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教师资格考试（初中）数学学科知识与教学能力
卷（一）参考答案及解析
一、单项选择题
· ]
1. D解 析：lim
si
2
(n 久:-1)
=lim
si(n x- 1)
= 叫
si(n x- 1) —1
= lim —
1
— =—
1
牙 � 1 X + 无 - 2 .... (1 x - 1 )( 无 + 2 ) 。故本题选D。 兀一·1 x+2 ....1 x+2 3
f(I +兀) -/(1) (f 兀+1) -/(1) 1 (f x+ 1) -/(1)
2. A 解析：因为/'(1) = 1,所 以lim = 1,则 lim = —lim =
......0 X ......0 2x 2 ......0
无
—。故本题选A。
3. C 解析：对于A,B两项，取斗 = 1+ —，式= 1+ ——飞neN且n> 3, 虽然lim(x�-式）= 0, 但是
n n + 1 ,....,.
I o , 所 以 函 数 (f x ) = ——在(1,2) 和(1,2] 上都不一致连续；C项，因为函数f(x) =
允- 1
——在[-2,-1] 上连续，由康托尔定理，知函数f(x) 在[-2,-1] 上一致连续；D项，函数在X = 1处无定
尤- 1
义。故本题选C。
4. D解析：IA* -A-11 = I IAlr1-A-1I= l(IAl-l) A-11 = I IAl-1IIA- 1 l = o。故本题选D。
5. A 解析：对于复合函数F(x) = G[h(允）］，若h(兀）为偶函数，则F(兀）为偶函数；若h(兀）为奇函数，
G(x) 为奇函数，则F(允）为奇函数；若h(无）为奇函数，G(无）为偶函数，则F(兀）为偶函数。故本题选A。
6 . C 解 析 ： 根 据 题 意 知 ， 基 本 事 件 总 数 为 c � = 1(0 种），取出的2支彩笔中含有红色彩笔的基本事件数为
4 2
c:c! = 4(种），故所求概率P= —= —。故本题选C。
10 5
7. C 解析：A,B,D 三项均为高中数学课程内容；C项为初中数学课程内容。故本题选C。
8. B解析：《义务教育数学课程标准(2022年版）》规定的9条基本事实如下：少两点确定一条直线；
＠两点之间线段最短；＠同一平面内，过一点有且只有一条直线与巳知直线垂直；＠过直线外一点，有且只有
一条直线与这条直线平行；＠两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；＠两条直
线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；＠两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；＠两角及其夹边
分别相等的两个三角形全等；＠三边分别相等的两个三角形全等。故本题选B。
二、简答题
s. I I
参考答案
(1) 对非齐次线性方程组所对应的增广矩阵A作初等行变换：
;· {:
:�:1.-:J
:i:J-[�i
当 a ¥ 2 时 ， (r A ) = (r A ) = 3 , 此 时 线 性 方 程 组 有 唯 一 解 ；
当a = 2,b ,6 1时，2 = (r A ) ,6 r(A) = 3, 此时线性方程组无解；
当a = 2,b = 1时，r(A) = (r A) = 2 < 3, 此时线性方程组有无穷多解。
(2) 根据题(1') 若线性方程组有无穷多解，则a = 2,b = 1, 将增广矩阵化成行最简阶梯形矩阵：
I l [�i�1-l [� �; 1-il
=
A [: : ;
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卷（二）参考答案及解析
一、单项选择题
�dt �
r ot-l x-l
1. B 解析：利用洛必达法则及等价尤穷小因子替换，lim = lim = lim
x---,0 2x x---,0 2x(X -l)
1 1
lim ＝－一。故本题选B。
-,o2(x-1)
元
2. C 解析：x 2 + 2y2 +3 z2 4 = 0 可化为 ＋ + = 1,这 是一个椭球面。故本题选C。
4 2 4
3. C 解析：根据n维向量的运算法则和性质，易知A,B,D项结论正确；当a,/J对应分量相等时，才可以
得到a= fJ ,C项不成立。故本题选C。
4. B 解析：因为f(x) 是定义在(1,2] 上的初等函数，所以f(x) 在(1,2] 上连续、可导，A,C两项说法正
- 3
确；由于f'(x) = < 0在(1,2] 上恒成立，所以函数J(x) 在(1,2] 上单调递减，D项说法正确；对于
(x -1) 2
B项，取x�= l +—,< = 1+ ,n = 1,2, …，虽然lim(< -式）= 0,但 是仇吐） -J< x;) I = 1 > o, 所以函
n n + l n-中
数f(x) = -在(1,2] 上不一致连续。故本题选B。
X -l
5. A解析：由题意知，矩阵P1,P 2都是初等矩阵。在任一矩阵的左边乘初等矩阵就相当于对矩阵作相应
的初等行变换；右边乘初等矩阵就相当于对矩阵作相应的初等列变换。矩阵B可以看成是将矩阵A的第一列
加到第三列，再将第一列与第二列互换得到，因此有B= AP
1
P2。故本题选A。
6. C 解析：由X - N(µ,矿 ），知E(2X+1) = 2E(X) + 1 = 2µ+1 = 5,解 得µ= 2。故本题选C。
7. D解析：A项中的两个概念 “ 无理数 ” 和 “ 无限不循环小数 ” 是全同关系；B项中的两个概念 “ 平行四边
” “ ” “ ” “ ” “ ”
形 和 四边形 是从属关系；C项中的两个概念 菱形 和 矩形 是交叉关系；D项中的两个概念 有理数 和
“ ”
无理数 是矛盾关系。其中概念间的全同关系、从属关系、交叉关系都属于相容关系（即概念的外延交集非
空），而概念间的矛盾关系属千不相容关系（即概念的外延交集为空集）。故本题选D。
8. B 解析：三角形外接圆是与三角形各顶点都相交的圆，三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分
线的交点，所以三角形外接圆的画法依据是线段的垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，B项正确。
C项中，三角形内角的平分线上任意一点到角的两边距离相等是三角形内切圆的画法依据。A,D两项的说法
本身就有误。故本题选B。
二、简答题
9. I 参考答案 I
函数f(x) 的导函数fI (X)= x 2 +2 x -3 = (X +3 ) (X -l) ,令 f'(x)= 0,解 得X= -3或l。当x变化时，
f'(x) 和J(x) 的变化情况如下表所示。
X (-oo,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+oo)
。 。
f'(x) ＋ ＋
2
f(x) 单调递增 10 单调递减 单调递增
3
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卷（三）参考答案及解析
一、单项选择题
1 1 1 1 tanx -s1nx tanx (1 - cosx)
1. A 解析：利用等价无穷小替换，lim ( - = lim =
又』了sinx tanx) =归了(sinxtanx) x-,() xsinxtanx
1
X• 一x
2
lim 3 = _!_。故本题选A。
无』。 X 2
皿 r(" t(·
。 + +) 。- +)
a
2. B 解 析： E严[1(X。 + 』-) -1(X。- 』一 ） ］
n
1 1 1 1
小。 ＋了）-f(x。)+J( x。)-f(X。 一 了） f (X。 + —n ) -f(x。) f(x。)-1(X。-—
n
）
lim = lim + lim
n-� 1 n-oo 1 n-口 1
n n n
1(X。 + 』) -f飞） 1[ X。 + (-上
n
）] -f(x。)
lim +l im 叮'(x。)+ f'(x。) = 2J'(x。)。故本题选B。
n-oo 1 n-oo 1
n n
x2 -1 x2 -1
3. A解析：因为函数f(x)=
X - I
在X = I处无定义，且limf(x)= l
父一
im
l X - I
= l
兀-
im
1
2x = 2 , 所以X = I是
J(x)的可去间断点。故本题选A。
-1 2 4
3 1 2 4
4. B 解析：将行列式按第一列展开， 0 3 1 =-lx -lx =-2+10 = 8。故本题
4 2 3 1
-1 4 2
选B。
5. A解析：因为m = r(A)�r(A,b)mx(n+l) �m, 所以r(A)= r(A,b)mx(n+ll = m, 则Ax = b有解，A项
正确；当,(A) C ,(A,b) C" 时，Ax Cb有唯一解，仅成立,(A) C" 时，Ax cb 可能无解，如[: :] ,, C
x
0 0
[l
满足,(A) c" c 2, 但无解，B项错误，同理，当,(A) C ,(A,b) <"时，Ax c b有尤穷多解，D�!误，
当m = n = r时，Ax = b有唯一解，仅成立m = n时，Ax = b不一定有唯一解，C项错误。故本题选A。
6. B解析：在1 - 12这些数中，有2,4,6,8,10,12这6个数是2的倍数，有3,6,9,12这4个数是3的倍数，
8 2
所以取出来的数是2的倍数或是3的倍数的概率为一 ＝ 一。故本题选B。
12 3
7. A 解析：义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。
8. C 解析：泰勒斯在数学方面划时代的、影响最深远的贡献是引入命题证明的思想，被称为人类历史上
第一位数学家。故本题选C。
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