文档内容
2009年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，
共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅
笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为
准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1
A={x|- < x<2},B={x x2 £1}
1．设集合 2 ，则 A U B= （ ）
1
{x|- < x£1}
{x -1£ x<2}
2
A． B．
{x|x<2} {x|1£ x<2}
C． D．
a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(kÎR),d =a-b c//d
2．已知向量 ，如果 ，那么
k =1 c d k =1 c d
A． 且 与 同向 B． 且 与 反向
k =-1 c d k =-1 c d
C． 且 与 同向 D． 且 与 反向
(1+ 2)4 =a+b 2(a,b a+b=
3．若 为有理数），则 （ ）
A．33 B． 29 C．23 D．19
x+3
y =lg
10 y =lgx
4．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
第1页 | 共5页D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A．8 B．24 C．48 D．120
p 1
a= cos2a=
6 2
6．“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
ABCD-ABC D AB AC
7．若正四棱柱 1 1 1 1的底面边长为1， 1与底面ABCD成60°角，则 1 1到
底面ABCD的距离为 ( )
3
3 2 3
A． B． 1 C． D．
DPPP P DPPP
8．设D是正 1 2 3及其内部的点构成的集合，点 0是 1 2 3的中心，若集合
S ={P|PÎD,|PP |£|PP |,i =1,2,3}
0 i ，则集合S表示的平面区域是 ( )
A．三角形区域 B．四边形区域
C． 五边形区域 D．六边形区域
第Ⅱ卷（110分）
注意事项：
1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
三
题号 二 总分
15 16 17 18 19 20
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
4
sinq=- ,tanq>0
5 cosq=
9．若 ，则 .
{a } a =1,a =2a (nÎN*) a = S =
10．若数列 n 满足： 1 n+1 n ，则 5 ；前8项的和 8
第2页 | 共5页.（用数字作答）
ìx+ y-2³0,
ï
íx£4,
ï
x,y î x£5, s = x+ y
11．若实数 满足 则 的最大值为 .
ì3x, x£1,
f(x)=í
î-x, x>1, f(x)=2 x=
12．已知函数 若 ，则 .
kÎA k-1ÏA k+1ÏA k
14．设A是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么称 是
S ={1,2,3,4,5,6,7,8,}
A的一个“孤立元”，给定 ，由S的3个元素构成的所有集合中，不
含“孤立元”的集合共有 个.
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共12分）
f(x)=2sin(p-x)cosx
已知函数 .
f(x)
（Ⅰ）求 的最小正周期；
é p pù
- ,
ê ú
f(x) ë 6 2û
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
16．（本小题共14分）
P-ABCD PD^底面ABCD
如图，四棱锥 的底面是正方形， ，点E在棱PB上.
AEC ^平面PDB
（Ⅰ）求证：平面 ；
PD= 2AB
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时，求AE与平面PDB
所成的角的大小.
第3页 | 共5页17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的
1
3
概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率
18．（本小题共14分）
f(x)= x3-3ax+b(a ¹0)
设函数 .
y = f(x) (2, f(2)) y =8 a,b
（Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值；
f(x)
（Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点.
19．（本小题共14分）
x2 y2 3
C: - =1(a>0,b>0) x=
a2 b2 3 3
已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
x- y+m=0
（Ⅱ）已知直线 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆
第4页 | 共5页x2 + y2 =5
上，求m的值
20．（本小题共13分）
{a } a = pn+q(nÎN*,P>0) {b }
设数列 n 的通项公式为 n . 数列 n 定义如下：对于正整数m
b a ³m
， m是使得不等式 n 成立的所有n中的最小值.
1 1
p= ,q=-
b
2 3
（Ⅰ）若 ，求 3；
p=2,q=-1 {b }
（Ⅱ）若 ，求数列 m 的前2m项和公式；
b =3m+2(mÎN*)
（Ⅲ）是否存在p和q，使得 m ？如果存在，求p和q的取值范围；如果
不存在，请说明理由.
第5页 | 共5页
