文档内容
1
昆明市第一中学2026 届高三年级第四次联考
数学参考答案
命题、审题组教师
杨昆华刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文
顾先成丁茵
张远雄
蔺书琴
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
D
B
D
A
A
1．解析：由2
1
x ，解得
0
x
，则
(
,0]
N
，而
[ 1,2]
M
，所以
[ 1,0]
M
N
，选B.
2．解析：由
1
i 1
i
2
m
可得
2 1
i
2
1
i
1
i
1
i
1
i 1
i
m
，故
1
m ，选C.
3．解析：设a
与b
的夹角为，由题意得
2
3
2
7
a
b
，所以
2
2
9
4
12
7
a
b
a b
,又
1
a
b
，所以
1
2
a b
，所以
1
cos
2
a b
，即
1
cos
2
.又
0,π
，所以a
与b
的夹角为π
3 ，选C.
4．解析：
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
cos
cos
sin
2
sin
2
cos
1
2
sin
2
2
2
2
2
3
tan
1
tan
1
，选D．
5．解析：由题意可得：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
M
C
A M
A B
B
A B
B
D
A
C
D
1
1
1
(
)
2
2
2
b
a
c
a
b
c
，
选B.
6．解析：由题意得：
3
2
0
3
2
4
0
0
1
a
a
a
a
解得：2
2
7
3
a
，选D．
7．解析：由题意，
π
( )
sin(2
)
3
f x
x
，因为
( )
f x 为奇函数，则
π
π
3
k
k Z ，
又
π
2
，所以
π
3
，选A.
8．解析：因为
f x
y
f x
y
f x f
y
，令
1,
0
x
y
可得，
2
1
1
0
f
f
f
，所以
0
2
f
，
令
0
x
可得，
2
f
y
f
y
f
y
，即
f
y
f
y
，所以函数
f x 为偶函数，
令
1
y 得，
1
1
1
f x
f x
f x f
f x
，即有
2
1
f x
f x
f x
，
从而可知
2
1
f x
f x
，
1
4
f x
f x
，故
2
4
f x
f x
，即
6
f x
f x
，所以函
数
f x 的一个周期为6 ．
因为
2
1
0
1
2
1
f
f
f
，
3
2
1
1 1
2
f
f
f
，
4
2
2
1
f
f
f
，
2
5
1
1
1
f
f
f
，
6
0
2
f
f
，所以一个周期内的
1
2
6
0
f
f
f
．
由于2026 除以6 余4 ，所以
2026
1
1
2
3
4
1 1
2
1
3
k
f k
f
f
f
f
,选A．
二、多选题
题号
9
10
11
答案
BCD
AD
ACD
9. 解析：对于A，因为100
40
60
，90
50
40
，所以这100 名学生成绩的极差介于40 分至60 分之间，
故A 错误；对于B，由频数分布表可得平均数约为68.5 ，故B 正确；对于C，由题中频数分布表可知，
5+25<50 ，5+25+30>50 ，所以中位数位于
60 70
，
内，故C 正确；对于D，这100 名学生成绩大于60 分的
频数不超过30+20+10+10=70 ，所以这100 名学生中成绩大于60 分的人数所占比例不超过70 %，D 正确．选
BCD．
10. 解析：A 选项，由
0
f x
，可得
2
1
3
2
a
x
x
，对于函数
2
1
2
y
x
x
，
2
3
3
2
(
1)
2
2
1
x
x
y
x
x
x
（
）
且
0
x
，所以
f x 在
0
- ，，
1,
+
为增函数，
0,1 为减函数.当
1
a 时，3
3
a
，由图象可知直线
3
y
a
与
2
1
2
y
x
x
有三个交点，即
f x 有三个零点，A 正确；B 选项，
2
6
6
6 (
)
f
x
x
ax
x x
a
，当
0
a
时，若
( )
0
f
x
，则
0
a
x
，若
( )
0
f
x
，则x
a
或
0
x
，则
0
x
是
f x 的极小值点，B 错误；C 选
项，对于
R
a
，当x 时，
( )
0
f x
，x 时，
( )
0
f x
/f (x)→+∞，故
f x 的图象不可能是轴
对称图形，C 错误；D 选项，若点(1
(1))
f
，
为曲线
y
f x
的对称中心，则有
1
(1
)
2 (1)
f
x
f
x
f
，
化简得
2
6
2
0
x
a
，即
2
a
,所以当
2
a
时，该等式对任意x 都成立，D 正确，选AD．
11．解析：由抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
可知，其焦点
(0,
)
2
p
F
，准线方程为
2
p
y
，设
1
1
2
2
3
3
( ,
), (
,
),
,
A x y
B x
y
C x
y
，由抛物线定义知
1
2
3
,
,
2
2
2
p
p
p
FA
y
FB
y
FC
y
，已知
2
1
2
FA
FB
FC
p
，所以
2
1
2
3
1
3
2
2
y
y
y
p
p
，根据三角形重心坐标公式
1
2
3
3
2
y
y
y
p
，可得
1
2
3
3
2
y
y
y
p
，代入可得
6
p
，所以抛物线方程为
2
12
x
y
，对于A，
6
p
，A 正确；对于B，
ABC
△
的三个顶点到x 轴的距离之和为
1
2
3
3
9
2
y
y
y
p
，B 错误；对于C，根据三角不等式与
1
2
3
,
,
0
y y
y
，
2
2(
)
36
AB
BC
CA
FA
FB
FC
p
，C 正确；对于D，设与直线2
3
5
0
x
y
平行且与抛物
线相切的直线方程为2
3
0
x
y
m
，联立
2
12
2
3
0
x
y
x
y
m
，得
2
8
4
0
x
x
m
，由
64
16
0
m
得
4
m ，两平行线间的距离为
2
2
5
( 4)
13
13
2
( 3)
，D 正确，选ACD．
三、填空题
3
12．解析：双曲线的焦点在y 轴上，
3
a
b
，所以离心率为
10
3
．
13．解析：由题意得：
2
1
ln
( )
2
x
f
x
ax
x
，所以
2
1
ln1
(1)
2
1
2
2
1
f
a
a
，所以
1
2
a
.
14．解析：（方法一）分步分析：①将四门选修课程分为三组，若分为2 1 1
，，三组，有
2
4
6
C
（种）；若分为
2 2 0
，，三组，有
2
2
4
2
2
2
3
C
C
A
（种）；若分为3 1 0
，，三组，有
3
4
4
C （种），则共有6
3
4
13
（种）分组方法．②
将分好的三组安排到三年内选修，有
3
3
6
A
（种），则一共有13 6
78
（种）不同的选修方式．（方法二）
排除法：四门课程任意选，再排除四门课程安排在同一学年的情况，共有
4
1
3
3
78
C
（种）．
四、解答题
15．解：（1）由2 sin
tan
b
A
c
C
得
sin
2 sin
cos
C
b
A
c
C
，即2 sin
cos
sin
b
A
C
c
C
，
由正弦定理得：
2
2
cos
ba
C
c
，
由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ba
c
ab
，即
2
2
2
2
a
b
c
，
所以
2
2
2
2
a
b
c
.
………6 分
（2）由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
cos
2
2
2
2
a
b
c
c
c
c
C
ab
ab
a
b
c
，当且仅当a
b
时取等号，因为
0,π
C
，
所以
π
0 3
C
，
，即角C 的最大值为π
3 .
………13 分
16．解：（1）因为PD 平面ABCD ，所以PD
BC
.
由已知ABCD 是矩形，所以BC
CD
，而PD
CD
D
，
所以BC 平面PCD .因为DE 平面PCD ，所以BC DE .
又因为DE
PC
，BC
PC
C
，所以DE 平面PBC ，所以DE
PB
.
又因为EF
PB
，EF
DE
E
，所以PB 平面EFD ，
所以平面PBC 平面EFD .
………7 分
（2）分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D
xyz
，不妨设
1
PD
DC
，
则
2
DA
，因为PD
DC
，DE
PC
，所以E 是PC 的中点，由题意可
得
(0,0,0)
D
，
(2,1,0)
B
，
(0,1,0)
C
，
(0,0,1)
P
，
1 1
(0,
,
)
2 2
E
.
所以
( 2, 1,1)
BP
，
(2,1,0)
DB
，
1 1
(0,
, )
2 2
DE
.
由（1）知：
( 2, 1, 1)
BP
是平面EFD 的一个法向量.
设平面DEB 的一个法向量为
( , , )
n
x y z
，
则
2
0,
0.
2
2
n DB
x
y
y
z
n DE
取
1
z ，得
1
y ，
1
2
x
，所以
1
( , 1,1)
2
n
是平面DEB 的一个法向量.
设平面EFD 与平面DEB 的夹角为，
4
所以
1
2
1
1
6
2
cos
9
9
6
4
BP n
BP
n
（
）（
）+1 1
，
所以平面EFD 与平面DEB 的夹角的余弦值为
6
9
.
………15 分
17．解：（1）由题意知，当
0
a
,
0
b
时，
2
2
4
0
x
y
b
，即
2
2
1
4
x
y
b
b
，
所以曲线E 的四个顶点围成平行四边形的面积为1 2
4
2
b b
，即
4
b
，
所以曲线E 的方程为
2
2
1
4
x
y
.
………7 分
(2) 当
1
a ，
2
b
时，
2
2
2
4
4
(
2 )
2
(
2 )
(
2 )
2
0
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
即(
2
2)(
2
1)
0
x
y
x
y
，由题意知，正方形ABCD 的四个顶点在曲线E 上，
所以正方形ABCD 的边长为
2
2
2
( 1)
3
5
1
2
d
，
所以正方形ABCD 的面积为
2
3
9
5
5
（
）
.
………15 分
18．解：（1）（i）因为
1
( )
1
ex
ax
f x
恒成立，即
1
ex
ax
恒成立，
令
( )
e , ( )
1
x
g x
h x
ax
，
( )
g x 与( )
h x 均过定点
(0,1)
A
，
( )
g x 在点A 处的切线方程为
1
y
x
，
结合
( )
g x 与( )
h x 的图象可知
( )
( )
g x
h x
恒成立时
1
a .
………4 分
（ii）先证：
1
( )
( )
f x
f x
，即
2
2
(
1)
e (
0)
x
x
x
，即
1
e (
0)
x
x
x
，即e
1
0(
0)
x
x
x
，
令( )
e
1, ( )
e
1
0
x
x
t x
x
t x
，所以( )
t x 在
0,上单调递增，
所以( )
(0)
0
t x
t
，即e
1
x
x
，所以
1
( )
( )
f x
f x
.
………7 分
再证:
(
)
( )
f
x
f x
，即(
1)e
(
1)e
x
x
x
x
，即(
1)e
(
1)e
0
x
x
x
x
，
令
( )
(
1)e
(
1)e (
0)
x
x
T x
x
x
x
，
( )
(e
e
)
0
x
x
T x
x
，所以
( )
T x 在
0,上单调递增，
所以
( )
(0)
0
T x
T
，所以
(
)
( )
f
x
f x
.
综上，
1
(
)
( )
( )
f
x
f x
f x
(
0)
x
.
………10 分
（2）
( )
(
1)
1(
0)
f x
a
x
x
恒成立，即
1
(
1)
1(
0)
ex
ax
a
x
x
恒成立，
5
即
(
1)
1 e
1
0(
0)
x
a
x
ax
x
恒成立，令
( )
(
1)
1 e
1
x
F x
a
x
ax
，则
(0)
0
F
，
所以
( )
(
1)
e x
F x
a
x
a
a
，所以
(0)
0
F
，
( )
(
1)
2
1 e x
F
x
a
x
a
，
所以
(0)
2
1
0
F
a
为必要条件，即
1
2
a
，下证充分性，
当
1
2
a
时，
( )
0
F
x
，所以
( )
F x
在
0,上单调递减，
( )
(0)
0
F x
F
，所以
( )
F x 在
0,上单调递减，所以
( )
(0)
0
F x
F
，
即
( )
(
1)
1(
0)
f x
a
x
x
成立，综上，a 的取值范围为
1
2
，.
………17 分
19．解：（1）因为
1
2
1
n
n
a
a
n
，所以
1
1
2
2
2(
)
n
n
n
a
n
a
n
a
n
，
则
na
n
是以
1
1
2
a
为首项，2 为公比的等比数列，得
2n
na
n
，所以
2n
na
n
，
得
1
2
1
2(1
2 )
(
1)
(
1)
(2
2
2 )
(1
2
)
2
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n n
n n
S
n
．
………7 分
（2）（i）由于
1
2
1
b
b
，则
2
2
2
2
1
2
3
1 2
2
3
1
3
4
2
1
1
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
b
b
b
b
b b
b b
b
b b
b
b b
b
1 2
2
3
1 2
3
4
2
3
1
1
1
n
n
n
n
n
n
b b
b b
b b
b b
b b
b b
b
b
b b
，
那么
2
2
2
2
1
2
3
8
8 9
8
9
9
b
b
b
b
b b
b
b
b
，
即
2
2
2
2
1
2
3
8
9
b
b
b
b
b
为数列
nb
的第8项.
………11 分
（ii）证明：由题意，
2
1
b ，
1
2
3
1
2
2
3
2
3
2
3
4
3
1
1
n
n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
…
1
2
1
1
n
n
n
b
b
b
．
………17 分
昆明市第一中学2026 届高三年级第四次联考数学双向细目表
学科：数学
命题组长：杨昆华
命题教师：杨昆华
刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文张远雄顾先成丁茵
蔺书琴
时间：2025 年11 月
题号
题型
分值
考查知识点
难度
题目来源
（原创或改编）
易
中
难
1
单
选
题
5
集合
易
原创试题占60%
改编试题占40%
2
5
复数
易
3
5
平面向量
易
4
5
三角函数
易
5
5
空间向量
易
6
5
函数
易
7
5
三角函数
易
8
5
抽象函数
中
9
多
选
题
6
统计
易
10
6
导数解几
易
11
6
解析几何—抛物线
中
12
填
空
题
5
解析几何—双曲线
易
13
5
函数导数
易
14
5
计数原理
难
15
解
答
题
13
解三角形
中
16
15
立体几何
中
17
15
解析几何
中
18
17
函数导数
中
19
17
数列
难
合计
150
35%
50%
15%
