文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
注意事项：
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷
及答题卡的规定位置。
2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相
符。
3. 作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签
字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
4. 本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和
答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．(1+5i)i的虚部为
A．−1 B．0 C．1 D．6
2．设全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={1,3,5}，则 A中元素个数为
U
A．0 B．3 C．5 D．8
3．若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为
A． 2 B．2 C． 7 D．2 2
π
4．若点(a,0) (a>0)是函数y=2tan(x− )的图象的一个对称中心，则a的最小值为
3
A．30° B．60° C．90° D．135°
3
5．设 f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5−2x，则 f(− )=
4
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
2 4 4 2
6．帆船运动员借助风力驾驶帆船，
7．若圆x2 +(y+2)2 =r2(r>0)上到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅有2哥，则r的
取值范围是
A．(0,1) B．(1,3) C．(3,+∞) D．(0,+∞)
8．若实数x，y，z满足2+log x=3+log y=5+log z，则x，y，z的大小关系不可能是
2 3 5
A．x> y>z B．x>z> y C．y>x>z D．y>z>x
S 数学试题 第1页（共4页）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在正三棱柱ABC−ABC 中，D为BC中点，则
1 1 1
A．AD⊥ AC B．BC⊥平面AAD
1 1 1
C．CC∥平面AAD D．AD∥AB
1 ! 1 1
10．设抛物线C:y2 =6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线
3
交l:y=− x于E，则
2
A．|AD|=|AF| B．|AE|=|AB|
C．|AB|≥6 D．|AE|⋅|BE|≥18
1 1
11．已知△ABC的面积为 ，若cos2A+cos2B+cos2C =2，cosAcosBsinC = ，则
4 4
A．sinC=sin2 A+sin2B B．AB= 2
6
C．sinA+sinB= D．AC2 +BC2 =3
2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．若直线y=2x+5是曲线y=ex +x+a的切线，则a= ．
13．若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 ．
14．一个箱子里有5个球，分别以1～5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个
数X，则E(X)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
S 数学试题 第2页（共4页）16．（15分）
a a 1
设数列{a }满足 n+1 = n + ．
n n n+1 n(n+1)
（1）证明：{na }为等差数列；
n
（2）设 f(x)=a x+a x2 ++a xm，求 f′(2)．
1 2 m
17．（15分）
如图所示的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，
BC∥AD，AB⊥ AD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA= AB= 2，AD= 3+1，BC =2，P，B，C，D
在同一个球面上，设该球面的球心为O．
（ⅰ）证明：O在平面ABCD上；
（ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值．
18．（17分）
x2 y2
设椭圆C: + =1 (a>b>0)，记A为椭圆下端点，B为右端点，|AB|= 10，且椭
a2 b2
2 2
圆C的离心率为 ．
3
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P(m,n)．
（ⅰ）若P不在y轴上，设R是射线AP上一点，|AR|⋅|AP|=3，用m，n表示
点R的坐标；
（ⅱ）设直线OQ的斜率为k ，直线OP的斜率为k ，若k =3k ，M为椭圆上
1 2 1 2
一点，求|PM |的最大值．
19．（17分）
设函数 f(x)=5cosx−cos5x．
π
（1）求 f(x)在[0, ]的最大值；
4
（2）给定θ∈(0,π)，a为给定实数，证明：存在y∈[a−θ,a+θ]，使得cosy≤cosθ；
S 数学试题 第3页（共4页）（3）若存在ϕ，使得对任意x，都有5cosx−cos(5x+ϕ)≤b，求b的最小值．
S 数学试题 第4页（共4页）
