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银川⼀中2026届⾼三年级第五次⽉考
7．已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆的上顶点，过 作
数 学 试 卷
的垂线，并与椭圆交于点 ，且满⾜ ，则椭圆 的离⼼率为
A． B． C． D．
注意事项：
8．若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为
1．答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上⽆效。
A． B． C． D．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、单项选择题（共8⼩题，满分40分，每⼩题5分） ⼆、多项选择题（共3⼩题，满分18分，每⼩题6分）
1．已知集合 ， ，则
9．已知直线 ，圆 ，则下列说法正确的是
A．直线 过定点
A． B． C． D．
B．圆C与y轴相交
2．若 ，则“ ”是“ ”的
C．若直线 与圆C相离，则
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
D．若圆C上的点关于直线 的对称点仍在圆C上，则
3．已知 是两个不同的平⾯， 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是
A．若 ，则
10．在棱⻓为2的正⽅体 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，
则下列选项正确的是
B．若 ，则
C．若 ，则 A．
D．若 ，则
B．直线 与 所成⻆的余弦值为
4．记等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
C．三棱锥 的体积为
A． B． C． D．
D．存在实数 、 使得
5．直线 ， ，若 ，则 的值为
A．1 B． 或 C． D． 11．设⾸项为1的数列 的前 项和为 ，且 ，则
6．已知 ，则 A． B． 是等⽐数列
C． 是单调递增数列 D．若 ，则正整数 的最⼩值为19
A． B． C． D．
⾼三第五次⽉考 数学试卷 第1⻚(共2⻚)
学科⽹（北京）股份有限公司三、填空题（共3⼩题，满分15分，每⼩题5分） 17．（15分）
如图，在四棱锥 中，侧⾯ 平⾯ ， 是边⻓为2的等边三⻆
12．已知函数 .若 ，则实数a的取值为 .
形，底⾯ 为直⻆梯形，其中 ， ， .
(1)取线段 中点M，连接BM，证明： 平⾯ ；
13．设 是双曲线 的左､右焦点，若点 在双曲线 上，且 ，则
(2)线段PD上是否存在⼀点E，使得平⾯EAC与平⾯DAC
.
夹⻆的余弦值为 若存在，试求出线段BE的⻓；若不存
14．某个圆锥容器的轴截⾯是边⻓为4的等边三⻆形，⼀个表⾯积为 的⼩球在该容器内
在，请说明理由.
⾃由运动，则⼩球能接触到的圆锥容器内壁总⾯积为 .
四、解答题（共5⼩题，满分77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）
18．（17分）
在 中，已知内⻆ 所对的边分别为 ，且满⾜ .
已知椭圆C： （ ）的右焦点为 ，点 在C上，直线l经
(1)求⻆ ；
(2)若 的⾯积为 ，求 的周⻓.
过F且与C交于 两点（不在x轴上）.
(1)求C的⽅程；
(2)若直线l的斜率为 ，求 的⾯积；
(3)设 分别为C的左，右顶点，直线 与 交于点T. 证明：点T在定直线上.
16．（15分）
19．（17分）
已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 ．
已知函数 .
(1)求 ；
(1)若 ，求曲线 在 处的切线⽅程；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
(2)若 ，证明： 在 上恒成⽴；
(3)存在 ，不等式 成⽴，求实数 的取值范围.
⾼三第五次⽉考 数学试卷 第2⻚(共2⻚)
学科⽹（北京）股份有限公司《2026 届⾼三第五次⽉考数学》参考答案及评分标准 故选：D.
题号 1 2 3 4 5 6 7
6．【答案】A
【分析】根据给定条件，利⽤⼆倍⻆公式及差⻆的余弦公式化简即得.
答案 A B B C D A C
题号 8 9 10 11 12 13 14
【详解】由 ，得 ，则 ，
答案 C AD BCD BCD 9
两边平⽅得 ，所以 .
1.【答案】A
故选：A
【分析】先求解⼀元⼆次不等式得集合 ，再利⽤交集的定义求解即得.
7．A． B． C． D．
【详解】因 ，⼜ ，
故 . 【答案】C
故选：A. 【分析】根据给定条件，利⽤椭圆的定义，结合余弦定理求出离⼼率.
【点睛】 【详解】设椭圆半焦距为 ，如图所示， ，
2．【答案】B
【分析】根据复数的模⻓公式，可求解 ，即可根据充分不必要条件的定义求解.
【详解】由 得 ，故 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：B
3.【答案】B
【分析】由⾯⾯垂直性质，平⾏线传递性，线⾯平⾏判定定理结合⾯⾯平⾏性质可判断各选项
正误. 设 关于原点对称的点为 ，则 为平⾏四边形，
【详解】对于A，由 ， ，则 与 相交或 （ 为两个平⾯的交线时），故A 由 ，得 三点共线，且 ，设 ，则 ，
错误；
在 中， ，解得 ，⽽ ，
对于B，由线⾯垂直的性质知 时， ，故B正确；
对于C，当 ，则 或 ，故C错误；
对于D，若 ，则 与 ⽆公共点，则 或 与 异⾯，故D错误. 在 中，由余弦定理得， ，解得 ，即 ，
故选：B
4.【答案】C
所以椭圆 的离⼼率 .
【分析】设数列 的公差为 ，利⽤等差数列的项的性质与基本量运算先求出公差，再求 即
可. 故选：C
【详解】设数列 的公差为 ，由 可得 ，即 .
8．【答案】C
【分析】将问题化为函数 与函数 恰有两个交点，利⽤导数的⼏何应⽤
因为 ， ，所以 .
故选：C.
求临界情况下的切线⽅程，应⽤导数研究 的性质，画出⼤致图象，数形结合确定参数范围.
5.【答案】D 【详解】令 ，即 ，
【分析】根据两直线平⾏可直接构造⽅程组求得结果.
依题意，函数 与函数 恰有两个交点，
【详解】 ， ，解得： .
第6⻚(共6⻚)
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，令 或 ，解得 或 ，⽽ ， ，
所以 在 ， 处的切线⽅程分别为 ， ，
当 ，则 ，即 在 上单调递增，
当 ，则 ，即 在 上单调递减，
所以函数的⼤致图象如下：
则
对于A：因为 ,故 与 不垂直，故A错误；
对于B： ，
，
由图知， 的取值范围是 .
故选：C 所以直线与所成⻆的余弦值为 ，故B正确；
9．【答案】AD
【分析】令 ，得 ，分析可判断A的正误；求出圆C的圆⼼和半径，分析可判断B的 对于C： ，故C正确；
正误；由题意，圆⼼到直线的距离 ，代⼊点到直线距离公式，即可判断C的正误；分析可
得圆⼼在直线l上，代⼊计算，可判断D的正误. 对于D： ,
【详解】选项A：令 ，得 ，易知直线过定点 ，故A正确； 若存在实数使得 ，则
选项B：整理圆C的⽅程，得 ， ，
则圆⼼到y轴的距离为4，⼜ ，
所以圆C与y轴相切，故B错误； 即 ，解得 ，故D正确.
选项C：设圆⼼C到直线 的距离为d，可得 ，
故选：BCD.
解得 ，故C错误； 11．【答案】BCD
选项D：因为圆C上的点关于直线 的对称点仍在圆C上，所以圆⼼C在直线 上， 【分析】由递推公式依次计算可求出 ；分 为偶数与奇数，利⽤递推公式及构造法推导出通
项公式，进⽽利⽤分组求和法及等⽐数列求和公式求 为偶数、奇数时的前 项和，再结合单
则 ，解出 ，故D正确.
调性确定 的值即可．
故选：AD.
10．【答案】BCD 【详解】由 ，得 ， ， ，
【分析】建⽴空间直⻆坐标系，对于A，计算 的值即可判断；对于B，计算 ， ，A错，
的值即可判断；对于C， 等体积法即可计算求解；对于D，由 计 当 为偶数时， ，则 ，⼜ ，
算求出 即可得解. 此时 是⾸项为4，公⽐为2的等⽐数列，则 ， ；
【详解】由题可建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
当 为奇数时， ，则 ，⼜ ，
此时 是⾸项为4，公⽐为2的等⽐数列，则 ， ，B对，
第6⻚(共6⻚)
学科⽹（北京）股份有限公司综上， ， 且 ，
则 ，且 ，
14.【答案】
所以 是单调递增数列且各项均为正，则数列 单调递增，C对，
【分析】分别计算侧⾯与底⾯上⼩球可能接触到的容器内壁的⾯积，即可得解.
当 为奇数时，
【详解】设⼩球的半径为 ，则⼩球的表⾯积为 ，解得 ，
，⼜ ， 在圆锥内壁侧⾯，⼩球接触到的区域围成⼀个圆台侧⾯，如下图所示：
当 为偶数时，
，⼜ ，
所以正整数 的最⼩值是19，D对.
故选：BCD
12．【答案】9 由⼩球的半径 ，
【分析】对 分类讨论，并解⽅程即可求解.
【详解】当 时， ，此时 ⽆解， 得 ，
当 时， ，解得 ， ⼜ 都是等边三⻆形，则 ，
综上若 ，则实数a的取值为9.
圆台的上、下底⾯圆的半径分别为 ，
故答案为：9.
13.【答案】 ⺟线⻓ ，因此圆台的侧⾯积为 ，
【分析】根据双曲线定义，可得 ，即可求出 的值，检验 的值，根 在圆锥底⾯，⼩球接触到的区域是⼀个圆，其半径为 ，其⾯积为
据两边之和⼤于第三边，即可得答案.
，
【详解】因为 在 上，所以 ， 所以圆锥内壁上⼩球能接触到的圆锥容器内壁总⾯积为 .
⼜ ，则 ，所以 ，
15．【答案】(1) (2)
所以 ，即 或 ， 【分析】（1）利⽤正弦定理进⾏边⻆转化，然后结合三⻆函数的公式求解即可；
（2）利⽤三⻆形的⾯积公式和余弦定理求解即可.
解得 或 ，
【详解】（1）由 及正弦定理，
当 时， ，不符合题意，
可得 ，………………………………………………1分
当 时， ，符合题意，
结合 ，…………………………………………2分
所以 .
由 ，
故答案为：
得 ，
第6⻚(共6⻚)
学科⽹（北京）股份有限公司化简可得 .…………………………………………3分
，
，即 .……………………………………5分 17．【答案】(1)证明过程⻅解析
⼜ .……………………………………………………7分 (2)B到平⾯PCD的距离为 ；存在 且为 上靠近 点的三等分点，
（2）由 的⾯积为 ，结合（1）可得 ，……………9分 【分析】（1）取 中点 ，连接 ，证出四边形 为平⾏四边形，即可得证.
（2）建⽴空间直⻆坐标系，求出平⾯ 的法向量 以及 ，利⽤ 到平⾯ 的距离的向
在 中，由余弦定理可得
量公式即可求解；求得平⾯ 的法向量 以及 ，利⽤向量夹⻆公式即可求解．
， 【详解】（1）在四棱锥 中，取 中点 ，连接 ，………………1分
，……………………………………11分
或 （舍去），………………………………12分
的周⻓为 .………………………………13分
16．【答案】(1) (2)
【分析】（1）利⽤ 的关系，可得 是等差数列，利⽤等差数列通项公式可得答案；
（2）先根据 求出 的通项公式，利⽤并项求和可得答案.
由 为 的中点，且 ， ，得 ， ，
【详解】（1）因为 ，当 时，可得 ；………………2分
则四边形 为平⾏四边形，
因为当 时，有 ，
，……………………………………………………3分
所以 ，整理得 ，………………4分 ⽽ 平⾯ ， 平⾯ ，…………………………………………4分
所以 是⾸项为4，公差为4的等差数列． 所以 平⾯ ．…………………………………………5分
（2）取 的中点 ，连接 ， ，由 为等边三⻆形，得 ，
所以 ，……………………………………………………6分
⽽平⾯ 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ， 平⾯ ，
因为数列 的各项均为正数，所以 .……………………………………7分 则 平⾯ ，由 ，得四边形 是平⾏四边形，
（2）由（1）知，当 时， ． 于是 ，⽽ ，则 ，直线 两两垂直，…………6分
以 为坐标原点，直线 分别为 轴建⽴空间直⻆坐标系，…………7分
当 时， 成⽴
所以 ．…………………………9分
所以 ，………………………………………………10分
当 为偶数时，
，………12分
当 为奇数时，
则 ，
，………14分
令 ，…………………………8分
综上， ．………………………………15分 ， ，
第6⻚(共6⻚)
学科⽹（北京）股份有限公司设平⾯ 的法向量为 ，则 ， 由弦⻓公式可得： ；………………7分
取 ，得 ，…………………………10分
原点O到直线的距离 …………………………8分
平⾯ 的法向量为 ，…………………………11分 ……………………………………………9分；
于是 ，…………………………12分
（3）
化简得 ，⼜ ，解得 ，即 ，………………13分
，
， 设直线l⽅程为 ，与椭圆 联⽴，
消 得： ，
，…………………………15分
设交点 ，则 ，……………………11分
所以线段 上存在点 且为 上靠近 点的三等分点，使得平⾯ 与平⾯ 夹⻆的余弦
由 分别为C的左，右顶点，则 ，
值为 ，
所以直线 ⽅程为： ，
此时 .
直线 ⽅程为： ，
18．【答案】(1) ； (2) ； (3)证明⻅解析.
两式消 得：……………………………………………………12分
【分析】(1)利⽤已知条件列⽅程组求参数 即可；
，
(2)利⽤直线与椭圆联⽴⽅程组，结合弦⻓公式求解即可；
(3)利⽤直线与椭圆联⽴，再⽤坐标去表示两直线⽅程，然后消 ，去求解交点 的横坐标，再 整理得：
由根与系数关系，即可求得 ，从⽽问题得证.
………………
【详解】（1）点 在C上得： ，……………………1分
14分
右焦点为 得： ，………………………………………………2分
由 可得： ，……………………15分
联⽴解得： ，
所以有 ……………………17分
所以椭圆⽅程为 ；……………………3分
即点T在定直线 上.
（2）直线l经过F且斜率为 ，则直线⽅程为 ，与椭圆 联⽴，
19．【答案】(1)当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
消 得： ，
(2)证明⻅解析； (3) .
设交点 ，则 ，………………5分
【分析】（1）若 ， ，求导可得 的切线⽅程；
第6⻚(共6⻚)
学科⽹（北京）股份有限公司（2）令 ，求导并利⽤单调性证明即可；
所以当 时， ，
（3）令 ，则 ，原不等式可转化为存在 使得 成⽴，根据
符号进⾏参变分离，然后构造函数 ， ，求导后分析其单调性即可求 所以 在 上单调递减，……………………15分
得实数 的取值范围.
所以当 时， 取得最⼤值，且 ；
【详解】（1）当 时， ， ，所以 ，…………1分
故 ，即实数 的取值范围为 .…………………………17分
……………………………………2分
切线⽅程为
…………………………3分
（2）当 时， ，
要证 ，即证 在 上恒成⽴；………………4分
令 ， ，则 在 上单调递减，…………5分
因为 ， ，所以存在唯⼀的 ，使得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，………………7分
⼜ ， ，
所以 在 上恒成⽴，……………………9分
即 在 上恒成⽴；
（3）令 ，则 ，则 ，
因为存在 ，不等式 成⽴，
即存在 使得不等式 成⽴，…………………………10分
当 时，不等式不成⽴；………………11分
当 时， ， 成⽴；…………………………12分
令 ， ，则 ， ，……13分
因为 ， ，故 ；
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，
⼜当 时， ，所以 ，
第6⻚(共6⻚)
学科⽹（北京）股份有限公司
