ４ ３
八年级 １０．５ ３ ３
九年级 ７
请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表．
/
不同能效空调的综合费用比较
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某
人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表５．３２是这两
款空调的部分基本信息．如果电价是０．５元／（ｋＷ·ｈ），请
你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低．
表５３２ 两款空调的部分基本信息
平均每年
匹数 能效等级 售价／元
耗电量／（ｋＷ·ｈ）
１．５ １级 ３０００ ６４０
中国能效标识
１．５ ３级 ２６００ ８００
分析：在这个问题中，
综合费用＝空调的售价＋电费．
选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关．
设空调的使用年数是狋，则１级能效空调的综合费用 （单位：元）是
３０００＋０．５×６４０狋，
即
３０００＋３２０狋．
３级能效空调的综合费用 （单位：元）是
２６００＋０．５×８００狋，
１３８第五章 一元一次方程即
２６００＋４００狋．
先来看狋取什么值时，两款空调的综合费用相等．
列方程
３０００＋３２０狋＝２６００＋４００狋，
解得
狋＝５．
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示３级能效空调的综合费用的式
子２６００＋４００狋变形为１级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即
（３０００＋３２０狋）＋（８０狋－４００），
也就是
３０００＋３２０狋＋８０（狋－５）．
这样，当狋＜５时，８０（狋－５）是负数，这表明３级能效空调的综合费用较低；当
狋＞５时，８０（狋－５）是正数，这表明１级能效空调的综合费用较低．
由此可见，同样是１．５匹的空调，１级能效空
调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长 （超
过５年）时综合费用反而低．根据相关行业标准， 通常，１级能效空
调既节能又省钱！
空调的安全使用年限是１０年 （从生产日期计起），
因此购买、使用１级能效空调更划算．
１．在甲复印店用Ａ４纸复印文件，复印页数不超过２０时，每页收费０．１２
元；复印页数超过２０时，超过部分每页收费降为０．０９元．在乙复印店
用Ａ４纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费０．１元．复印页数为
多少时，两店的收费相同？
２．现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价２００元，每月包含１０次；
第二种售价３００元，每月包含２０次．两种月票超出每月包含次数后，
都需要另外购票，票价为２５元／次．某人每月乘坐地铁机场线超过１０
次，他购买哪种月票比较节省费用？
第五章 一元一次方程１３９
１．结合本节内容体会例２后归纳的框图．
２．制作一张桌子要用１个桌面和４条桌腿，１ｍ３ 木材可制作２０个桌面，或者制
作４００条桌腿．现有１２ｍ３ 木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
３．某车间每天能制作５００个甲种零件，或２５０个乙种零件 （同一天内不能同时
制作这两种零件），甲、乙两种零件各１个配成１套产品．现要用３０天制作最
多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？
４．某项工作由甲、乙两人单独做分别需要７．５ｈ和５ｈ．如果让甲、乙两人一起
工作１ｈ，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？
５．整理一批数据，由１人整理需８０ｈ完成．现在计划先由一些人整理２ｈ，再增
３
加５人整理８ｈ，完成这项工作的 ．怎样安排参与整理数据的具体人数？
４
６．用Ａ型和Ｂ型机器生产同样的产品，已知５台Ａ型机器一天生产的产品装满
８箱后还剩４个，７台Ｂ型机器一天生产的产品装满１１箱后还剩１个，每台Ａ
型机器比Ｂ型机器一天多生产１个产品．求每箱装多少个产品．
７．下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的变化是均匀的．
时间／ｍｉｎ ０ ５ １０ １５ ２０ ２５
温度／℃ １０ ２５ ４０ ５５ ７０ ８５
（１）实验进行２１ｍｉｎ时的温度是多少？
（２）实验进行多长时间的温度是３４℃？
８．某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装２块大月饼和４块小月饼．
制作１块大月饼要用０．０５ｋｇ面粉，制作１块小月饼要用０．０２ｋｇ面粉．现有
面粉４５００ｋｇ，应各用多少千克面粉制作两种月饼，才能生产最多的盒装
月饼？
９．李明和刘伟分别从Ａ，Ｂ两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条
道路相向匀速而行，出发２４ｍｉｎ后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进
４．８ｋｍ，相遇后６ｍｉｎ李明到达Ｂ地．两人每小时分别行进多少千米？相遇
后经过多长时间刘伟到达Ａ地？
１４０第五章 一元一次方程１０．商店对某商品降价２０％促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销
售时增加百分之几？
１１．甲组的４名工人３月份完成的总工作量比此月人均定额的４倍多２０件，乙组
的５名工人３月份完成的总工作量比此月人均定额的６倍少２０件．
（１）如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？
（２）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的多２件，那么此月人
均定额是多少件？
（３）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少２件，那么此月人
均定额是多少件？
１２．将探究２的积分表换为你们学校某次足球联赛 （或其他联赛）积分表，请你
根据积分表提出一些数学问题并加以解决．
１３． （古代问题）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：
“他生命的六分之一是幸福的童年；
再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；
又度过了一生的七分之一，他结了婚；
再过五年，他有了儿子，感到很幸福；
可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；
儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长
辞了．”
根据以上信息，请你算出：
丢番图 （Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ，
（１）丢番图的寿命；
活动于２５０年前后）
（２）丢番图开始当爸爸时的年龄；
（３）儿子死时丢番图的年龄．
１４．下面是某购物平台的两种图书促销方式．
方式一：满１００元减５０元．
方式二：单件打六折．
考虑下列问题：
（１）设某本书的原价为狋元，列表说明当狋在不同范围内取值时，按两种方
式购买分别需要支付的金额．
（２）观察你的列表，你能从中发现如何根据图书的原价选择省钱的购买方式
吗？通过计算验证你的想法．
第五章 一元一次方程１４１
初步认识数学模型
什么是模型呢？模型可以是按照一定比例缩小的实物，如建筑模型 （图１）、
船舶模型；模型也可以是从实际问题抽象出的数学式子或计算机程序．模型有
物理模型、数学模型、生物模型 （图２）、计算机仿真模型 （图３）等．建立模
型通常是为了用简单的方法去描述现实，即通过研究简化了的模型，来把握现
实世界的本质或规律．具体到数学模型，就是要抽象出现实世界中的事物或因
素之间的关系，然后用数学表达式 （数字、字母和数学符号构成的等式和不等
式等）、表格、图象、框图或计算机程序等来表示．
图１ 图２ 图３
方程就是一类常见的重要数学模型．从初等数学中简单的代数方程 （如一
元一次方程），到高等数学中复杂的微分方程、积分方程等，无论方程的类型如
何变化，方程模型本质上表示的都是一种相等关系，即方程两边的式子表达的
是对同一个事物从不同角度或不同方面的刻画．因此，利用方程模型解决现实
问题时，关键是要分析并找到现实问题中蕴含的相等关系．
我们已经知道如何利用一元一次方程解决实际问题．这个过程实际上也反
映了建立数学模型解决实际问题的基本过程：首先构造数学模型，这需要对实
际问题进行分析，明确其中蕴含的关系或规律，可能还要作一些合理的假设，
将实际问题抽象成数学问题 （数学模型）；然后求解数学模型，即解决数学问题
本身；最后用数学结论解释并解决实
际问题，这时需要结合实际问题的意
义，来检验数学模型的解，有时候还
需要适当改进数学模型，最终得到实
际问题的答案．
１４２第五章 一元一次方程
" *"+K @KM
居民生活用水通常按户计费．下表是某城市居民生活用水的收费标准
（户内人口不超过４人），称这样的收费方式为阶梯计价．
收费方式 年用水量／ｍ３ 费用／（元／ｍ３）
第一阶梯 ０～１８０ ４．５
第二阶梯 １８１～２４０ ６
第三阶梯 ２４０以上 ８
考虑如下问题：
（１）设某户居民的年用水量为狋ｍ３ （狋是正整数）．请你列表说明，
当狋在不同范围内取值时，如何计费．
（２）已知某户居民一年的水费为９３０元，这户居民的年用水量是多
少立方米？
（３）查阅资料，了解自己所在地区的城市居民生活用水收费标准．据
此你能提出一些数学问题并加以解决吗？
（４）查阅资料，了解生活中还有哪些阶梯计价问题 （如电费、停车
场收费、出租车收费等），根据相应的收费标准，自己提出可以利用一元
一次方程解决的问题，并正确地表述问题及其解决过程．
" F'KM
用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验：
（１）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木
杆的支点；
（２）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡；
（３）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右
移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离；
（４）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向
右移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离；
第五章 一元一次方程１４３（５）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录．
根据记录你能发现什么规律？
如图１，在木杆右端挂一重物，支点左边挂狀个重物，并使左右平
衡．设木杆长为犾ｃｍ，支点在木杆中点处，支点与木杆左边挂重物处的
距离为狓ｃｍ，把狀，犾作为已知数，列出关于狓的一元一次方程．
x
l
图１
１４４第五章 一元一次方程
方程是一种描述现实世界的重要的数学模型．在本章，我们结合一些
实际问题，学习了方程的有关概念，并重点研究了最基本的方程———
一元一次方程，为进一步学习方程打下基础．
方程是含有未知数的等式，解方程就是求出方程中的未知数的值．解
以狓为未知数的方程，就是把方程逐步转化为狓＝犿 （常数）的形式．
一元一次方程是只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未
知数的次数都是１的方程．一元一次方程都可以化为标准形式犪狓＋犫＝０
（其中狓是未知数，犪，犫是已知数，并且犪≠０）．解一元一次方程是使方
程形式逐步化简，最终得出未知数的值．在此过程中，化归的思想起了重
要作用，而等式的性质及运算律是化归的根据．
利用方程解决实际问题，应认真分析其中的数量关系，关键是要找
出相等关系，由此设未知数、列方程，从而把实际问题转化为数学问题；
然后通过解方程获得数学结论；最后用数学结论解释实际问题．这是一个
“实际问题—数学问题—实际问题”的过程．今后，我们还将不断经历这
第五章 一元一次方程１４５一过程，提高用数学解决实际问题的能力．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明方程与等式之间的关系以及一元一次方程的特征．
２．回顾等式的性质，说明解方程和等式的性质之间有什么关系．
３．回顾解一元一次方程的一般步骤，结合例子体会：解关于狓的一
元一次方程，就是运用等式性质和运算律，根据方程的具体特点，通过
灵活变形将方程逐步化简，最后变为狓＝犿 （常数）的形式而得解．
４．你能举例说明用字母表示数、列代数式和列方程的区别和联系吗？
５．在用方程解决实际问题的过程中，要特别关注从实际问题中分析出
相等关系，进而把实际问题转化为方程问题．你能举例对此加以说明吗？
６．请收集一些重要问题 （如气候、节能环保、经济等）的有关数据，
经过分析后提出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题
及其解决过程．
１．列方程表示下列语句中的相等关系：
（１）某地２０２３年９月１０日的温差是４℃，这天最高气温是狋℃，最低气温是
５
狋℃；
６
（２）某校七年级学生人数为狀，其中男生占４５％，女生有１１０人；
（３）一种商品每件进价为犪元，售价为进价的１．１倍，现每件的售价又降低１０
元，现售价为每件２１０元；
（４）在５天中，第一小组共植树６０棵，第二小组共植树狓（狓＜６０）棵，平均每
天第一小组比第二小组多植２棵树．
２．指出狓＝１，狓＝２，狓＝３各是下列哪个方程的解：
（１）３狓－３＝２狓； （２）０．３狓－３０＝－９．７－２０狓；
３
（３） 狓－３＝２狓－４．
２
１４６第五章 一元一次方程３．解下列方程：
４ １１
（１） －８狓＝３－ 狓； （２）０．５狓－０．７＝６．５－１．３狓；
３ ２
１ ２ １－２狓 ３狓＋１
（３） （３狓－６）＝ 狓－３； （４） ＝ －３．
６ ５ ３ ７
４．当狓为何值时，下列各组中两个式子的值相等？
狓－１ 狓＋３ ２ 狓－１ ３（狓－１） ８
（１）狓－ 和７－ ； （２） 狓＋ 和 － 狓．
３ ５ ５ ２ ２ ５
１
５．在梯形面积公式犛＝ （犪＋犫）犺中，
２
（１）已知犛＝３０，犪＝６，犺＝４，求犫；
（２）已知犛＝６０，犫＝４，犺＝１２，求犪；
５
（３）已知犛＝５０，犪＝６，犫＝ 犪，求犺．
３
６．李明在超市买了４瓶矿泉水和２条毛巾，共花了２２元．已知１瓶矿泉水的售价
是１．５元，１条毛巾的售价是多少元？
７．在北京２０２２年冬奥会上，中国代表团共获得１５枚奖牌，其中金牌数比银牌数多
５枚，银牌数比铜牌数多２枚．中国代表团一共获得多少枚金牌？
８． （我国古代问题）? 跑得快的马每天走２４０里，跑得慢的马每天走１５０里．慢马
先走１２天，快马几天可以追上慢马？
９．某人年初购买了Ａ，Ｂ两只基金共２００００元，年底卖出后发现两只基金的实际
收益恰好相等，且实际收益率分别为４．４％和３．６％．Ａ，Ｂ两只基金各购买了多
少元？
? 这道题选自我国元代数学家朱世杰所著的 《算学启蒙》（１２９９年）．原题是：
“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日
追及之．”题中的 “里”是我国古代长度单位．
第五章 一元一次方程１４７１０．李明和刘伟在６００ｍ环形跑道上跑步．李明平均每分钟跑１９０ｍ，刘伟平均每
分钟跑２１０ｍ．两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过
多长时间再次相遇？
１１．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住６只鸽子，则剩余３只鸽子无鸽笼可
住；如果再飞来５只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住８只鸽子．原来
有多少只鸽子和多少个鸽笼？
１２．父亲和女儿现在的年龄之和是９１，当父亲的年龄是女儿现在年龄的２倍时，女
１
儿的年龄是父亲现在年龄的 ．求女儿现在的年龄．
３
１３．学校组织知识竞赛，共设２０道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了
５名参赛同学的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
Ａ ２０ ０ １００
Ｂ １９ １ ９４
Ｃ １８ ２ ８８
Ｄ １４ ６ ６４
Ｅ １０ １０ ４０
（１）同学Ｆ得７６分，他答对了几道题？
（２）同学Ｇ说他得了８０分，你认为可能吗？为什么？
１４．一家游泳馆每年６月—８月出售夏季会员证．每张会员证１２０元，只限本人使
用，凭会员证购入场券每张１５元，不凭会员证购入场券每张２０元．讨论并回
答下列问题：
（１）在什么情况下，使用会员证与不使用会员证付一样的钱？
（２）在什么情况下，使用会员证比不使用会员证更合算？
（３）在什么情况下，不使用会员证比使用会员证更合算？
１５． “丰收１号”油菜籽平均每公顷的产量为２４００ｋｇ，含油率为４０％．“丰收２号”
油菜籽比 “丰收１号”平均每公顷的产量提高了３００ｋｇ，含油率提高了１０个
百分点．某村去年种植 “丰收１号”油菜，今年改种 “丰收２号”油菜，虽然
种植面积比去年减少了３ｈｍ２ ，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了
３７５０ｋｇ．这个村去年和今年油菜的种植面积各是多少公顷？
１４８第五章 一元一次方程第六章 几何图形初步
现实世界中有形态各异、丰富多彩的图形．在小学我们学过许多关于图形
的知识，你能从章前图中找到一些熟悉的图形吗？
千姿百态的图形美化了我们的生活空间，也启发我们思考很多问题．例
如，怎样画一个五角星？怎样设计一个产品包装盒？不同的图形各有什么特点
和性质？等等．所有这些，都需要我们知道更多的图形知识．
几何就是一门研究图形的形状、大小和位置关系的学科．本章我们将在小
学直观认识图形的基础上，继续学习几何图形的基础知识，进一步探索直线、
线段、角等基本的几何图形的性质，初步体会几何图形的研究内容、研究方
法，为今后进一步学习更复杂的几何图形及其性质作好准备．
第五章 一元一次方程６．１ 几何图形
从古朴的特色民居到宏伟的城市建筑，从街头巷尾的交
通标志到四通八达的立交桥，从古老的剪纸艺术到现代的城
市雕塑，从自然界形态各异的生物到北京２０２２年冬奥会标
志 （图６．１１）……，图形世界多姿多彩！
图６．１１
各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质，还具有形状 （如方
的、圆的等）、大小 （如长度、面积、体积等）和位置关系 （如相交、垂直、
平行等），物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容．
我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆
锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形
（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｆｉｇｕｒｅ）．几何图形是数学研究的主要对象之一．
１５０第六章 几何图形初步６１１ 立体图形与平面图形
有些几何图形 （如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在
同一平面内，它们是立体图形．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．图６．１２中
的包装盒、储物盒等都给我们以棱柱的形象，金字塔则给我们以棱锥的形象．
你能再找出一些棱柱、棱锥的实例吗？
图６．１２
5
图６．１３中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线
连起来．
图６．１３
有些几何图形 （如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一
平面内，它们是平面图形．
第六章 几何图形初步１５１5
图６．１４的各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的
例子．
图６．１４
虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的．
很多立体图形中的某些部分是平面图形，例如，长方体的侧面是长方形．
１．一个铁球有下列性质：铁质，坚硬，灰黑色，球形，直径为５ｃｍ，质
量约为５１７ｇ，摸上去较凉，等等．几何研究其中的哪些性质？
２．图中的各立体图形的表面中包含哪些平面图形？指出这些平面图形在
立体图形中的位置．
（第２题）
对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究．从不同方向
看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．在建筑、工程等设计中，也常
常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形．图６．１５是一个工件的立体
图，设计师们常常画出从不同方向看它得到的平面图形来表示它 （图６．１６）．
１５２第六章 几何图形初步
图６．１５ 图６．１６
例１ 图６．１７是一个由９个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从
前面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？
图６．１７ 图６．１８
解：分别从前面、左面、上面观察这个立体图形，得到的平面图形如图
６．１８所示．
第六章 几何图形初步
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展
开成平面图形．这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．如图６．１９，要设
计、制作一个长方体形状的粉笔盒，除了美术设计，还要了解它展开后的形
状，根据它的展开图来裁剪纸张．自己动手把一个粉笔盒剪开铺平，看看它的
图６．１９
１５３展开图由哪些平面图形组成，再把展开的纸板复原为粉笔盒，体会粉笔盒与它
的展开图的关系．
/
你还记得长方体和圆柱的展开图吗？图６．１１０是一些立体图形的展
开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下
来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同．
图６．１１０
１．如图，右面三幅图分别是从哪个方向看这个棱柱得到的？
（第１题）
２．如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来．
（第２题）
１５４第六章 几何图形初步３．下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是 （ ）．
（第３题）
６１２ 点、线、面、体
我们可以用简单图形构造出复杂图形，也可以把复杂图形转化为简单图形
进行研究．构成图形的元素是什么？这些元素之间又存在着什么关系？
5
图６．１１１是一个长方体，它有几个面？
面和面相交的地方形成了几条棱？棱和棱相
交成几个顶点？
图６．１１１
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体．几何体也
简称体．
包围着体的是面．面有平的面和曲的面两种．平静的水面给我们以平面的
形象，而一些建筑物的屋顶 （图６．１１２）则给我们以曲面的形象．你能再举出
一些平面与曲面的例子吗？
图６．１１２ 图６．１１３
夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优
美的图案 （图６．１１３），这些都给我们以线的形象．面和面相交的地方形成线．
长方体６个面两两相交所成的１２条棱 （线）是直的，圆柱的侧面与底面相交
第六章 几何图形初步１５５得到的圆是曲的．
天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象．线和线相交的地
方是点．
如图６．１１４（１），笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线，
节日的焰火也可以看成由点运动形成的，这可以说点动成线．清洁玻璃时，刮
窗器在玻璃上形成一个面 （图６．１１４（２）），这可以说线动成面．长方形硬纸片
绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体 （图６．１１４（３）），这可以说面动成体．
图６．１１４
几何图形都是由点、线、面、体组成
的，点是构成图形的基本元素．一些庆祝
活动的背景图案 （图６．１１５）也可以看作
由点组成．
点、线、面、体经过运动变化，就能
组合成各种各样的几何图形，形成多姿多
彩的图形世界．
图６．１１５
１．围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？
（第１题）
１５６第六章 几何图形初步２．如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下
面的平面图形．把有对应关系的线与平面图形用线连起来．
（第２题）
３．如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形．把有
对应关系的平面图形与立体图形用线连起来．
（第３题）
１．把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来．
（第１题）
第六章 几何图形初步１５７２．如图，分别从前面、左面、上面观察这些立体图形，各能得到什么平面图形？
（第２题）
３．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形的是 （ ）．
（第３题）
４．如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来．
（第４题） （第５题）
５．如图，边长为５ｃｍ的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，得到的几何
体是 ；从前面看这
个几何体，所得图形的形
状是 ，它 的 面 积
是 ．
６．如图，这些图形都是正方
体的展开图吗？如果不能
确定，折一折，试一试．
你还能再画出一些正方体
的展开图吗？
（第６题）
１５８第六章 几何图形初步
７． “横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”
这是宋代诗人苏轼的著名诗句．你能说出 “横看成岭侧成峰”中蕴含的数学
道理吗？
８．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠
成正方体后，有 “的”字一面的相对面上的
字是 （ ）．
（Ａ）我 （Ｂ）中 （Ｃ）国 （Ｄ）梦
（第８题）
９．如图，下列图形能折叠成什么图形？
（第９题）
１０．你能把一张正方形纸片折叠成一个三棱锥吗？动手试一试．
１１．如图，左面的图形可能是右面哪些图形的展开图？
（第１１题）
１２．通过查阅图书或网络搜索等，收集能够反映几何知识实际应用的图片等材
料，并和同学交流．
第六章 几何图形初步１５９汉代画像石上的规矩图
（拓片）：伏羲 （右）手
执 矩，女 娲 （左）手
执规．
新石器时期的玉
琮，横截面为圆
内切于正方形．
在我国古代，夏朝就已有
规、矩、准、绳等测量工具，并
用圭表测量日影的长度．
魏晋时期的骨尺
在古埃及，由于尼
罗河经常泛滥需要不断
整修和重新丈量土地，
历史上最早的数
所以测量土地的方法引
学手稿———古埃
起人们的重视．
及莱茵德纸草书
（约公元前１６５０
年），记载了几
何测量问题． 古埃及底比斯古墓
壁 画 （约 公 元 前
１４１５年）的一部分，
图上的人手持度量
用的工具和卷绳．
１６０第六章 几何图形初步新石器时期大汶口文化
彩陶上的几何图形．
从制造最简单的测量工具
开始，就有了初步的对几何图
形的认识和度量．
圭表，我国古代度量日影长
度的一种工具，由圭和表两
部分组成．
几何作为数学的一个分支起源于
遥远的古代，人们通过观察和经验获
得了有关物体形状、大小和位置关系
的知识，将其应用于制作生活器皿、
建造住房中，并用图案加以装饰；在
管理和商业交流中要精确划分土地的
边界、计算距离和面积等．不同的古
代文明中都有对图形形状的认识和几 古巴比伦泥版 （公元前１９００—
何测量． 前１６００），记载了绘制直角的
在古巴比伦的
不同方法．
数学泥版上，记录
了对几何图形的认
识和度量．
古巴比伦泥版，记载
了单位正方形对角线
长的近似值 （用六十
进制表示）．
第六章 几何图形初步１６１６．２ 直线、射线、线段
直线、射线、线段是基本的几何图形．在小学我们已经
对它们有了初步认识，你能说说它们的联系与区别吗？
下面我们进一步对它们进行研究．
６２１ 直线、射线、线段
/
经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？动手试一试．
通过画图和思考，可以得到一个基本事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
简单说成：两点确定一条直线．
在日常生活和生产中常常用到这个基本事实．例如，有
些建筑工人砌墙时，会在两个墙脚的位置分别固定一根木
杆，然后拉一条直的参照线 （图６．２１）；植树时，只要定出
两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上；等等． 图６．２１
因为两点确定一条直线，所以除了用一个小写字母表示直线 （如直线犾），
我们还经常用一条直线上的两个点来表示这条直线 （图６．２２）．一个点在一条
直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在一条直线外，也可以说这条
直线不经过这个点 （图６．２３）．
l P
l
a
B
A O O b
直线犃犅或直线犾 点犗在直线犾上 （直线犾经过点犗）， 直线犪和犫相交于点犗
点犘在直线犾外 （直线犾不经过点犘）
图６．２２ 图６．２３ 图６．２４
如图６．２４，当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交
（ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ），这个公共点叫作它们的交点．
１６２第六章 几何图形初步射线和线段都是直线的一部分．类似于直线的表示，可以用图６．２５的方
式来表示线段犃犅（或线段犅犃），其中点犃、点犅是线段的端点．用图６．２６
的方式来表示射线犗犃，其中点犗是射线的端点．
a
l 怎样由一条线段得
A B O A
线段犃犅或线段犪 射线犗犃或射线犾 到一条射线或一条直线？
图６．２５ 图６．２６
连接犃犅，就是要画出以犃，犅为端点的线段；延长线段犃犅，是指按从端
点犃到犅的方向延长 （图６．２７）；延长线段犅犃，是指按从端点犅到犃的方
向延长，这时也可以说反向延长线段犃犅（图６．２８）．
A B A B
图６．２７ 图６．２８
１．判断题．
（１）线段犃犅和射线犃犅都是直线犃犅的一部分；
（２）直线犃犅和直线犅犃是同一条直线；
（３）射线犃犅和射线犅犃是同一条射线；
（４）向一个方向延长线段可得到射线，向两个方向延长线段可得到
直线．
２．按下列语句画出图形：
（１）直线犈犉经过点犆；
（２）点犃在直线犾外；
（３）经过点犗的三条线段犪，犫，犮；
（４）线段犃犅，犆犇相交于点犅，连接犃犇．
３．用适当的语句表述图中点与直线的关系．
P b c
l A
B
A B C a
（第３题）
第六章 几何图形初步１６３６２２ 线段的比较与运算
不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较线段的长短，并能进行一
些运算．为进行线段的比较与运算，需要画一条线段等于已知线段．
我们知道，画一条线段等于已知线段犃犅，可以先用刻度尺量出线段犃犅的
长度，再画一条等于这个长度的线段．也可以先用直尺画直线犾，再用圆规在直
线犾上截取犆犇＝犃犅（图６．２９）．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规
作图，这就是尺规作图．图６．２９就是 “作一条线段等于已知线段”的尺规作图．
想一想，两种方法
中，刻度尺、直尺和圆规
分别发挥了什么作用？
l
A B C(A) D(B)
图６．２９
/
N
怎样比较两条线段的长短 DN
呢？你能从比身高 （图６．２１０）
N
上受到启发吗？
你能再举出一些比较线段
长短的实例吗？
图６．２１０
比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把
其中的一条线段移到另一条线段上作比较 （图６．２１１）．
将一条线段移到另
一条线段上时，通常使
它们的一个端点重合．
A B C(A) B D
图６．２１１
在图６．２１１中，点犃与点犆重合，点犅落在点犆，犇之间，这时我们说
线段犃犅小于线段犆犇，记作犃犅＜犆犇．想一想，什么情况下线段犃犅大于线
段犆犇，线段犃犅等于线段犆犇呢？
１６４第六章 几何图形初步/
如图６．２１２，从犃地到犅地有四条
道路，除它们外能否再修一条从犃地到
犅地的最短道路？如果能，请你联系以
前所学的知识，在图上画出最短道路． A B
图６．２１２
在图６．２１２中，连接线段犃犅．把这些道路看成各种形状的软线，将它们
展直，比较它们的长度．容易发现线段犃犅最短．这样，可以得到一个关于线
段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗？
连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 （ｄｉｓｔａｎｃｅ）．
下面，我们研究线段的运算．
在直线上作线段犃犅＝犪，再在犃犅的延长线上作线段犅犆＝犫，线段犃犆
就是犪与犫的和，记作犃犆＝犪＋犫（图６．２１３ （１））．设线段犪＞犫，如果在线
段犃犅上作线段犅犇＝犫，那么线段犃犇就是犪与犫的差，记作犃犇＝犪－犫（图
６．２１３ （２））．
a b
A B C A D B
a b b
a
AC a+b AD a-b
图６．２１３
例１ 如图６．２１４，已知线段犪，犫，作一条线段，使它等于２犪－犫．
a
b
a a
b A B D C
图６．２１４ 图６．２１５
解：如图６．２１５，在直线上作线段犃犅＝犪，再在线段犃犅的延长线上作线
第六章 几何图形初步１６５段犅犆＝犪，则线段犃犆＝２犪．在线段犃犆上作线段
犆犇＝犫，则线段犃犇＝２犪－犫．
在一张透明的纸上
画一条线段，折叠纸
如图６．２１６ （１），点犕把线段犃犅分成相等
片，使线段的端点重
的两条线段犃犕与犕犅，点犕叫作线段犃犅的中
合，折痕与线段的交点
点．类似地，还有线段的三等分点、四等分点等
就是线段的中点．
（图６．２１６ （２）（３））．
A M B A M N B A M N P B
1 1 1
AM MB AB AM MN NB AB AM MN NP PB AB
2 3 4
图６．２１６
１．估计下列图中线段犃犅与犃犆的大小关系，再用刻度尺或圆规检验．
C C C
A
B
B
A A B
（第１题）
２．如图，已知线段犪，犫，作一条线段，使它等于犪＋２犫． a
３．点犕，犖，犘在同一条直线上，犕犖＝３ｃｍ，犖犘＝１ｃｍ． b
（第２题）
求线段犕犘的长．
１．如图，已知三点犃，犅，犆，
A
（１）画直线犃犅； （２）画射线犃犆；
（３）连接犅犆． C
B
（第１题）
１６６第六章 几何图形初步２．读下列语句，并分别画出图形：
（１）直线犾经过犃，犅，犆三点，并且点犆在点犃与点犅之间；
（２）两条线段犿与狀相交于点犘；
（３）犘是直线犪外一点，过点犘有一条直线犫与直线犪相交于点犙；
（４）直线犾，犿，狀相交于点犙．
３．用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明
；在细木条上再钉一个钉子，细木条就被固
定在木板上，这说明 ．
４．如图，点犆，犇在线段犃犅上，且犃犆＝犆犅，犆犇＝犇犅．
（１）点 是线段犃犅的中点，点犆是线
A C D B
段 的三等分点．
（第４题）
（２）犃犆是犇犅的几倍？犃犅是犆犇的几倍？
１
５．已知线段犃犅，延长犃犅至点犆，使犅犆＝ 犃犅，犇是线段犃犆的中点，如果
３
犇犆＝２，那么犃犅的长为 （ ）．
（Ａ）４ （Ｂ）３ （Ｃ）２ （Ｄ）１
６． （１）如图 （１），把原来弯曲的河道改直，犃，犅两地间的河道长度有什么
变化？
（２）如图 （２），公园里修建了曲折迂回的桥．与修一座直的桥相比，修建弯
曲的桥能对游人观赏湖面风景起什么作用？你能用所学数学知识说明其
中的道理吗？
（第６题）
第六章 几何图形初步１６７７．犃，犅，犆是数轴上的三个点，点犃表示数３，且线段犃犅
a
的长为４，犆为犃犅的中点．点犆表示的数是多少？
b
８．如图，已知线段犪，犫，犮，作一条线段，使它等于犪＋２犫－犮．
c
（第８题）
９． （１）如图 （１），一只蚂蚁从点犃沿圆柱表面爬行到它正上方的点犅处，怎样
爬行路线最短？
（２）如图 （２），如果蚂蚁从点犃沿圆柱侧面爬行一圈到达点犅，怎样爬行路
线最短？从点犃沿圆柱侧面爬行两圈到达点犅呢？说出你的理由．
B B
A A
（第９题）
１０．如图，两条直线相交，有一个交点．三条直线相交，最多有多少个交点？四
条直线呢？你能发现什么规律？
（第１０题）
长度的测量
在日常生活和生产中，人们经常要进行长度的测量．
测量离不开测量单位．人们最初应用人体自身来测量长度．《孔子家语》中
就有记载 “布手知尺，布指知寸，舒肘知寻”，即成年男子大拇指与中指张开的
长度 （即一鳰）是一尺，手指顶端一节的长度是一寸，张开双臂的长度 （即一
庹）是一寻．（在我国不同朝代，“尺”“寸”的实际长度有所不同．）
１６８第六章 几何图形初步?
?
?
?
在国际单位制中，长度的基本单位是米 （ｍ），１ｍ最早是由地球球面上经
（ ）
１
过巴黎经线的两千万分之一 定出的．在１８８９年第一届国际计量大
２０００００００
会上，规定 “米原器”为 “１ｍ”的基准．随着计量科学的发展，在１９８３年第
１
十七届国际计量大会上，“１ｍ”重新被定义为光在真空中经过 ｓ传
２９９７９２４５８
播的路程，并一直沿用至今．
常用的长度单位还有千米 （ｋｍ）、分米 （ｄｍ）、厘米 （ｃｍ）、毫米 （ｍｍ）、
微米 （μｍ）等．科研中还经常用到更小和更大的长度单位．广泛应用的纳米科
学，就是在纳米 （ｎｍ）尺度上研究物质的特性和相互作用的．１ｎｍ等于十亿分
之一米，亚洲人头发的平均直径就约为１２万纳米！天文学上经常用天文单位和
光年计算星体间的距离．１天文单位是地球与太阳的平均距离，约等于１．５×１０８ｋｍ，
１光年是光１年走过的距离，约等于９．４６×１０１２ｋｍ．
除了国际单位制的长度单位，有时还用到其他一些长度单位．例如，海上
航行经常使用海里 （ｎｍｉｌｅ，１ｎｍｉｌｅ＝１８５２ｍ）作为长度单位；人们经常提及
的 “××英寸手机”使用的是英制长度单位；等等．查一查资料，英制长度单
位和国际单位制的长度单位是如何换算的？你知道６．７英寸与６．１英寸的手机
屏幕对角线长度相差多少厘米吗？
测量长度的工具有很多种，如塑料尺、卷
尺、游标卡尺、激光测距仪等．随着科技的发
展，测量工具的精度也越来越高，例如，卫星激
光测距仪，以毫米级的测距精度服务于测绘和航
天等领域．
第六章 几何图形初步１６９６．３ 角
与线段一样，角也是一种基本的几何图形．在本节中，
我们将类比线段的研究内容和方法研究角的有关问题．
６３１ 角的概念
在日常生活中，角的实例随处可见．例如，钟面上的时针与分针、棱锥相
交的两条棱、三角尺两条相交的边线 （图６．３１），都给我们以角的形象．
图６．３１
我们知道，有公共端点的两条射线组成的图形
叫作角 （ａｎｇｌｅ），这个公共端点是角的顶点，这两 A
条射线是角的两条边．角通常用如图６．３２的方法
B
来表示． a b
O C
A 如图，能把∠α记
作∠犗吗？为什么？∠α
a
还可以怎样表示？
O
B 1
∠犃犗犅或∠犗 ∠α ∠１
图６．３２
5
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．如图
６．３３，射线犗犃绕端点犗旋转，当终止位置犗犅和起始位置犗犃成一条
直线时，形成什么角？继续旋转，犗犅和犗犃重合时，又形成什么角？?
? 今后，如无特别说明，本套书所说的角都是指还没有旋转成平角时所成的角．
１７０第六章 几何图形初步B
B O A O A(B)
O A
图６．３３
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位．如图６．３４，把
一个周角３６０等分，每一份就是１度的角，记作１°；把１度的角６０等分，每一
份叫作１分的角，记作１′；把１分的角６０等分，每一份叫作１秒的角，记作１″．
与计量时间的时、
分、秒一样，角的度、
分、秒也是六十进制的．
六十进制起源于四大文
明古国之一的古巴比伦．
图６．３４
１周角＝ °，１平角＝ °，１°＝ ′，１′＝ ″．
∠α的度数是４８度５６分３７秒，记作∠α＝４８°５６′３７″．
借助三角尺，可以画出３０°，４５°，６０°，９０°等特殊角；借助量角器，可以
画出任何给定度数 （如３６°，１０８°）的角．
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制．此外，还有其他度量角
的单位制．例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上
经常使用的角的密位制，等等．
##
最早明确使用角度制的文字记载于希腊学者托勒密 （Ｐｔｏｌｅｍａｅｕｓ，
约９０—１６８）的 《天文学大成》．托勒密在书中将圆周分为３６０等份，将１份记
为１°，并采用古巴比伦的六十进制，定义出度、分、秒，这样便形成了角度制．
例１ 如图６．３５ （１），货轮犗在航行过程中，发现灯塔犃在它南偏东６０°
的方向上．同时，在它北偏东４０°、南偏西１０°、西北 （北偏西４５°）方向上又
第六章 几何图形初步１７１分别发现了客轮犅、货轮犆和海岛犇．仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客
轮犅、货轮犆和海岛犇方向的射线．
B
在航行、测绘等工
40e 作中，经常以正北、正
南方向为基准，描述物
O O
60e A 60e A 体运动的方向，如 “北
偏东３０°”“南偏西２５°”．
图６．３５
解：以点犗为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画４０°的角，使它
的另一边犗犅落在东与北之间．射线犗犅的方向就是北偏东４０°（图６．３５（２）），
即客轮犅所在的方向．
类似地，请你在图６．３５ （２）上画出表示货轮犆和海岛犇方向的射线．
１．６时整，钟表的时针和分针构成多少度的
角？８时呢？８时３０分呢？ A
1
D
3
２．根据图中信息填写下表，将表中的角用其
4
2
他方法表示出来． B C
（第２题）
表示方法１ ∠１ ∠３ ∠犇
表示方法２ ∠犆犃犇 ∠犃犆犅 ∠犃犅犆 ∠犃犆犇
３． （１）３５°等于多少分？等于多少秒？
（２）３８°１５′和３８．１５°相等吗？如不相等，哪一个大？
４．从蜂巢的入口处看，蜂巢由
许多正六边形 （六条边相
等，六个角也相等）构成， 60e
按图示的方法，利用三角尺
和圆规画出一个正六边形．
（第４题）
１７２第六章 几何图形初步６３２ 角的比较与运算
我们已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小呢？
与线段长短的比较类似，可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大
小；也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个
角的大小．你能结合图６．３６，描述比较∠犃犗犅与∠犃′犗′犅′大小的方法和结
果吗？
B B
B(B)
B
B
O(O) A(A) O(O) A(A) O(O) A(A)
∠犃犗犅＜∠犃′犗′犅′ ∠犃犗犅＝∠犃′犗′犅′ ∠犃犗犅＞∠犃′犗′犅′
图６．３６
5
C
类比两条线段的和与差，你能结合图６．３７说
B
明什么是两个角的和与差吗？
O A
图６．３７
在图６．３７中，∠犃犗犆是∠犃犗犅与∠犅犗犆的和，记作∠犃犗犆＝∠犃犗犅＋
∠犅犗犆．∠犃犗犅是∠犃犗犆与∠犅犗犆的差，记作∠犃犗犅＝∠犃犗犆－∠犅犗犆．
类似地，∠犃犗犆－∠犃犗犅＝ ．
/
参考图６．３８，借
助一副三角尺的角，结
合角的和、差运算，可
以画出哪些度数的角？
75e 15e
图６．３８
第六章 几何图形初步１７３例２ 如图６．３９，犗是直线犃犅上一点，∠犃犗犆＝５３°１７′，求∠犅犗犆的
度数．
C
进行角度的加、减
运算时，要将度与度、
A O B
图６．３９ 分与分、秒与秒分别相
加、减．分、秒相加时，
分析：犃犅是直线，∠犃犗犅是平角．∠犅犗犆
逢６０要进位；相减时，
与∠犃犗犆的和是∠犃犗犅． 如不够减要借１作６０．
解：由题意可知，∠犃犗犅是平角，∠犃犗犅＝ 本题中应借 １°，先将
１８０°化为１７９°６０′，再进
∠犃犗犆＋∠犅犗犆，
行减法运算．
所以 ∠犅犗犆＝∠犃犗犅－∠犃犗犆
＝１８０°－５３°１７′
＝１２６°４３′．
１．填空题．
（１）如果∠１＝∠２，∠２＝∠３，则∠１ ∠３；
（２）如果∠１＞∠２，∠２＞∠３，则∠１ ∠３．
２．按图填空．
D
（１）∠犃犗犅＋∠犅犗犆＝ ；
C
（２）∠犃犗犆＋∠犆犗犇＝ ；
O
（３）∠犅犗犇－∠犆犗犇＝ ； B
（４）∠犃犗犇－ ＝∠犃犗犅． A
（第２题）
３．计算：
（１）４８°３９′＋６７°３１′； （２）４１°１２′－１１°２７′．
我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段．类似地，在图６．３１０
中，如果∠犃犗犅＝∠犅犗犆，那么射线犗犅把∠犃犗犆分成两个相等的角．这时有
１
∠犃犗犆＝２∠犃犗犅＝２ ，∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝ ．
２
１７４第六章 几何图形初步C
D
C
B
B
O A O A
１
犗犅是∠犃犗犆的平分线 ∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝∠犆犗犇＝ ∠犃犗犇，
３
犗犅，犗犆是∠犃犗犇的三等分线
图６．３１０ 图６．３１１
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作
这个角的平分线．类似地，还有角的三等分线 （图６．３１１）等．
/
仿照图６．３１２，在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线．
P
P
R
P
R
R
图６．３１２
例３ 把一个周角７等分，每份是多少度的角 （精确到分）？
分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分．
解： ３６０°÷７
＝５１°＋３°÷７
＝５１°＋１８０′÷７
≈５１°２６′．
答：每份是约５１°２６′的角．
１．如图，把一个蛋糕等分成８份，每份中的角是多少
度？要使每份中的角是１５°，这个蛋糕应等分成多
少份？
（第１题）
第六章 几何图形初步１７５２．如图，犗是直线犃犅上一点，犗犆是∠犃犗犅的平分
C
D
线，∠犆犗犇＝３１°２８′．求∠犃犗犇的度数．
３．计算：
A O B
（１）２１°１７′×５；
（第２题）
（２）１８０°÷１１ （精确到分）．
６３３ 余角和补角
在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是９０°，而其他两个角的和是９０°
（３０°＋６０°＝９０°，４５°＋４５°＝９０°）．一般地，如图６．３１３，如果两个角的和等于
９０°（直角），就说这两个角互为余角 （ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ），简称这两个角
互余，其中一个角是另一个角的余角．
2
4
1 3
图６．３１３ 图６．３１４
类似地，如图６．３１４，如果两个角的和等于１８０°（平角），就说这两个角
互为补角 （ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ），简称这两个角互补，其中一个角是另一个
角的补角．
下面，我们进一步研究余角、补角的性质．
5
∠１与∠２，∠３都互为余角，∠２与∠３的大小有什么关系？
类似地，与同一个角互补的两个角的大小有什么关系？
因为∠１与∠２，∠３都互为余角，所以∠２＝９０°－∠１，∠３＝９０°－∠１，
所以∠２＝∠３．由此得到关于余角的一个性质：
同角 （等角）的余角相等．
你能说明为什么 “同
对于补角也有类似的性质：
角 （等角）的补角相等”
同角 （等角）的补角相等．
吗？
１７６第六章 几何图形初步例４ 如图６．３１５，点犃，犗，犅在同一条直线上，射线犗犇和射线犗犈
分别平分∠犃犗犆和∠犅犗犆．图中哪些角互为余角？
分析：互为余角的两个角的和是９０°，而已知条件中隐
含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现 D C
E
互为余角的角．
A O B
解：因为点犃，犗，犅在同一条直线上，所以∠犃犗犆
图６．３１５
和∠犅犗犆互为补角．
又因为射线犗犇和射线犗犈分别平分∠犃犗犆和∠犅犗犆，所以
１ １ １
∠犆犗犇＋∠犆犗犈＝ ∠犃犗犆＋ ∠犅犗犆＝ （∠犃犗犆＋∠犅犗犆）
２ ２ ２
＝９０°．
所以，∠犆犗犇和∠犆犗犈互为余角．
同理，∠犃犗犇和∠犅犗犈，∠犃犗犇和∠犆犗犈，∠犆犗犇和∠犅犗犈也互为
余角．
１．图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
80e
10e 30e
60e
100e
150e
170e
120e
（第１题）
２．一个角是７０°３９′，求它的余角和补角．
３．∠α的补角是它的３倍，∠α是多少度？
４．如图，要测量两堵围墙所形成的∠犃犗犅的度
A
数，但人不能进入围墙，如何测量？
B
O
（第４题）
第六章 几何图形初步１７７
１．图中以犗犆为边的角有几个？请把它们表示出来．
D
２．判断题．
C
（１）两条射线组成的图形叫作角；
（２）平角是一条直线； B
（３）互补且相等的两个角都是直角； O A
（第１题）
（４）一个锐角的补角比这个角的余角大９０°；
（５）在同一平面内，∠犃犗犅＝６０°，∠犆犗犅＝３０°，则∠犃犗犆＝９０°．
３．填空题．
（１）０．４°＝ ′； （２）１２″＝ ′；
（３）５７°３１′＋１７°３９′＝ ° ′； （４）２５°３６′×４＝ ° ′；
（５）４６．８°÷６＝ °＝ ° ′．
４．一个角的补角是１５０°，这个角的余角是多少度？
５．按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后
在图上画出表示下列方向的射线：
（１）北偏西３０°； （２）南偏东７５°；
（３）北偏东４０°； （４）西南 （南偏西４５°）．
６． （１）时钟的时针１ｈ旋转多少度？
（２）时钟的分针１ｍｉｎ旋转多少度？
（３）３时２５分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
７．如图，∠犃犗犆＝∠犅犗犇＝９０°．比较∠犃犗犅与∠犆犗犇的大小，并说明理由．
D C D C
A
B
O A O B
（第７题） （第８题）
８．如图，∠犆犗犇＝３５°，犗犆平分∠犃犗犅，犗犇平分∠犃犗犆．求∠犃犗犅的度数．
９．已知∠犃犗犅＝７０°，以犗犃为边画∠犃犗犆＝３２°．求∠犅犗犆的度数．
１７８第六章 几何图形初步１０．如图，在∠犃犗犅内部任意画一条射线犗犆，犗犇平分
∠犃犗犆，犗犈平分∠犅犗犆．根据图形填空：
（１）∠犃犗犅＝∠犃犗犆＋ ；
B E
１
（２）∠犆犗犇＝ ＝ ； C
２
D
１
（３）∠犇犗犈＝ ＋ ＝ ； O A
２
（第１０题）
（４）若∠犇犗犈＝６０°，则∠犃犗犅＝ °；若
∠犃犗犅＝狀°，则∠犇犗犈＝ °．
１１．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β 互余？
在哪种摆放方式中∠α与∠β 互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β 相等？
b
a b
a
bβ a
aα bβ
（第１１题）
１２．如图，一个齿轮有２４个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角是
多少度？如果是２２个齿的齿轮，这个夹角又是多少度 （精确到分）？
a
A B
（第１２题） （第１３题）
１３．如图，犃地和犅地都是海上观测站，从犃地发现它的北偏东６０°方向上有一
艘船，同时，从犅地发现这艘船在它北偏东３０°方向上．试在图中确定这艘
船的位置．
１４．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有３０°，９０°，１０５°的角．量一量这
些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？
第六章 几何图形初步１７９１５． （１）如图 （１），射线犃犇，犅犈，犆犉构成∠１，∠２，∠３，量出∠１，∠２，
∠３的度数，并计算∠１＋∠２＋∠３．画出几个类似的图，计算相应的
三个角的和，你有什么发现？
F
1 4
3 A
3
2
B
E
C
1 2
D
（第１５题）
（２）类似地，量出图 （２）中∠１，∠２，∠３，∠４的度数，计算∠１＋∠２＋
∠３＋∠４．再换几个类似的图试试，你有什么发现？
（３）综合 （１）（２）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
角的度量
人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校
验直角的工具——— “矩”，后又被称为 “曲尺” “鲁班尺”．
它是由长、短不同的两个直尺组合而成的直角拐尺．《续文
献通考·乐考·度量衡》中记载：商尺者，即今木匠所用曲
尺，盖自鲁班传至于唐，唐人谓之大尺，由唐至今用之．矩
构造简单，工匠们常用它校验物体结构之间是否垂直或构造
出特定的角度．《考工记》中记载我国古代名为磬的打击乐
器上有一角为 “一矩有半”，也就是１３５°．
１３世纪，人们发明了一种简陋的半圆形盘状工具．它可以测量０°～１８０°的
角度，是现在使用的量角器的雏形．在当时，量角器主要在测量土地、绘制地
图、探索航海航线等工作中使用．
随着科技的进步，度量角度的工具的精度也不断提升．例如，用于机械加
工的万能量角器，它可以测０°～３２０°的外角及４０°～１３０°的内角，精度可达到２′；
１８０第六章 几何图形初步再如，利用光学、电学等相关知识的经纬仪和全站仪等测量角度的仪器，精度
可达到０．５″，这些仪器主要用于桥梁、隧道等变形监测，卫星和导弹发射轨道
等远距离精密工程测量．
第六章 几何图形初步１８１
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（１）观察图１中的展开图，想象折叠后得到的立体图形的形状．在彩
色卡纸上，按照图１中标注的尺寸绘制展开图，并制作成立体图形．
6 cm 6 cm 8.5 cm
第六章 几何图形初步
mc
6
mc
6
mc
6
图１ 图２
（２）按照图２的方式，用透明胶带将这些立体图形 “连接”在一起，
得到一个纸魔方．翻转纸魔方，观察它能变化出哪些不同形状．
（３）用透明胶带将小组成员制作的纸魔方连接起来，像图３这样，
记录纸魔方变化出的不同形状．比一比，看谁的纸魔方变化出的形状更
多，更有趣．
图３
（４）你能否创作一个不同的纸魔方？与同学分享你的创意．
１８２" 4>
仿照下面的步骤画一个五角星 （图４）：
（１）任意画一个圆；
（２）以圆心为顶点，连续画７２°（即３６０°÷５）的角，与圆相交于五个点；
（３）连接每隔一点的两个点；
（４）擦去多余的线，就得到五角星．
图４
你能说出这种画法的道理吗？你还有其他画法吗？类似地，你能画
出一个六角星吗？
通过折纸 （图５），你能制作一个五角星吗？沿不同的∠α剪开，得
到的五角星形状相同吗？哪一种更美观？变换不同的∠α试一试！
a
图５
许多艺术设计和图案设计都与星形有关，在你画出的五角星或六角星
上着色，可得到如图６的艺术图案．你能在此基础上再设计一些图案吗？
图６
第六章 几何图形初步１８３
几何是研究图形的形状、大小和位置关系的学科．本章我们在小学学
习的基础上，梳理并进一步学习了几何的一些基本知识，如几何图形、
立体图形和平面图形，点、线、面、体等．我们还学习了确定直线的基本
事实，关于线段的基本事实，直线、射线、线段和角的表示，以及线段
和角的度量、比较、运算等．这些知识是进一步学习几何的基础．本章的
学习，能使我们感知一些基本几何图形的组成元素，认识它们的特征，
分析它们的性质，发展几何直观．
几何图形是从各种物体中抽象出来的，是更一般的 “形”．要注意几
何图形之间的联系：一是从 “从不同方向看立体图形”和 “展开立体图
形”的角度，体会立体图形与平面图形之间的联系；二是从运动的角度，
体会几何图形之间的联系，如点动成线、线动成面、面动成体等．这些联
系有助于我们增强对几何图形的形状、大小及位置关系的认识，理解和
掌握几何图形的知识，增强空间观念．
１８４第六章 几何图形初步在研究几何图形的过程中，我们常常采用类比的方法．在本章中，我
们类比线段的大小比较、和差运算、中点，研究角的大小比较、和差运
算、平分线等．类比的方法既可以引导我们发现问题，又可以帮助我们找
到解决问题的途径．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．下面是本章学到的一些数学名词，你能简洁地描述这些数学名词
吗？你能画出图形来表示它们吗？
立体图形、平面图形、展开图、两点间的距离、线段的中点、余角、
补角、角的平分线．
２．你能举出几个立体图形和平面图形的实例吗？
３．找几个简单的立体图形，分别画出它们的展开图，以及从不同方
向看得到的平面图形．你能由此说说立体图形与平面图形的联系吗？
４．在本章中，关于直线和线段有哪些重要结论？
５．本章我们学习了关于角的哪些知识？有哪些重要结论？
６．结合线段和角的学习，谈谈类比方法在数学学习中的作用．
１．说出下列图形的名称．
（第１题）
第六章 几何图形初步１８５２．如图，从上往下看Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五个物体，分别能得到ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ哪个
图形？把上下两行中对应的物体与图形用线连起来．
A
A B !
A B C D E
a b c d e
（第２题）
３．如图，分别从前面、左面、上面观察这些立体图形，各能得到什么平面图形？
（第３题）
４．如图，平面上有四个点犃，犅，犆，犇，根据下列语句画图：
（１）画直线犃犅； （２）画射线犅犆； （３）连接犆犇；
（４）连接犇犃，并反向延长犇犃至犈，使犇犈＝２犃犇．
A
B
D
C A B C D
（第４题） （第５题）
５．在一张零件图中，犃犇＝７６ｍｍ，犅犇＝７０ｍｍ，犆犇＝１９ｍｍ，求犃犅和犅犆
的长．
６．填空题．
（１）６时２０分，钟表的时针和分针构成 °的角；
（２）３３°１２′×６＝ ，１２１°÷３＝ ；
（３）若∠犃＝５５°１７′，则∠犃的余角等于 ，∠犃的补角等于 ．
１８６第六章 几何图形初步７．判断题．
（１）３７°２８′＞３７．５°；
（２）如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；
（３）一个角的补角一定大于这个角；
（４）锐角与钝角互补．
８．如图，从前面、左面、上面看某立体图形，得到
三个平面图形．请说出这个立体图形的名称，并
试着画出来．
９．如图，已知犅犆是圆柱底面的直径，犃犅是圆柱
的高，在圆柱的侧面上，过点犃，犆嵌有一圈路
（第８题）
径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿犃犅剪开，所
得的圆柱侧面展开图是 （ ）．
A AA AA AA C A
A
B C
B C BB C BB C BB C B
（第９题）
１０．如图，上面的三角形按图中标注的要求做相应运动，可以得出下面的立体图形．
把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来．
l a
l a
（第１０题）
第六章 几何图形初步１８７１１．如图，点犈，犉分别在长方形纸片犃犅犆犇的边犃犅，犆犇上，连接犈犉．将
∠犅犈犉对折，点犅落在直线犈犉上的点犅′处，得折痕犈犕；将∠犃犈犉对折，
点犃落在直线犈犉上的点犃′处，得折痕犈犖．求∠犖犈犕的度数．
A
D C
F
N M
B
A E B
（第１１题） （第１２题）
１２．根据图中信息，指出海洋世界、狮虎园、猴山、大象馆分别在大门的什么
方向？
１３．任意画一个四边形犃犅犆犇，记其四边的中点分别为犈，犉，犌，犎，连接犈犉，
犉犌，犌犎，犎犈，并量出它们的长，你发现了什么？量出图中∠１，∠２，∠３，
∠４的度数，你又发现了什么？多画几个四边形试一试．你能得到什么猜想？
A
H
D
4
E 1 A D
B 3 G
2
O
F B
C C
（第１３题） （第１４题）
１４．如图，在四边形犃犅犆犇内找一点犗，使它与四边形四个顶点的距离的和犗犃＋
犗犅＋犗犆＋犗犇最小，并说出你的理由．由本题你得到什么数学结论？举例说
明它在实际中的应用．
１８８第六章 几何图形初步综合与实践
设计学校田径运动会比赛场地
学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所．不同学校的运动场设置
不一定相同，如有的学校体育场设置了标准４００ｍ跑道，有的学校因场地限
制，只能设置３００ｍ或２００ｍ跑道；有的学校设置了标准篮球场，有的学校设
置了半场篮球场；等等．
学校一般会在春季或秋季举行田径运动会．举行运动会前，需要施划不同
项目的比赛场地．施划这些运动场地，除了要考虑体育场的大小、不同运动项
目的特点，还要用到数学知识．
下面，我们用数学的眼光观察学校体育场，并为学校日后举行的田径运动
会规划比赛场地．
通过合作探究，了解不同运动项目场地设计的要求，为日后举行的田径运
动会规划比赛场地．
１．材料用具
卷尺、教学用的三角尺、直尺、量角器、圆规等作图工具．
２．资料学习
通过咨询体育老师、查阅相关书刊资料或网络搜索，了解田径运动会不同
运动项目的场地设计规格与要求．
综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地１８９
了解田径运动会相关运动项目场地设计的要求
田径运动会的运动项目分为田赛、径赛两类．以高度或远度计算成绩的跳
跃、投掷项目叫田赛，如跳高、跳远、铅球等，田赛在体育场跑道围成的场地
里面或外面进行；以时间计算成绩的竞走和跑的项目叫径赛，径赛通常在体育
场的跑道上进行．这些运动项目场地的设计有统一要求吗？
任务 针对学校田径运动会不同运动项目的设置情况，查阅有关资料，了
解这些项目场地的国际标准，按适当的比例在Ａ４纸上画出这些运动项目的场
地示意图，并配以适当的数据和文字说明．
为学校田径运动会规划比赛场地
假设你所在的学校将举行田径运动会，径赛项目有多种距离的赛跑，田赛
项目有跳高、跳远、铅球等．请将这些比赛项目合理地安排在自己学校的体育
场内．用适当的方式呈现自己的设计，并配以数据和文字说明．
任务１ 径赛项目跑道的设计
（１）一个标准的４００ｍ跑道的直道长是多少米？第一分道的总长度是多少
米？弯道是什么形状？弯道中各分道的长度分别是多少米？你能找到其中蕴含
的规律吗？
（２）在一个标准的４００ｍ跑道内，１００ｍ，２００ｍ，４００ｍ，８００ｍ，１５００ｍ
等比赛跑道的起点相同吗？为什么会出现这种情况？
（３）如何在学校４００ｍ跑道内划定４００ｍ跑比赛的起跑线？４×１００ｍ接
力跑比赛的起跑线又该如何划定？画出它们的示意图．
（４）若学校只有３００ｍ跑道，如何划定２００ｍ跑比赛的起跑线？画出示
意图．
１９０综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地任务２ 田赛项目场地的设计
（１）跳高比赛的场地设置有什么具体要求？
（２）跳远场地中长方形沙坑的长与宽分
别是多少米？助跑区的设计有什么要求？选
择适当比例画出跳远场地的示意图．
（３）铅球场地由扇形的一部分与圆组
成，圆的半径是多少米？扇形所在圆的半径
是多少米？场地的占地面积约是多少平方
米？选择适当比例画出铅球场地的示意图．
任务３ 综合考虑田径比赛的场地要求，在保障比赛安全的前提下，为使
各项比赛互不干扰，你觉得在设计中还要考虑哪些问题？
（１）铅球比赛场地比较特殊，安排在运动场什么位置较好？为什么？
（２）跳高比赛时需要助跑，为尽量不影响其他项目同时比赛，比赛地点安
排在运动场什么位置更合理？
自己提出问题并加以解决
规划比赛场地时，还有其他问题吗？自己提出规划学校田径运动会比赛场
地时与数学有关的问题，并加以解决．
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地１９１３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，并给出设计图和设计说明 （要给出规划理
由等），记录完成任务的过程，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组各项任务的规
划示意图，并进行说明．分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方
法，反思活动中的不足．
注意：展示交流活动要邀请体育老师参加点评．
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师 （包括体育老师）和全班同
学一起，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我
评价、同学评价和教师评价，完成本次综合与实践活动．
１９２综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地!"#
本套教科书 （七～九年级）由人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材
研究开发中心依据教育部 《义务教育数学课程标准 （２０２２年版）》编写．
本套教科书集中反映了基础教育课程改革的最新成果，总结了上一版 《义务教育
教科书 数学》的编写经验，凝聚了教育专家、学科专家、教材编写人员、教研人员
及一线教师的集体智慧．参加本套教科书统稿的还有薛彬、王光明，参加本册教科书
统稿的还有李龙才、姚芳，参加本册教科书编写的还有王飞兵．本套教科书封面设计
由中央美术学院设计团队完成，人民教育出版社设计部制作．本册教科书版式设计为
王俊宏，内文插图绘制为王俊宏、张婷婷、康鲁雷．我们感谢所有对教科书的编写、
审读、试教、出版等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友．
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系，
得到了他们的大力支持．视觉中国、ＩＣｐｈｏｔｏ和李文林、张朝平等为本册教科书提供
了图片素材．对此，我们表示衷心的感谢！
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵的意
见和建议．我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力使教科书日趋
完善．
联系方式
电 话：０１０５８７５８３３１，５８７５８８６６
电子邮箱：ｊｃｆｋ＠ｐｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ
中小学教材意见反馈平台：ｊｃｙｊｆｋ．ｐｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ
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