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高三数学
一.选择题（共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1. 若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【详解】当 ， ，且 时，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，充分性成立；
， ，满足 ， 且 ，此时 ，必要性不成立.
则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
2. 在 中， “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形大边对大角可知 ，再由正弦定理可知充分性成立，同理可得必要性也成立.
【详解】由题可知 ，又 ，可知 ，可得 ；
又 ，所以 ，所以充分性成立；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，可得 ，即 ，
又 ， ，所以 ，可得 ，即 ；所以必要性成立；
因此“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
3. 已知 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 根 据 对 数 函 数 的 定 义 域 可 得 ， 将 代 入
，结合对数函数单调性运算求解.
【详解】令 ，解得 ，可知 的定义域为 ，
可得 ，解得 ，
关于不等式 ，即 ，
整理得 ，且 在定义域内单调递增，
则 ，结合 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司4. 若 ，则 满足的大小关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用构造函数法，结合导数来求得正确答案.
【详解】由于 ，所以 .
设 ，
在 上单调递增，
所以 ，所以当 时， ，
则 ，即 .
设 ，
，
所以 在 上单调递增， ，
所以 在 上单调递增， ，
所以当 时， ，即 ，
所以 ，
而 ，所以 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：
（1）确定 的定义域；
（2）计算导数 ；
（3）求出 的根；
（4）用 的根将 的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内 的符号，进而确定
的单调区间： ，则 在对应区间上是增函数，对应区间为增区间； ，则
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.
5. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行
于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 ，一条平
行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则
的面积为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求出 点坐标，根据直线 过焦点的直线，联立抛物线方程求出 点的横坐标，根据抛
物线的焦点弦的弦长公式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 4），
即 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 或 ，所以 ，
又因为 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 .
故选： .
6. 曲线 和 ，则 和 更接近圆的是（ ）
A. B. C. 相同 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论.
【详解】分别将曲线 和 化为标准方程可得，
， ，由椭圆的性质可得，曲线 的离心率为 ，
曲线 的离心率为 ，显然 ，因此曲线 更接近圆.
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司7. 的展开式中 的系数为（ ）．
A. B. C. 40 D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，令 的指数为 ，求出参数的值，代入通项即可求得结果.
【详解】因为 的展开式通项为 ， ，
令 ，解得 ，
因此 的展开式中 的系数为 .
故选：A.
8. 设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在 处的离散曲率为
其中 ，为多面体
的所有与点 相邻的顶点，且平面 ， ，…， ， 遍历多面体 的所有以 为
公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体（每个面都是全等的正多边形的多面
体是正多面体），若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（
）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给定义，结合图形，分别计算出a，b，c，d的值即可
【详解】对于正四面体，其离散曲率 ；
对于正八面体，其离散曲率 ；
对于正十二面体，其离散曲率 ；
对于正二十面体，其离散曲率 ；
因为 ，所以 ，
故选：B.
二.多选题（共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知函数 ，则下列命题中正确的有（ ）
A. 在区间 上单调递减
B. 若方程 有唯一实数根的充要条件是
C. 对任意 ， 都有 成立
D. 若函数 为奇函数， 与 的图象有4个交点，分别为 ， ，
， ，则
【答案】AD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据题意，由函数图象平移的规律分析可得A正确，举出反例可得B错误，由函数的定义域分析
可得C错误，分析两个函数的对称性，可得其图象交点也关于点 对称，进而分析可得D正确，即可
得答案.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，函数 ，
可以由函数 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，
故 在区间 上单调递减，A正确；
对于B，当 时， ，有唯一解 ，
故 不是方程 有唯一实数根的必要条件，B错误；
对于C，函数 ，当 时， ， 没有意义，故C错误；
对于D，若函数 为奇函数，
将其图象向上平移3的单位，向右平移1个单位可得 的图象，
故 的图象关于点 对称，
而 ，其图象也关于点 对称，
则 与 的图象的4个交点也关于点 对称，则有 ， ，
故 ，D正确.
故选：AD.
10. 已知等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，且满足 ， ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A. B.
C. 的值是 中最大的 D. 使 成立的最大正整数数 的值为198
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】∵ ，∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，
又 ，∴ .故A正确.
由A选项的分析可知 ， ，∴ ，∴ ， ，
故B正确，C不正确.
∴ ，
，
∴使 成立的最大正整数数 的值为198，故D正确.
故选：ABD
11. 光线自点 射入，经倾斜角为 的直线 反射后经过点 ，则反射光线经过的点
为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先求点 关于直线 的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意知， ，设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，所以反射光线所在的直线方程为 ，
所以当 时， ；当 时， ，
故选：BC
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知命题 ， ，则 ，
B. “函数 是偶函数”的必要条件是“函数 满足 ”
C. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D. 若 ，则三次函数 有且仅有一个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据全称命题的否定判断A；根据必要条件以及充分条件的判定判断B；根据正态分布的对称性
判断C；利用导数判断函数单调性，结合零点的判定定理判断D.
【详解】由含有一个量词的命题的否定定义可知，
命题 ， ，则 ， ，A正确；
由 可得 ， ，即可得 是偶函数，
又由 是偶函数，可得 ，当 时，无法推出 ，
故“函数 满足 ”是“函数 是偶函数”的充分不必要条件，故B错误；
随机变量 服从正态分布 ，由正态分布的性质可知，对称轴为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 可得 ，故C正确；
三次函数 ，
， ，
或 恒成立，等号仅在 时成立，即 在 上单调，
又当 取无穷大正数或无穷小的负数时，函数值可以取到正无穷大或负无穷小，
故三次函数 有且仅有一个零点，故D正确.
故选：ACD.
三.填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13. 已知关于x的不等式 的解集是 ，则实数 的取值范
围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件知 与 同解，再对 分类讨论，结合二次函数
的图象和性质求出实数 的取值范围.
【详解】由 ，解得 或 ，
由条件知 与 同解，
当 时，显然不符合条件；
所以 ，或 ，即 ，或 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 或 ，即 .
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，若对不相等的正数 ，有 成立，则 的最
小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】对于函数 整理变形，再利用 ，可得 ，利用
基本不等式求解 最小值.
【详解】 ，
由不相等的正实数 ，且 ，
则 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
故 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最小值为 .
故答案为：
15. 如图，已知在矩形ABCD中， ， ，M为边BC的中点，将 ， 分别沿着
直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题意可得 平面 ，设点 到平面MAD的距离为h，然后利用等体积法可求得结果.
【详解】因为ABCD为矩形，所以 ， ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，
所以 ，
，
点 到平面MAD的距离为h， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ．
故答案为：
16. 的展开式中 的系数为______（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】 ，然后两次利用通项公式求解即可；
【详解】因为 ，
设其展开式的通项公式为： ，
令 ，
得 的通项公式为 ，
令 ，
所以 的展开式中， 的系数为 ，
故答案为：
四.解答题（共6小题，共70分）
17. 已知正数 ， 满足 ．
（1）当 ， 取何值时， 有最大值？
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据基本不等式直接求解即可；
（2）只需得到 ，由基本不等式“1”的妙用求出 ，从而得到 ，求出
答案.
【小问1详解】
因为正数 ， 满足 ，
由基本不等式得 ，解得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最大值为
【小问2详解】
要想 恒成立，只需 ，
正数 ， 满足 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
18. 已知集合 ， ， .
（1）若 ，求实数a取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【详解】（1）若 ，则 ，得 ；
（2）由 ，得 ，即 ，
所以 ， ，
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，
即 ，解得 .
即实数a的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必
要条件转化为集合关系是解决本题的关键．
19. 已知函数 的最小正周期为
（1）求函数 的解析式；
（2）若 的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ， ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式化简变形后，再利用周期可求出 ，从而可求出函数解析式，
（2）由 可求出 ，再由 可求得 ，然后利用正弦定理可求得结果.
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学科网（北京）股份有限公司【
小问1详解】
由题意，
．
因为 的最小正周期为 ，所以 ，所以 ，
所以
【小问2详解】
由 可得 ，
故 或 ．
所以 或
因为 ，所以 ．
又 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理可得
20. 如图在边长是2的正方体 中，E，F分别为AB， 的中点．
（1）求异面直线EF与 所成角的大小．
（2）证明： 平面 ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用 可得解；
（2）利用 和 ，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1） ，
∴
∴异面直线EF和 所成的角为 ．
（2）
∴ ，即
，
∴ 即 ．
又∵ ， 平面 且
∴ 平面 ．
21. 2025年四川省将实行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，
选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合
自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.
（1）若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；
（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行
调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95％的把握认为“选科与性别有关”？
选择物理 选择历史 合计
男生 a 10
女生 30 d
合计 30
附： .
.
0 10 0.05 0.025 0.01 0.005
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学科网（北京）股份有限公司.
2.706 3.841 5.024 6.635 7 879
【答案】（1）
（2）40，20，有95％的把握认为“选科与性别有关
【解析】
【分析】（1）根据列举法求出一个学生恰好选到“物化生”组合的概率，确定6名同学根据方案进行随机选
科，符合二项分布，即可求得答案；
（2）由题意确定 的值，计算 的值，与临界值表比较，即得结论.
【小问1详解】
设物理、历史2门科目为 ，政治、地理、化学、生物科目为 ，
则根据高考选考组合要求共有组合为 ，
，共12种，
所以一个学生恰好选到“物化生”组合的概率为 ，
则6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布 ，
故恰好选到“物化生”组合的人数的期望为 ；
【小问2详解】
由题意可得 ；
则 ，
所以有95％的把握认为“选科与性别有关”.
22. 均值不等式 可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛
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学科网（北京）股份有限公司应用，具体为： ．
的
（1）证明不等式： .上面给出的均值不等式链是二元形式，其中
指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出
对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）
（2）若一个直角三角形的直角边分别为 ，斜边 ，求直角三角形周长 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，三元形式见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用差比较法证得不等式成立.通过类比写出三元形式.
（2）根据基本不等式求得 的范围，进而求得三角形周长的取值范围.
【小问1详解】
要证 即证 ，
，
，即 当且仅当 时等号成立.
三元形式： .
【小问2详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司由（1） ，
当且仅当 取“ ”，又 ， ，
所以三角形周长的取值范围 .
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学科网（北京）股份有限公司
