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立体几何、不定方程课后习题解析
1-5ABACA
6-10BDBBA
11-15CBDDB
1.一个边长为8的立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要在表面
涂上颜色，问被涂上颜色的小立方体有多少个？
A.296 B.325 C.328 D.384
解析：原正方体8×8×8，所以未涂色的小正方体有（8-2）3=216个，而一共
有83=512个，所以涂上颜色的有512-216=296个。
故正确答案为A。
2. 如下图1所示，在一个金字塔造型（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰
三角形）的铸造件内部挖空一个圆柱。现沿铸造件顶点A且垂直底面的方向切
开，切开后的截面如下图2所示，已知DE、GF为圆柱的高，BC=4√2分米，
DE=2分米，AO=4分米，那么挖后铸造件的体积是：
A. 128-4π立方分米
B. 128/3-4π立方分米
C. 64/3-4π立方分米
D. 64-4π立方分米
解析：因为BC=4√2，AO=4，所以原来棱锥体积
V=1/3×S×h=1/3×4√2×4√2×4=128/3。因为DE、AO都垂直于BC，所以
DE∥AO，且因为DE=1/2×AO，所以DE是三角形BAO的中位线，D、E分别是
AB、BO的中点，所以OE=1/2×OB=1/4×BC=√2，所以圆柱体积为
S×h=π×2×2=4π。所以挖后体积为128/3-4π。
故正确答案为B。
注:由于圆柱体积必然带π，所以在算出棱锥体积为128/3后，可直接锁定B选
项。
3.妈妈为了给过生日的小东一个惊喜，在一底面半径为20cm、高为60cm的圆锥
形生日帽内藏了一个圆柱形礼物盒。为了不让小东事先发现礼物盒，该礼物盒
的侧面积最大为多少？
A.600πcm2
B.640πcm2C.800πcm2
D.1200πcm2
解析：要想礼物盒侧面积尽可能大，则礼物盒应内接于圆锥形生日帽子，假设
圆柱形礼物盒底面半径为r，高为h，如上图所示：C点在母线AF上，直角三角
形ABC相似于直角三角形AOF，则AB/BC=AO/OF=60/20=3，所以（60-h）/r=3，
h=60-3r。因礼物盒侧面积为2πrh=2πr×（60-3r）=6π×r×（20-r），根
据和定积最，当r=10时，侧面积有最大值，为6π×10×10=600πcm2。
故正确答案为A。
4.一个木制正方体在表面涂上颜色，将它的每条棱三等分，然后从等分点将正
方体展开，得到27个小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋，
从这个口袋中随机取出两个小正方体，其中一个正方体只有一个面涂有颜色，
另一个至少有2个面涂有颜色的概率约为（ ）。
A.0.05 B.0.17 C.0.34 D.0.67
解析：原立方体为3×3×3的立方体，所以涂上1个面的立方体有6×（3-2）
2=6个，2个面的有12×（3-2）=12个，3个面的有8个，所以摸两个小正方体，
一个只有1个面涂色，一个至少2个面涂色的情况数有6×（12+8）=120种，
总情况为C272=27×13=351种，所以概率为120/351≈0.34。
故正确答案为C。
5.将1000个边长为1cm的小正方体组合成一个实心的大正方体后，将该正方体
的5个面涂满色后再全部分开，那么至少有一面涂色的小正方体有多少个？
A.424 B.488 C.512 D.576解析：大立方体体积为1000cm3，所以边长为10cm，每条边有10个小立方体。
涂5个面后，至少涂1个面的色块包括所有的棱立方块、顶点立方块和5个面
的面立方块，所以有12×（10-2）+8+5×（10-2）2=96+8+320=424个。
解析二：反面思想，涂5个面，未涂到的部分有内部正方块和一个面的面立方
块，共有（10-2）3+（10-2）2=512+64=576个，所以至少涂到一个面的小正方
体有1000-576=424个。
故正确答案为A。
6.一辆卡车车厢底面为4.8平方米，运送一种长方形包装箱，包装箱的棱长分
别为 0.5米、0.4米、0.3米。如果放三层，这辆卡车最多可装（ ）个包装箱。
A.100 B.120 C.150 D.200
解析：想让每一层尽量放的多，则需要包装箱占面积尽量小，因此以0.4×0.3
作为底面，底面积为0.4×0.3=0.12平方米，每一层最多可以放4.8/0.12=40
个。所以三层最多可以装40×3=120个包装箱。
故正确答案为B。
7.某游乐园在一个平地中央挖了一个球形下沉广场，广场直径为200米，最深
处50米，那么这个球形的直径为（ ）米。
A.125 B.200 C.225 D.250解析：广场直径为200米，最深处50米，所以O`B=100米，O`A=50米.设球形
直径为R，则OO`=R-50，根据勾股定理，OB2=OO`2+O`B2,即R2=（R-50）2+1002，
解得R=125米，所以直径为250米。
故正确答案为D。
8.某学校有一笔信息化预算，用这笔预算正好可以购买16部台式电脑，或者台
式电脑、笔记本电脑和投影机各4台。已知2台笔记本电脑的价格等于1部台
式电脑和1部投影机的价格之和，则用这笔预算购买笔记本电脑和投影机且必
须全部花完，最多可以买几台投影机？
A.5 B.8 C.10 D.13
解析：设台式电脑、笔记本电脑和投影机价格分别为x、y、z，则有16x=4
（x+y+z）即3x=y+z。而又有2y=x+z，两式作差消去z，得到4x=3y，将y=4x/3
反代回去得到5x=3z，所以x：y=3：4，x：z=3：5，所以赋值x、y、z分别为
3、4、5，则预算为16×3=48元，现用48元购买笔记本电脑和投影机各m、n
台，则4m+5n=48，现在4m和48都是4的倍数，所以5n也是4的倍数，所以n
是4的倍数，要让n尽量大，但是5n不能超过48，则n从大往小取可以先验证
n=8时，4m+40=48，m=2，符合题意，所以最多可以购买8台投影机。
故正确答案为B。
9.某旅游公司有能载4名乘客的轿车和能载7名乘客的面包车若干辆，某日该
公司将所有车辆分成车辆数相等的两个车队运送两支旅行团。已知两支旅行团
共有79人，且每支车队都满载，问该公司轿车数量比面包车多多少辆？
A.5 B.6 C.7 D.8
解析：假设轿车数量为x，面包车数量为y，则4x+7y=79，且因为可以分为两个
车辆数相等的车队，说明x+y为偶数，所以x-y也应当为偶数，所以排除A、
C。代入B选项，当x-y=6时，结合4x+7y=79，解得x=11，y=5，符合题意。
故正确答案为B。
10.小张、小李、小王三人到商场购买办公用品，小张购买1个计算器、3个订
书机、7包打印纸共需要316元，小李购买1个计算器、4个订书机、10包打印
纸共需要362元。小王购买了1个计算器、1个订书机、1包打印纸共需要：
A.224元 B.242元 C.124元 D.142元
解析：价格不一定为整数，因此三个未知数、两组方程关系条件，考虑赋0法。
赋打印纸为0元/件，设计算器单价为x元，订书机单价为y元，则x+3y=316，
x+4y=362，解得y=46，x=178，所以各买一件需要178+46+0=224元。
故正确答案为A。
11.某地遭受重大自然灾害后，A公司立即组织捐款救灾。已知该公司有100名
员工捐款，捐款额有300元、500元和2000元三种，捐款总额为36000元，则
捐款500元的员工数是：
A.11人 B.12人 C.13人 D.14人
解析：设捐款为300、500、2000的员工人数分别为x、y、z，则x+y+z=100①，
3x+5y+20z=360②，②-①×3消去x，得到2y+17z=60，因为60和2y都是偶数，所以17z也是偶数，则z=2时，y=13，x=85，满足题意。后续偶数无需验证，
因为是单选题。
故正确答案为C。
12.某企业采购A类、B类和C类设备各若干台，21台设备共用48万元。已知
A、B、C类设备的单价分别为1.2万元、2万元和2.4万元。问该企业最多可能
采购了多少台C类设备？
A.16 B.17 C.18 D.19
解析：设购买A类、B类、C类设备数目分别为a、b、c，则a+b+c=21①，
1.2a+2b+2.4c=48即3a+5b+6c=120②，联立两式，②-①×3消去未知数a，得
到2b+3c=57，因为57是3的倍数，3c也是3的倍数，所以2b也是3的倍数即b
是3的倍数。若要c尽量大，则需要b尽量小，则当b=3时，c=17，此时a=1，
满足题意。
故正确答案为B。
13.若买6个订书机、4个计算器和6个文件夹共需504元，买3个订书机、1个
计算器和3个文件夹共需207元，则购买订书机、计算器和文件夹各5个所需
的费用是？
A.465元 B.475元 C.485元 D.495元
解析：价格不一定为整数，因此三个未知数、两组方程关系条件，考虑赋0法。
赋文件夹为0元/件，设订书机单价为x元，计算器单价为y元，则
6x+4y=504，3x+y=207，解得x=54，y=45，所以5（x+y)=5×99=495元。
故正确答案为D。
14.超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每
个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个：
A.3 B.4 C.7 D.13
解析：设大盒有x个，小盒有y个，则12x+5y=99。因为99是奇数，12x是偶数，
所以5y是奇数，所以5y尾数为5，所以12x尾数为9-5=4，所以x=2或者7。
当x=2时，y=15，符合题意。当x=7时，y=3，一共10个盒子，不符合题意十
多个盒子，排除。所以x=2，y=15，相差15-2=13个。
故正确答案为D。
15.现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若
购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需
（ ）元。
A.50 B.100 C.150 D.200
解析：价格不一定为整数，因此三个未知数、两组方程关系条件，考虑赋0法。
赋丙为0元/件，设甲单价为x元，乙单价为y元，则x+3y=200，2x+5y=350，
解得x=50，y=50，则甲乙丙各买1件需要50+50+0=100元。
故正确答案为B。
