文档内容
2024 年秋季学期新高二开学考数学试卷
考试范围：必修一、必修二； 考试时间：120分钟； 日期：2024年8月
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
5
1.复数 的共轭复数是( )
i−2
A. i+2 B. −2+i C. −2−i D. 2−i
2.命题“∀x∈R，sinx+1≥0”的否定是 ( )
A. ∃x∈R，sinx+1<0 B. ∀x∈R，sinx+1<0
C. ∃x∈R，sinx+1≥0 D. ∀x∈R，sinx+1≤0
3.已知函数 {2x+m−1,x⩽0恰有两个零点，则 的取值范围为( )
f(x)= m
log x,x>0
5
A. (−1,+∞) B. (1,+∞) C. [1,+∞) D. [−1,+∞)
π
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|< )的图象(部分) 如图所示，
2
则f (x)的解析式是( )
( π) ( π)
A. f (x)=2sin x+ (x∈R) B. f (x)=2sin 2x+ (x∈R)
6 6
( π) ( π)
C. f (x)=2sin x+ (x∈R) D. f (x)=2sin 2x+ (x∈R)
3 3
5.从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350kW⋅ℎ之间．将数据分组后得到如表所示的
频率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是( )分
[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)[300,350]合计
组
频
0.12 0.18 0.30 0.25 0.10 0.05 1
率
A. 230 B. 235 C. 240 D. 245
6.为解决某校午餐路途拥挤问题，计划修建从教学楼直达食堂的空中走廊.现结合以下设计草图提出问题：已知A，D
两点分别代表食堂与教学楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得∠CAD=15∘，
∠CBD=45∘，AB=50m，CD=25m.设∠DAE=θ，则cosθ=( )
√6−√2 √3
A. B. √2√3−3 C. √3−1 D.
4 2
7.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则下列说法：
①a=0.03；②若抽取100人，则平均用时一定为13.75小时；③若从每周使用时间在[15,20),[20,25)，[25,30]三组
内的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为
3.其中正确的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
8.已知正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥)P−ABCD的底面正方形边
π
长为2，其内切球O的表面积为 ，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足OQ=OP，则动点Q形成轨迹的周长为( )
32π 3π 4π 5π
A. B. C. D.
11 11 11 11
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在三棱柱ABC−A B C 中，AB=√3A A =2√3，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，
1 1 1 1
则下列命题正确的有( )
π
A. A A ⊥平面ABC B. 异面直线B C与A A 所成角的大小是
1 1 1 6
√13
C. 球O的表面积是20π D. 点O到平面AB C的距离是
1 13
10.已知O为坐标原点，点P (cosα,sinα)，P (cosβ,−sinβ)，P (cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则( )
1 2 3
A. B.
|OP |=|OP | |AP |=|AP |
1 2 1 2
C. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ D. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
OA·OP =OP ·OP OA·OP =OP ·OP
3 1 2 1 2 3
11.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品
产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，下列说法正确的是( )
A. 新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值
B. 新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值
C. 新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值
D. 新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x2−ax+a2−7=0}，B={x|x2−x−6=0}，若满足A⋂B=A⋃ B，则实数a=
．
1 3
13.已知正数x，y满足x+3 y− − =6，则x+3 y的最小值是 ．
x y
14.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同
学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门
学科中再选择一门，设事件E=“选择生物学科”，F=“选择一门理科学科”，G=“选择政治学科”，H=“选择
一门文科学科”，现给出以下四个结论：
①G和H是互斥事件但不是对立事件；
②F和H是互斥事件也是对立事件；
③P(F)+P(G)=1；
④P(E∪H)=P(E)+P(H)．
其中，正确结论的序号是 .(请把你认为正确结论的序号都写上)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2B+cos2C−cos2A=1−2sinBsinC．
(1)求A；(2)若a=4，求▵ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众
多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流
传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了
12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
22
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为 ，求n的值．
25
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A B C 中，侧棱A A 1 ⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB=BC，AC=2，A A 1 =√2．
1 1 1(1)求证：B C//平面A BM；
1 1
(2)求证：AC ⊥平面A BM；
1 1
BN
(3)在棱BB 上是否存在点N，使得平面AC N⊥平面A A C C？如果存在，求此时 的值；如果不存在，请说
1 1 1 1 BB
1
明理由．
18.(本小题17分)
已知函数f (x)=
ax+b
是定义在(−1,1)上的奇函数，且f
(1)
=
2
．
1+x2 2 5
(1)确定函数f (x)的解析式；
(2)用定义证明f (x)在上(−1,1)是增函数：
(3)解关于x的不等式f (x−1)+f (x)<0．
19.(本小题17分)
给定三棱锥Ω，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称α为Ω的k阶等距平
面，称M为Ω的k阶等距集．(1)若Ω为三棱锥A−BCD，满足AB=CD=AD=BC=4，AC=BD=2，求出Ω的1阶等距平面截该三棱锥所得到的
截面面积(求出其中的一个即可);
(2)如图所示，Ω是棱长为√2的正四面体ABCD．
(ⅰ)若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{a}，求a的所有可能取值以及相对应的α的个数;
(ⅱ)已知β是Ω的4阶等距平面，点A与点B，C，D分别位于β两侧.是否存在β，使Ω的4阶等距集为{b,2b,3b,4b}，
其中点A到β的距离为b?若存在，求出β截Ω所得的平面多边形的最大边长;若不存在，说明理由．
