文档内容
2017 年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
2
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
3
3 3 2 2
A．﹣ B． C． D．﹣
2 2 3 3
2
2．（3分）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
√x-5
A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x＜5
22
3．（3分）在实数﹣ 、√9、π、√38中，是无理数的是（ ）
7
22
A．﹣ B．√9 C．π D．√38
7
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4x+5x=9xy B．（﹣m）3•m7=m10 C．（x2y）5=x2y5 D．a12÷a8=a4
5．（3分）已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，且∠C=40°，则∠D的度数
是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．100°
{&x-1＜2
6．（3分）不等式组 的解集为（ ）
&2x≥4
A．x＜3 B．x≥2C．2≤x＜3 D．2＜x＜3
7．（3分）李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了 20名学生
某一天的阅读小时数，具体情况统计如下：
阅读时间 2 2.5 3 3.5 4
（小时）
学生人数 1 2 8 6 3
（名）
则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是3 C．平均数是3 D．方差是0.34
1
8．（3分）计算：|√3﹣4|﹣√3﹣（ ）﹣2的结果是（ ）
2
A．2√3﹣8 B．0 C．﹣2√3 D．﹣8
9．（3分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地
球与太阳之间的平均距离，即1.4960亿km，用科学记数法表示1个天文单位是
（ ）
A．14.960×107km B．1.4960×108km
C．1.4960×109km D．0.14960×109km
第1页（共23页）10．（3分）已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的
三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个B．7个 C．8个 D．9个
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图
象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0
b
B．﹣ =1
2a
C．a+b+c＜0
D．关于x的方程x2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根
12．（3分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，
k
点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数y= （k≠0）的图象
x
恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
81√3 81√3 81√3 81√3
A． B． C． D．
25 16 5 4
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）已知实数m、n满足|n﹣2|+√m+1=0，则m+2n的值为 ．
m2 1 1
14．（3分）计算：（ + ）• = ．
m-1 1-m m+1
第2页（共23页）15．（3 分）已知方程 x2+5x+1=0 的两个实数根分别为 x 、x ，则 x 2+x 2=
1 2 1 2
．
16．（3分）已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的
年龄是派派年龄的 4倍还大1岁，当派派的妈妈 40岁时，则派派的年龄为
岁．
17．（3分）已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB
的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由^BC，线段CD和线段BD所围成图
形的阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本题共7小题，共69分）
18．（7分）先化简，再求值：（2x+1）2﹣2（x﹣1）（x+3）﹣2，其中x=√2．
19．（10分）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点
E是CD的中点，过点C作CF∥AB叫AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．
第3页（共23页）20．（10分）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球
四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名
学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择
一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m= ，n= ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢
足球；
（4）在抽查的m名学生中，喜爱乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包
括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每
组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
21．（10分）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测
量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰
角为 45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点 F 处，测得旗杆顶端 A 的仰角为
60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡
角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到
0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
第4页（共23页）22．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于
点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．
23．（10分）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网
上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，
进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量 y （百件）与时间t（t
1
为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量 y （百
2
件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．
时间t（天） 0 5 10 15 20 25 30
日销售量y （百 0 25 40 45 40 25 0
1
件）
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y 与
1
t的变化规律，并求出y 与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
1
（2）求y 与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
2
（3）在跟踪调查的 30 天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为 y（百
件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出
此时的最大值．
第5页（共23页）24．（12分）已知：如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，∠C=90°，OB=25，
OC=20，若点 M 是边 OC 上的一个动点（与点 O、C 不重合），过点 M 作
MN∥OB交BC于点N．
（1）求点C的坐标；
（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；
（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出
此时MN的长；若不存在，请说明理由．
第6页（共23页）2017 年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
2
1．（3分）（2017•荆门）﹣ 的相反数是（ ）
3
3 3 2 2
A．﹣ B． C． D．﹣
2 2 3 3
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
2 2
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
3 3
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2
2．（3分）（2017•荆门）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
√x-5
A．x＞5 B．x≥5C．x≠5D．x＜5
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不
等于0，可以求出x的范围．
2
【解答】解：要使函数解析式y= 有意义，
√x-5
则x﹣5＞0，
解得：x＞5，
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方
面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式
时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
22
3．（3 分）（2017•荆门）在实数﹣ 、√9、π、√38中，是无理数的是
7
（ ）
22
A．﹣ B．√9 C．π D．√38
7
【考点】26：无理数．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
22
【解答】解：﹣ 、√9、√38是有理数，
7
π是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理
数，无限不循环小数为无理数．如 π，√6，0.8080080008…（每两个8之间依次
第7页（共23页）多1个0）等形式．
4．（3分）（2017•荆门）下列运算正确的是（ ）
A．4x+5x=9xy B．（﹣m）3•m7=m10 C．（x2y）5=x2y5D．a12÷a8=a4
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：
幂的乘方与积的乘方．
【分析】利用同底数幂的乘法和除法及幂的乘方与积的乘方运算即可．
【解答】解：A.4x+5x=9x，所以A错误；
B．（﹣m）3•m7=﹣m10，所以B错误；
C．（x2y）5=x10y5，所以C错误；
D．a12÷a8=a4，所以D正确，
故选D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法及幂的乘方与积
的乘方运算法则，熟练掌握法则是解答此题的关键．
5．（3分）（2017•荆门）已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，且∠C=40°，
则∠D的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．100°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质，得出∠ABC的度数，再根据BC平分∠ABD，即
可得到∠DBC的度数，最后根据三角形内角和进行计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=40°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC=40°，
∴△BCD中，∠D=180°﹣40°﹣40°=100°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内
错角相等．
{&x-1＜2
6．（3分）（2017•荆门）不等式组 的解集为（ ）
&2x≥4
A．x＜3 B．x≥2C．2≤x＜3 D．2＜x＜3
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
{&x-1＜2①
【解答】解：
&2x≥4②
∵解不等式①得：x＜3，
第8页（共23页）解不等式②得：x≥2，
∴不等式组的解集为2≤x＜3，
故选B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组
的解集是解此题的关键．
7．（3分）（2017•荆门）李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调
查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如下：
阅读时间 2 2.5 3 3.5 4
（小时）
学生人数 1 2 8 6 3
（名）
则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是3 C．平均数是3 D．方差是0.34
【考点】W7：方差；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】A、根据众数的定义找出出现次数最多的数；
B、根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的2个数的平
均数，即可得出中位数．
C、根据加权平均数公式代入计算可得；
D、根据方差公式计算即可．
【解答】解：A、由统计表得：众数为3，不是8，所以此选项不正确；
B、随机调查了 20 名学生，所以中位数是第 10 个和第 11 个学生的阅读小时
数，都是3，故中位数是3，所以此选项正确；
1×2+2×2.5+3×8+6×3.5+4×3
C、平均数= =3.35，所以此选项不正确；
20
1
D、S2= ×[（2﹣3.35）2+2（2.5﹣3.35）2+8（3﹣3.35）2+6（3.5﹣3.35）2+3
20
5.65
（4﹣3.35）2]= =0.2825，所以此选项不正确；
20
故选B．
【点评】此题考查了众数、中位数、加权平均数、方差，中位数是将一组数据
从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均
数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，并熟练
掌握平均数和方差公式．
1
8．（3分）（2017•荆门）计算：|√3﹣4|﹣√3﹣（ ）﹣2的结果是（ ）
2
A．2√3﹣8 B．0 C．﹣2√3 D．﹣8
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂．
【分析】本题涉及负指数幂、二次根式化简绝对值3个考点．在计算时，需要
针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=4﹣√3﹣√3﹣4
=﹣2√3，
故选：C．
第9页（共23页）【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题
型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝
对值等考点的运算．
9．（3分）（2017•荆门）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个
天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.4960亿km，用科学记数法表示1
个天文单位是（ ）
A．14.960×107km B．1.4960×108km
C．1.4960×109km D．0.14960×109km
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值
小于1时，n是负数．
【解答】解：1.4960亿=1.4960×108，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的
值．
10．（3分）（2017•荆门）已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭
成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个B．7个 C．8个 D．9个
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到
的图形．
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有
2个小正方体，第，三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的
个数是4+2+1=7个．
故选B．
【点评】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了
对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，
左视图拆违章”就更容易得到答案．
11．（3 分）（2017•荆门）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c
（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
第10页（共23页）A．a＜0，b＜0，c＞0
b
B．﹣ =1
2a
C．a+b+c＜0
D．关于x的方程x2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；AA：根的判别式；HA：抛物线与x
轴的交点．
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：A、错误．a＜0，b＞0，c＜0．
b
B、错误．﹣ ＞1．
2a
C、错误．x=1时，y=a+b+c=0．
D、正确．观察图象可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣1有两个交点，所以关于
x的方程x2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，
解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
12．（3 分）（2017•荆门）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等边
△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数
k
y= （k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
x
第11页（共23页）81√3 81√3 81√3 81√3
A． B． C． D．
25 16 5 4
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质．
【分析】过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F，设 BD=a，则
OC=3a，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D
的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 a、k的值，此题得
解．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD=a，则OC=3a．
∵△AOB为边长为6的等边三角形，
∴∠COE=∠DBF=60°，OB=6．
在Rt△COE中，∠COE=60°，∠CEO=90°，OC=3a，
∴∠OCE=30°，
3 3√3
∴OE= a，CE=√OC2-OE2= a，
2 2
3 3√3
∴点C（ a， a）．
2 2
1 √3
同理，可求出点D的坐标为（6﹣ a， a）．
2 2
k
∵反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点C和点D，
x
3 3√3 1 √3
∴k= a× a=（6﹣ a）× a，
2 2 2 2
6 81√3
∴a= ，k= ．
5 25
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及
解含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质结合解含 30度角的直角三
角形，找出点C、D的坐标是解题的关键．
第12页（共23页）二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）（2017•荆门）已知实数 m、n满足|n﹣2|+√m+1=0，则m+2n的
值为 3 ．
【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质即可求出m与n的值．
【解答】解：由题意可知：n﹣2=0，m+1=0，
∴m=﹣1，n=2，
∴m+2n=﹣1+4=3，
故答案为：3
【点评】本题考查非负数的性质，解题的关键是求出 m与n的值，本题属于基
础题型．
m2 1 1
14．（3分）（2017•荆门）计算：（ + ）• = 1 ．
m-1 1-m m+1
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】11 ：计算题；513：分式．
【分析】原式括号中两项变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可
得到结果．
m2-1 1 (m+1)(m-1) 1
【解答】解：原式= • = • =1．
m-1 m+1 m-1 m+1
故答案为：1
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）（2017•荆门）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x 、x ，则
1 2
x 2+x 2= 2 3 ．
1 2
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可得x +x =﹣5、x •x =1，将其代入x 2+x 2=（x +x ）2
1 2 1 2 1 2 1 2
﹣2x •x 中，即可求出结论．
1 2
【解答】解：∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x =﹣5，x •x =1，
1 2 1 2
∴x 2+x 2=（x +x ）2﹣2x •x =（﹣5）2﹣2×1=23．
1 2 1 2 1 2
故答案为：23．
b c
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于
a a
是解题的关键．
16．（3分）（2017•荆门）已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，
派派的妈妈的年龄是派派年龄的 4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派
的年龄为 1 2 岁．
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，根据再过5
年派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，即可得出关于x的一元一次
方程，解之即可得出x的值，将其代入36﹣x﹣x中可求出二者的年龄差，再用
40减去该年龄差即可求出当派派的妈妈40岁时派派的年龄．
第13页（共23页）【解答】解：设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，
根据题意得：36﹣x+5=4（x+5）+1，
解得：x=4，
∴36﹣x﹣x=28，
∴40﹣28=12（岁）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据再过5年派派的妈妈的年龄是
派派年龄的4倍还大1岁，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
17．（3分）（2017•荆门）已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，
点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由^BC，线段CD和线
2
段BD所围成图形的阴影部分的面积为 2√3﹣ π ．
3
【考点】MO：扇形面积的计算；M2：垂径定理．
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°，^AC=^BC，根据等腰三角形
的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD=√3OC=2√3
，于是得到结论．
【解答】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2，
∴∠O=60°，^AC=^BC，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD=√3OC=2√3，
1
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S ﹣S ﹣ ×2×2√3
△OCD 扇形BOC
2
60⋅π×22 2
﹣ =2√3﹣ π，
360 3
2
故答案为：2√3﹣ π．
3
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，等边三角形
的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共69分）
18．（7分）（2017•荆门）先化简，再求值：（2x+1）2﹣2（x﹣1）（x+3）﹣
2，其中x=√2．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
第14页（共23页）【专题】11 ：计算题；512：整式．
【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得
到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=4x2+4x+1﹣2x2﹣4x+6﹣2=2x2+5，
当x=√2时，原式=4+5=9．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题
的关键．
19．（10分）（2017•荆门）已知：如图，在 Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是
AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB叫AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）先根据点 E 是 CD 的中点得出 DE=CE，再由 AB∥CF 可知
∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；
1
（2）根据直角三角形的性质可得出 AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°
2
1
﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出 ∠DAC=∠ACD=
2
∠BDC=30°，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵AB∥CF，
∴∠BAF=∠AFC．
在△ADE与△FCE中，
{
&∠BAF=∠AFC
∵ &∠AED=∠FEC，
&DE=CE
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：由（1）得，CD=2DE，
∵DE=2，
∴CD=4．
∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，
1
∴AB=2CD=8，AD=CD= AB．
2
∵AB∥CF，
∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，
第15页（共23页）1 1
∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°，
2 2
1 1
∴BC= AB= ×8=4．
2 2
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理
是解答此题的关键．
20．（10分）（2017•荆门）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、
羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机
调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这
四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m= 10 0 ，n= 1 5 ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢
足球；
（4）在抽查的m名学生中，喜爱乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包
括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每
组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；
VC：条形统计图．
【分析】（1）根据喜爱乒乓球的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以
求得n的值；
（2）根据题意和m的值可以求得喜爱篮球的人数，从而可以将条形统计图补
充完整；
（3）根据统计图中的数据可以估算出全校1800名学生中，大约有多少人喜爱
踢足球；
（4）根据题意可以写出所有的可能性，注意（C，D）和（D，C）在一起都是
暗含着（A，B）在一起．
【解答】解：（1）由题意可得，
m=10÷10%=100，n%=15÷100=15%，
故答案为：100，15；
（2）喜爱篮球的有：100×36%=36（人），
补全的条形统计图，如右图所示；
第16页（共23页）（3）由题意可得，
40
全校1800名学生中，喜爱踢足球的有：1800× =720（人），
100
答：全校1800名学生中，大约有720人喜爱踢足球；
（4）设四名女生分别为：A（小红）、B（小梅）、C、D，
则出现的所有可能性是：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、
（B，A）、（B，C）、（B，D）、
（C，A）、（C，B）、（C，D）、
（D，A）、（D，B）、（D，C），
4 1
∴小红、小梅能分在同一组的概率是： = ．
12 3
【点评】本替考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计
总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合
的思想解答．
21．（10分）（2017•荆门）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动
小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得
旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端
A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，
台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算
结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用
﹣坡度坡角问题．
第17页（共23页）【分析】过点 C 作 CM⊥AB 于 M．则四边形 MEDC 是矩形，设 EF=x，根据
AM=DE，列出方程即可解决问题．
【解答】解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME=DC=3．CM=ED，
在Rt△AEF中，∠AFE=60°，设EF=x，则AF=2x，AE=√3x，
在Rt△FCD中，CD=3，∠CFD=30°，
∴DF=3√3，
在Rt△AMC中，∠ACM=45°，
∴∠MAC=∠ACM=45°，
∴MA=MC，
∵ED=CM，
∴AM=ED，
∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF，
∴√3x﹣3=x+3√3，
∴x=6+3√3，
∴AE=√3（6+3√3）=6√3+9，
∴AB=AE﹣BE=9+6√3﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题
的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）（2017•荆门）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平
分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．
【考点】ME：切线的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接 OD，由 AE 为直径、DE⊥AD 可得出点 D 在⊙O 上且
∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角
第18页（共23页）相等，两直线平行”可得出 AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进
而即可证出BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，
DO BO
由OD∥AC可得出 = ，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求
AC BA
出BE的长度．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．
在Rt△ADE中，点O为AE的中心，
1
∴DO=AO=EO= AE，
2
∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ADO=∠CAD，
∴AC∥DO．
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
又∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
设OD=r，则BO=5﹣r．
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
DO BO r 5-r
∴ = ，即 = ，
AC BA 3 5
15
解得：r= ，
8
15 5
∴BE=AB﹣AE=5﹣ = ．
4 4
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的
判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用平行线的性质找出
OD⊥BC；（2）利用相似三角形的性质求出⊙O的半径．
23．（10分）（2017•荆门）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通
过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商
品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量 y （百
1
第19页（共23页）件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日
销售量y （百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．
2
时间t 0 5 10 15 20 25 30
（天）
日销售量 0 25 40 45 40 25 0
y （百
1
件）
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y 与
1
t的变化规律，并求出y 与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
1
（2）求y 与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
2
（3）在跟踪调查的 30 天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为 y（百
件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出
此时的最大值．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）根据观察可设 y =at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，
1
40）代入即可得到结论；
（2）当 0≤t≤10 时，设 y =kt，求得 y 与 t 的函数关系式为：y =4t，当
2 2 2
10≤t≤30时，设y =mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y 与t的函数
2 2
关系式为：y =k+30，
2
（3）依题意得y=y +y ，当0≤t≤10时，得到y =80；当10＜t≤30时，得到
1 2 最大
y =91.2，于是得到结论．
最大
【解答】解（1）根据观察可设y =at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，
1
{
&c=0
40）代入得： &25a+5b=25 ，
&100a+10b=40
1
{&a=-
5
解得 ，
&b=6
&c=0
1
∴y 与t的函数关系式为：y =﹣ t2+6t（0≤t≤30，且为整数）；
1 1 5
（2）当0≤t≤10时，设y =kt，
2
第20页（共23页）∵（10，40）在其图象上，
∴10k=40，
∴k=4，
∴y 与t的函数关系式为：y =4t，
2 2
当10≤t≤30时，设y =mt+n，
2
{&10m+n=40 {&m=1
将（10，40），（30，60）代入得 ，解得 ，
&30m+n=60 &n=30
∴y 与t的函数关系式为：y =k+30，
2 2
{&4t(0≤t≤10，且为整数)
综上所述，y = ；
2 &t+30(10＜t≤30，且为整数)
1 1 1
（3）依题意得 y=y +y ，当 0≤t≤10 时，y=﹣ t2+6t+4t=﹣ t2+10t=﹣ （t﹣
1 2 5 5 5
25）2+125，
∴t=10时，y =80；
最大
1 1 1 35 365
当10＜t≤30时，y=﹣ t2+6t+t+30=﹣ t2+7t+30=﹣ （t﹣ ）2+ ，
5 5 5 2 4
∵t为整数，
∴t=17或18时，y =91.2，
最大
∵91.2＞80，
∴当t=17或18时，y =91.2（百件）．
最大
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求函数的
解析式，正确的理解题意是解题的关键．
24．（12 分）（2017•荆门）已知：如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，
∠C=90°，OB=25，OC=20，若点 M 是边 OC 上的一个动点（与点 O、C 不重
合），过点M作MN∥OB交BC于点N．
（1）求点C的坐标；
（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；
（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出
此时MN的长；若不存在，请说明理由．
【考点】KY：三角形综合题．
【分析】（1）如图1，过C作CH⊥OB于H，根据勾股定理得到BC=√OB2-OC2
第21页（共23页）OC⋅BC 20×15
=√252-202=15，根据三角形的面积公式得到 CH= = =12，由勾股
OB 25
定理得到OH=√OC2-CH2=16，于是得到结论；
CM OC 20 4 3
（2）∵根据相似三角形的性质得到 = = = ，设CM=x，则CN= x，根
CN BC 15 3 4
据已知条件列方程即可得到结论；
3 5
（ 3 ） 如 图 2 ， 由 （ 2 ） 知 ， 当 CM=x ， 则 CN= x ， MN= x ， ① 当
4 4
∠OMQ =90°MN=MQ时，②当∠MNQ =90°，MN=NQ 时，根据相似三角形的性
1 2 2
质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，过C作CH⊥OB于H，
∵∠C=90°，OB=25，OC=20，
∴BC=√OB2-OC2=√252-202=15，
1 1
∵S = OB•CH= OC•BC，
△OBC
2 2
OC⋅BC 20×15
∴CH= = =12，
OB 25
∴OH=√OC2-CH2=16，
∴C（16，﹣12）；
（2）∵MN∥OB，
∴△CNM∽△COB，
CM OC 20 4
∴ = = = ，
CN BC 15 3
3
设CM=x，则CN= x，
4
∵△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等，
3 3
∴CM+CN+MN=OM+MN+OB，即x+ x+MN=20﹣x+mn+15﹣ x+25，
4 4
120
解得：x= ，
7
120
∴CM= ；
7
3 5
（3）如图2，由（2）知，当CM=x，则CN= x，MN= x，
4 4
①当∠OMQ =90°MN=MQ时，
1
∵△OMQ∽△OBC，
MQ OM
∴ 1 = ，
BC OB
∵MN=MQ，
第22页（共23页）5
x 20-x
∴4 = ，
25
15
240
∴x= ，
37
5 5 240 300
∴MN= x= × = ；
4 4 37 37
②当∠MNQ =90°，MN=NQ 时，
2 2
此时，四边形MNQ Q 是正方形，
2 1
∴NQ =MQ =MN，
2 1
300
∴MN= ．
37
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定
理，三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
第23页（共23页）
