湘教版高中数学选修2-2理科_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

选修 2 - 2（理科）
选
修
湖
南
教
育
出
版
湖南教育出版社
社
普
通 经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过
高
中
课
程
标
准
实 普通高中课程标准实验教科书
验
教
科
书
2
（2
理
科
）
－
G·4608 定价：11.40元Mathematics
普通高中课程标准实验教科书
数 学
选修 2 - 2（理科）
湖 南 教 育 出 版 社主 编 张景中 黄楚芳
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执行主编 李尚志
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编 委 朱华伟 郑志明 查建国
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文志英 袁宏喜
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普通高中课程标准实验教科书
数 学
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选修 理科
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责任编辑 邹楚林
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责任校对 刘 源
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湖南教育出版社出版 长沙市韶山北路 号
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书书书感受数学思维的力与美
这一段课程， 包括导数及其应用、 推理与证明、
数系的扩充和复数的引入．
微积分的创立是数学发展中的里程碑， 它的发展
和广泛应用开启了向近代数学过渡的新时期， 为研究
变量和函数提供了重要的方法和手段． 运动物体的瞬
时速度， 曲线上一点处的切线斜率， 函数的瞬时变化
率， 到了数学世界本是一回事， 就是导数！ 导数的引
入使数学变得更有力更迷人． 回顾过去： 大量的几何
问题和物理问题， 数学家本来要一个一个地辛苦地研
究． 在微积分的方法和工具的威力之下， 这些问题摧
枯拉朽般地被解决． 展望前程： 微积分的出现， 开创
了数学的新时期， 一系列内容丰富、 思想深刻、 应用
广泛的数学分支在微积分的基础上诞生成长．
我们将通过大量的实例， 理解导数思想的奥妙，
感受数学思想的力量， 体会微积分的产生对人类文化
发展的价值．
数学的力量和美， 来自对万物万象冷静的分析、
深入的探究和严谨的思维． 推理与证明， 是数学的基
本思维过程， 也是学习和生活中常用的思维方式． 通
过经验和直觉， 用归纳、 类比的方式来推测和发现有
用的概念或可能的结论， 叫作合情推理． 数学中许多
重大创新， 如导数概念的提出， 定积分概念的提出，
1合情推理功不可没． 根据已有的事实和正确的结论
（包括定义、 公理、 定理等）， 按照严格的逻辑法则得
到新的结论， 叫作演绎推理． 合情推理和演绎推理紧
密联系， 相辅相成， 使数学生机勃勃， 使数学严谨有
力． 数学欢迎一切有用有趣有创意的概念， 但它归根
结底只接受经过一丝不苟的演绎推理证明了的结论．
数学的正确性必须由逻辑证明来保证． 数学证明的方
法多姿多彩， 有直接证明的分析法、 综合法、 数学归
纳法， 也有间接证明的反证法、 同一法等． 灵活使用
这些方法解决形形色色的数学问题， 往往需要多年的
专业磨练； 而结合学过的知识体会数学证明的特色并
对这些方法有所了解， 则是人人皆有机会体验的美的
享受． 这种感受将留下言之成理、 论证有据的习惯，
使人终生受益．
从自然数到有理数， 从有理数到实数， 数系的扩
充体现了数学的发现和创造过程， 也体现出数学发生
发展的客观需求和背景． 复数的引入， 是数系的又一
次扩充． 这是合情推理与演绎推理在数学中一次成功
的合作． 复数的引入， 为数学增添了一系列华丽、 深
刻、 有用的篇章， 祝愿你将来有更多机会欣赏这人类
文化典藏中的瑰宝！
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#4
第 章
导数及其应用
求积问切难题多，
瞬速极值奈若何．
群贤同趋坎坷路，
双雄竞渡智慧河．
百年寻谜无穷小，
万代受益财富多．
撑起数学参天树，
人类精神奏凯歌．
如何求曲线上任一点处的切线， 如何求运动物体在每
一时刻的瞬时速度， 这些问题好像是无穷无尽， 永远做
不完的． 但是， 用微积分的方法， 成千上万的问题被一举
突破， 一个新的数学领域出现了． 所以恩格斯认为， 微积
分的发现是人类精神的伟大胜利．４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４１ 导数概念
４１１
问题探索———求自由落体的瞬时速度
伽利略通过实验和推理发现了自由落体的运动定律：物体下落
的距离狊和所用的时间狋的平方成正比． 如果距离单位用米，时间单
位用秒，实验测出近似地有函数关系：
狊＝狊（狋）＝４．９狋２．
直接让物体从空中下落，它落得很快，不便观察测量． 伽利略是
让小球从光滑的斜面上滚下来进行观察测量的．
伽利略发现，小球在斜面上滚下的距离狊（ｍ）和所用的时间狋（ｓ）
要计算物体的速
度，就要知道物体在一 之间，有函数关系狊＝狊（狋）＝犪狋２ ，这叫作小球的运动方程． 这里，犪
段时间里走过的一段距
是与斜面的坡度有关的常数．
离，用时间除距离得到
速度，也叫平均速度． 伽利略看到，重力作用下在斜面上向下滚的小球，每时每刻都
如果只看某一个时刻，
滚得更快． 但是，他只知道如何计算在一个时间段里的平均速度，却
物体在这个时刻只有一
个位置，时间和距离都 不知道如何计算小球在某一个时刻的速度，即瞬时速度．
是０，通常的速度概念
一百多年之后，牛顿给出了瞬时速度的概念和计算方法，回答
不是失去了意义吗？
所以，伽利略面临
了伽利略的问题．
的困难是深刻的，是概
念上的困难． 牛顿是怎么想，怎么做的呢？
如果小球在某个斜面上向下滚动的运动方程是
狊（狋）＝３狋２ ，
要计算小球在开始运动２ｓ时的速度，不妨先看看它在２ｓ到２．１ｓ之
间的平均速度，即在区间 ［２，２．１］上的平均速度：
狊（２．１）－狊（２） １３．２３－１２
＝ ＝１２．３（ｍ／ｓ）．
２．１－２ ０．１
同样，可以计算出［２，２．０１］，［２，２．００１］，…上的平均速度，
也可以计算出［１．９９，２］，［１．９９９，２］，…上的平均速度：
２
书书书４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
时间区间 间隔／ｓ 平均速度／（ｍ／ｓ） 时间区间 间隔／ｓ 平均速度／（ｍ／ｓ）
［２，２．１］ ０．１ １２．３ ［１．９，２］ ０．１ １１．７
［２，２．０１］ ０．０１ １２．０３ ［１．９９，２］ ０．０１ １１．９７
［２，２．００１］ ０．００１ １２．００３ ［１．９９９，２］ ０．００１ １１．９９７
［２，２．０００１］ ０．０００１ １２．０００３ ［１．９９９９，２］ ０．０００１ １１．９９９７
［２，２．００００１］０．００００１ １２．００００３ ［１．９９９９９，２］０．００００１ １１．９９９９７
… … … … … …
仔细观察，时间间隔越来越小的过程中，对应的平均速度似乎
越来越接近一个数值，就是１２ｍ／ｓ．
但是，时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程． 有限的几次计
算，能得出１２ｍ／ｓ这个确定的结果吗？
用字母代替数，可以把问题看得更清楚：
设犱是一个绝对值很小的非０的数，在［２，２＋犱］或［２＋犱，２］这
段时间里，小球运动的平均速度是
３（２＋犱）２－３×２２ ３（４犱＋犱２）
＝ ＝（１２＋３犱）（ｍ／ｓ）．
犱 犱
当犱越来越接近于０时，这个平均速度确实越来越接近于１２ｍ／ｓ．
用数学语言来说，就是 “时间段的长度趋于０时，这段时间内的
平均速度以１２ｍ／ｓ为极限”．
这个极限数值，就叫作小球开始运动后２ｓ时的瞬时速度．
用这个办法，不难计算小球在任意时刻狋的瞬时速度：先计算出
时刻狋和狋＋犱之间这个时间段运动的距离，除以这个时间段的长度犱，
求出平均速度并把结果化简，再让犱趋于０，就得到时刻狋的瞬时速度．
计算过程是：
（１）求平均速度：
狊（狋＋犱）－狊（狋） ３（狋＋犱）２－３狋２
＝ ＝６狋＋３犱．
犱 犱
（２）在平均速度表达式６狋＋３犱中让犱趋于０，得到６狋． 所以，
小球在时刻狋的瞬时速度是６狋ｍ／ｓ．
类似地，从自由落体的运动方程狊（狋）＝４．９狋２ 出发，可以求出它
下落狋ｓ时的瞬时速度为９．８狋ｍ／ｓ．
３４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
例 运动员从１０ｍ高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，
不同时刻的速度是不同的． 设起跳狋ｓ后运动员相对水面的高度为
犎（狋）＝－４．９狋２＋６．５狋＋１０，
用代数推导方法计算在２ｓ时运动员的速度 （瞬时速度），再用数值
计算列表观察检验计算的结果．
解 计算步骤是：
（１）求［２，２＋犱］上的平均速度：
犎（２＋犱）－犎（２） －４．９犱２－１３．１犱
＝ ＝－４．９犱－１３．１．
犱 犱
（２）在平均速度表达式－４．９犱－１３．１中让犱趋于０，得到
－１３．１．所以，运动员在２ｓ时的瞬时速度是－１３．１ｍ／ｓ．
下面是数值计算的结果：
时间区间 间隔／ｓ 平均速度／（ｍ／ｓ） 时间区间 间隔／ｓ 平均速度／（ｍ／ｓ）
［２，２．１］ ０．１ －１３．５９ ［１．９，２］ ０．１ －１２．６１
［２，２．０１］ ０．０１ －１３．１４９ ［１．９９，２］ ０．０１ －１３．０５１
［２，２．００１］ ０．００１ －１３．１０４９ ［１．９９９，２］ ０．００１ －１３．０９５１
［２，２．０００１］ ０．０００１ －１３．１００４９ ［１．９９９９，２］ ０．０００１ －１３．０９９５１
［２，２．００００１］０．００００１ －１３．１０００４９ ［１．９９９９９，２］０．００００１ －１３．０９９９５１
… … … … … …
从计算结果看出，当时间间隔越来越小时，运动员的平均速度
趋于－１３．１ｍ／ｓ，这和上面的代数推导的结论是一致的．
现在，把上面解决问题的思路和方法总结一下：
（１）开始提出的问题是：知道了运动方程，求某个时刻的瞬时速度；
（２）但是我们还不知道如何用数学语言描述瞬时速度；
（３）所以我们面临两个任务，要建立瞬时速度的数学概念，并
且找出计算方法；
（４）要计算时刻狋的瞬时速度狏（狋），先求出时刻狋和时刻狋＋犱
这样，既有了瞬时 之间这个时间段的平均速度狏（狋，犱）；
速度的数学概念，又有
（５）再在狏（狋，犱）中让犱趋于０，得到的极限值就叫瞬时速度狏（狋）．
了计算它的方法．
若物体的运动方程为狊＝犳（狋），则物体在任意时刻狋的瞬时速度
犳（狋＋犱）－犳（狋）
狏（狋），就是平均速度狏（狋，犱）＝ 在犱趋于０时的极限．
犱
４４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
练 习
１．在本节例题中，求出运动员在任意时刻狋的瞬时速度．
２．在本节例题中，求出：
（１）运动员起跳时刻的瞬时速度；
（２）运动员到达最高点时的瞬时速度；
（３）运动员入水时的瞬时速度．
习题 １
学 而 时 习 之
１．匀速运动物体的运动方程是狊＝狊（狋）＝狊＋狏狋，求物体在时刻狋的瞬时速度．
０ ０
２．一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离犺（ｍ）与时间狋（ｓ）之间的函数
关系为犺＝狋２． 求狋＝４ｓ时此球在垂直方向的瞬时速度．
温 故 而 知 新
３．根据竖直上抛物体的运动方程犺（狋）＝犺＋狏狋－
犵狋２
，计算该物体在时刻狋的瞬时
２
速度． 再应用物理学的能量守恒原理，分析运动过程中动能和势能的相互转
化，说明用数学方法计算出的瞬时速度是否和物理现象相符合．
犳（狓＋犱）－犳（狓）
４．设犳（狓）是增函数，请分别指出犱＞０或犱＜０时 ０ ０ 的符号．
犱
５４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４１２
问题探索———求作抛物线的切线
自由落体的速度方向总是向下的．
竖直上抛的物体，例如跳水运动员跳水的运动过程中，速度的
在历史上，解析几 方向开始向上，后来向下．
何的主要开创人笛卡儿
斜抛或平抛的物体，例如炮弹的运动过程中，速度的方向时时
曾经研究过这个问题．
但他所用的方法比较特 都在变化． 在物理中知道，这时物体运动的轨线是抛物线，而速度的
殊． 我们希望寻求更一
方向线正是抛物线的切线．
般更简便的方法．
遇到一个问题而不 但是，怎样作出抛物线的切线呢？
知道如何解答时，不妨
圆的切线垂直于半径，这条性质不适用于抛物线．
想想过去做过的类似的
问题． 看哪些经验适用 但是，圆的切线和割线之间的某些联
于解决新的问题．
系却对我们富有启发性．
过去，我们作过圆
的切线． 如图４ １，犃，犅是圆周上两点，过
犃犅可以作一条割线． 当点犅趋于犃时，
割线就趋于切线的位置．
对于一般曲线，也可以照此办理．
图４ １
图４ ２是曲线狔＝犳（狓）的图象． 犘，
从特殊过渡到一
般，是思考数学问题的 犙是曲线上的两个点，直线犘犙是曲线的割线． 让点犙趋于犘，割线
好方法．
犘犙如果趋于一条直线，这条直线不就是曲线在点犘处的切线吗？
这样的设想如果成
功，既建立了一般曲线
的切线的概念，又指出
了作切线的途径．
图４ ２
下面回到作抛物线切线的具体问题上来，用实际操作检验我们
的设想是否有效．
６４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
图４ ３是抛物线狔＝犳（狓）＝狓２ 的图象．犘（１，１）是图象上的一
有时候，解题的困
个点． 为了过点犘作出该抛物线的切线，只要求出这条切线的斜率 难，在于不知道要求的
东西究竟是什么，也就
就可以了．
是问题没有说清楚． 把
问题说清楚了，往往就
有了解决的办法．
图４ ３
在抛物线上再取一个点犙（１＋犱，（１＋犱）２），作割线犘犙． 当犱
趋于０时，点犙趋于点犘，割线犘犙趋于所要作的切线，割线犘犙的
斜率也就趋于切线的斜率．
过犙作狔轴的平行线，过犘作狓轴的平行线，两线交于点犚，
则在Ｒｔ△犙犚犘中，斜边犘犙的斜率就是∠犙犘犚的正切，即
犙犚 （１＋犱）２－１
＝ ＝２＋犱，
犘犚 犱
让犱趋于０，得到过点犘的切线的斜率为２．
根据直线的点斜式方程，得到切线方程为
狔＝２狓－１，
这说明我们的设想是对的．
同样的方法，可以求出这条抛物线上任一点犘（狌，狌２）处的切线的
斜率． 具体的步骤为：
（１）取不同于犘的点犙（狌＋犱，（狌＋犱）２），根据犘，犙两点坐
标，计算出直线犘犙的斜率为
（狌＋犱）２－狌２
＝２狌＋犱；
（狌＋犱）－狌
７４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
在解决上述问题的
（２）在犘犙的斜率２狌＋犱中让犱趋于０，得到点犘（狌，狌２）处切
过程中，我们实际上得 线斜率为２狌．
到了根据函数的解析式
计算函数曲线上任一点
所以，过点犘（狌，狌２）的切线的方程为狔＝２狌狓－狌２．
处切线斜率的途径． 因此，对函数狔＝犳（狓）的曲线上的任一点犘（狌，犳（狌）），求点犘
处切线斜率的方法是：
（１）在曲线上另取一点犙（狌＋犱，犳（狌＋犱）），计算直线犘犙的
斜率
犳（狌＋犱）－犳（狌）
犽（狌，犱）＝ ；
犱
（２）在所求得的犘犙的斜率的表达式犽（狌，犱）中让犱趋于０，如
果犽（狌，犱）趋于确定的数值犽（狌），则犽（狌）就是曲线在点犘处的切线
的斜率．
例１ 求二次函数狔＝犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪，犫，犮为常数，犪≠
０）图象上点犘（狌，犳（狌））处切线的斜率．
解 （１）在图象上取另一点犙（狌＋犱，犳（狌＋犱）），计算直线犘犙
的斜率
犳（狌＋犱）－犳（狌）
犽（狌，犱）＝ ＝２犪狌＋犱犪＋犫．
犱
（２）在所求得的斜率表达式中让犱趋于０，表达式趋于２犪狌＋犫．
所以，所求的切线的斜率犽（狌）＝２犪狌＋犫．
例２ 初速大小为狏（ｍ／ｓ）的炮弹，如果发射方向和地面所成的
角为θ，则炮弹所经过的曲线在不计空气阻力时为抛物线． 以炮弹到
发射点的水平距离为自变量狓（ｍ），炮弹到发射点的垂直距离狔（ｍ）
可以看成是狓的函数，其表达式为狔＝犳（狓）＝狓ｔａｎθ－
犵狓２
，其
２狏２ｃｏｓ２θ
中犵＝９．８ｍ／ｓ２ ，是重力加速度． 根据例１的结果，求犳（狓）的曲线上
任一点（狓，犳（狓））处切线的斜率．
－犵
解 对照例１，犪＝ ，犫＝ｔａｎθ，狌＝狓，故所求斜率为
２狏２ｃｏｓ２θ
－犵狓
犽（狓）＝ ＋ｔａｎθ．
狏２ｃｏｓ２θ
８４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
练 习
１．判断曲线狔＝２狓２ 在点犘（１，２）处是否有切线，如果有，求出切线的方程．
２．设犘（狓，狔）是曲线狔＝３－狓２ 上的一点，写出曲线在点犘处的切线的方程．
０ ０
习题 ２
学 而 时 习 之
１．求曲线狔＝狓２＋１在点犘（１，２）处的切线的斜率．
２．计算抛物线狔＝狓２－３狓＋２上任一点犘（狌，狏）处的切线的斜率，并求出抛物线
顶点处切线的方程．
温 故 而 知 新
３．已知曲线狔＝２狓２＋１，试在曲线上找一点犘（狓，狔），使得曲线在点犘处的切
０ ０
线平行于直线狔＝６狓＋１．
４． 用 “Ｚ＋Ｚ超级画板”或具有类似功能的作图软件，取适当的单位和比例，在
计算机屏幕上作出例２中的抛物线，在抛物线上任取一点犘，使用例２中求出
的斜率作过犘的直线，如图４ ４所示． 拖动点犘或改变炮弹的出射角，观察
直线与曲线是否相切．
图４ ４
９４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４１３
导数的概念和几何意义
前面我们研究了两类问题，一类问题来自物理学，涉及平均速
度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率．
两类问题来自不同的学科领域，但却有着相同的数学模型．
两类问题，都涉及下列几件事：
在研究函数的增减 （１）一个函数犳（狓），可以是运动方程，也可以是曲线方程．
性时，多次用到函数
（２）函数犳（狓）在狓＝狌处步长为犱的差分犳（狌＋犱）－犳（狌）可以是
犳（狓）的差分犳（狌＋犺）－
犳（狌）． 那时为了方便， 物体在某个时段中运动的距离，也可以是曲线上两点纵坐标的差．
曾约定犺＞０．这样，差分
犳（狌＋犱）－犳（狌）
犳（狌＋犺）－犳（狌）可以看 （３）上述差分和步长犱的比 可以是物体在某个
犱
成是函数犳（狓）在区间
［狌，狌＋犺］上的改变量． 时段的平均速度，也可以是过曲线上两点的割线的斜率．
这里用到的差 分
从数学上看，它是函数犳（狓）在两点处的函数值之差和对应的自
犳（狌＋犱）－犳（狌），步长
犱可正可负． 当犱＜０时， 变量之差的比，通常叫作犳（狓）在狓＝狌处步长为犱的 “差商”．
要考虑的其实是函数
（４）上述差商在步长趋于０时，如果趋于一个确定的数值，这个
犳（狓）在［狌＋犱，狌］上的
改 变 量 犳 （狌）－ 数值在前一类问题中就是运动物体在时刻狌的瞬时速度，在后一类
犳（狌＋犱），对应的自变
量的改变量就是狌－
问题中就是曲线在点（狌，犳（狌））处切线的斜率．
（狌＋犱）＝－犱． 两个改 在前面研究过的具体情形，差商可能是平均速度或割线的斜率．
变 量 的 比 等 于
一般地，差商表示的是函数在自变量的某个区间上的平均变化率，
犳（狌）－犳（狌＋犱）
＝
－犱
它反映了自变量在某个范围内变化时，函数值变化的总体的快慢．
犳（狌＋犱）－犳（狌）
． 由此
犱
在各种实际问题中，常常用函数的平均变化率对事物的发展过
可见，不论步长犱是正
数还是负数，差商的表 程进行评价．
达式都一样，都可以写
例１ 某市环保局在规定的排污达
犳（狌＋犱）－犳（狌）
成 ．
犱 标的日期前，对甲、乙两家企业进行检
查，其连续检测结果如图４ ５所示 （图
中犠 （狋），犠 （狋）分别表示甲、乙企业在
１ ２
时刻狋的排污量）． 试问哪个企业治污效
图４ ５
果较好？
１０
书书书４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
解 在时刻狋处，虽然犠 （狋）＝犠 （狋），即排污量相等，但是
１ １ １ ２ １
考虑到一开始有犠 （狋）＞犠 （狋），所以有
１ ０ ２ ０
犠 （狋）－犠 （狋） 犠 （狋）－犠 （狋）
１ １ １ ０ ＜ ２ １ ２ ０．
狋－狋 狋－狋
１ ０ １ ０
即
犠 （狋）－犠 （狋） 犠 （狋）－犠 （狋）
１ ０ １ １ ＞ ２ ０ ２ １．
狋－狋 狋－狋
１ ０ １ ０
这说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大． 若照此趋势
发展下去，企业甲很可能较快地达到规定的排污标准．
在上面的问题解答中，平均治污率的表达式也可以使用前面使
用的函数的差商的表达式． 例如，记犱＝狋－狋，狋＝狋＋犱，则
１ ０ １ ０
犠 （狋）－犠 （狋） 犠 （狋＋犱）－犠 （狋）
１ １ １ ０ ＝ １ ０ １ ０ ．
狋－狋 犱
１ ０
当然，如果让狋＝狋－犱，则有
０ １
犠 （狋）－犠 （狋） 犠 （狋）－犠 （狋－犱）
１ １ １ ０ ＝ １ １ １ １ ．
狋－狋 犱
１ ０
这些表达式尽管形式不同，实际的意义并无区别，都是函数的差分
和对应的步长的比．
例２ 投石入水，水面会产生圆形波纹区，
且圆的面积随着波纹的传播半径狉的增大而增大
（如图４ ６）．计算：
（１）半径狉从犪增加到犪＋犺时，圆面积相对
于狉的平均变化率； 图４ ６
（２）半径狉＝犪时，圆面积相对于狉的瞬时变化率．
解 （１）半径狉从犪增加到犪＋犺时，圆的面积从π犪２ 增加到
π（犪＋犺）２ ，其改变量为π［（犪＋犺）２－犪２］，而半径狉的改变量为犺．
两者的比就是所求的圆面积相对于半径狉的平均变化率：
π［（犪＋犺）２－犪２］ π（２犪犺＋犺２）
＝ ＝π（２犪＋犺）．
犺 犺
（２）在上面得到的平均变化率表达式中，让狉的改变量犺趋于
０，得到半径狉＝犪时，圆面积相对于狉的瞬时变化率为２π犪．
企业的平均治污率，圆面积相对于半径狉的平均变化率，还有前
１１４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
面讨论过的运动物体的平均速度，以及函数曲线的割线的斜率，从
数学上看，无非都是函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比，
即差商，因此它可以看成是函数在某个区间上的平均变化率．
让所考虑的区间的一个端点犪固定，当区间的长度趋于０时，如
果平均变化率趋于一个极限值，这个极限值便可看成是函数在点犪
处的瞬时变化率．
这样看来，瞬时速度、切线的斜率以及例２中所求的圆面积相对
于半径的瞬时变化率，都是函数的瞬时变化率．
函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商．
定义 设函数犳（狓）在包含狓 的某个区间上有定义，如果比值
０
犳（狓＋犱）－犳（狓）
０ ０
在犱趋于０时 （犱≠０）趋于确定的极限值，则称此极
犱
限值为函数犳（狓）在狓＝狓处的导数 （ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ）或微商，记作犳′（狓）．
０ ０
这时我们就说犳（狓）在点狓处的导数存在，或者说犳（狓）在点狓处
０ ０
可导或可微．
用更多的符号代替语言，上述定义可以简单地表述为：
犳（狓＋犱）－犳（狓）
０ ０ →犳′（狓） （犱→０）．
犱 ０
犳（狓＋犱）－犳（狓）
这个表达式读作 “犱趋于０时
０ ０
趋于犳′（狓）”．
犱 ０
注意到狓是犳（狓）的定义区间中的任意一点，因此也可以就是狓，而
０
犳′（狓）也是狓的函数，叫作犳（狓）的导函数 （ｄｅｒｉｖｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ）或一阶导数．
导函数犳′（狓）也是函数，如果犳′（狓）在狓处又可导，则它的导数叫作
犳（狓）的二阶导数，记作犳″（狓）． 类似地，可以定义三阶导数犳（狓）等等．
例３ 在初速度为零的匀加速直线运动中，路程狊和时间狋的关系为
犪狋２
狊＝狊（狋）＝ ．
２
（１）求狊关于狋的瞬时变化率，并说明其物理意义；
（２）求运动物体的瞬时速度关于狋的瞬时变化率，说明其物理意义．
解 （１）狊关于狋的瞬时变化率就是函数狊（狋）＝
犪狋２的导数狊′（狋）．
按
２
１２４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
（ ）
犪（狋＋犱）２ 犪狋２ 犱２
－ 犪狋犱＋
狊（狋＋犱）－狊（狋） ２ ２ ２ 犪犱
定义计算有 ＝ ＝ ＝犪狋＋ ．
犱 犱 犱 ２
犪犱
当犱→０时，犪狋＋ →犪狋，因此狊′（狋）＝犪狋．
２
从物理上看，狊关于狋的瞬时变化率犪狋就是运动物体的瞬时速度．
（２）运动物体的瞬时速度关于狋的瞬时变化率，承上就是函数
狊′（狋）＝犪狋的导数狊″（狋）． 按定义计算有
狊′（狋＋犱）－狊′（狋） 犪（狋＋犱）－犪狋犪犱
＝ ＝ ＝犪．
犱 犱 犱
当犱→０时，犪还是犪，所以狊″（狋）＝犪．它是运动物体的加速度．
练 习
１．求函数狔＝狓２－３狓在区间［－１，１］上的平均变化率．
２．设质点做直线运动，已知路程狊关于时间狋的函数为狊＝３狋２＋２狋＋１． 求从狋＝２
到狋＝２＋犱之间的平均速度，并求出当犱＝１，犱＝０．１与犱＝０．０１时的平均速
度，再求在狋＝２时的瞬时速度．
习题 ３
学 而 时 习 之
１．求一次函数狔＝犽狓＋犫的瞬时变化率．
２．在初速为狏的匀加速直线运动中，路程犔和时间狓的关系为犔＝犔（狓）＝狏狓＋
犪狓２
．
２
（１）求犔关于狓的瞬时变化率，并说明其物理意义；
（２）求运动物体的瞬时速度关于狓的瞬时变化率，说明其物理意义．
３．当圆的半径狉变化时，圆面积犛关于狉的瞬时变化率有什么几何意义？
当圆的直径犇变化时，圆周长犆关于犇的瞬时变化率有什么几何意义？
１３４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４２ 导数的运算
为了求运动物体的瞬时速度，要计算函数的导数．
为了作出曲线在一点处的切线，要计算函数的导数．
为了知道和评价事物变化的快慢和方向，要计算函数的导数．
在科学研究和工程技术活动中，大量问题的解决离不开导数的
计算．
函数导数的计算是如此有用，如此重要． 这一节我们就来学习
导数的计算方法和有关的运算公式．
４２１
几个幂函数的导数
让我们根据函数的导数的定义，先计算几个简单的函数的导数．
●
１． 最简单的函数是常数函数，即犳（狓）＝犮．
这时，犳（狓＋犱）＝犮，犳（狓＋犱）－犳（狓）＝犮－犮＝０，所以
犳（狓＋犱）－犳（狓） ０
＝ ＝０．
犱 犱
当犱→０时，０当然还是０，这表明犳′（狓）＝（犮′）＝０．
想一想，式子 （１） 即 （犮′）＝０． （１）
的实际意义是什么？
●
２． 若犳（狓）＝狓，则犳（狓＋犱）＝狓＋犱，于是
犳（狓＋犱）－犳（狓） 犱
＝ ＝１，
犱 犱
即 （狓′）＝１． （２）
几何意义是，直线狔＝狓的斜率为１．
●
３． 若犳（狓）＝狓２ ，你会求它的导数吗？
前面我们计算过一般二次函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪，犫，犮为
常数，犪≠０）的导数，得到犳′（狓）＝２犪狓＋犫． 只要分别让数组
１４４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
（犪，犫，犮）取值（０，０，犮）和（０，１，０）就可得到前面的公式（１）和（２）．
当取值（１，０，０）时，就可得到
（狓２′）＝２狓． （３）
●
４． 若犳（狓）＝狓３ ，则
犳（狓＋犱）－犳（狓） （狓＋犱）３－狓３ ３狓２犱＋３狓犱２＋犱３
＝ ＝ ＝３狓２＋３犱狓＋犱２．
犱 犱 犱
当犱→０时，上式趋于３狓２ ，所以
（狓３′）＝３狓２． （４）
● １
５． 若犳（狓）＝ ，则
狓
１ １ 狓－（狓＋犱）
－
犳（狓＋犱）－犳（狓） 狓＋犱 狓 狓（狓＋犱） －１
＝ ＝ ＝ ．
犱 犱 犱 狓（狓＋犱）
１
当犱→０时，上式趋于－ ，所以
狓２
（ ）
１ １
′＝－ ． （５）
狓 狓２
●
６． 若犳（狓）＝槡狓，则
（ ）（ ）
犳（狓＋犱）－犳（狓） 槡狓＋犱－槡狓 槡狓＋犱－槡狓 槡狓＋犱＋槡狓
＝ ＝
犱 犱 犱 （ 槡狓＋犱＋槡狓 ） 过去我们常常把分
母有理化，这一次反其
１
＝ ． 道而行之，要把分子有
槡狓＋犱＋槡狓
理化才解决问题！
１
当犱→０时，上式趋于 ，所以
２槡狓
（ ） １
槡狓′＝ ． （６）
２槡狓
我们将上述６个公式总结列表如下，以后可以直接使用．
１． 常数函数导数为０：（犮′）＝０
２． 恒等函数导数为１：（狓′）＝１
３． （狓２′）＝２狓
４． （狓３′）＝３狓２
（ ）
１ １
５． ′＝－
狓 狓２
（ ） １
６． 槡狓′＝
２槡狓
１５４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
例１ 立方体的棱长狓变化时，其体积关于狓的变化率是立方体
表面积的多少倍？
解 立方体的体积犞（狓）＝狓３．
因为犞′（狓）＝（狓３′）＝３狓２ ，所以其体积关于狓的变化率为３狓２ ，
是立方体表面积６狓２ 的０．５倍．
例２ 写出过点犃（－４，２）并且和曲线狓狔－１＝０相切的两条直
线的方程．
解 经验算知点犃不在曲线狓狔－１＝０上． 设所求的切线和曲线
１
切于点犙（狌，狏），由狌狏－１＝０容易求出狏＝ ．
狌
１ １
把该曲线的方程写成函数狔＝ 的形式，则狔′＝－ ． 可见在点
狓 狓２
１
犙处切线的斜率为犽＝－ ．
狌２
狏－２ １ １
计算线段犃犙的斜率，得到方程 ＝－ ，将狏＝ 代入并整
狌＋４ 狌２ 狌
理，得到关于狌的二次方程：
狌２－狌－２＝０．
解得狌＝－１或狌＝２，说明这样的切线可能有两条．
（ ）
１
继续计算，对应的两个切点的坐标为（－１，－１）和 ２， ；两
２
１
条切线的斜率分别为－１和－ ，对应的点斜式方程分别为狔－２＝
４
１
－（狓＋４）和狔－２＝－ （狓＋４），如图４ ７．
４
求曲线上点犘处的
切线与求过点犘的切线
有区别，在点犘处的切
线，点犘必为切点，过
点犘的切线，点犘未
必为切点．
图４ ７
１６４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
练 习
１．正方形的边长狓变化时，其面积关于狓的变化率是正方形周长的多少倍？
２．求曲线狓３－狔＝０在点 （２，８）处的切线的方程．
习题 ４
学 而 时 习 之
１．质点的运动方程是狊＝狋３ （狊的单位：ｍ，狋的单位：ｓ）．求质点在狋＝３时的速度．
２．求过点犘（３，５）且与曲线狔＝狓２ 相切的直线方程．
３．曲线狔＝狓３ 在点犘处的切线斜率为３．求点犘的坐标及切线方程．
温 故 而 知 新
４．写出过点犃（－５，３）并且和曲线狓狔＝１相切的两条直线的方程．
５．把狔看成狓的函数，计算曲线狓－狔２＝０在点犃（４，２）处切线的斜率． 再把狓看
成狔的函数进行计算，对比两次计算的结果．
６．根据用定义求犮，狓，狓３，槡狓的导数的过程，请用类似的方法求出狓４， 槡３狓２的
导数．
１７４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４２２
一些初等函数的导数表
１
我们已经知道了狓，狓２ ，狓３ ， 和槡狓这几个幂函数的导数．
狓
那么，一般的幂函数狓 的导数如何计算呢？
α
还有，我们学过的指数函数、对数函数和三角函数，它们的导
数又如何计算呢？
数学家早已解决了这些函数的求导问题． 将来你学习更多的数
学知识，也会掌握这些函数求导的道理． 现在，把这些函数的求导公
式列表如下，便于应用：
一些基本的初等函数导数公式表
（公式对函数定义域内的自变量狓有效）
１． （犮′）＝０
２． （狓 α ′）＝α狓 α－１ （α≠０）
３． （ｅ狓′）＝ｅ狓
４． （犪狓′）＝犪狓ｌｎ犪 （犪＞０，犪≠１）
１
５． （ｌｎ狓′）＝
狓
１
６． （ｌｏｇ狓′）＝ （犪＞０，犪≠１）
犪 狓ｌｎ犪
７． （ｓｉｎ狓′）＝ｃｏｓ狓
８． （ｃｏｓ狓′）＝－ｓｉｎ狓
１
９． （ｔａｎ狓′）＝
ｃｏｓ２狓
例１ 用导数公式表计算：
（ ）
（１） 槡３狓２ ′； （２）（ｌｏｇ狓′）； （３）（２狓′）．
２
（ ） ２ １
解 （１） 槡３狓２ ′＝
３
·
槡３狓
．
１
（２）（ｌｏｇ狓′）＝ ．
２ 狓ｌｎ２
１８４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
（３）（２狓′）＝２狓ｌｎ２．
例２ 设函数狔＝ｓｉｎ狓的图象为曲线犾．
（１）在哪些点的切线斜率为１？在哪些点的切线平行于狓轴？
（ ） （ ）
π ３π
（２）试分别求此曲线在点犃（０，０），犅 ，１ ，犆 ，－１ 处
２ ２
的切线方程．
解 （１）因狔′＝ｃｏｓ狓，故该曲线在点 （狓，ｓｉｎ狓）处的切线斜
率为ｃｏｓ狓．
由于方程ｃｏｓ狓＝１的解集为｛狓｜狓＝２犽π，犽∈犣｝，因此当狓为２π
的整数倍时，即在点 （２犽π，０）（犽∈犣）处，该曲线的切线斜率为１．
｛ ｝
π π
由于ｃｏｓ狓＝０的解集为狓狓＝犽π＋ ，犽∈犣 ，因此当狓为 加
２ ２
（ ） （ ）
π ３π
上π的整数倍时，即在点 ２犽π＋ ，１ 或 ２犽π＋ ，－１ （犽∈犣）
２ ２
处，该曲线的切线平行于狓轴．
（２）记犽，犽，犽 分别为曲线犾在点犃，犅，犆处切线的斜率．
犃 犅 犆
由导数的几何意义，得
π ３π
犽＝ｃｏｓ０＝１，犽＝ｃｏｓ ＝０，犽＝ｃｏｓ ＝０．
犃 犅 ２ 犆 ２
由直线方程的点斜式，得曲线犾分别在点犃，犅，犆处的切线方
程为
狔－０＝犽（狓－０）狔＝狓；
犃
（ ）
π
狔－１＝犽 狓－ 狔＝１；
犅 ２
（ ）
３π
狔＋１＝犽狓－ 狔＝－１．
犆 ２
练 习
１．求下列函数在指定点处的导数．
π
（１）犳（狓）＝狓π，狓＝１； （２）犳（狓）＝ｃｏｓ狓，狓＝ ．
２
１９４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
２．曲线狔＝ｃｏｓ狓在哪些点的切线斜率为１？在哪些点的切线平行于狓轴？
习题 ５
学 而 时 习 之
１．用导数公式表求下列函数的导数：
（１）狔＝狓４； （２）狔＝ｅ５；
（３）狔＝５狓； （４）狔＝ｔａｎ狓．
２．求下列函数在指定点处的导数．
（１）犳（狓）＝２狓，狓＝０； （２）犳（狓）＝ｌｇ狓，狓＝１．
３．曲线狔＝狓狀 （狀是正整数）在狓＝２处的导数为１２，求狀的值．
４．求下列曲线在指定点处的切线方程．
π
（１）狔＝槡狓，狓＝４； （２）狔＝ｓｉｎ狓，狓＝ ．
３
多 知 道 一 点
导数的另一种记号
比较导数公式表中的公式２和４，我们发现，对同一个表达式，
自变量的位置不同，求导的结果就不同．
这就带来了一个问题，如果在实际问题中，求导的表达式（狌′）
狏
该如何计算呢？是按幂函数求导，还是按指数函数求导？
这个问题暴露了用一撇表示导数这个记号的缺点． 这个由微积
分学的创建者之一牛顿引进的记号虽然简单，但不能指出是关于哪
个变量求导． 所以有时并不方便．
２０４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
ｄ犳
微积分学的另一位创建人莱布尼茨，使用记号 来表示函数犳
ｄ狓
ｄ
关于变量狓的导数． 这里 是一个不可分割的运算符号，不要当成
ｄ狓
分数． 被求导的函数可以写在横线的上方，也可以写在右面． 例如：
ｄ狓２
＝２狓，
ｄ
ｓｉｎ狓＝ｃｏｓ狓等等．
ｄ狓 ｄ狓
ｄ
用这种记号，表达式狌狏 的求导问题就可以表示清楚了： 狌狏 是
ｄ狌
ｄ
把狌看成变量求导， 狌狏 是把狏看成变量求导，所以
ｄ狏
ｄ
狌狏＝狏狌狏－１ （狏≠０），
ｄ狌
ｄ
狌狏＝狌狏ｌｎ狌（狌＞０）．
ｄ狏
ｄ
想一想， 狌狏 等于什么？
ｄ狓
ｄ狓
例１ ＝１对不对？是不是约分的结果？
ｄ狓
ｄ狓 ｄ狓
解 就是（狓′），所以 ＝１，是对函数狔＝狓求导，不是约分．
ｄ狓 ｄ狓
ｄ
例２ （犪ｓｉｎ２（狓３＋１）＋犪ｃｏｓ２（狓３＋１））５＝？
ｄ犪
解 被求导的表达式等于犪５ ，故
ｄ ｄ
（犪ｓｉｎ２（狓３＋１）＋犪ｃｏｓ２（狓３＋１））５＝ 犪５＝５犪４．
ｄ犪 ｄ犪
ｄ
例３ 狌狓＝？
ｄ狓
ｄ
解 狌狓＝狌狓ｌｎ狌．
ｄ狓
２１４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４２３
导数的运算法则
我们已经知道了几个函数的导数． 从这几个函数出发，经过加
减乘除，可以得到更多的函数． 相应地，从这几个函数的导数出发，
能不能经过加减乘除得到更多函数的导数呢？
●
１． 前面计算过函数狔＝狓２ 的导数，也计算过函数狔＝３狓２ 的导
数 （那时用的自变量是狋，狋相当于这里的狓），后者的导数恰好是前
者导数的３倍，这里是不是有更一般的规律呢？犉（狓）＝犮犳（狓）的导
数，是不是犳′（狓）和数犮的乘积呢？
犮犳（狓＋犱）－犮犳（狓） 犳（狓＋犱）－犳（狓）
由于 ＝犮· ，则当犱趋于０时，
犱 犱
犳（狓＋犱）－犳（狓）
趋于犳′（狓），因而前面的式子应当趋于犮犳′（狓）．由此
犱
可见，函数常数倍的导数，等于函数导数的同样的常数倍，这个运
算法则写成公式就是
（犮犳（狓）′）＝犮犳′（狓）． （１）
●
２． 前面计算过函数犎（狋）＝－４．９狋２＋６．５狋＋１０的导数． 检查一
下，结果是不是等于－４．９狋２ ，６．５狋和１０这三项的导数之和呢？
一般地，和函数狌（狓）＝犳（狓）＋犵（狓）的导数，等于两函数的导数和．
验证如下：
狌（狓＋犱）－狌（狓） 犳（狓＋犱）＋犵（狓＋犱）－（犳（狓）＋犵（狓））
由于 ＝
犱 犱
犳（狓＋犱）－犳（狓） 犵（狓＋犱）－犵（狓）
＝ ＋ ，
犱 犱
犳（狓＋犱）－犳（狓） 犵（狓＋犱）－犵（狓）
因此，当犱趋于０时， 和 分别趋于
犱 犱
想一想，三个或更 犳′（狓）和犵′（狓），其和就趋于犳′（狓）＋犵′（狓）． 写成公式就是
多函数的和函数的导数
（犳（狓）＋犵（狓）′）＝犳′（狓）＋犵′（狓）． （２）
计算，类似的法则该如
何表示呢？ 类似地有
２２４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
（犳（狓）－犵（狓）′）＝犳′（狓）－犵′（狓）．
例１ 求曲线狔＝犳（狓）＝２狓３－狓２－３狓＋１和直线狓＝１交点处切 本例的直观示意图
如下：
线的斜率犽．
解 求狔对变量狓的导数：
狔′＝犳′（狓）＝６狓２－２狓－３．
将狓＝１代入得
犳′（１）＝６－２－３＝１．
所以曲线和直线狓＝１交点处切线的斜率犽＝１．
●
３． 设犉（狓）＝犳（狓）犵（狓），则
犉（狓＋犱）－犉（狓）
犱
犳（狓＋犱）犵（狓＋犱）－犳（狓）犵（狓）
＝
犱
犳（狓＋犱）犵（狓＋犱）－犳（狓＋犱）犵（狓）＋犳（狓＋犱）犵（狓）－犳（狓）犵（狓）
＝
犱
犳（狓＋犱）犵（狓＋犱）－犳（狓＋犱）犵（狓） 犳（狓＋犱）犵（狓）－犳（狓）犵（狓）
＝ ＋
犱 犱
犵（狓＋犱）－犵（狓） 犳（狓＋犱）－犳（狓）
＝犳（狓＋犱）· ＋犵（狓）· ．
犱 犱
犵（狓＋犱）－犵（狓）
当犱趋于 ０ 时，犳（狓＋犱）趋于犳（狓）， 趋于
犱
犳（狓＋犱）－犳（狓）
犵′（狓）， 趋于犳′（狓）．
犱
因此得到犉′（狓）＝犳（狓）犵′（狓）＋犵（狓）犳′（狓），即运算法则为
（犳（狓）犵（狓））′≠
（犳（狓）犵（狓）′）＝犳′（狓）犵（狓）＋犳（狓）犵′（狓）． （３）
犳′（狓）犵′（狓）．
例２ 求函数犳（狓）＝狓３ｓｉｎ狓的导数．
解 犳′（狓）＝（狓３ｓｉｎ狓′）＝（狓３′）ｓｉｎ狓＋狓３（ｓｉｎ狓′）
＝３狓２ｓｉｎ狓＋狓３ｃｏｓ狓．
● １
４． 设犉（狓）＝ （犳（狓）≠０），则
犳（狓）
１ １
－
犉（狓＋犱）－犉（狓） 犳（狓＋犱） 犳（狓）
＝
犱 犱
１ 犳（狓）－犳（狓＋犱）
＝ · ．
犳（狓）犳（狓＋犱） 犱
２３４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
犳′（狓）
让犱趋于０，得到犉′（狓）＝－ ，即运算法则为
（犳（狓））２
（ ）
１ 犳′（狓）
′＝－ ． （４）
犳（狓） （犳（狓））２
１
例３ 求函数 的导数．
ｃｏｓ狓
（ ）
１ （ｃｏｓ狓′） ｓｉｎ狓
解 ′＝－ ＝ ．
ｃｏｓ狓 （ｃｏｓ狓）２ ｃｏｓ２狓
●
５． 把上述 （３）、（４）结合起来，得到两函数之商的求导法则：
（ ）
犵（狓） 犳（狓）犵′（狓）－犵（狓）犳′（狓）
′＝ （犳（狓）≠０）．
犳（狓） （犳（狓））２
ｓｉｎ狓
例４ 用两函数之商的求导法则求 的导数．
ｃｏｓ狓
解 设犵（狓）＝ｓｉｎ狓，犳（狓）＝ｃｏｓ狓，则
（ ） （ ）
ｓｉｎ狓 犵（狓） 犳（狓）犵′（狓）－犵（狓）犳′（狓）
′＝ ′＝
ｃｏｓ狓 犳（狓） （犳（狓））２
ｃｏｓ狓（ｓｉｎ狓′）－ｓｉｎ狓（ｃｏｓ狓′）
＝
ｃｏｓ２狓
ｃｏｓ２狓＋ｓｉｎ２狓
＝
ｃｏｓ２狓
１
＝ ．
ｃｏｓ２狓
结果和前面公式表中的ｔａｎ狓的导数一致．
●
６． 若狔＝犳（狌），狌＝犵（狓），如何计算［犳（犵（狓））′］呢？
我们无法用现有的方法求函数狔＝犳（犵（狓））的导数． 下面，我们先分
析这个函数的结构特点．
若设狌＝犵（狓），则狔＝犳（狌），从而狔＝犳（犵（狓））可以看成是由狔＝
犳（狌）和狌＝犵（狓）经过 “复合”得到的．即狔可以通过中间变量狌表示为
自变量狓的函数，即
狔＝犳（狌）＝犳（犵（狓））．
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过 “复合”得到的，
例如，函数狔＝（２狓－１）４ 由狔＝狌４ 和狌＝２狓－１“复合”而成，等等．
一般地，对于两个函数狔＝犳（狌）和狌＝犵（狓），如果通过变量狌，狔可
２４４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
以表示成狓的函数，那么称这个函数为函数狔＝犳（狌）和狌＝犵（狓）的复合
函数 （ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作狔＝犳（犵（狓））．
下面我们以狔＝（２狓－１）４ 为例来考虑怎样求复合函数的导数．
由于狔＝（２狓－１）４＝１６狓４－３２狓３＋２４狓２－８狓＋１，
所以狔′＝６４狓３－９６狓２＋４８狓－８
＝８（８狓３－１２狓２＋６狓－１）
＝８（２狓－１）３．
又狔＝（２狓－１）４ 可看成由函数狔＝狌４ 和狌＝２狓－１复合而成的函数，
其中狌是中间变量．
狔′表示狔对狌的导
由于狔′＝（狌４′）＝４狌３ ，狌′＝２，因而 狌
狌 狓 数，狌′表示狌对狓的
狓
狔′·狌′＝４狌３×２＝８狌３＝８（２狓－１）３＝狔′． 导数．
狌 狓
一般地，复合函数狔＝犳（犵（狓））的导数和函数狔＝犳（狌），狌＝犵（狓）的
导数间的关系为
狔′＝狔′·狌′．
狓 狌 狓
即狔对狓的导数等于狔对狌的导数与狌对狓的导数的乘积．
例５ 求下列函数的导数：
（１）狔＝（２狓＋３）２ ； （２）狔＝ｅ－０．０５狓＋１．
解 （１）函数狔＝（２狓＋３）２ 可以看作函数狔＝狌２ 和狌＝２狓＋３的复合
函数． 根据复合函数求导法则有
狔′＝狔′·狌′
狓 狌 狓
＝（狌２′）·（２狓＋３′）
＝４狌
＝８狓＋１２．
（２）函数狔＝ｅ－０．０５狓＋１ 可以看作函数狔＝ｅ狌 和狌＝－０．０５狓＋１的复合
函数． 根据复合函数求导法则有
狔′＝狔′·狌′
狓 狌 狓
＝（ｅ狌′）·（－０．０５狓＋１′）
＝－０．０５ｅ狌
＝－０．０５ｅ－０．０５狓＋１
．
２５４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
为便于应用，现将上述几个公式列表如下：
导数运算法则表
１． （犮犳（狓）′）＝犮犳′（狓）
２． （犳（狓）＋犵（狓）′）＝犳′（狓）＋犵′（狓）
（犳（狓）－犵（狓）′）＝犳′（狓）－犵′（狓）
３． （犳（狓）犵（狓）′）＝犳′（狓）犵（狓）＋犳（狓）犵′（狓）
（ ）
１ 犳′（狓）
４． ′＝－ （犳（狓）≠０）
犳（狓） （犳（狓））２
（ ）
犵（狓） 犳（狓）犵′（狓）－犵（狓）犳′（狓）
５． ′＝ （犳（狓）≠０）
犳（狓） （犳（狓））２
６．若狔＝犳（狌），狌＝犵（狓），则狔′＝狔′·狌′
狓 狌 狓
练 习
１．求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝５＋３狓－２狓； （２）犛（狋）＝３ｓｉｎ狋－６狋＋１００；
７ 狓３ １
（３）犵（狓）＝ － ； （４）犠（狌）＝ －槡狌．
４狓 ３ 狌
２．计算：
（１）（狓ｅ狓′）； （２）（３狓４ｅ狓＋２狓２ｅ狓－ｅ狓＋７′）；
（ ）
狓
（３） ′； （４）（２ｓｉｎ（３＋狓）′）；
ｔａｎ狓
（ ）
ｓｉｎ（１＋２狓）
（５）（（５狓－ｅ）６′）； （６） ′；
狓
（ ） （ ）
１ １
（７） －ｓｉｎ狓ｔａｎ狓′； （８） ｌｎ（２狓＋１）＋ ′．
ｃｏｓ狓 ２狓＋１
３．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正：
（１）［（３＋狓２）（２－狓３）′］＝２狓（２－狓３）＋３狓２（３＋狓２）；
（ ）
１＋ｃｏｓ狓 ２狓（１＋ｃｏｓ狓）＋狓２ｓｉｎ狓
（２） ′＝ ．
狓２ 狓２
２６４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
习题 ６
学而时习之
１．求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝３－２狓； （２）犎（狋）＝－２狋２＋６狋－５；
１
（３）犵（狓）＝３狓２－ ； （４）犉（狌）＝狌－槡狌；
４狓
（５）狆（狓）＝狓５－２狓３＋３狓２＋６狓－１； （６）犜（狓）＝ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓；
（７）狌（狓）＝３ｅ狓＋２ｔａｎ狓； （８）犳（狓）＝ｌｏｇ狓＋ｔａｎ狓．
２
２．计算：
（１）（狓３ｌｎ狓′）； （２）（ｅ狓ｓｉｎ狓′）；
（ ）
ｃｏｓ狓
（３）（２狓ｔａｎ狓′）； （４） ′；
ｅ狓
（５）（犃ｓｉｎ（ω狋＋φ））′； （６）（（狌＋３）ｌｎ（狌＋３）－狌′）；
狋
（７）（（犪狓＋ｔａｎ狓）７）′； （８）（狓６ｅ３狓－２′）．
狓
１
３．物体的运动方程是狊＝－ 狋３＋２狋２－５，求物体在狋＝３时的速度．
６
４．设曲线狔＝狓２＋１上一点（狓，狔）处的切线犾平行于直线狔＝２狓＋１．
０ ０
（１）求切点（狓，狔）；
０ ０
（２）求切线犾的方程．
温 故 而 知 新
５．已知犘（狌，狏）是曲线（１＋狓２）狔－狓＝０上的一点． 写出该曲线在点犘处的切线的方
程，并分别求出切线斜率为１时和切线平行于狓轴时对应的切点犘的坐标．
６．在阻力作用下的一个振动物体的运动方程为狊＝狊（狋）＝３ｅ犪狋ｓｉｎ（犽狋＋犫），求物体
的瞬时速度和瞬时加速度． （瞬时速度的瞬时变化率，就是物体的瞬时加速度．）
２７４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
数学实验
用计算机求函数的导数和作切线
由于求导运算在科技活动中有广泛的应用，人们编写了根据函
数表达式计算导数的程序，便于快捷地求出函数的导数
用 “Ｚ＋Ｚ超级画板”可以计算函数的导数
打开 “超级画板”，在左面工作区下方单击 “程序”按钮 （图
４ ８），打开程序工作区 要计算函数狓５＋犪狓关于狓的导数，就在
英文输入状态下键入：
犇犻犳犳（狓∧５＋犪狓，狓）；
然后按Ｃｔｒｌ＋Ｅｎｔｅｒ键执行，则程序返回计算的结果：
５ｘ４＋ａ＃
图４ ８
这里 “Ｄｉｆｆ（，）；”是求导运算的命令形式 在括号中的逗号
前键入被求导的函数的表达式，逗号后键入有关的变量
下面是几条求导命令的执行记录 注意在求 （５狓＋狔）
４
关于狓
的导数时，结果是展开了的形式 如果要表成乘幂的形式，要在求
导之后进行因式分解，即添上一个Ｆａｃｔｏｒ命令
犇犻犳犳（狓∧５＋犪狓，狓）；
５ｘ４＋ａ＃
２８
书书书４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
犇犻犳犳（狊犻狀（狓）＋犲∧狓，狓）；
（ｅ） ｘ＋ｃｏｓ（ｘ）＃
犇犻犳犳（狌狓，狌）；
ｘ＃
犇犻犳犳（狌狓，狓）；
ｕ＃
犇犻犳犳（（５狓＋狔） ∧４，狓）；
２５００ｘ３＋１５００ｘ２ｙ＋３００ｘｙ２＋２０ｙ３
犉犪犮狋狅狉（犇犻犳犳（（５狓＋狔）
∧
４，狓））；
（２） ２ （５）  （５ｘ＋ｙ） ３＃
犇犻犳犳（３∧狓＋狓，狓）；
（３） ｘｌｎ（３）＋１＃
犇犻犳犳（犾狀（狓），狓）；
１
 ＃
ｘ
犇犻犳犳（狋犪狀（狓），狓）；
ｓｅｃ２ （ｘ）＃
犇犻犳犳（５狊犻狀（犪狓＋犫），狓）；
５ａｃｏｓ（ａｘ＋ｂ）＃
用免费下载的 “Ｚ＋Ｚ超级画板”，可以做上面的计算 用其中
“文本作图”功能，还可以作函数曲线和切线：
（１）执行菜单命令 “作图
｜文本作图”，打开文本命令
作图对话框 （图４ ９）
（２）在对话框左下部分，
单击 “曲线”项目前的 “＋”
号，展开命令单，双击命令单
中的第１行，在上方栏里出现
待填命令项 Ｆｕｎｃｔｉｏｎ （，，，，）
（图４ １０） 图４ ９
２９４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
（３）依次键入曲线方程狔＝狓３／３
∧
－２狓２＋２狓＋１，变量范围－６和６
 ∧ 
以及描点数１００（图４ １１），单击对话
框中右面的 “运行命令”按钮，作出
函数曲线（稍后运行也可）
（４）单 击 “曲 线”项 目 前 的
“－”号收缩曲线命令单，再单击
“点”项目前的 “＋”号展开命令单， 图４ １０
图４ １１
双击命令单中的第２行，在上方栏里出现待填命令项Ｐｏｉｎｔ（，，，，，）
（５）在第一个逗号前键入曲线上一点的横坐标狌，再依次键入
纵坐标狌３／３－２狌２＋２狌＋１和狓拖动参数狌，单击对话框中右
∧  ∧ 
面的 “运行命令”按钮，作出曲线上一个点犃
（６）单击 “点”项目前的 “－”号收缩点命令单，再单击 “直
线”项目前的 “＋”号展开命令单，双击命令单中的第８行，在上
方栏里出现待填命令项ＬｉｎｅＯｆＰｏｉｎｔＳｌｏｐｅ（，，）
（７）在第一个逗号前键入点犃的标号６ （在对话框右下部可以
查到点犃的标号），再依次键入曲线在点犃处切线的斜率，也就是
函数导数在狓＝狌时的值狌２－４狌＋２ 单击对话框中右面的 “运
∧ 
行命令”按钮，作出曲线在点犃处的切线 （图４ １２）
（８）单击 “直线”项目前的 “－”号收缩直线命令单，再单击
“文本”项目前的 “＋”号展开命令单，双击命令单中的第５行，
在上方栏里出现待填命令项Ｖａｒｉａｂｌｅ（，）
（９）键入字母狌，单击 “运行命令”按钮，作出狌的变量尺
拖动变量尺上的滑钮，可以改变切点和切线
（１０）单击 “文本”项目前的 “－”号收缩文本命令单，再单
击 “圆锥曲线”项目前的 “＋”号展开命令单，双击命令单中的倒
３０４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
图４ １２
３行，在上方栏里出现待填命令项ＣｏｎｉｃＯｆＥｑｕａｔｉｏｎ （，）
（１１）键入函数导数的方程，如图４ １３，单击 “运行命令”
按钮，作出函数导数的图象 （图中４ １２中的虚线抛物线）
图４ １３
（１２）单击对话框右上角关闭对话框
（１３）用智能画笔功能作出抛物线和狓轴的两个交点，并分别
过两交点作出平行于狔轴的两条直线
（１４）两条直线分别把两条曲线分成三段，仔细观察，粗黑曲
线的三段有何特点？虚线曲线的三段有何特点？从这里观察到的现
象，能看出函数的增减和它的导数的正负有联系吗？
３１４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４３ 导数在研究函数中的应用
４３１
利用导数研究函数的单调性
函数的单调性是函数的重要性质之一 以往我们是如何判断一
个函数的单调性的呢？
我们可以从单调性的定义出发去判断一个函数在区间（犪，犫）上
（犪，犫）是该函数
定义域的子区间． 的单调性，即在此区间内任取两点狓，狓（狓＜狓），比较犳（狓）与
１ ２ １ ２ １
犳（狓）的大小
２
我们还可以用差分法来判断函数的单调性，即
如果在一个区间内，函数犳（狓）的差分犳（狓＋犺）－犳（狓）＞０ （犺＞
０），则犳（狓）递增；
如果在一个区间内，函数犳（狓）的差分犳（狓＋犺）－犳（狓）＜０ （犺＞
０），则犳（狓）递减
但当函数的解析式较复杂时，要想对犳（狓）与犳（狓）的大小关系
１ ２
或犳（狓＋犺）－犳（狓）与０的大小关系做出一个明确的判定，不是一件
容易的事情，而导数给我们提供了一种解决此类问题的有效方法
我们先通过例子来观察函数的单调性与函数的导数之间的关系
在图４ １２中，画出了一个函数狔＝犳（狓）和它的导函数狔＝犳′（狓）
的曲线 其中导函数的曲线和狓轴有两
个交点 分别过两个交点作平行于狔轴的
直线，两条直线把图象分成左、中、右
三部分，如图４ １４ 分别观察每部分中
的两段曲线，可以发现函数和它的导函
数的性质之间有如下关联：
左边，函数递增，导数为正；
中间，函数递减，导数为负； 图４ １４
３２４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
右边，函数递增，导数又为正
是不是函数的单调性和它的导数的正负之间有确定的联系呢？
让我们观察更多的图象
图４ １５是狔＝ｓｉｎ狓和它的导函数狔＝ｃｏｓ狓的图象，图４ １６
是狔＝狓２－３狓和它的导函数狔＝２狓－３的图象，图４ １７是狔＝ｅ狓－狓
和它的导函数狔＝ｅ狓－１的图象
图４ １５
可以严格地证明，
上面从观察实例中归纳
出来的规律确实是数学
上的定理 若要证明这
个定理，则要把导数概
念建立在严格的极限理
图４ １６ 图４ １７ 论和实数理论基础之上
这里，只要了解和应用
通过对这些例子的观察，我们发现对一般函数，其单调性与其
这个规律就可以了
导数的正负有如下法则： 虽然暂时不能证
明，但我们还是可以从
如果在一个区间内，函数犳（狓）的导数犳′（狓）＞０，则犳（狓）在此区
直观上理解这个规律
间内单调递增；
如果在一个区间上
如果在一个区间内，函数犳（狓）的导数犳′（狓）＜０，则犳（狓）在此区
犳′（狓）≥０，且使犳′（狓）＝
０的点只有有限个，那
间内单调递减
么函数狔＝犳（狓）在此区
对比一下，用导数的正负判断函数的单调性的法则，比起用差 间上仍然是增函数；如
果在一个区间犳′（狓）≤
分的正负判断函数的单调性的法则，有何不同？
０，且使犳′（狓）＝０的点
唯一的不同，就是在法则中用导数取代了差分 只有有限个，那么函数
狔＝犳（狓）在此区间上仍
例１ 用导数研究二次函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪，犫，犮为常
然是减函数
３３４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
数，犪≠０）的单调性
解 求出犳（狓）的导数犳′（狓）＝２犪狓＋犫，分两种情形：
（ ） （ ）
犫 犫
若犪＞０，则犳′（狓）在 －∞，－ 上为负，在 － ，＋∞ 上
２犪 ２犪
（ ） （ ）
犫 犫
为正 故犳（狓）在 －∞，－ 上递减，在 － ，＋∞ 上递增
２犪 ２犪
（ ） （ ）
这结论我们早就知 若犪＜０，则犳′（狓）在 －∞，－ 犫 上为正，在 － 犫 ，＋∞ 上
２犪 ２犪
道，但现在得来全不费
（ ） （ ）
工夫！
犫 犫
为负 故犳（狓）在 －∞，－ 上递增，在 － ，＋∞ 上递减
２犪 ２犪
例２ 求函数犳（狓）＝狓３－２狓２＋狓－１的单调区间
解 犳′（狓）＝３狓２－４狓＋１
令 犳′（狓）＝３狓２－４狓＋１＞０，
解此不等式，得
１
狓＜ 或狓＞１
３
（ ）
１
因此，原函数在区间 －∞， 和（１，＋∞）上单调递增
３
令 犳′（狓）＝３狓２－４狓＋１＜０，
解此不等式，得
１
＜狓＜１
３
（ ）
１
因此，原函数在区间 ，１ 上单调递减
３
例３ 已知函数犳（狓）＝狓２－犫狓＋３在（１，＋∞）上单调递增，求
犫的取值范围
犫
解 犳′（狓）＝２狓－犫 令犳′（狓）＞０，得狓＞ 
２
犫
由题意可得 ≤１，即犫≤２
２
故犫的取值范围为（－∞，２］
导数的正负对应着函数的增减，导数的绝对值大小和函数的性
态又有什么关系呢？
导数的正负对应着
函数的增减，导数的增
路程对时间的导数是瞬时速度 瞬时速度的绝对值大说明跑得
减说明什么呢？
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导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
快，绝对值小说明跑得慢
导数增加，就是函
数图象上切线的斜率增
函数的导数就是函数值关于自变量的变化率 变化率的绝对值
加．斜率增加的几何意
大说明变得快，绝对值小说明变得慢 义又是什么呢？
从函数的图象上来看，导数是切线的斜率 斜率的绝对值大说
明切线陡，曲线也就陡 斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平
缓一些
例４ 如图４ １８，圆犆和直角犃犗犅的两边
相切，直线犗犘从犗犃处开始，绕点犗匀速旋转
当时间狋变化时，
（到犗犅处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的 面积犛关于时间狋的瞬
时变化率的几何意义并
面积犛是时间狋的函数，它的图象大致如图
不是在某时刻直线被圆
图４ １８
４ １９中 （ ）． 所截得的弦长，因为直
线不是平行移动，只能
定性地说 “弦较长时，
面积的变化率较大”．
此题的真实图象如
下图
图４ １９
解 当直线转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦较长，犛的瞬
时变化率就较大，此处的导数也较大，图象中这里的切线较陡，曲
线就较陡 所以曲线开始由平缓变陡；到过程进行到一半时，截得的
弦最大，曲线最陡；以后弦又渐渐变短，曲线由陡变缓４个图中只有
Ｄ具有上述特点，所以选Ｄ
练 习
求下列函数的导数，并根据导数的正负指出函数的递增和递减区间
（１）犳（狓）＝３－２狓； （２）犳（狓）＝狓－２槡狓；
２ １
（３）犳（狓）＝１－ ； （４）犳（狓）＝狓＋ ．
狓 狓
３５４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
习题 ７
学 而 时 习 之
１．求下列函数的单调区间
１
（１）犳（狓）＝狓２－４狓＋５； （２）犳（狓）＝ｌｎ狓－ ；
狓
２．求证：函数犳（狓）＝２狓３＋３狓２－１２狓＋１在区间 （－２，１）上是减函数
１ １
３．若函数狔＝ 犪狓３－ 犪狓２－２犪狓（犪≠０）在［－１，２］上为增函数，求犪的取值
３ ２
范围
４． 若把例４中的圆改成如图４ ２０的半圆，正确的答案是哪个？如果改成图４
２１中的三角形呢？
图４ ２０ 图４ ２１
温 故 而 知 新
５．已知函数犳（狓）的导函数犳′（狓）的图象是如图
４ ２２所示的一条直线犾，犾与狓轴的交点坐标
为 （１，０），试比较犳（０）与犳（３）的大小
图４ ２２
３６４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
４３２
函数的极大值和极小值
除函数的单调性外，一个函数由增到减 （或由减到增）的转折
点也很重要．如图４ ２３（１），设函数狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）内有定
义，狓 是（犪，犫）内的一个点，若点狓 附近的函数值都小于犳（狓）（即
０ ０ ０
犳（狓）＜犳（狓），狓∈（犪，犫）），就说犳（狓）是函数狔＝犳（狓）的一个极大值
０ ０
（ｍａｘｉｍｕｎｖａｌｕｅ），此时狓 称为犳（狓）的一个极大值点．
０
（１） （２）
图４ ２３
如图４ ２３（２），设函数狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）内有定义，狓 是
０
（犪，犫）内的一个点，若点狓 附近的函数值都大于犳（狓）（即犳（狓）＞
０ ０
犳（狓），狓∈（犪，犫）），就说犳（狓）是函数狔＝犳（狓）的一个极小值（ｍｉｎ
０ ０
ｉｍｕｎｖａｌｕｅ），此时狓 称为犳（狓）的一个极小值点．
０
极大值和极小值统称极值（ｅｘｔｒｅｍｅｖａｌｕｅ），极大值点和极小值点
统称为极值点．
极值是函数在一个适当区间内的局部性质，如图４ ２４，狓，狓，
１ ３
狓 都是函数狔＝犳（狓）的极大值点，狓，狓 都是函数狔＝犳（狓）的极小值
５ ２ ４
点，从图中可以看出，函数的某些极大值有时比其他极大值小，如
犳（狓）＜犳（狓），甚至可能比一些极小值还小，如犳（狓）＜犳（狓）．
１ ３ １ ４
图４ ２４
３７４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
如何求一个函数的极值呢？观察图４ ２３，我们不难得到以下结论：
如果犳（狓）在 （犪，狓］上递增，在 ［狓，犫）上递减，则狓 是极
０ ０ ０
大值点，犳（狓）是极大值；
０
如果犳（狓）在 （犪，狓］上递减，在 ［狓，犫）上递增，则狓 是极
０ ０ ０
小值点，犳（狓）是极小值
０
由导数的正负可以判断函数的增减 下面我们研究如何利用导
数求函数的极值和极值点
观察图４ １４到图４ １７，函
数的极值点是导数的什么点？
原来都是导数的零点
这是不是一般法则呢？
观察图４ ２５，我们可以看
到，如果函数在某个区间内有极
大值，将一条平行于狓轴的直线
从上方渐渐向下平移，直到碰上 图４ ２５
曲线 （在这个区间上的一段）就停下来 这样，直线停下来时的高
度，也就是曲线在这个区间内所达到的最高点，这时这条直线就是
曲线的这个局部最高点处的切线
也就是说，如果函数的曲线在极值点处有切线，则这切线应和狓
函数在极值点如果 轴平行 （或重合） 换句话说，函数在极值点的导数为０
有导数则必为０，这是
反过来，导数的零点是否一定是函数的极值点呢？
微积分学的一条基本定
理，叫作罗尔定理 例如，函数狔＝狓
３
的导函数狔＝３狓
２
有零点，但狔＝狓３ 是递增函
当然，这里的前提
数，其没有极值点 可见，导数的零点可能不是函数的极值点
是函数在极值点有导数
即函数有极值时不一定 也就是说，若犳′（犮）存在，则犳′（犮）＝０是犳（狓）在狓＝犮处取到极
有导数
值的必要条件，但不是充分条件
例如，犳（狓）＝｜狓｜
在狓＝０处取到极小值， 若犳′（犮）＝０，则狓＝犮叫作函数犳（狓）的驻点（ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｐｏｉｎｔ）
但是犳′（０）不存在，就
如果一个函数的导数在驻点的两侧变号了，则该驻点就是该函
谈不上犳′（０）＝０
数的一个极值点
一般地，如果函数狔＝犳（狓）在某个区间有导数，就可以采用如
下的方法求它的极值：
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导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
（１）求导数犳′（狓）；
（２）求犳（狓）的驻点，即求犳′（狓）＝０的根；
（３）对于方程犳′（狓）＝０的每一个解狓，分析犳′（狓）在狓 左、右
０ ０
两侧的符号 （即犳（狓）的单调性），确定极值点：
若某点左右两侧导
①若犳′（狓）在狓 两侧的符号 “左正右负”，则狓 为极大值点； 数的符号相同，则该点
０ ０
不是极值点 如犳（狓）＝
②若犳′（狓）在狓 两侧的符号 “左负右正”，则狓 为极小值点；
０ ０
狓３在狓＝０处
（４）求出各极值点的函数值，就得函数狔＝犳（狓）的全部极值
例１ 试求下列函数的驻点，判断函数在驻点左右两侧附近的导
数的符号，并回答驻点是否为极值点
（１）犳（狓）＝狓４ ； （２）犳（狓）＝狓５
解 （１）先求犳（狓）的导数，得 犳′（狓）＝４狓３
令犳′（狓）＝０，即４狓３＝０，解得狓＝０，所以狓＝０为此函数的
驻点
又当狓＜０时，犳′（狓）＝４狓３＜０，当狓＞０时，犳′（狓）＝４狓３＞０，
所以狓＝０为此函数的极小值点
（２）先求犳（狓）的导数，得 犳′（狓）＝５狓４
令犳′（狓）＝０，即５狓４＝０，解得狓＝０，所以狓＝０为此函数的驻点
当狓＜０时，犳′（狓）＝５狓４＞０，此时，函数犳（狓）为增函数；当
狓＞０时，犳′（狓）＝５狓４＞０，此时，函数犳（狓）也为增函数 因此狓＝０
不是此函数的极值点
例２ 求函数犵（狓）＝狓
２
（３－狓）的极大值和极小值
解 令犵′（狓）＝６狓－３狓
２
＝０，
解得驻点为狓＝０和狓＝２
当狓变化时，犵′（狓）和犵（狓）的变化状态如下表所示：
狓 （－∞，０） ０ （０，２） ２ （２，＋∞）
犵′（狓） － ０ ＋ ０ －
犵（狓）  ０  ４ 
故犵（狓）有极大值点狓＝２，对应的极大值为犵（２）＝４；
犵（狓）有极小值点狓＝０，对应的极小值为犵（０）＝０
３９４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
练 习
１．求下列函数的驻点，并判断该驻点是否为极值点？若是，请求出对应的极值
狓
（１）犳（狓）＝２狓２－６狓＋１； （２）犵（狓）＝ｃｏｓ狓＋ ；
２
（３）犳（狓）＝２狓３＋３狓２＋６狓－７； （４）犺（狓）＝狓２ｅ狓
２．已知函数犳（狓）＝狓３＋３犿狓２＋狀狓＋犿２ 在狓＝－１处有极值０，求犿狀的值
多 知 道 一 点
用二阶导数判断极值
函数犳（狓）的导函数犳′（狓）的导数，叫作犳（狓）的二阶导数，记作
犳″（狓）
当函数狔＝犳（狓）在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以
利用下述方法来判定狔＝犳（狓）在驻点处取得极大值还是极小值
如果犳″（犮）＞０，则犳′（狓）在狓＝犮附近递增，由负变正，所以
犳（狓）由递减变为递增，在狓＝犮处取到极小值
类似地，如果犳″（犮）＜０，则犳′（狓）在狓＝犮附近递减，由正变负，
犳（狓）由递增变为递减，在狓＝犮处取到极大值
于是，我们可以得到以下结论：
犳（狓）在狓＝犮处取到极大值的充分条件是犳′（犮）＝０且犳″（犮）＜０；
犳（狓）在狓＝犮处取到极小值的充分条件是犳′（犮）＝０且犳″（犮）＞０
例 利用导数求二次函数犳（狓）＝犪狓
２
＋犫狓＋犮（犪≠０）的极大或
极小值
犫
解 求得犳′（狓）＝２犪狓＋犫，可见犳（狓）有唯一驻点狓＝－ 
２犪
犫
又因犳″（狓）＝２犪恒不为零，所以狓＝－ 是犳（狓）的极值点
２犪
当犪＞０时犳（狓）取到极小值
４犪犮－犫２
，当犪＜０时犳（狓）取到极大
４犪
值
４犪犮－犫２

４犪
４０４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
４３３ ：
三次函数的性质 单调区间和极值
我们曾经用配方法、差分法和导数法探讨过二次函数的性质
其中导数法最为简便快捷
利用函数的导数来研究函数的性质，不但便捷，而且具有一般
性 只要能算出函数的导数并求出导函数的零点，便能把该函数的
单调区间和极大极小值点一一列出，做到一目了然
三次函数的导数是二次函数 二次函数的零点是容易求出的 所
以，用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极大极小值点
下面我们来讨论一般的不超过三次的多项式函数
设犉（狓）＝犪狓３＋犫狓２＋犮狓＋犱，如果犪＝０，犉（狓）可能是二次函
数、一次函数或常数函数，可结合前节的例题，总结出方法和结论
以下设犪≠０，则犉′（狓）＝３犪狓２＋２犫狓＋犮是二次函数 可能有三
种情形：
情形１ 函数犉′（狓）没有零点，犉′（狓）在 （－∞，＋∞）上不 根据学过的知识，
情形１的充要条件是
变号，
４犫２－１２犪犮＜０，
若犪＞０，则犉′（狓）恒正，犉（狓）在 （－∞，＋∞）上递增； 即犫２＜３犪犮
情形 ２ 的充要条
若犪＜０，则犉′（狓）恒负，犉（狓）在 （－∞，＋∞）上递减
件是
情形２ 函数犉′（狓）有一个零点狓＝狑，根据二次函数的性质： 犫２＝３犪犮
情形 ３ 的充要条
若犪＞０，则犉′（狓）在 （－∞，狑）∪（狑，＋∞）上恒正，犉（狓）在
件是
（－∞，＋∞）上递增； 犫２＞３犪犮
若犪＜０，则犉′（狓）在 （－∞，狑）∪（狑，＋∞）上恒负，犉（狓）在
（－∞，＋∞）上递减
情形３ 函数犉′（狓）有两个零点狓＝狌和狓＝狏，设狌＜狏
这些方法适用于其
根据二次函数的性质：
他可求导的函数
重要的是方法，这
若犪＞０，则犉′（狓）在 （－∞，狌）和 （狏，＋∞）上为正，在 （狌， 些结论不必记忆
狏）上为负；
对应地，犉（狓）在 （－∞，狌）上递增，在 （狌，狏）上递减，在
４１４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
（狏，＋∞）上递增；
可见犉（狓）在狓＝狌处取极大值，在狓＝狏处取极小值
若犪＜０，则犉′（狓）在 （－∞，狌）和 （狏，＋∞）上为负，在 （狌，
狏）上为正；
对应地，犉（狓）在 （－∞，狌）上递减，在 （狌，狏）上递增，在
（狏，＋∞）上递减；
可见犉（狓）在狓＝狌处取极小值，在狓＝狏处取极大值
例１ 指出下列函数的单调区间和极值点
（１）犳（狓）＝狓３－２狓２＋２狓－７；
（２）犵（狓）＝－３狓３＋６狓２－４狓＋５；
（３）狌（狓）＝狓３－１２狓＋８；
（４）犺（狓）＝－３７＋３６狓－３狓２－２狓３
解 （１）求得犳′（狓）＝３狓２－４狓＋２
由于犳′（狓）恒正，犳（狓）在 （－∞，＋∞）上递增，如图４ ２６中
实线所示 因此犳（狓）没有极值点
（２）求得犵′（狓）＝－９狓２＋１２狓－４
＝－（３狓－２） ２
（ ）
２
由 于 犵′（狓）在 －∞， 和
３
（ ）
２
，＋∞ 上 均 为 负，故 犵（狓）在
３
（－∞，＋∞）上递减，如图４ ２６中虚
线所示 因此犵（狓）没有极值点
（３）求得狌′（狓）＝３狓－１２
２
＝３（狓＋２）（狓－２）．
图４ ２６
令狌′（狓）＝０，得狓＝－２或狓＝
２ －２和２将区间 （－∞，＋∞）分为三个区间，列表如下：
狓 （－∞，－２） －２ （－２，２） ２ （２，＋∞）
狌′（狓） ＋ ０ － ０ ＋
狌（狓）  极大值２４  极小值－８ 
４２４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
狔＝狌（狓）的图象如图４ ２７中实线所示
（４）求得犺′（狓）＝３６－６狓－６狓２
＝６（６－狓－狓２ ）
＝６（２－狓）（３＋狓）
令犺′（狓）＝０，
得 狓＝－３或狓＝２
－３和２将区间 （－∞，＋∞）分为三
个区间，列表如下：
图４ ２７
狓 （－∞，－３） －３ （－３，２） ２ （２，＋∞）
犺′（狓） － ０ ＋ ０ －
犺（狓）  极小值－１１８  极大值７ 
狔＝犺（狓）的图象如图４ ２７中虚线所示
利用导数不仅可以求函数的极值，还可以求函数在某闭区间上
的最值
一般地，如图４ ２８所示，如果在区间［犪，犫］上函数狔＝犳（狓）的
图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值
图４ ２８
由图４ ２８不难看出，函数狔＝犳（狓）在 ［犪，犫］上的最值必在极
值点或区间端点处取得，因此在实际计算中，我们只要把函数狔＝
犳（狓）的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数在该
闭区间上的最大值与最小值
例２ 求函数犉（狓）＝２狓３＋３狓２－１２狓＋５在 ［－３，２］上的最大
值和最小值
４３４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
解 求得犉′（狓）＝６狓
２
＋６狓－１２ 令犉′（狓）＝０，得
狓＝－２，狓＝１
１ ２
由于狓 和狓 都在区间 ［－３，２］内，所以可列表如下：
１ ２
狓 －３ （－３，－２） －２ （－２，１） １ （１，２） ２
犉′（狓） ＋ ０ － ０ ＋
犉（狓） １４  极大值２５  极小值－２  ９
由表可知，函数犉（狓）在 ［－３，２］
上的最大值为犉（－２）＝２５，最小值为
犉（１）＝－２
上述结论可以从函数犉（狓）＝２狓３＋
３狓２－１２狓＋５的图象 （图４ ２９）得到直
观验证
一 般 地，求 函 数狔＝犳（狓）在 区 间
［犪，犫］上的最值的步骤如下：
（１）求函数狔＝犳（狓）在（犪，犫）内的
极值；
（２）将函数狔＝犳（狓）的各极值与端点
处的函数值犳（犪），犳（犫）比较，其中最大
的一个是最大值，最小的一个是最小值
图４ ２９
练 习
１．指出下列函数的单调区间和极值点
（１）犳（狓）＝狓３－３狓２＋３狓－２；
（２）犵（狓）＝－３狓３＋５狓２－４狓＋１１；
（３）狌（狓）＝－狓３＋２７狓＋７；
（４）犺（狓）＝４２－４５狓－３狓２＋狓３
１
２．求函数犉（狓）＝４＋ 狓３－４狓在 ［－３，２］上的最大值和最小值
３
４４４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
习题 ８
学 而 时 习 之
１．求下列函数的极值
狓
（１）犳（狓）＝５狓－３； （２）犳（狓）＝ ；
１＋狓
１
（３）犳（狓）＝狓－ ； （４）犵（狓）＝狓２－２狓－３；
狓
（５）犳（狓）＝狓３６； （６）犳（狓）＝ｌｎ狓＋狓；
狓
（７）犵（狓）＝ ； （８）犵（狓）＝狓３－２狓２＋狓＋１
２＋狓２
２．求下列函数在指定的闭区间上的最大值和最小值
（１）犉（狓）＝２狓３＋狓２－４狓＋１，［－２，１］；
３
（２）犌（狓）＝狓３－ 狓２，［－１，２］
２
３．设函数犳（狓）＝犪狓３－３犪狓２＋犫（犪＞０）在区间 ［１，４］上有最大值２３，最小值
３，求犪，犫的值
温 故 而 知 新
４．设犘（－５，狌），犙（０，狏）是曲线狔＝狓２＋３狓－４上的两点
（１）作出曲线的并与犘犙平行的切线；
（２）犘，犙之间的这段曲线是不是夹在切线和直线犘犙之间？你能说明其中的道
理吗？
５．设狓≥０，利用求函数的最大 （小）值的方法证明不等式：狓３＋４≥３狓２ （提
示：令犳（狓）＝狓３－３狓２＋４ （狓≥０） ）
４５４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４４ 生活中的优化问题举例
在日常生活、生产建设和科技活动中，做一件事总要付出一定
的代价，也总想取得一定的效果
在付出代价一定的条件下，我们总想取得最好的效果；在预期
效果确定的情形下，我们总想只付出最小的代价
例如，投入一定的成本如何获得最大的利润？制作满足一定要
求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问
题都叫作优化问题
我们曾经探讨过不少优化问题 解决问题的方法也是五花八门：
判别式方法，平均不等式法，线性规划方法，差分方法以及利用二
次函数的性质等等
不少优化问题，可以化为求函数最值的问题 导数方法是解决
这类问题的有效工具
例１ 有一边长为犪的正方形
铁片，铁片的四角截去四个边长
为狓的小正方形，然后做成一个
无盖方盒 （图４ ３０）
图４ ３０
（１）试把方盒的容积犞表示成狓的函数；
（２）求狓多大时，做成方盒的容积犞最大
解 （１）方盒的高为狓，底面是边长为犪－２狓的正方形，所以
（ （ ））
犪
犞＝犞（狓）＝狓（犪－２狓）
２
犪＞０，狓∈ ０， ．
２
（ ）
犪
（２）为 了 求犞（狓）在 ０， 上 的 最 大 值 点，要 求 出 它 在
２
（ ）
犪
０， 内部的极大值点 为此求出
２
犞′（狓）＝（４狓３－４犪狓２＋犪２狓′）
＝１２狓２－８犪狓＋犪２＝（２狓－犪）（６狓－犪）
４６４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
犪 犪
令犞′（狓）＝０，则狓＝ ，狓＝  由二次函数性质可知犞′（狓）在
１ ６ ２ ２
犪 犪
狓＝
６
处由正变负，故犞（狓）在狓
１
＝
６
处取极大值，对应的极大值 一般地，如图所
（ ） （ ） 示，设函数狔＝犳（狓）在
犞
犪
＝
犪
·
２犪２
＝
２犪３

某区间上可导，且函数
６ ６ ３ ２７
在该区间内只有一个极
（ ）
值 那么，当此极值为
犪 犪
由于狓＝ 不在函数犞（狓）的定义域内，故犞（狓）在 ０， 上的
２ ２ ２
极小值时，它也就是函
数在该区间内的最小
最大值就是
值；当此极值为极大值
时，它也就是函数在该
２犪３
犞（狓）＝ 
２７
区间内的最大值
１
犪
即当狓＝ 时，做成方盒的容积犞最大
６
例２ 如图４ ３１，某种罐装饮料设计每罐容积
为３２４ｃｍ ，罐的形状为圆柱体，圆柱侧面的厚度为
３
０．０５ｃｍ，上下底厚度为０．１ｃｍ，如何设计罐体才能
图４ ３１
使原材料用量最少？做一个罐至少要用多少立方厘米的原材料？ （π
取３）
解 设圆柱体的高为犺ｃｍ，底面半径为狓ｃｍ，则其体积为
π狓２犺＝３２４（ｃｍ３ ），
３２４ １０８
由此得到 犺＝ ＝ ．
π狓２ 狓２
６４８
圆柱的侧面积 犛＝２π狓犺＝ （ｃｍ２ ）．
１ 狓
圆柱上下底面积之和 犛＝２π狓２＝６狓２ （ｃｍ２ ）．
２
需要的原材料体积为：
（ ）
３２．４
犞（狓）＝０．０５犛＋０．１犛＝ ＋０．６狓２ （ｃｍ３ ）（狓＞０），
１ ２ 狓
３２．４
犞′（狓）＝１．２狓－ ，
狓２
犞′（狓）在 （０，＋∞）上有唯一的零点狓＝３
０
容易算出，犞′（１）＜０，犞′（５）＞０；可见犞′（狓）在狓处由负变正
０
于是犞（狓）在（０，＋∞）上有唯一的极小值点狓，也就是最小值点
０
因此，罐体的底面半径应为狓＝３（ｃｍ）
４７４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
３２４
罐体的高应为犺＝ ＝１２（ｃｍ）．
２７
因此，所需的原材料体积为犞（３）＝１６．２（ｃｍ３ ）．
例３ 让一个木块从光滑斜面的上端自
由滑落到下端 给定斜面两端的水平距离为
犱，如何选择斜面和水平面之间的角度狓，才
能使从上端到下端滑落所用的时间最短？
解 木块在光滑斜面上自由下滑，是初
图４ ３２
速为零的匀加速运动，其运动方程为狊＝
犪狋２
（犪是加速度）． ①
２
如图４ ３２，木块在前进方向所受的力为犿犵ｓｉｎ狓，所以它的加
速度犪＝犵ｓｉｎ狓（犵是重力加速度）． ②
将②代入①，得到木块的运动方程狊＝
狋２犵ｓｉｎ狓
 ③
２
犱
木块从上端到下端经过的路程为狊＝ ，代入③得到：
ｃｏｓ狓
犱 狋２犵ｓｉｎ狓
＝ ． ④
ｃｏｓ狓 ２
由④解出从上端到下端滑落所用的时间
槡 ２犱
狋＝ ． ⑤
犵ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓
由题意，要求的是⑤的右端关于变量狓的最小值点，也就是函数
（ （ ））
π
犳（狓）＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓 狓∈ ０，
根据正弦倍角公 ２
式，有ｓｉｎ狓·ｃｏｓ狓＝ （ ）
π π
２
１ ｓｉｎ２狓，立刻知道当 的最大值点 而犳′（狓）＝ｃｏｓ２狓－ｓｉｎ２狓在 ０，
２
上有唯一零点狓
０
＝
４
，
（ ）
π
狓＝ 时ｓｉｎ２狓＝１，为 π
４ 因为犳′（０）＞０，犳′ ＜０，故犳′（狓）在狓 处由正变负，所以犳（狓）在
２ ０
最大值，因此ｓｉｎ狓·
ｃｏｓ狓在狓＝ ４ π 处取到 狓＝狓＝ π 处取到极大值，也是最大值
０ ４
最大值 可见有时对特
殊问题可用特殊方法 π
因此当斜面和水平面之间的角度狓＝ 时，木块从光滑斜面的上
４
端自由滑落到下端所用的时间最短
例４ 在经济学中，生产狓个单位产品的成本称为成本函数，
４８４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
记为犆（狓），出售狓个单位产品的收益称为收益函数，记为犚（狓），
犚（狓）－犆（狓）称为利润函数，记为犔（狓）
１
（１）如果犆（狓）＝２５００００＋２００狓＋ 狓２ （元），那么生产多少单位
４
犆（狓）
产品时，平均成本 最小？
狓
（２）如果犆（狓）＝５０狓＋１００００（元），产品的出售价格犘（狓）＝
１００－０．０１狓（元），那么出售价格为多少时可使利润最大？
解 （１）平均成本为
１
２５００００＋２００狓＋ 狓２
犆（狓） ４ ２５００００ １
＝ ＝ ＋２００＋ 狓，
狓 狓 狓 ４
犆（狓）
所以，令狔＝ ，则
狓
２５００００ １
狔′＝－ ＋ 
狓２ ４
令狔′＝０，得狓＝１０００
容易得到，当０＜狓＜１０００时，
狔′＜０；当狓＞１０００时，狔′＞０
犆（狓）
∴要使平均成本 最小，则
狓
应生产１０００个单位产品
（２）由犘（狓）＝１００－０．０１狓得 图４ ３３
出售狓个单位产品时，收益函数为犚（狓）＝狓（１００－０．０１狓），则利润
函数 犔（狓）＝犚（狓）－犆（狓）
＝狓（１００－０．０１狓）－（５０狓＋１００００）
＝－０．０１狓２＋５０狓－１００００
由犔′（狓）＝－０．０２狓＋５０＝０，解得狓＝２５００ 结合犔（狓）的图象
（图４ ３３）可知，当狓＝２５００时，利润犔（狓）最大，此时出售价格
犘（狓）＝１００－０．０１×２５００＝７５（元）
因此，出售价格为７５元时，可使利润最大
例５ 江轮逆水上行３００ｋｍ，水速为狏ｋｍ／ｈ，船在静水中的速
度为狓ｋｍ／ｈ 已知行船时每小时的耗油量为犮狓２ ，即与船在静水中的
速度的平方成正比 问狓多大时，全程的耗油量犎（狓）最小？
４９４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
解 船的实际速度为（狓－狏）ｋｍ／ｈ，
３００
故全程用时为 ｈ，所以耗油量关
狓－狏
于狓的函数为：
３００犮狓２
想一想，为什么会
犎（狓）＝
狓－狏
（犮＞０，狏＞０，狓＞狏）．
有 “狓＞狏”？
求得犎′（狓）＝
３００犮［２狓（狓－狏）－狓２］
（狓－狏）
２
３００犮狓（狓－２狏）
＝ ．
（狓－狏）
２
犎′（狓）在 （狏，＋∞）上有唯一零点
图４ ３４
狓＝２狏，并且犎′（狓）在（狏，２狏）上为负，在 （２狏，＋∞）上为正，可见
０
犎（狓）在狓＝２狏时取最小值 （图４ ３４） 即当狓＝２狏时，全程的耗油量
最小
实际上，行船时还有其他开支，船还应当在预定的时间到达目
的地，不能把耗油量最小作为主要的决策因素
练 习
１．将一长为８ｃｍ，宽为５ｃｍ的矩形纸张，四角截去相同大小的正方形，然后折
叠成一个无盖的纸匣 试问：截去的正方形其边长为多长时，才能使得纸匣的
容积最大？
２．某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到１００人的团体，每人收费１０００
元．如果团体的人数超过１００人，那么每超过１人，每人平均收费降低５元，但团
体人数不能超过１８０人，如何组团可使旅行社的收费最多？（不到１００人不组团）
习题 ９
学 而 时 习 之
１．已知等腰三角形的周长是２犾（定数），问它的腰多长时其面积最大？并求其最
５０４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
大的面积
２．求证：同一个圆的内接等腰三角形中，等边三角形面积最大
３．把半径为犚的金属球切削成圆柱形的零件，要使车下来的金属屑最少，那么这
个圆柱形零件的高应为多少？
４．已知圆柱形罐头盒的客积是犞（定数），问它的高与底面半径多大时罐头盒的表
面积最小？
５．企业管理者通过对某收音机制造厂做上午班工人工作效率的研究表明，一个中
等技术水平的工人，从８：００开始工作，狋ｈ后可装配晶体管收音机的个数为
犙（狋）＝－狋３＋３狋２＋９狋，则这个工人从８：００到１２：００何时的工作效率最高？
温 故 而 知 新
６．要设计一个容积犞＝２０πｍ３ 的有盖圆柱形贮油桶，已知上盖单位面积造价是侧面
的一半，而侧面单位面积造价又是底面的一半，问贮油桶半径狉取何值时总造
价最低？
７．犅在犃东１０ｋｍ，犆在犅北３ｋｍ 现在要修一条从犃到犆的公路，沿从犃到犅
的方向路线报价是４０００万元／ｋｍ，沿其他路线是５０００万元／ｋｍ，问如何设计
线路最省钱？
８．计划修建一条水渠，它的横断面是彼此全等的等腰
梯形，设这梯形的底边与侧边的长等于常数犫（如图
４ ３５所示） 为了获得最大的流量，应当使横断面
的面积尽可能大，问这时水渠应当有怎样的坡度？
９．从半径为犚的圆形铁片中剪去一个扇形 （如图４ 图４ ３５
３６所示），将剩余部分围成一个圆锥形漏斗，问剪去的扇形的圆心角多大时，圆锥
形漏斗的容积最大？
图４ ３６
５１４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
阅读材料
学一点微积分
如果把数学比成一棵大树，我们学过的算术、代数、几何、解
析几何这些初等数学就是树根，这一章要初步讨论的微积分是树干
的主要部分，其他名目繁多的数学分支，好比是大树的枝叶．
微积分的创立，被誉为 “人类精神的最高胜利”（引自 《自然
辩证法》，恩格斯著），是数学史上，也是人类历史上的一件大事．
没有微积分，科学研究和工程技术中的大量问题就无法解决．
代数与几何的结合，产生了解析几何，有了解析几何，就能够
直观而又定量地表述事物的运动和变化，在解析几何搭建的舞台
上，才出现了研究变量的数学． 变量数学的基础，就是微积分．
微积分的思想萌芽，特别是积分学，早在公元前２００多年就已
经出现． 自古以来，面积和体积的计算一直是人们感兴趣的问题．
为了计算某些特殊的曲线包围的面积或曲面包围的体积，古希腊的
阿基米德，古代中国的刘徽、祖冲之，都有过出色的贡献． 他们可
以说是人类建立一般积分学的前驱．
微分学的起源则要晚得多． 刺激微分学发展的主要问题，是求
曲线的切线、求变速运动的瞬时速度、变化中的事物的瞬时变化率
以及求函数的极大极小值． 虽然求切线的问题也是古已有之，但古
代的数学家并没有从运动和变化的角度来表述和研究它． 一直到
１７世纪上半叶，由于天文学、力学、光学的发展和工业技术的需
要，使得切线问题、瞬时变化率问题以及函数的极大极小问题的研
究成为不能回避的当务之急． 同时，工业和科技的发展，使人们对
积分学的基本问题 （面积、体积、曲线长、重心等的计算）的兴趣
被重新激发出来． 那时，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这
５２
书书书４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
些难题的新的数学方法，大家的努力促进了数学的迅速进展，发现
了微分学和积分学的联系，导致了变量数学的诞生．
在本课程中，我们只能十分粗浅地领略一点点微积分的主要思
想和基本方法，从一些例题中认识微积分方法的威力．
５３４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４５ 定积分与微积分基本定理
把圆周分成很多小
段，使每一段都接近于
直线段，大量小三角形
的面积之和就能逼近圆
４５１
的面积． 这种策略总结 曲边梯形的面积
起来，就 是：化 整 为
零，以直代曲．
我们来做一个数学实验：
任务：计算抛物线弓形的面积． 图４ ３７是函数狔＝狓２＋１ （０≤
狓≤１）的曲线，它是一段抛物线． 要得到这块抛物线弓形的面积，
只要将梯形犃犅犆犇的面积减去曲线下方
有斜线阴影的那块面积犛． 这块位于曲线
把一个曲边梯形分
和狓轴之间的图形，叫作函数狔＝狓２＋１
成多个小曲边梯形就是
化整为零． 用矩形代替 在区间 ［０，１］上的 “曲边梯形”．
小曲边梯形就是以直
建议：采用化整为零、以直代曲的策
代曲．
略，把闭区间 ［０，１］等分成狀段，经过
这些分点作平行于狔轴的直线，把曲边梯
形分割成狀个小曲边梯形． 再用矩形近似
地代替曲边梯形来计算．狀越大，则分得 图４ ３７
越细，因而误差也将越小．
［问题的由来和历史］ 飞流而下的瀑布，水的流线大体上是抛
物线；人工瀑布后面的混凝土墙的截面，为了与水的流线配合，有
的就采取抛物线拱的形状． 有些建筑物的上顶，也采取抛物线柱面
用横线阴影矩形面 或旋转面形状． 计算抛物线弓形的面积，不仅是有趣的数学问题，也
积代替小曲边梯形面积，
有实际意义．
误差不会超过它上方的
“帽子”矩形面积． 公元前２００多年，古希腊的数学家和物理学家阿基米德就研究过
抛物线弓形面积的计算方法． 他的方法很巧妙，但比较特殊，是专门
对付抛物线的． 我们要探讨一种更简单的思路，这种思路也适用于
别的曲线．
５４４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
图４ ３８是狀＝４的情形． 整个曲边梯形被分为４个小曲边梯形．
每个小曲边梯形包含了一个较小的矩形 （横线阴影部分），又被一个
较大的矩形所包含． 我们用较小的矩形来近似地代替对应的小曲边
梯形．
是不是一定要等分
图４ ３８ 呢？当然不一定． 只要
１ 分得细误差就会小． 不
这４个有横线阴影的矩形，宽都是 ，长顺次为：
４ 过取等分比较好算．
（ ） （ ） （ ）
１ ２ ２ ２ ３ ２
狔＝１，狔＝１＋ ，狔＝１＋ ，狔＝１＋ ．
０ １ ４ ２ ４ ３ ４
它们面积之和记作犛（４），则
１
犛（４）＝ ×（狔＋狔＋狔＋狔） 当然，也可以用较
４ ０ １ ２ ３
大的矩形来代替曲边梯
［ （ ） （ ） （ ）］
１ １ ２ ２ ２ ３ ２ 形． 更一般地，可以取
＝ × ４＋ ＋ ＋
４ ４ ４ ４ 小区间上的任意一点狕，
用犳（狕）作为矩形的长
１２＋２２＋３２
＝１＋ 来计算．
４３
３９
＝ ．
３２
这样以直代曲产生的误差，不会超过图中横线阴影矩形上方的４
个小矩形面积的和． 把它们接在一起，就成了图中右边附加的沙点 事实上，第犽条上
方的空白矩形面积为
阴影矩形，其面积为
１ ２犽－１
× （犽＝１，…，
１ 狀 狀２
×（２－狔）＝０．２５． ①
４ ０ 狀）．
５５４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
１
对于更大的狀，计算方法类似，狀个小矩形的宽都是 ，长顺次
狀
为：
（ ） （ ） （ ）
１ ２ ２ ２ 狀－１２
狔＝１，狔＝１＋ ，狔＝１＋ ，…，狔 ＝１＋ ．
０ １ 狀 ２ 狀 狀－１ 狀
为了方便，记狔＝２．狀个小矩形面积之和记作犛（狀），则
狀
１
犛（狀）＝ ×（狔＋狔＋狔＋…＋狔 ）
狀 ０ １ ２ 狀－１
［ （ ） （ ） （ ）］
１ １ ２ ２ ２ 狀－１２
＝ ×狀＋ ＋ ＋…＋
狀 狀 狀 狀
１２＋２２＋…＋ （狀－１）
２
＝１＋ ． ②
狀３
利用计算器或计算机对狀＝５，８，１０，１５，２０，１００，１０００作计
算，得到
犛（５）＝１．２４…
犛（８）＝１．２７３…
犛（１０）＝１．２８５…
犛（１５）＝１．３０１…
犛（２０）＝１．３０８…
犛（１００）＝１．３２８…
犛（１０００）＝１．３３２８…
实验结果使我们相信，不管用的小矩形是较大的或较小的，甚
至不管小区间是不是等分，只要分得够小，计算结果总是越来越接
４
近 ．
３
注意，前面图４
３７中梯形犃犅犆犇的面 ４
所以有理由猜想：曲边梯形的面积犛＝ ，而抛物线弓形的面积
３ ３ ４ ３
积为 ，而 － ＝
２ ２ ３
１
１ 是 ．
． ６
６
为了确认这个猜想，要估计一下以直代曲的误差． 与狀＝４的情
形①类似，这误差不会超过如图４ ３８中右边附加的沙点阴影矩形的
面积，即不超过
１ １
×（狔－狔）＝ ．
狀 狀 狀
０
５６４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
也就是说：
１
犛－犛（狀）＜ ． ③
狀
可见当狀很大时，犛（狀）与曲边梯形的面积犛很接近． 要多接近，
就能多接近．
数学实验中通常有大量的计算工作，有时还要作表格、画图． 这
些工作有的可以使用计算器，有的最好是用计算机． 实在没有条件，
可以分组合作用手算完成．
对于本节要计算的犛（狀），可以先编程定义一个函数，然后调用
该函数进行计算．
下面是参考程序在 “Ｚ＋Ｚ超级画板”环境下运行的情形：
Ｓ（ｎ）＝｛ｑ＝０；
ｆｏｒ（ｉ＝１；ｉ＜ｎ；ｉ＝ｉ＋１）｛ｑ＝ｑ＋ｉ∧２；｝
１＋ｑ／ｎ∧３；｝
犛（狀）（注：以上定义了函数，以下执行函数）＃
犛（２０）；
１０４７
 ＝１．３０８７５＃
８００
犛（１００）；
２６５６７
 ＝１．３２８３５＃
２００００
犛（１０００）；
２６６５６６７
 ＝１．３３２８３＃
２００００００
４
下面反过来积零成整，证明曲边梯形的面积犛确实是 ． 为方
３
便，我们把曲边梯形下部的矩形去掉，只考虑图中虚线上方的面积
１
犙．设 ［０，１］的狀等分点为０＝狓，狓，狓，…，狓＝１，犱＝ ，
０ １ ２ 狀 狀
作和式
５７４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
犙（狀）＝（狓２＋狓２＋…＋狓２ ）犱．
［小问题里的大方法］ ０ １ 狀－１
如何把１分解成４ 显然有 犙（狀）＝犛（狀）－１，犙＝犛－１．
个分子为１并且分母各
利用恒等式 （狓＋犱） ３＝狓３＋３狓２犱＋３狓犱２＋犱３ ，
不相同的分数之和？
一个简单的解答是 得到 ３狓２犱＝（狓＋犱） ３－狓３－（３狓＋犱）犱２． ④
１ １ １
１＝１－ ２ ＋ ２ － ３ ＋ 将狓＝狓，狓，狓，…，狓 顺次代入上式，注意狓＋犱＝狓 ，得到
０ １ ２ 狀－１ 犽 犽＋１
１ １ １ １ １
３
－
４
＋
４
＝
２
＋
６
３狓２犱＝狓３－狓３－（３狓＋犱）犱２ ，
０ １ ０ ０
１ １
＋
１２
＋
４
． ３狓２犱＝狓３－狓３－（３狓＋犱）犱２ ，
１ ２ １ １
用这个方法，可以
３狓２犱＝狓３－狓３－（３狓＋犱）犱２ ，
把１分解成任意多个分 ２ ３ ２ ２
子为１并且分母各不相 …，
同的分数之和！
３狓２ 犱＝狓３－狓３ －（３狓 ＋犱）犱２．
这种一加一减的表 狀－１ 狀 狀－１ 狀－１
达式变换的方法用处很 将上述各式左、右分别相加，得
大． 用这种方法不但能
计算平方和１２＋２２＋…
３犙（狀）＝狓
狀
３－狓３
０
－［（３狓
０
＋犱）＋（３狓
１
＋犱）＋…＋（３狓
狀－１
＋犱）］犱
２
．
＋狀２，还能计算立方和 注意到狓＝１，狓＝０，３狓＋犱＜３（狓＋犱）＝３狓 得
以及高次方的和． 狀 ０ 犽 犽 犽＋１
３犙（狀）－１ ＜｜３狓＋３狓＋…＋３狓｜犱
２
，
１ ２ 狀
３
计算结果显示当狀
而狓，狓，…，狓 都小于１，狓＝１，故有｜３犙（狀）－１｜＜３狀犱２＝ ，
１ ２ 狀－１ 狀 狀
４
很大时犙（狀）接近 ，
３ １ １
故 犙（狀）－ ＜ ， ⑤
４ ３ 狀
能不能断言犙＝ 呢？
３
不能． 因为还不知
即 犛（狀）－
４
＜
１
．
３ 狀
道犙（狀）能不能无限接
（ ）
４
近 ． １
３ 把上式与③ 即｜犛－犛（狀）｜＜ 相结合，得
狀
４ ２
犛－ ＜ ． ⑥
３ 狀
２
当狀充分大时， 可以小于任何一个给定的正数． 这表明，
狀
４
犛－ 比任一个正数都小，它只能为０．
３
４
我们没有进行直接的计算，就得到了准确的结论：犛＝ ．
３
３ ４ １
于是，要计算的抛物线弓形面积为 － ＝ ．
２ ３ ６
５８４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
习题 １０
学 而 时 习 之
已知圆锥的高为犺，底半径为狉． 用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，
推导圆锥体积的计算公式．
［提示：（１）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成狀块厚度相等的薄片；
犺
（２）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为 ，底半径顺
狀
次为
狉 ２狉 ３狉 （狀－１）狉
， ， ，…， ，狉；
狀 狀 狀 狀
（３）问题归结为计算和式
犺 π狉２
犞（狀）＝ ×（１２＋２２＋…＋狀２）×
狀 狀２
当狀越来越大时所趋向的值．］
５９４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４５２

本小节不作考试要 计算变力所做的功
求，也不要求学生必须
掌握． 学得较好的学生
可以参考．
问题探索：求能达到要求高度的上抛物体的初速．
把质量为犿的物体竖直上抛． 想要它达到的高度超过犎，初始
速度至少是多大？
距离越远，
物体运动过程中，受向下的重力作用速度不断减小． 如果上抛
引力越小．
的高度犎不大，可以把重力看成常数犿犵，问题比较简单，在物理课
上已经解决过了． 答案是狏＝槡２犵犎．
如果要达到的高度犎很大，再把重力看成常数就不妥当了． 重
力是万有引力，两物体之间的引力计算公式为
犌犕犿
犳（狓）＝ ， ①
狓２
其中犌是引力常量，犿和犕分别是两物体的质量，狓是两物体重心
的距离．
从这个公式看出，上抛物体所受的重力会随着高度狓的增加而
减小．
设物体的初速为狏，它具有的动能为
犿狏２
． 在上抛过程中重力不
２
初速越大，
飞得越高． 断做功使其速度减小，直到速度为０时开始回落，这时的高度犎就
是它所能达到的高度． 在这一过程中重力对物体所做的总功犙，数值
上恰好等于初始动能
犿狏２
，即
２
犿狏２
犙＝ ． ②
２
如何计算总功犙呢？
“化整为零，以直代曲”仍然有效．
用狓表示物体与地心的距离，上抛运动开始时狓＝犚，犚是地球
的直径． 设上抛高度为犎时，狓＝犚＋犎． 要计算的是重力在犚到
犚＋犎这段路程上所做的功．
６０４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
仍然用化整为零的思想． 如图４ ３９，把路程区间 ［犚，犚＋犎］
回顾上次数学实验
等分为狀小段，记分点顺次为 的经验，有时不见得要
真的计算． 所以这次不
犚＝狓＜狓＜狓＜…＜狓 ＜狓＝犚＋犎．
０ １ ２ 狀－１ 狀 做实验了，只是务虚，
探索．
简单地说，狀个等
分点处的引力函数值的
算术平均值乘路程区间
的长度，就是总功犙的
近似值犙（狀）．
图４ ３９
每一小段路程的长度为
犎
犱＝ ． ③
狀
设在第犽段路程上重力做的功为狇，则狇＋狇＋…＋狇＝犙． 在
犽 １ ２ 狀
第犽段路程上物体受的重力最大为犳（狓 ）且最小为犳（狓），可见
犽－１ 犽
犳（狓）犱＜狇＜犳（狓 ）犱 （犽＝１，２，…，狀）．
犽 犽 犽－１
具体来说
犳（狓）犱＜狇＜犳（狓）犱，
１ １ ０
犳（狓）犱＜狇＜犳（狓）犱，
２ ２ １
犳（狓）犱＜狇＜犳（狓）犱，
３ ３ ２
…，
犳（狓）犱＜狇＜犳（狓 ）犱．
狀 狀 狀－１
你一定发现了：变力做的功的计算和曲边梯形的面积的计算在数
学上是一样的．
加起来，注意狇＋狇＋…＋狇＝犙，得到
１ ２ 狀
（犳（狓）＋犳（狓）＋…＋犳（狓））犱＜犙＜（犳（狓）＋…＋犳（狓 ））犱．
１ ２ 狀 ０ 狀－１
记
６１４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
犙（狀）＝（犳（狓）＋犳（狓）＋…＋犳（狓 ））犱， ④
０ １ 狀－１
则前式简化为
犙（狀）－（犳（狓）－犳（狓））犱＜犙＜犙（狀）．
０ 狀
移项，注意到犳（狓）恒为正且为递减，得到不等式：
犌犕犿犎
｜犙－犙（狀）｜＜犳（狓）犱＝ ． ⑤
０ 狀犚２
因而当狀足够大时犙（狀）可以充分接近犙．
至于如何具体求出犙的值，后面多学一点，就容易解决了．
习题 １１
学 而 时 习 之
计算函数犳（狓）＝狓２ 在区间［犪，犫］上的曲边梯形面积． 进一步证明：一般二次函
数犳（狓）在［犪，犫］上的曲边梯形面积等于
（ ）
犪＋犫
犳（犪）＋犳（犫）＋４犳
２
·（犫－犪）．
６
作为应用，尝试推导计算球、球台、球缺、圆锥、棱锥、圆台、棱台等一系
列几何体体积的 “万能公式”．
６２４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
阅读材料
用速度战胜地球引力
人类要飞向太空必须首先挣脱地球引力的 “枷锁”，而战胜引
力的诀窍是提高运动速度．
从研究两个质点在万有引力作用下的运动规律出发，人们通常
把航天器达到环绕地球、脱离地球和飞出太阳系所需要的最小速
度，分别称为第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度．
第一宇宙速度（狏） 航天器沿地球表面做圆周运动时必须具备
１
的速度，也叫环绕速度． 按照力学理论可以计算出
狏＝７．９ｋｍ／ｓ．
１
第二宇宙速度（狏） 当航天器超过第一宇宙速度狏 达到一定
２ １
值时，它就会脱离地球的引力场而成为围绕太阳运行的人造行星，
这个速度就叫作第二宇宙速度，亦称逃逸速度． 按照力学理论可以
计算出第二宇宙速度狏＝１１．２ｋｍ／ｓ． 由于月球还未超出地球引力
２
的范围，故从地面发射探月航天器，其初始速度不小于１０．８４８ｋｍ／ｓ
即可．
第三宇宙速度（狏） 从地球表面发射航天器，飞出太阳系，到
３
浩瀚的银河系中漫游所需要的最小速度，就叫作第三宇宙速度． 按
照力学理论可以计算出第三宇宙速度狏＝１６．７ｋｍ／ｓ．
３
６３４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
４５３
定积分的概念
我们看到，曲边梯形面积的计算、变化的力所做功的计算以及
积分记号是拉长了
圆锥体积的计算，其数学模型都是一样的，都相当于计算一个函数
的字母犛，这表示计算
积分是求和的推广． 这 犳（狓）在某个区间［犪，犫］上的曲边梯形的面积． 这曲边梯形的面积，也
个记号是１７世纪德国
叫作犳（狓）在区间［犪，犫］上的定积分（ｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ）． 记号为
数 学 家 莱 布 尼 茨 引
进的． ∫
犙＝ 犫 犳（狓）ｄ狓．
犪
式中的变量狓可以换成任意字母，意义不变．犪和犫分别叫作定积分
的下限和上限．犳（狓）叫作被积函数，［犪，犫］叫作积分区间．
前面考虑的问题中被积函数是正的，定积分的值犙也为正． 如果
所 以，函 数 狔＝ 被积函数是负的，函数曲线在横坐标轴之下，定积分的值就是带负号
ｓｉｎ狓在区间 ［０，２π］
的曲边梯形的面积． 当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就
上的定积分为０．
是横坐标轴之上的正的面积与横坐标轴之下的负的面积的代数和．
从更多实际问题中体会定积分概念．
例１ 汽车走过的路程．
汽车的速度计能够把轮轴旋转的当前速度测出并转化为汽车前
进的速度，这项工作由一个电路连续进行，并通过指针显示出来． 可
以把指针指示的速度狏作为时间狋的函数狏（狋），并画出其函数曲线．
这时，曲边梯形的面积，就代表了汽车在对应的时段所走的路程狊，
如图４ ４０所示． 汽车上有一组精密的齿轮来完成面积计算的工作．
图４ ４０
６４４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
它们随时把当前的速度转化为这一瞬间新走过的路程，并显示在里
程表上． 这里的被积函数的值是实时测出的，没有表达式． 定积分的
上限在不断变化，定积分的值是上限（时间）的函数．
想一想，为什么速度函数在时间区间上的定积分相当于这一时
段走过的路程？
例２ 闸板所受压力．
水库泻洪闸宽为３ｍ，库内水位比库外水位高４ｍ，闸板所受的
总水压是多少？
定积分可以是面
积，定积分可以是体
积，定积分可以是功，
定积分可以是路程，定
积分可以是压力，还有
更多更多．
图４ ４１
闸板所受水压的压强随水深的增加而增加，是水深犺的函数，
记作狆（犺）． 把闸板沿水平方向等分成狀条 （如图４ ４１），由上而下第犽
４犽
根分界线处的水深犺＝ ，再约定犺＝０，犺＝４，则第犽条上的压强在
犽 狀 ０ 狀
狆（犺 ）和狆（犺）之间． 第犽条所受压力犉 满足不等式：
犽－１ 犽 犽
１２狆（犺 ） １２狆（犺）
犽－１ ＜犉＜ 犽 （犽＝１，２，…，狀）．
狀 犽 狀
将此不等式对犽求和得到：
（ （ ） （ ） （ ） （ ））
０ ４ ８ ４（狀－１）
１２狆 ＋狆 ＋狆 ＋…＋狆
狀 狀 狀 狀
＜犉＜
狀
６５４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
（ （ ） （ ） ）
４ ８
１２狆 ＋狆 ＋…＋狆（４）
狀 狀
．
狀
（ （ ） （ ） （ ） （ ））
０ ４ ８ ４（狀－１）
１２狆 ＋狆 ＋狆 ＋…＋狆
狀 狀 狀 狀
记 犉（狀）＝ ，
狀
１２狆（４）
则 狆－狆（狀）＜ ．
狀
这表明，当狀足够大时，和式犉（狀）可以充分接近所求的总压力犉．
上述计算过程，相当于计算函数狆（犺）在 ［０，４］上的曲边梯形面
积，也就是狆（犺）在区间［０，４］上的定积分．
物理知识告诉我们，压强狆（犺）与水深成正比，所以被积函数
狆（犺）＝犮犺，这里常数犮可以根据选取的物理单位来确定． 函数狆（犺）
的图象是一段直线，曲边梯形这时成了三角形．
如果你还算不出所求的压力，只有复习一下物理知识了．
定积分概念可以不依赖面积．
用 “曲边梯形的面积”定义 “定积分”概念，既方便又直观． 不
过它依赖于几何，依赖于面积概念． 要知道，严谨地定义一般图形面
积并不是简单的事情． 另外，在应用定积分处理实际问题时，常常要
可不是吗？我们还 说明，该问题相当于计算一个曲边梯形的面积，要绕弯子．
没有定义过曲线包围的
几何和物理中的问题启发我们引进数学概念，而数学概念一旦
面积呢！
形成，就应当有它的独立性和抽象性，才便于深入研究并找到新的
应用领域．
多唆呀！ 从上述一系列事例中，可以提炼出定积分的下列数学定义：
严谨是要付出代价
的． 如果不严谨，就说
设犳（狓）是在区间 ［犪，犫］上有定义的函数，在犪，犫之间取若干
不清楚，就无法论证，
分点
就要付出更大代价．
犪＝狓＜狓＜狓＜…＜狓＝犫．
０ １ ２ 狀
记小区间 ［狓 ，狓］为Δ，其长度狓－狓 记作Δ狓，Δ狓中最大的
犽－１ 犽 犽 犽 犽－１ 犽 犽
记作犱． 再在每个小区间Δ 上任取一点代表点狕，作和式：
犽 犽
∑狀
犳（狕）Δ狓． ①
犽 犽
犽＝１
如果 （不论如何取分点狓 和代表点狕）当犱趋于０时和式①以
犽 犽
６６４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
犛为极限，就说函数犳（狓）在 ［犪，犫］上可积，并且说犛是犳（狓）在
［犪，犫］上的定积分，记作 别担心这个 “如
∫
果”． 初等函数都是连
犛＝ 犫 犳（狓）ｄ狓． 续函数，而连续函数总
犪 是可积的．
“当犱趋于０时和式①以犛为极限”，意思是 “当犱越来越小时，
这也就给出了曲边
和式①越来越接近于犛，要多接近，就有多接近”．
梯形面积的定义．
４５４
微积分基本定理
思路与方法：
前面计算犳（狓）在 ［犪，犫］上的定积分犙的步骤为：
（１）化整为零，插入等分点．
此推导过程不作考
犫－犪
犪＝狓＜狓＜狓＜…＜狓＝犫，狓－狓 ＝犱＝ ． ① 试要求，也不要求学生
０ １ ２ 狀 犽 犽－１ 狀
掌握． 学得较好的学生
记犙 为犳（狓）在区间 ［狓，狓 ］上的定积分，即犳（狓）的曲线 可以参考．
犽 犽 犽＋１
在小区间 ［狓，狓 ］上构成的小曲边梯形面积，则
犽 犽＋１
犙＝犙＋犙＋…＋犙 ． ②
０ １ 狀－１
（２）以直代曲，估计误差．
用小矩形面积犳（狓）犱代替小曲边梯形的面积犙，这些小矩形面
犽 犽
积之和为
犙（狀）＝（犳（狓）＋犳（狓）＋…＋犳（狓 ））犱． ③
０ １ 狀－１
通过估计误差说明犙（狀）能够任意接近要计算的定积分犙．
在前面两个问题中，以直代曲的估计误差利用了函数犳（狓）的单
调性和区间的等分条件． 一般说来，只要犳（狓）在长为犱的小区间上的
根据前面所学的有
关导数的知识就知道，
变化幅度不超过犕犱（这里犕是某个常数），就能证明犙（狀）能够任意
这个条件对初等函数总
接近要计算的定积分犙． 事实上，容易估计出以直代曲的总误差不会 是满足的．
超过区间长度犫－犪与犳（狓）在各个小区间上的变化幅度中的最大者之
积． 如果在不一定等分时用犱表示最大的小区间的长度，总误差就不
超过犕（犫－犪）犱了．
（３）积零成整，精益求精．
６７４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
如果能找到一个函数犉（狓），在［犪，犫］上满足条件
犳（狓）犱＝犉（狓＋犱）－犉（狓）＋犮（狓，犱）犱２ ， ④
在前面，运气不错，
其中犮（狓，犱）的绝对值不超过某个常数犮．
对于犳（狓）＝狓２，
找到了犉（狓）＝
狓３； 取狓＝狓
０
，狓
１
，…，狓
狀－１
顺次代入上式并将各式相加得
３
１
犙（狀）＝犉（犫）－犉（犪）＋［犮（狓，犱）＋犮（狓，犱）＋…＋犮（狓 ，犱）］犱２．
对于犳（狓）＝ ， ０ １ 狀－１
狓２
⑤
１
找到了犉（狓）＝－ ；
狓 因为括弧里共有狀项，每项绝对值都不超过犮，所以有
其实，对于许多犳（狓），
这样的犉（狓）不是初等
｜犙（狀）－（犉（犫）－犉（犪））｜＜狀犮犱２＝
犮（犫－犪） ２
． ⑥
狀
函数． 不过这不是坏
事，数学家就此发现了
这表明只要狀足够大，犙（狀）能够任意接近犉（犫）－犉（犪）．
许多新的函数．
综合 （２）和 （３），可知｜犙－（犉（犫）－犉（犪））｜可以小于任意一个指
定的正数，它只能为０． 也就是说：
犙＝犉（犫）－犉（犪）． ⑦
把上面的推理和计算总结一下，得到：
［微积分基本定理的原始形式］ 设犳和犉都是在闭区间 ［犪，犫］
上有定义的函数，犕和犖是两个正数． 如果下面两个条件都满足：
（１）犳（狓）在长为犱的小区间上的变化幅度小于犕犱（也就是说，
对 ［犪，犫］上的任意两点狉，狊，只要｜狉－狊｜＜犱，就有｜犳（狉）－犳（狊）｜＜
犕犱． 这保证了化整为零、以直代曲的有效性）；
（２）｜（犉（狓＋犱）－犉（狓））－犳（狓）犱｜＜犖犱２ （这就是条件④，这
使得我们可以积零成整），
∫
则有 犫 犳（狋）ｄ狋＝犉（犫）－犉（犪）．
犪
再精打细算，上述定理中条件 （１）（２）都可以放宽：
原来要辛辛苦苦地
在（１）中的条件 “对 ［犪，犫］上的任意两点狉，狊，只要狉－狊＜犱，
计算，现在只要检查两
个条件． １
就有｜犳（狉）－犳（狊）｜ ＜犕犱”中，犕犱可以放宽为 ，这里
狑（犱）
狑（犱）是在某个区间 （０，犺］上定义的正值递减无界函数．
这个条件可以简单地说成 “犳（狓）在 ［犪，犫］上连续”．
在（２）中的条件 “｜（犉（狓＋犱）－犉（狓））－犳（狓）犱｜＜犖犱２ ”中，
犉（狓＋犱）－犉（狓）
两端用犱来除，得到 －犳（狓）＜犖犱，这同样可以放
犱
６８４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
犉（狓＋犱）－犉（狓） １ 犉（狓＋犱）－犉（狓）
宽为 －犳（狓）＜ ． 这表明 的
犱 狑（犱） 犱
数学家先是找到了
极限是犳（狓）． 求定积分的方法，随后
又发现了计算导数以求
也就是说，条件（２）可以简单地说成 “犳（狓）是犉（狓）的导数”．
切线的法则，可是就是
至此，我们得到了重要的 这个看似自然而平凡的
事实，在半个世纪当中
［微积分基本定理］ 如果犳（狓）是在 ［犪，犫］上有定义的连续
未被发现．
函数，犉（狓）在 ［犪，犫］上可导并且犉′（狓）＝犳（狓），则 牛顿和莱布尼茨发
现了并且明确表述了微
∫
犫 犳（狋）犱狋＝犉（犫）－犉（犪）． 积分基本定理，标志着
犪 微积分学的诞生．
从图上直观理解微积分基本定理．
图４ ４２
图４ ４２画出了 ［犪，犫］上的函数狔＝犉（狓）的曲线，设犳（狓）是
犉（狓）的导数． 取分点：
犪＝狓＜狓＜狓＜…＜狓 ＜狓＝犫．
０ １ ２ 狀－１ 狀
记狓 －狓＝Δ狓，显然有
犽＋１ 犽 犽
∑狀－１
犉（犫）－犉（犪）＝ （犉（狓 ）－犉（狓））
犽＋１ 犽
犽＝０
∑狀－１犉（狓 ）－犉（狓）
＝ 犽＋１ 犽 Δ狓，
狓 －狓 犽
犽＝０ 犽＋１ 犽
犉（狓 ）－犉（狓）
左端和式里的分式 就是图中对应的小直角三角形的
犽＋１ 犽
狓 －狓
犽＋１ 犽
斜边的斜率． 分点越密，这斜率越接近于曲线在点（狓，犉（狓））处的切
犽 犽
线的斜率，也就是犉（狓）在狓 处的导数犉′（狓）． 所以这和式越来越接
犽 犽
６９４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
近和式
∑狀－１
犳（狓）Δ狓．
犽
犽
犽＝０
而当分点无限加密时，最后的这个和式就成了犳（狓）在 ［犪，犫］
温故知新，用新知
上的定积分．
识解老问题．
微积分基本定理，直观上就是如此简单．
例１ 求函数犳（狓）＝１＋狓２ 在 ［０，１］上的曲边梯形的面积犙．
解 取犉（狓）＝
狓３
＋狓，则犉′（狓）＝犳（狓）． 由微积分基本定理可得：
３
∫
４
犙＝ １（１＋狓２ ）ｄ狓＝犉（１）－犉（０）＝ ．
３
０
例２ 已知圆锥高为犎，底半径为犚，利用定积分求它的体积
关键是如何把体积 犞（犚，犎）．
的计算问题以及类似的 （ ）
实际问题转化为求定积 解 这相当于计算函数犳（狓）＝π
犚狓２
在［０，犎］上的定积分．
犎
分的问题．
（ ）
取犉（狓）＝π
犚２狓３
，则犉′（狓）＝犳（狓）． 由微积分基本定理可得
原来花了九牛二虎 犎 ３
之力，现在却得来全不 （ ）
∫
费工夫，数学思想就是 犞（犚，犎）＝ 犎 π
犚狓２
ｄ狓＝犉（犎）－犉（０）＝π
犎犚２
．
犎 ３
如此美妙． ０
例３ 质量为犿的物体由地面上升到高度为犎之处，求在此运
动过程中地心引力对物体所做的功犠（犎）． （参看４．５．２的问题探索）
解 设地球半径为犚，质量为犕，万有引力常量为犌，则此问题相
犌犕犿
当于计算函数犳（狓）＝ 在区间［犚，犚＋犎］上的定积分．
狓２
犌犕犿
取犉（狓）＝－ ，则犉′（狓）＝犳（狓）． 由微积分基本定理可得：
狓
∫
犌犕犿
犠（犎）＝ 犚＋犎 ｄ狓＝犉（犚＋犎）－犉（犚）
狓２
犚
（ ）
１ １
＝犌犕犿 － ．
犚 犚＋犎
例４ 已知变速运动物体的速度狏（ｍ／ｓ）与时间狋（ｓ）的关系为
狏（狋）＝犪＋犫狋，问它出发后３０ｓ走了多远？
解 这相当于计算函数狏（狋）＝犪＋犫狋在［０，３０］上的定积分．
７０４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
取犉（狋）＝犪狋＋
犫狋２
，则犉′（狋）＝狏（狋）． 由微积分基本定理可得 从阿基米德求抛物
２
线弓形面积，到牛顿和
∫ 莱布尼茨创立微积分，
３０（犪＋犫狋）ｄ狋＝犉（３０）－犉（０）＝３０犪＋４５０犫．
近两千年数学家们的持
０
续探索，取得了人类精
故它出发后３０ｓ走了（３０犪＋４５０犫）ｍ．
神的最高胜利．
在短短的几个星期
里，匆匆一瞥品尝了许
多大师辛勤劳动之果．
习题 １２ 若有点困惑疑难，一点
也不奇怪，结合实际反
复思考，会越想越明白．
学 而 时 习 之
１．求函数犳（狓）＝狓２ 在［０，１］上的曲边梯形的面积．
２．求图４ ４３所示图形的面积犛．
３． 已知自由落体的运动速度狏＝犵狋（犵是常
数），求在时间区间［０，狋］内，物体下落的距
离狊．
４．物体在力犉（狓）＝３狓＋４（单位：Ｎ）的作用
图４ ４３
下，沿与力犉相同的方向，从狓＝０处运动到
狓＝４处（单位：ｍ），求力犉（狓）做的功．
温 故 而 知 新
（ ）
狓
５．求直线狔＝狉１－ （犺＞０，狉＞０）及两条坐标轴所围成的三角形绕狓轴旋转而
犺
成旋转体的体积．
４
６．试推导半径为犚的球的体积公式犞＝ π犚３．
３
７１４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
小结与复习
一、指导思想
微积分的创立是人类科学文化史上的一件大事，是数学发展中
的一座里程碑． 它的发展和应用标志着近代数学时期的到来．
我们引进了函数概念，自然界和人类社会中的大量实际问题中
的数量关系可以用变量和函数的数学模型来刻画． 如何研究这大量
的丰富多彩的函数呢？正是微积分的创立，提供了研究变量和函数
的重要的方法和有效的手段．
导数概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背
景和广泛的应用． 导数是函数的导数． 函数概念的丰富性决定了导
数的实际背景和应用的丰富性．
物理上的运动方程可以表示成函数，研究物体运动就要考虑平
均速度和瞬时速度． 平均速度向瞬时速度的过渡，引出了导数概念．
函数可以用几何上的曲线表示． 研究曲线涉及割线和切线． 割
线斜率向切线斜率的逼近，同样引向导数概念．
各种各样的实际问题中提出的函数模型，都刻画了变化的过程．
要度量变化的快慢就用到变化率． 从平均变化率到瞬时变化率的过
渡，自然要产生导数概念．
导数概念一旦形成，就在研究函数的性质中显示出了威力． 我
们曾经用过不同的方法讨论函数的单调性和极值问题，导数方法则
提供了最一般的简洁有力的解决方案．
计算曲线包围的面积，是一类古老的数学难题． 这类问题的研
究引出了定积分概念，揭示出导数和定积分这两个概念之间的深刻
关系，从而解决了面积计算的大量难题，这是微积分学科诞生的标志．
导数概念和定积分概念的产生，体现出新的数学思想和数学
７２
书书书４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
方法．
求瞬时速度的时候，求切线斜率的时候，开始我们不知道什么
是瞬时速度，不知道什么是切线． 我们面临的任务是双重的：既要
建立瞬时速度的概念和切线的概念，又要找到计算的方法． 这样一
箭双雕的处理，是微积分中常用的思想和方法．
求瞬时速度，求切线斜率，求函数的导数和定积分，计算工作
是在一个无穷逼近过程中完成的． 这叫作极限运算，它不同于学过
的四则运算和函数运算，是充满新意的一种数学运算，它给数学注
入了新的力量，新的思想． 对极限运算的理论探讨和应用研究，在
牛顿、莱布尼茨创立微积分之后，持续了２００年之久！
学习这一章，我们要着重体会导数的思想及其丰富的内涵；感
受新的数学思想和方法在解决实际问题中的力量；初步了解微积分
的文化价值，为以后进一步学习微积分打下基础．
二、内容提要
１． 导数概念及其几何意义．
（１）从平均速度过渡到瞬时速度；
（２）用割线斜率逼近切线斜率；
（３）函数的平均变化率趋于瞬时变化率，即导数．
２． 导数的运算．
（１）几个幂函数的导数公式的由来；
（２）基本初等函数的求导公式和导数运算基本法则．
（３）复合函数的求导法则．
３． 导数在研究函数中的运用．
（１）根据导数的正负判断函数的增减性；
（２）函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
（３）三次函数的增减性和极值及它在闭区间上的最值．
４． 来自生活实践的若干优化问题的案例．
５． 定积分和微积分基本定理．
（１）曲边梯形的面积和变力做功的计算；
７３４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
（２）定积分的概念；
（３）微积分基本定理．
６． 微积分创立的简史及其在人类文化中的意义和价值．
三、学习要求和要注意的问题
１． 了解导数概念的实际背景和几何意义．
（１）通过由物体运动的平均速度过渡到瞬时速度的过程，了解
导数概念的物理背景．
（２）通过观察分析曲线的割线逼近切线时其斜率的变化趋势，
直观地理解导数概念的几何意义．
（３）通过对大量实例的分析，经历由函数的平均变化率过渡到
瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道函数的瞬时变
化率就是导数，体会导数的思想和内涵．
（４）注意，这里所说的变化，在数学上是指自变量改变时对
应的函数值的变化． 所谓变化率，就是函数值的改变量和对应的
自变量的改变量的比值，即差分和步长的比． 但这里的步长可正
可负．
（５）函数的导数也是函数，所以就有导数的导数，即二次导
数；对二次导数的物理意义和几何意义，应有初步的了解．
２． 掌握一些函数的求导方法．
（１）能够根据定义求下列函数的导数：
１
狔＝犮，狔＝狓，狔＝狓２ ，狔＝狓３ ，狔＝ ，狔＝槡狓；
狓
（２）能够使用导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的
导数；
（３）知道了函数犳（狓）的导数，会求函数犳（犪狓＋犫）的导数；
（４）了解求导运算有两种记号，知道可以用记号表示是对哪个
参数求导．
３． 能够应用导数研究函数的性质．
（１）通过对大量函数及其导数图象的观察，了解函数的增减和
７４４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
导数的正负之间的关系．
（２）结合函数的图象，了解函数在某一点取得极值的必要条件
和充分条件．
（３）会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，
以及它在闭区间上的最大值和最小值；体会导数方法在研究函数性
质中的一般性和有效性．
（４）注意有些函数在极值点可能没有导数，例如函数狔＝｜狓｜，
这点以后再研究．
４． 增强应用意识，用导数方法解决一些实际中提出的优化问
题，如利润最大、用料最省、效率最高等问题． 特别注意如何从实
际问题中选择适当的自变量，确定目标函数，把实际问题提炼成自
己能够解决的数学问题．
５． 初步了解定积分和微积分基本定理．
（１）通过求曲边梯形的面积和变力所做的功等实例，了解定积
分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定
积分的概念．
（２）通过实例，直观地了解微积分基本定理的含义．
（３）利用导数表和微积分基本定理，计算几个曲边梯形的面
积，初步体会微积分基本定理的力量．
６． 了解微积分的文化价值．
阅读课本上的材料，从网上或其他书刊上收集有关微积分创立
的时代背景和有关人物的资料，进行交流；体会微积分的建立在人
类文化发展中的意义和价值．
四、参考例题
例１ 竖直上抛的一个物体，其高度犺（ｍ）和抛出时间狋（ｓ）
之间有函数关系
犺＝犳（狋）＝２＋１０狋－４．９狋２．
（１）求物体抛出的初速，以及抛出２ｓ后的瞬时速度和高度；
并问这时物体在上升还是下降？
７５４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
（２）此物体在抛出后多久达到最高点，此时高度是多少？
解 （１）求出犳（狋）的导数
犳′（狋）＝１０－９．８狋．
犳′（０）＝１０，即上抛初速为１０ｍ／ｓ；
犳′（２）＝－９．６，即抛出后２秒时瞬时速度为－９．６ｍ／ｓ，瞬时
速度为负，表明此时物体在下降；
物体此时高度为犳（２）＝２．４ｍ．
（２）物体到达最高点时，其瞬时速度为０，即
犳′（狋）＝１０－９．８狋＝０．
解得狋≈１．０２，即物体在抛出后１．０２ｓ达到最高点，此时物体
的高度为犳（１．０２）≈７．１（ｍ）．
例２ 研究函数
犵（狓）＝槡１＋狓－犪狓（狓＞－１）
的增减性和极值．
１
解 求导数得 犵′（狓）＝ －犪．
２槡１＋狓
分两种情形：
若犪≤０，犵′（狓）恒为正，犵（狓）递增．
若犪＞０，解方程
１
犵′（狓）＝ －犪＝０，
２槡１＋狓
１
得 狓＝ －１．
４犪２
（ ） （ ）
１ １
于是可知，犵′ －１ ＝０，且犵′（狓）在 －１， －１ 上为正，在
４犪２ ４犪２
（ ） （ ）
１ １
－１，＋∞ 上为负． 可见，犵（狓）在 －１， －１ 上递增，在
４犪２ ４犪２
（ ）
１ １
－１，＋∞ 上递减，在狓＝ －１处取到极大值．
４犪２ ４犪２
例３ 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两端的桥墩相距
犿ｍ，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩． 经预测，一
个桥墩的工程费用为２５６万元，距离为狓ｍ的相邻两墩之间的桥面
７６４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
工程费用为（
２＋槡狓
） 狓万元． 假设桥墩都等距离分布，且每个桥墩
都视为一个点，不考虑其他因素，记余下工程的费用为狔万元．
（１）试写出狔关于狓的函数关系式；
（２）当犿＝６４０时，需新建多少个桥墩才能使狔最小？
犿
解 （１）设需要新建狀个桥墩，则有（狀＋１）狓＝犿，即狀＝ －
狓
（ ）
１，所以狔＝２５６狀＋（狀＋１） （ ２＋槡狓 ） 狓＝２５６ 犿 －１ ＋ 犿（ ２＋槡狓 ） 狓
为什么是 “狀＋１”？
狓 狓
２５６犿
＝ ＋犿槡狓＋２犿－２５６．
狓
２５６犿 １ 犿
（２）由 （１）得狔′＝－ ＋ 犿狓－１＝ （狓３－５１２），
狓 狓２ ２ ２ ２狓２ ２
令狔′＝０得狓３＝５１２，所以狓＝６４．
狓 ２
又犿＝６４０，所以０＜狓＜６４０．
当０＜狓＜６４时，狔′＜０，所以狔在 （０，６４）内为减函数；
狓
当６４＜狓＜６４０时，狔′＞０，所以狔在 （６４，６４０）内为增函数．
狓
犿 ６４０
所以狔在狓＝６４处取得最小值，此时，狀＝ －１＝ －１＝９．
狓 ６４
因此，需新建９个桥墩才能使狔最小．
例４ 利用微积分基本定理求抛物线狔＝狓２－５狓被狓轴所截得
的弓形的面积．
图４ ４４
７７４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
解 如图４ ４４，曲线和狓轴的两个交点为犗（０，０）、犃（５，
０），要计算的弓形面积就是函数犳（狓）＝狓２－５狓在 ［０，５］上的定
积分． 根据微积分基本定理，如果有犉（狓）满足犉′（狓）＝犳′（狓），则
所求的定积分等于犉（５）－犉（０）．
从导数公式表可以看出，
狓３ ５狓２
犉（狓）＝ －
３ ２
的导数等于犳（狓），故所求弓形面积等于
１２５
｜犉（５）－犉（０）｜＝ ．
６
复 习 题 四
学 而 时 习 之
１．根据所给的运动方程，先写出物体在时间段 ［狌，狌＋犱］和 ［狌－犱，狌］上的平
均速度，再让犱趋于０，求出它在狋＝狌处的瞬时速度．
犵狋２
（１）狊（狋）＝犪＋狏狋； （２）狊（狋）＝ ；
２
犵狋２
（３）狊（狋）＝５＋３狋－ ； （４）狊（狋）＝２狋２－５狋＋犮．
２
２．根据所给的函数表达式，先写出函数曲线过两指定点犘，犙的割线的斜率，再
让指定点犙趋于点犘，求出曲线在点犘处的切线的斜率．
（１）狔＝犮（狓）＝３，犘＝（２，３），犙＝（２＋犺，３）；
狓
（２）狔＝犔（狓）＝ ＋１，犘＝（２狌，狌＋１），犙＝（２狌＋犺，犔（２狌＋犺））；
２
（３）狔＝犳（狓）＝狓－狓２，犘＝（２，－２），犙＝（２＋犺，犳（２＋犺））；
（４）狔＝犵（狓）＝狓３－２狓，犘＝（２，４），犙＝（２＋犱，犵（２＋犱））；
２
（５）狔＝犇（狓）＝ ，犘＝（１，１），犙＝（１＋犺，犇（１＋犺））．
狓＋１
７８４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
３．写出下列几何量关于自变量在指定区间 ［狌，狏］上的平均变化率和在该区间两
端点的瞬时变化率．
（１）边长为狓的正方形的周长，狌＝犪，狏＝犫（犪＜犫）；
（２）边长为狓的正三角形的面积，狌＝０，狏＝犮（犮＞０）；
（３）半径为狓的圆的面积，狌＝１，狏＝犚（犚＞１）；
（４）直径为狓的球的表面积，狌＝１，狏＝犇（犇＞１）；
（５）半径为狓的球的体积，狌＝狉，狏＝犚（犚＞狉＞０）．
４．求下列函数关于狓的导数：
（１）狔＝３ｓｉｎ狓＋２ｃｏｓ狓； （２）狔＝（狓－１）（狓２＋狓＋１）；
（３）狔＝狓２（狓２－１）； （４）狔＝（狓犿＋犪犿）（狓狀＋犪狀）；
（５）犳（狓）＝ｓｉｎ（狓＋３狋）； （６）犳（狓）＝狓ｌｎ（３狓＋２）；
４狓２ 狊
（７）犳（狓）＝ ； （８）犳（狓）＝２狊３＋ －７狓狊＋ｓｉｎｅ狓．
ｅ狋狓 狓
５．求下列函数的导数，并指出函数的单调区间．
（１）狔＝－狓３－２狓２－４狓＋５； （２）狔＝３狓４－４狓３－１２狓２＋１８；
（３）狔＝（狓＋１）（狓２－１）．
６．求下列函数的极值：
（１）狔＝狓３－３狓２－９狓＋５； （２）狔＝狓３－１２狓２＋２１狓＋１；
犪２
（３）狔＝２－（狓２－１）２； （４）狔＝狓＋ （犪＞０）．
狓
７．求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：
（１）狔＝２狓３－１５狓２＋３６狓－２４，狓∈ ［１，４］；
［ ］
３ ５
（２）狔＝狓３－３狓＋５，狓∈ － ， ．
２ ２
１
８．已知物体的运动方程是狊＝ 狋４－４狋３＋１６狋２．
４
（１）什么时间位移为０？
（２）什么时间速度为０？
９．（１）求内接于半径为犚的球并且体积最大的圆柱的高；
（２）求内接于半径为犚的球并且体积最大的圆锥的高．
１０．一窗户的上部是半圆，下部是矩形． 如果窗户面积一定，当圆半径与矩形高的
比为何值时，窗户周长最小？
１１．利用定积分的几何意义说明：
∫ ∫
π π
２ ｃｏｓ狓ｄ狓＝ ｓｉｎ狓ｄ狓．
π
－ ２ ０
７９４
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．导数及其应用
１２．根据定积分的几何意义求下列积分：
∫ ∫
犫 ２
（１） 狓ｄ狓； （２） 槡４－狓２ｄ狓．
犪 －２
１３．图４ ４５，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为犺，宽为犫．
图４ ４５
２
求证：抛物线拱的面积犛＝ 犫犺．
３
温 故 而 知 新
１４．求下列函数的导数：
（１）狔＝ｓｉｎ４３狓ｃｏｓ３４狓； （２）狔＝２（ｅ狓＋狓ｅ狓）；
２ ２
狓ｌｎ狓
（３）狔＝犪２狓＋狓２； （４）狔＝ －ｌｎ（狓＋１）．
狓＋１
１５．求曲线狔＝狓２＋狆狓＋狇与狓轴相切的条件．
１６．求曲线狔＝５槡狓与直线狔＝２狓－４平行的切线的方程．
１７．已知函数狔＝犪狓犪＋犫 的导数为狔′＝６狓２，求犪，犫的值．
１ π
１８．试问犪为何值时，函数犳（狓）＝犪ｓｉｎ狓＋ ｓｉｎ３狓在狓＝ 处取极值？它是极大
３ ３
值还是极小值？并求此极值．
１９．如果函数犳（狓）＝犪狓３＋犫狓２＋犮狓＋犱满足条件犫２－３犪犮＜０，试证明犳（狓）无
极值．
２０．用总长１４．８ｍ的钢条制作一个长方体容器框架，如果所制容器的底面的一边
比另一边长０．５ｍ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
２１．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量狓（ｔ）与每吨产品的价格犘（狓）
１
（元）之间的关系式为犘（狓）＝２４２００－ 狓２，且生产狓ｔ产品的成本为犆（狓）＝
５
５００００＋２００狓（元），则该产品每月生产多少时，利润最大，且最大值为多少？
２２．利用定积分的几何意义，求下列各式的值：
８０４
导数及其应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
∫ ∫
犪 １
（１） 槡犪２－狓２ｄ狓； （２） （槡１－（狓－１）２ －狓）ｄ狓．
－犪 ０
２３．设犳（狓）是偶函数，即犳（－狓）＝犳（狓），用定积分的几何意义说明下式成立：
∫ ∫
犪 犪
犳（狓）ｄ狓＝２ 犳（狓）ｄ狓．
－犪 ０
２４．在区间 ［犪，犫］上，若犳（狓）＞０，犳′（狓）＞０，试用几何图形说明下列不等式
成立：
∫
犫
犳（犪）（犫－犪）＜ 犳（狓）ｄ狓＜犳（犫）（犫－犪）．
犪
上 下 而 求 索
２５．设函数犳（狓）＝（狓－１）ｅ狓－犽狓２ （犽∈犚）．
（１）当犽＝１时，求函数犳（狓）的单调区间；
（ ］
１
（２）当犽∈ ，１ 时，求函数犳（狓）在 ［０，犽］上的最大值犕．
２
２６．已知函数犳（狓）＝犪狓３＋犫狓２＋犮狓＋犪２ （犪＞０）的单调递减区间是 （１，２），且满
足犳（０）＝１．
（１）求犳（狓）的解析式；
１
（２）对任意犿∈（０，２］，关于狓的不等式犳（狓）＜ 犿３－犿ｌｎ犿－犿狋＋３在狓∈
２
［２，＋∞）上有解，求实数狋的取值范围．
８１5
第 章
数系的扩充与复数
平方得负岂荒唐？
左转两番朝后方．
加减乘除依旧算，
方程有解没商量．
夏至
秋分 太阳 春分
冬至
人类认识数的范围是一步一步扩充的．
引进了虚数单位 ｉ 作为方程 ｘ２＝－１ 的根，
数的范围就从实数扩充到复数．
“虚数” 不虚， 它不但是数学理论中不可缺
少的一部分， 而且在人类的生活、 生产和科学
研究中有着重要的应用．５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
５１ 解方程与数系的扩充
人类所认识的数的范围是一步一步扩充的．
这种扩充，一方面是由于描述和解决实际问题的需要，另一方
面也是由于解决数学自身的矛盾的需要．
比如，最开始人们为了表示物体个数而认识了正整数，并且引
入了加、减、乘、除四则运算． 正整数做加法与乘法可以通行无
阻，但减法与除法就不行了． 什么叫减法？就是已知两数的和犪与
其中一个加数犫，求另一个加数的运算． 求犪－犫就是求一个狓使
狓＋犫＝犪，这就是解方程． 同样，除法也是解方程：求犪÷犫就是解
方程犫狓＝犪．
０的引入，一方面固然是来自实际的需要，比如为了表示 “没有
物体”，表示计量的起点 （比如计量温度、计量距离），等等． 但是它
也使减法犪－犪可以进行，方程狓＋犪＝犪有解．
分数的引入当然有实际的需要，比如用一把尺去度量某一个长
度，不能正好量尽时，需要将尺平均分割成更小的长度单位再去度
量． 但这就使除数犫不为０时除法犪÷犫不但对整数犪，犫总能进行，
而且对分数犪，犫也总能进行，也就是说：方程犫狓＝犪（犫≠０）在非
负的有理数范围内总是有解．
为了表示具有相反意义的量，引入了负数，这就将数的范围扩
大到了全体有理数，这使得减法犪－犫可以畅通无阻，方程狓＋犫＝犪
总是有解．
在有理数范围内四则运算通行无阻 （除数为０例外），但解方程
还不行． 比如狓２＝２就没有有理数解，但是它的解却是客观存在的：
正方形的对角线长与边长之比就是这个方程的解． 但这个比不能用
有理数表示． 这促使数的范围扩大到全体实数 任意两条线段的长度
比都可以用实数表示． 任意一个非负实数都有任意狀次的方根，也就
是说：当狀为正整数时，方程狓狀＝犪当犪≥０时总有解． 但是，当
８３
书书书５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
犪＜０时狓２＝犪没有解 即使狓２＝－１这样简单的方程都没有解，－１
没有平方根．
这启发我们对数系做再一次的扩充． 具体做法是：引进一个新
的数，用符号ｉ来代表，它满足条件ｉ２＝－１． 并且规定这个新的数
ｉ可以按照我们熟悉的运算法则以及一个新的法则ｉ２＝－１与实数进
行运算，产生一批新的数，与原来的全体实数一起组成一个新的
数系
５２ 复数的概念
规定符号ｉ代表一个数，满足条件ｉ２＝－１． 我们称这个ｉ为虚数
单位． 并且允许它与任意一个实数犫相乘得到数犫ｉ，还可以再与任意
一个实数犪相加得到数犪＋犫ｉ
形如犪＋犫ｉ（其中犪，犫是实数）的数称为复数 （ｃｏｍｐｌｅｘｎｕｍ
ｂｅｒ），其中犪称为复数犪＋犫ｉ的实部 （ｒｅａｌｐａｒｔ），犫称为犪＋犫ｉ的虚部
（ｉｍａｇｉｎａｒｙｐａｒｔ）．
通常将复数狕的实部记作Ｒｅ狕，将它的虚部记作Ｉｍ狕．
两个复数犪＋犫ｉ，犮＋犱ｉ（犪，犫，犮，犱是实数）相等的充分必要条
件为：它们的实部相等，且虚部相等，即犪＝犮且犫＝犱．
例１ 求以下复数的实部和虚部．
（１）１－ｉ； （２）３＋２槡２； （３）－ｉ．
解 （１）１－ｉ＝１＋（－１）ｉ，实部为１，虚部为－１．
（２）３＋２槡２＝ （ ３＋２槡２ ） ＋０ｉ，实部为３＋２槡２，虚部为０．
（３）－ｉ＝０＋（－１）ｉ，实部为０，虚部为－１．
容易看出，当虚部犫＝０时，复数犪＋０ｉ就是实数犪． 反过来，
实数犪也就是虚部为０的复数犪＋０ｉ．
例２ 设狓，狔∈犚，若复数（２狓－４狔）＋（３狓＋２）ｉ＝５＋６ｉ，求狓，狔．
解 根据复数相等的定义，得
８４５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
４
狓＝ ，
烄２狓－４狔＝５， 烄 ３
烅  烅
３狓＋２＝６ ７
烆 烆狔＝－ ．
１２
我们习惯上用犚表示全体实数组成的集合，犆表示全体复数组
成的集合，于是犆＝｛犪＋犫ｉ｜犪，犫∈犚｝． 而犚是犆的子集合，由犆中
虚部为０的全体复数组成．
当虚部犫≠０时，复数犪＋犫ｉ不是实数，称它们为虚数 （ｉｍａｇｉｎａｒｙ
ｎｕｍｂｅｒ）． 特别，实部为０，虚部不为０的复数犫ｉ称为纯虚数 （ｐｕｒｅ
ｉｍａｇｉｎａｒｙｎｕｍｂｅｒ）．
例３ 实数狓取何值时，复数狕＝（狓＋３）＋（狓－２）ｉ是
（１）实数？（２）虚数？（３）纯虚数？
分析 因为狓是实数，所以狓＋３，狓－２也是实数． 由复数狕＝
犪＋犫ｉ是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定狓的值．
解 （１）当狓－２＝０，即狓＝２时，复数狕是实数；
（２）当狓－２≠０，即狓≠２时，复数狕是虚数；
（３）当狓＋３＝０，且狓－２≠０时，即狓＝－３时，复数狕是纯
虚数．
练 习
１．求以下复数的实部和虚部：
１＋ｉ ｉ
（１）ｉ－１； （２） ； （３）２－槡２ｉ； （４）－ ．
槡２ ２
２．求满足下列条件的实数狓，狔的值：
（１）（３狓－狔）＋（狓＋２）ｉ＝狓－狔ｉ；
（２）狓狔－（狓＋狔）ｉ＝－２４＋５ｉ．
３．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是复数，哪些是纯虚数？
１ ４
４，２－３ｉ，０，－ ＋ ｉ，６－槡３ｉ，３ｉ．
３ ５
８５５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
习题 １
学 而 时 习 之
１．下列命题正确的是 （ ）
（Ａ）实数集与复数集的交集是空集
（Ｂ）任何两个复数都不能比较大小
（Ｃ）任何复数的平方均非负
（Ｄ）虚数集与实数集的并集为复数集
２．以２ｉ－槡５的虚部为实部，以槡５ｉ＋２ｉ２ 的实部为虚部的新复数为 （ ）
（Ａ）２－２ｉ （Ｂ）２＋ｉ （Ｃ）－槡５＋槡５ｉ （Ｄ）槡５＋槡５ｉ
３．复数犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚）为纯虚数是犪＝０的 （ ）
（Ａ）充分非必要条件 （Ｂ）必要非充分条件
（Ｃ）充要条件 （Ｄ）既非充分又非必要条件
４．求满足下列条件的实数犪，犫的值：
（１）（犪－３犫）＋（２犪＋３犫）ｉ＝５＋ｉ；
（２）（犪２－犫２）＋２犪犫ｉ＝６ｉ－８．
温 故 而 知 新
５．求当犿为何实数时，复数狕＝
犿２－犿－６
＋（犿２－２犿－１５）ｉ是：
犿＋３
（１）实数； （２）纯虚数； （３）虚数．
８６５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
５３ 复数的四则运算
复数集是实数集的扩充，而实数在实数集范围内能进行四则运
算，因而我们希望复数也能在复数集范围内进行四则运算
一般地，对任意两个复数犪＋犫ｉ，犮＋犱ｉ（犪，犫，犮，犱∈犚），数学 这些公式不需记
忆，只要自己按照多项
上规定
式展开的法则以及等式
加法：（犪＋犫ｉ）＋（犮＋犱ｉ）＝（犪＋犮）＋（犫＋犱）ｉ． ｉ２＝ －１ 进行运算就
行了
减法：（犪＋犫ｉ）－（犮＋犱ｉ）＝（犪－犮）＋（犫－犱）ｉ．
乘法：（犪＋犫ｉ）（犮＋犱ｉ）＝（犪犮－犫犱）＋（犪犱＋犫犮）ｉ．
例１ 已知复数狕＝１＋２ｉ与狕＝４－３ｉ． 试求它们的和狕＋狕，
１ ２ １ ２
差狕－狕，积狕狕．
１ ２ １ ２
解 （１）狕＋狕＝（１＋２ｉ）＋（４－３ｉ）＝（１＋４）＋（２－３）ｉ＝５－ｉ．
１ ２
（２）狕－狕＝（１＋２ｉ）－（４－３ｉ）
１ ２
＝（１－４）＋［２－（－３）］ｉ＝－３＋５ｉ．
（３）狕狕＝（１＋２ｉ）（４－３ｉ）
１ ２
＝１×４＋２ｉ×４＋１×（－３ｉ）＋２ｉ×（－３ｉ）
＝４＋８ｉ－３ｉ－６ｉ２
＝４＋８ｉ－３ｉ－６×（－１）
＝１０＋５ｉ．
由此容易看出： 利用ｉ２＝－１将表
达式化成ｉ的一次多项
两个复数犪＋犫ｉ，犮＋犱ｉ（犪，犫，犮，犱∈犚）的加、减、乘运算，
式后，常数项就是实
可以先看作以ｉ为字母的实系数多项式的运算来进行，再将ｉ２＝－１ 部，一次项就是虚部
代入，将实部和虚部分别合并，就得到最后的结果．
我们已经会做复数的加、减、乘法，那么，对任意两个复数狕＝
１
狕
犪＋犫ｉ和狕＝犮＋犱ｉ，当狕≠０时能否做除法求它们的商
１
？为此，只要
２ ２ 狕
２
犪＋犫ｉ
将商 的分子分母同乘以适当的非零复数，将分母化为实数即可．
犮＋犱ｉ
８７５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
注意到
（犮＋犱ｉ）（犮－犱ｉ）＝犮２－犱２ｉ２＝犮２＋犱２．
当犮＋犱ｉ≠０时，实数犮，犱不同时为０，犮２＋犱２＞０． 因此，将商
犪＋犫ｉ
的分子分母同乘以犮－犱ｉ就可将分母化为正实数犮２＋犱２ ，从而
犮＋犱ｉ
将商化为复数的标准形式．
犪＋犫ｉ （犪＋犫ｉ）（犮－犱ｉ）
＝
犮＋犱ｉ （犮＋犱ｉ）（犮－犱ｉ）
（犪犮＋犫犱）＋（－犪犱＋犫犮）ｉ
＝
犮２＋犱２
实际计算时不需记
犪犮＋犫犱 －犪犱＋犫犮
忆这个公式，只要会将 ＝ ＋ ｉ．
分子分母乘以适当的复
犮２＋犱２ 犮２＋犱２
数，将分母化为正实数 狕
就行了． 右边的公式（犮
例２ 已知复数狕
１
＝１＋２ｉ，狕
２
＝４－３ｉ． 求狕
２ －１
及
狕
１．
２
＋犱ｉ）（犮－犱ｉ）＝犮２＋犱２
１ ４＋３ｉ ４＋３ｉ ４ ３
反而更有用，更值得 解 狕 ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ ｉ．
２ －１ ４－３ｉ （４－３ｉ）（４＋３ｉ） ４２＋３２ ２５ ２５
熟记．
将虚数分母犮＋犱ｉ 狕 １＋２ｉ （１＋２ｉ）（４＋３ｉ）
１＝ ＝
乘以犮－犱ｉ化为正实数 狕 ４－３ｉ （４－３ｉ）（４＋３ｉ）
２
犮２＋犱２ 的过程，类似于
４＋３ｉ＋８ｉ－６ ２ １１
在初中化简根式时将含 ＝ ＝－ ＋ ｉ．
４２＋３２ ２５ ２５
根号的分母犮＋犱槡犇乘
解决了复数的加、减、乘、除四则运算问题，我们再来尝试讨
以犮－犱槡犇化为有理式
犮２－犱２犇的过程 只不 论在复数范围内开平方的问题，也就是求解一元二次方程狓２＝犪的
过我们现在不是 “分母
有理化”，而是 “分母
问题． 一元二次方程狓２＝－１在实数范围内没有解，我们引入一个新
实数化”． 的数ｉ作为它的一个解，将数的范围扩大到了复数． 这个方程在复数
范围内有解ｉ，同时由（－ｉ）２＝ｉ２＝－１知道方程狓２＝－１在复数范围
内有两个解：ｉ与－ｉ． 也就是说，在复数范围内－１有两个平方根
我们在实数集合之 ±ｉ 很自然要问：除了－１以外，别的负实数在复数范围内是否有
外为－１强行规定了一
平方根？进一步可以问，任意复数犪＋犫ｉ在复数范围内是否有平方
个平方根ｉ，是否需要
在复数集合之外再规定 根？比如ｉ是否在复数范围内有平方根？方程狓２＝ｉ是否在复数范围
一个什么符号使它的平
内有解？
方等于ｉ？
例３ 在复数范围内解下列方程：
号内容为选讲 （１）狓２＝－３；

（２）狓２＝ｉ．
内容
解 （１）容易验证（±槡３ｉ） ２＝（槡３） ２ｉ２＝３×（－１）＝－３，因此
８８５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
±槡３ｉ是方程狓２＝－３的两个根，也就是－３的两个平方根．
利用这个方法，可
求出任意负实数犪的平
（２）设狓＝犪＋犫ｉ是方程狓２＝ｉ的复数根，其中犪，犫是待定实
方根为± 槡－犪ｉ． 注意
数，则
其中的－犪是正实数，
（犪＋犫ｉ） ２＝ｉ  （犪２－犫２ ）＋２犪犫ｉ＝ｉ 因而 槡－犪是正实数的
算术平方根
烄犪２－犫２＝０，
 烅
２犪犫＝１．
烆
问题归结为在实数范围内求解方程组
烄犪２－犫２＝０， ①
烅
容易看出，对任意
烆 ２犪犫＝１． ② 的复数犪＋犫ｉ（犪，犫∈
犚），用同样的方法 （待
由①式得犫＝±犪，代入②得
定系数法）可求出方程
±２犪２＝１． 狓２＝犪＋犫ｉ的复数根．
你不妨一试．
仅当犫＝犪时，２犪２＝１，即犪２＝
１
有实数解犪＝±
槡２
． 待定系数法也可以
２ ２
用来求两个复数的商
犪＋犫ｉ
槡２ ，只 要 由 等 式
故关于犪，犫的上述方程组有两组实数解犫＝犪＝±  于是方程 犮＋犱ｉ
２
（狓＋狔ｉ）（犮＋犱ｉ）＝犪＋犫ｉ
（ ） 列出方程组来求待定实
狓２＝ｉ有两个复数根± 槡
２
２ ＋ 槡
２
２ ｉ ，它们也就是ｉ的两个平方根． 数狓，狔就行了． 你愿
意试试吗？
例４ 在复数范围内解一元二次方程狓２＋狓＋１＝０
解 判别式Δ＝１２－４×１×１＝－３＜０，方程无实数根． 但在复
数范围内－３有两个平方根±槡３ｉ，由求根公式可得方程的复数解
－１±槡３ｉ １ 槡３
＝－ ± ｉ．
２ ２ ２
由于在复数范围内开平方已经通行无阻，因此，利用求根公式
可以求出任何一个一元二次方程的根． 利用判别式判别实系数一元
二次方程是否有根的定理应当修改为：
设犪狓２＋犫狓＋犮＝０ （犪≠０）是实系数一元二次方程，Δ＝犫２－４犪犮
是它的判别式，则
－犫±槡Δ
当Δ＞０时，方程有两个不同的实根 ；
２犪
犫
当Δ＝０时，方程有两个相同的实根－ ；
２犪
８９５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
犫 槡－Δ
当Δ＜０时，方程有两个不同的虚根－ ± ｉ．
２犪 ２犪
多 知 道 一 点
代数基本定理
在实数范围内，负数没有平方根，因此当实系数一元二次方程
犪狓２＋犫狓＋犮＝０的判别式Δ＝犫２－４犪犮＜０时方程无实数解． 但在复数
范围内，当Δ＜０时它也有两个平方根±槡－Δｉ，因此可以由求根公
犫 槡－Δ
式求出两个虚根－ ± ｉ．
２犪 ２犪
这说明了，在复数范围内，所有的实系数一元二次方程犪狓２＋
犫狓＋犮＝０都有根，并且可以用求根公式求出它所有的根．
更进一步，假定一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的系数犪，犫，犮都
是复数，则判别式Δ＝犫２－４犪犮是复数． 但不论Δ取什么值，在复数
范围内总是有平方根 （且当Δ≠０时它总有两个不同的平方根），因
此仍然能够用求根公式求出一元二次方程的全部根 （当Δ≠０时有两
个不同的根） 这说明了，在复数范围内解一元二次方程可以通行
无阻
对于更高次数的复系数一元狀次方程犪狓狀＋犪狓狀－１＋…＋
准确地说，当狀≥５ ０ １
时不存在由方程的系数 犪 狓＋犪＝０ （犪≠０），一般来说不存在求根公式． 但可以证明：不
狀－１ 狀 ０
经过加、减、乘、除和
开方运算来表示的求根
论它的系数取什么复数值，这个一元狀次方程在复数范围内总是有
公式．
根． 这个结论在代数学发展史上具有重要的意义，称为代数基本定
理 （ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＴｈｅｏｒｅｍｉｎＡｌｇｅｂｒａ）． 这个定理是由高斯首先提出
并证明的，现在已经有很多种证明． 这些证明都用到大学数学的知
识，就不向中学生介绍了．
９０５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
练 习
１．化简下列各式：
（１）（－２－４ｉ）－（－２＋ｉ）＋（３＋９ｉ）； （２）（１－ｉ）４；
１＋ｉ
（３）（３＋ｉ）（３－ｉ）； （４） ．
１－ｉ
２．已知犿∈犚，且（犿＋犿ｉ）６＝－６４ｉ，求犿的值．
３．在复数范围内解下列方程：
（１）狓２＋２狓＋３＝０； （２）狓２－４狓＋５＝０．
习题 ２
学 而 时 习 之
２π ２π
１．设狕＝ｃｏｓ －ｉ·ｓｉｎ ，求狕２，狕３ 及狕２＋狕＋１的值．
３ ３
－３－ｉ
２．已知犪＝ ，求犪４ 的值．
１＋２ｉ
３．解方程：２狓２－狓＋１＝０．
温 故 而 知 新
４．（１）计算下列各值：ｉ２，ｉ３，ｉ４，ｉ５；
（２）根据上述结果，找出规律，并计算ｉ１００ 的值；
（３）化简：１＋ｉ＋ｉ２＋ｉ３＋…＋ｉ２０１５．
５．根据下列条件，求狕．
（１）狕（１＋ｉ）＝２；
（２）狕－１＋狕ｉ＝－４＋４ｉ．
９１５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
５４ 复数的几何表示
我们知道，实数可以用一条数轴上的点来表示． 具体表示方法
如下：取一条规定了方向的直线，在直线上取定一点犗作为原点，
取定一个单位长，则这条直线成为一条数轴． 每个实数犪由数轴上唯
一一点犘表示． 记犲为沿着数轴的正方向、长度等于单位长的向量，
则数轴上点犘与它所表示的实数犪的关系为犗  犘 → ＝犪犲 也就是说：每
个实数犪都可用平行于数轴的向量犗  犘 → ＝犪犲来表示． 如图５ １．
图５ １
由实数的这种几何表示法得到启发，可以想到用平面上的点和
向量来表示复数． 根据复数相等的定义可知，任何一个复数狕＝犪＋犫ｉ
都可以由一个有序实数对（犪，犫）唯一确定，而有序实数对（犪，犫）与
平面直角坐标系中的点是一一对应的． 因此，在平面上建立直角坐
标系，以每个复数狕＝犪＋犫ｉ的实部犪和虚部犫组成坐标（犪，犫），在
平面上可以画出唯一的一个点犘（犪，犫），同时也决定唯一一个向量
犗  犘 → ，这个向量的坐标也是（犪，犫） 将复数犪＋犫ｉ用平面上这个点
犘（犪，犫）表示，同时也用平面上这个向量犗  犘 → ＝（犪，犫）表示，这就将
全体复数与平面上点的集合建立了一一对应关系，也将全体复数与
平面上全体向量的集合建立了一一对应关系，如图５ ２．
图５ ２
９２５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
按上述方式与全体复数建立了一一对应关系的平面叫作复平面
（ｃｏｍｐｌｅｘｐｌａｎｅ），狓轴叫作实轴 （ｒｅａｌａｘｉｓ），狔轴叫作虚轴 （ｉｍａｇｉ
ｎａｒｙａｘｉｓ）． 实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示
纯虚数． 特别地，数１用沿狓轴正方向的单位向量犲＝（１，０）表示，
１
数ｉ用沿狔轴正方向的单位向量犲＝（０，１）表示．设复平面上的向量υ
２
的坐标为（犪，犫），则υ＝犪犲＋犫犲，将这个表达式中的犲，犲分别换成
１ ２ １ ２
１，ｉ，就得到υ所表示的复数犪＋犫ｉ．
例１ （１）在复平面画出分别表示以下复数狕，…，狕 的点
１ ４
犘，…，犘．
１ ４
狕＝１，狕＝ｉ，狕＝４＋３ｉ，狕＝４－３ｉ．
１ ２ ３ ４
（２）求出表示以上复数的向量犗  犘 → ，…，犗  犘 →的模． 试推广你的
１ ４
结论．
（３）表示以上复数的点中是否有两个点关于实轴对称？它们所
代表的复数有什么关系？
解 （１）由题意可得图５ ３．
图５ ３
（２）由于犘，…，犘 的坐标分别为（１，０），（０，１），（４，３），
１ ４
（４，－３），则向量 犗  犘 → ，…， 犗  犘 → 的模分别为
１ ４
犗  犘 → ＝ 犗  犘 → ＝１， 犗  犘 → ＝槡４２＋３２＝５＝ 犗  犘 → ．
１ ２ ３ ４
一般地，由表示复数犪＋犫ｉ的向量犗  犘 →的坐标（犪，犫）可求出它的
模为 犗  犘 → ＝槡犪２＋犫２．
（３）点犘（４，３），犘（４，－３）关于实轴对称，它们所表示的复
３ ４
数４＋３ｉ与４－３ｉ的实部相同，虚部互为相反数．
９３５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
对任意复数狕＝犪＋犫ｉ，我们将它在复平面上所对应的向量的模
槡犪２＋犫２ 称为复数狕的模 （ｍｏｄｕｌｅ），也称为狕的绝对值，记作｜狕｜．
写成公式，即
想一想，当复数狕 ｜犪＋犫ｉ｜＝槡犪２＋犫２ ，
是实数时，用这个公式
算出｜狕｜是否与以前
其中犪，犫∈犚． 狕＝槡犪２＋犫２ 表示点 （犪，犫）到原点的距离．
熟悉的绝对值一致？
例２ 求复数狕＝２＋３ｉ和狕＝２－３ｉ的模，并比较模的大小．
１ ２
解 ∵狕 ＝槡２２＋３２＝槡１３，
１
狕 ＝槡２２＋（－３） ２＝槡１３，
２
∴狕 ＝狕．
１ ２
对任意复数狕＝犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚），如果保持它的实部犪不变，
将虚部犫变成它的相反数－犫，得到的复数犪－犫ｉ称为原来的复数狕的
共轭复数的模相等 共轭复数 （ｃｏｎｊｕｇａｔｅｃｏｍｐｌｅｘｎｕｍｂｅｒ），记为狕珔． 也就是说
吗？
犪＋犫ｉ＝犪－犫ｉ．
当然，反过来也有犪－犫ｉ＝犪＋犫ｉ，因此狕珕＝狕．
于是，例１的 （３）的结论可以推广为：
复平面上两点犘，犙关于狓轴对称它们所代表的复数相互共轭．
做除法时用到的重要公式
（犮＋犱ｉ）（犮－犱ｉ）＝犮２＋犱２
可以重新叙述为
狕狕珔＝狕２ ， 即 狕＝槡狕狕－．
如图５ ４，设复数狕＝犪＋犫ｉ，狑＝犮＋犱ｉ分别由向量犗  犘 → ，犗  犙 →表
示，即犗  犘 → ＝（犪，犫），犗  犙 → ＝（犮，犱）．
图５ ４
９４５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
则这两个复数的和狕＋狑＝ （犪＋犮）＋ （犫＋犱）ｉ由向量犗  犛 → ＝
（犪＋犮，犫＋犱）＝犗

犘
→
＋犗

犙
→表示，犗犛是以犗犘，犗犙为邻边的平行四边
形的对角线． 这也就是说，复数狕，狑的加法由对应的向量犗  犘 → ，犗  犙 →
的加法来表示．
类似地，复数的减法由对应的向量的减法来表示：
→ → →
狕－狑＝（犪－犮）＋（犫－犱）ｉ犗犇＝（犪－犮，犫－犱）＝犗犘－犗犙，
其中，犗  犇 →与犙  犘 →同向平行且长度相等，如图５ ４．
复数狕与任一实数犽的积所对应的向量犗  犕 →可由复数狕对应的向
量犗  犘 →与犽的积表示，
→ →
犽狕＝犽犪＋犽犫ｉ  犗犕＝（犽犪，犽犫）＝犽犗犘
例３ 如图５ ５，已知犗犃犆犅是复平面上的平行四边形，犗是原
点，犃，犅分别表示复数３＋ｉ，２＋４ｉ，犕是犗犆，犃犅的交点． 求犆，
犕表示的复数．
图５ ５
解 由于犗  犃 → ，犗  犅 →分别代表３＋ｉ，２＋４ｉ，犗  犆 → ＝犗  犃 → ＋犗  犅 →代表的
复数为（３＋ｉ）＋（２＋４ｉ）＝５＋５ｉ，这也就是犆代表的复数．
犗  犕 → ＝ １ 犗  犆 →代表的复数为 １ （５＋５ｉ）＝ ５ ＋ ５ ｉ，这也就是犕代表
２ ２ ２ ２
的复数．
例４ （１）求方程狓３＝１的全部根．
这也就是求１的立
（２）将方程狓３＝１的所有的根都用复平面上的点表示． 观察：以 方根． 在实数范围内显
然只有一个根１． 但在
这些点为顶点组成的多边形是什么形状，处于什么位置？
复数范围内则不止这一
解 （１）原方程可化为狓３－１＝０． 方程左边可分解因式： 个根．
狓３－１＝（狓－１）（狓２＋狓＋１）．
因此，原方程可变形为
９５５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
（狓－１）（狓２＋狓＋１）＝０．
即
狓－１＝０或狓２＋狓＋１＝０．
若方程狓－１＝０，则只有一个根狓＝１．
５．３例４解过这个 若方程狓２＋狓＋１＝０，则：
方程，还记得吗？
－１±槡３ｉ １ 槡３
狓＝ ＝－ ± ｉ．
２ ２ ２
１ 槡３
也就是说：在复数 于是方程狓３＝１在复数范围内有三个根，分别为１，－ ＋ ｉ，
２ ２
范围内，１有三个立方
根，而不止一个立方 １ 槡３
－ － ｉ．
根１． ２ ２
１ 槡３ １ 槡３
（２）复平面上表示这三个根１，－ ＋ ｉ，－ － ｉ的点犘，
２ ２ ２ ２ １
犘，犘 的位置如图５ ６所示．
２ ３
如果你有兴趣，不
妨同样用因式分解的方
法解方程狓４＝１，并将
图５ ６
它的根全部画在复平面
观察发现，以这三个点为顶点的△犘犘犘 是正三角形，内接于
上，看看能发现什么有 １ ２ ３
趣的现象． 以原点为圆心、半径为１的圆．
９６５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
阅读与思考
犻＝－１的几何意义
２
既然复数由向量代
用平面向量来表示复数，使复数有了几何意义，我们已知道了 表，容易认为复数相乘
由向量的数量积代表．
复数的加减运算的几何意义，但还不知道复数乘法的几何意义，因
请自己举例验证看是否
此还不知道ｉ２＝－１有什么意义，也就是两个ｉ相乘为什么得－１． 如此． 比如，ｉ由狔正
方向上的单位向量犲
要解释ｉ２＝－１，先看（－１） ２＝１的几何意义． 将平面上每个向 ２
代表，ｉ与ｉ的乘积是否
量υ用从原点犗出发的有向线段犗犘来表示 （即υ＝犗  犘 → ），用－１ 等于犲与犲的数量积？
２ ２
→
又如，ｉ与１＋ｉ的乘积
乘υ将它变为－υ＝犗犘′，其效果是将犗犘绕犗旋转１８０°变为犗犘′，
是否等于它们所对应的
同时也就将平面上每个点犘绕犗旋转１８０°变为犘′，也就是关于犗 向量的数量积？
→
（－１）２＝１，可以
作中心对称． 将向量犗犘乘（－１）
２
，也就是乘了－１再乘－１，转了
用两句诗来说明： “后
１８０°再转１８０°，就是转３６０°，每条这样的有向线段犗犘都转回原来的 转两次转向前，负负为
正很显然”． 向量乘
位置，相当于乘了１．这就是说（－１） ２＝１．
－１就是向后转，连乘
向量乘－１是旋转１８０°，可以将这个旋
两个－１就是后转再后
转，回到原来的位置．
转平均分成两次来完成，每次旋转９０°，连转 沿逆时针方向旋转
９０°，俗话说就是 “向
两次就是转１８０°（如图５ ７）．假如规定一个
左转”． “左转再左转，
→
新的数ｉ，将复平面上每个向量υ＝犗犘乘ｉ就 等于向后转”，就是ｉ２
图５ ７ ＝－１． 本章开始的诗
是沿逆时针方向旋转９０°，那么乘ｉ２ 就是连
句 “平方得负岂荒唐，
续旋转两个９０°，也就是旋转了１８０°，相当于乘－１．这就说明了ｉ２＝－１． 左转两番朝后方”说的
就是这个意思． “左转
平面向量υ乘ｉ是沿逆时针方向旋转９０°，那么，υ乘任意一个
两番朝后方”是众所周
复数犪＋犫ｉ（其中犪，犫∈犚），又是什么意思呢？ 知的常识，有什么荒唐
和 虚 幻 的 呢？当 然，
由 （犪＋犫ｉ）υ＝犪υ＋犫ｉυ
“右转两番朝后方”也
可知，υ的犪＋犫ｉ倍等于υ的犪倍加上ｉυ的犫倍，其中ｉυ是由υ沿 是 对 的， 这 就 是 说
（－ｉ）２＝－１，－１有两
逆时针方向旋转９０°得到的向量．
个平方根±ｉ
特别地，将狓轴正方向上的单位向量犲 乘犪＋犫ｉ得到 注意ｉ犲 就是将犲
１ １ １
“向左转”，得到的就
（犪＋犫ｉ）犲＝犪犲＋犫ｉ犲＝犪犲＋犫犲．
１ １ １ １ ２ 是犲．
２
９７５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
→
平面上每个向量狌＝犗犘都有一个坐标 （犪，犫），能写成犪犲＋犫犲＝
１ ２
（犪＋犫ｉ）犲的形式． 因而狌可以看作是犲 的犪＋犫ｉ倍．
１ １
既然犲表示实数１，犲的犪＋犫ｉ倍当然就应当表示１的犪＋犫ｉ
１ １
倍，也就是表示复数犪＋犫ｉ．
设υ是复平面上任意一个向量，表示复数犮＋犱ｉ，也就是说
υ＝（犮＋犱ｉ）犲． 那么，υ的犪＋犫ｉ倍为
１
（犪＋犫ｉ）υ＝（犪＋犫ｉ）（犮＋犱ｉ）犲，
１
它表示的复数就是（犪＋犫ｉ）（犮＋犱ｉ），是犮＋犱ｉ的犪＋犫ｉ倍．
这就是复数乘法的几何意义． 可以总结如下：
设复数狑＝犮＋犱ｉ由向量υ表示，则狑的犪＋犫ｉ倍由向量（犪＋
犫ｉ）υ即犪υ＋犫ｉυ表示．
比如ｉ由犲表示，ｉ２ 就由向量ｉ犲表示．ｉ犲由犲沿逆时针方向
２ ２ ２ ２
旋转９０°得到，就是－犲，它表示的复数是－１，因而ｉ２＝－１．
１
在５．３例３中用代
例１ 试利用复数乘法的几何意义求方程狓２＝ｉ的复数解．
数方法解过这个方程，
现在用几何方法再解 解 代表ｉ的向量是犲，它可以由犲沿逆时针方向旋转９０°得
２ １
一遍．
到． 假如每次只旋转４５°，那么旋转两次就是旋转９０°． 如果能求出
复数狑，使每个向量犗  犘 → 乘狑得到的犗  犘′ → 可以由犗  犘 → 沿逆时针方向旋
转４５°得到，则狑２＝ｉ
→
为了求出这样的狑＝犪＋犫ｉ，不妨先将犲＝犗犃乘犪＋犫ｉ变到
１
→
犗犃′＝犪犲＋犫犲．
１ ２
→
一方面，犗犃′代表的复数就是犪＋犫ｉ，点犃′的坐标为（犪，犫）．
→ → →
另一方面，有向线段犗犃′可由犗犃旋转４５°得到，因此狉＝｜犗犃′｜＝
犗  犃 → ＝１，∠犃犗犃′＝４５°，由三角函数的定义知
犪 犪 犫 犫
ｃｏｓ４５°＝ ＝ ＝犪，ｓｉｎ４５°＝ ＝ ＝犫，
狉 １ 狉 １
槡２ 槡２
因而 狑＝ｃｏｓ４５°＋ｉ·ｓｉｎ４５°＝ ＋ ｉ．
２ ２
槡２ 槡２
画图容易验证，不但犲乘狑＝ ＋ ｉ的效果是旋转４５°，任何
１ ２ ２
→ → 槡２→ 槡２ → →
一个向量犗犘乘狑变到犗犘′＝ 犗犘＋ ｉ犗犘也都是将犗犘旋转４５°．
２ ２
９８５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
图５ ８
向量乘狑２ 就是旋转９０°，因而狑２＝ｉ． 在图５ ８ （ｂ）中，
→ →
（ ）
犗犙由犗犘′旋转４５°，得
槡２ 槡２ → → →
还有（－狑） ２＝ｉ． 因此方程狓２＝ｉ有两个根± ＋ ｉ． 到犗犙＝ｉ犗犘． 观察犗犘′
２ ２
槡２ →
是 否 等 于 犗犘＋
例１中的思路和方法可以推广到旋转任意角α的情形：假如将 ２
犲＝犗  犃 → 沿逆时针方向旋转任意角α到犗  犃′ → ，则点犃′的坐标为 （ｃｏｓα， 槡２ ｉ犗 → 犘？
２
１
→
ｓｉｎα），向量犗犃′代表的复数是ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα． 将向量犲乘复数
１
ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα的效果是将犗  犃 → 绕原点沿逆时针方向旋转α． 不难画出图 从犲 旋转到犲 不
１ ２
但可以旋转９０°，也可
→ →
形来证明，将每个向量犗犘乘复数ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα的效果都是将犗犘绕原
以 旋 转 ９０°＋３６０°即
点沿逆时针方向旋转同一个角α． ４５０°． 将旋转４５０°平均
分成两次来进行，每次
旋转２２５°．
想 一 想，犲 旋 转
１
２２５°相当于乘什么复
数？是否正好就是－狑？
实际上，由犲 旋
１
转到犲还可以旋转９０°
２
＋犽·３６０°，其中犽是
图５ ９
任意整数．将这样的旋
将向量犗  犘 → 先乘复数ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα，再乘ｃｏｓβ＋ｉ·ｓｉｎβ ，效果 转平均分成两次进行，
是将犗  犘 → 先旋转角α，再旋转角 β ，总的效果是旋转α＋β． 由此可知
是否还能得出±狑之外
的根？
（ｃｏｓβ＋ｉ·ｓｉｎβ ）（ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα）＝ｃｏｓ（α＋β ）＋ｉ·ｓｉｎ（α＋β ），
在图５ ９ （ｂ）中，
进而有 （ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα） 狀＝ｃｏｓ狀α＋ｉ·ｓｉｎ狀α．
不难观察到
再来看复平面上的向量乘任一复数狕＝犪＋犫ｉ·的效果．
犗

犘
→
′＝ｃｏｓα犗

犘
→
＋
→
设复数狕＝犪＋犫ｉ由向量犗  犕 → 表示，则点犕的坐标为（犪，犫）， ｓｉｎα犗犙＝（ｃｏｓα＋ｉ·
→
ｓｉｎα）犗犘．
狉＝｜狕｜＝｜犗  犕 → ｜＝槡犪２＋犫２≥０．
当狕≠０时狉＞０，设α＝∠狓犗犕是以犗狓为始边，犗犕为终边
的角（如图５ １０），则由三角函数的定义得
犪 犫
ｃｏｓα＝ ， ｓｉｎα＝ ，
狉 狉
９９５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
图５ １０
犪＝狉ｃｏｓα， 犫＝狉ｓｉｎα，
犪＋犫ｉ＝狉ｃｏｓα＋ｉ·狉ｓｉｎα＝狉（ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα）．
当狕＝０时，任取α，狕＝０＝狉（ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα）仍成立．
由此可见，任一复数狕＝犪＋犫ｉ都可以写成｜狕｜（ｃｏｓα＋
设非零复数狕，狕 ｉ·ｓｉｎα）的形式，称为狕的三角函数式．
１ ２
→ →
分别由向量犗犘，犗犘
１ ２ 两个复数狕＝｜狕｜（ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα），狕＝｜狕｜（ｃｏｓα＋
表示． 则 １ １ １ １ ２ ２ ２
→
狕＝狕 犗犘 与 ｉ·ｓｉｎα）相等的充分必要条件是｜狕｜＝｜狕｜，且当狕≠０时
１ ２ １ ２ １ ２ １
→ →
犗犘 重合 ｜犗犘｜＝
２ １ α＝α＋２犽π，犽为整数．
｜犗  犘 → ｜，且α，α的终边 ２ １
２ １ ２ → →
相同 狕 ＝ 狕 且 将任一向量犗犘乘狕＝｜狕｜（ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα），可以将犗犘先乘
１ ２
α＝α＋２犽π，犽为整数．
→ →
２ １ ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα再乘狕，其效果是：先将犗犘绕犗旋转角α到犗犘；
１
→
再将犗犘保持方向不变，长度变为原来的｜狕｜倍．
１
例２ 试利用复数的三角函数式求方程狕３＝１的复数解．
解 设狕＝｜狕｜（ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα）．
狕３＝１狕３＝１｜狕｜＝１狕＝ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα．
狕３＝ｃｏｓ３α＋ｉ·ｓｉｎ３α＝１＝ｃｏｓ０＋ｉ·ｓｉｎ０
请与５．４例４相比
３α＝２犽π，α＝
２犽π
，犽为整数，
３
较，结果是否相同？你
更喜欢哪一种方法？
２犽π ２犽π
你能否仿照此处例
狕＝ｃｏｓ ＋ｉ·ｓｉｎ ．
３ ３
２的方法求出方程狕狀＝
１的所有的复数根？这 在 ［０，２π）范围内不同的角
２犽π
只有０，
２π
，
４π
，由此得到三个不
３ ３ ３
些根在复平面上对应的
点的位置有何特点？
１ 槡３ １ 槡３
同的狕值为：０ （当犽＝０时），－ ＋ ｉ（当犽＝１时），－ － ｉ
２ ２ ２ ２
（当犽＝２时）． 这就是方程狕３＝１的三个根，它们在复平面上对应
的点都在以原点为圆心的单位圆上，且将单位圆三等分．
１００
书书书５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
练 习
５
１．已知复数３＋ｉ，－４－２ｉ，－５ｉ，６， －３ｉ，在复平面内画出这些复数和它们的
２
共轭复数所对应的向量，并求出它们的模．
２．复数狕＝（犪２－２犪）＋（犪２－犪－２）ｉ对应点在虚轴上，则实数犪＝ ．
３．若复数（－３＋犽２）－（犽２－２）ｉ所对应的点在第三象限内，求实数犽的取值范围．
习题 ３
学 而 时 习 之
１．已知复数狕＝３＋ｉ，狕＝１－ｉ，则狕＝狕·狕在复平面内对应的点位于第 象限．
１ ２ １ ２
２．设狕∈犆，２≤ 狕≤５，画出满足条件的点构成的图形．
温 故 而 知 新
３．实数犽取何值时，复平面内表示复数狕＝（犽２－３犽－１０）＋（犽２－７犽＋１０）ｉ的点满
足下列条件：
（１）位于第四象限； （２）位于直线狔＝狓上．
４．狕是任意复数． 求证：
（１）狕＋狕是实数； （２）狕是实数狕＝狕．
５．根据复数的几何意义证明： 狕 － 狕 ≤ 狕＋狕 ≤ 狕 ＋ 狕．
１ ２ １ ２ １ ２
１０１５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
小结与复习
一、指导思想
在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部
的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数
与现实世界的联系．
二、主要内容
１． 复数及其相关概念：
（１）虚数单位：ｉ（其中ｉ２＝－１）；
（２）复数：具有形如犪＋犫ｉ（其中犪，犫是实数）的数称为复
数，其中犪称为复数犪＋犫ｉ的实部，犫称为犪＋犫ｉ的虚部；
（３）虚数：当犫≠０时，犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚）为虚数． 特别地，犫ｉ
（犫≠０）叫纯虚数；
（４）复数的模：若狕＝犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚），则复数狕的模为
狕＝槡犪２＋犫２ ；
（５）共轭复数：犪＋犫ｉ与犪－犫ｉ互为共轭复数． 即犪＋犫ｉ＝犪－犫ｉ．
２． 复数相等的充要条件：
烄犪＝犮，
犪＋犫ｉ＝犮＋犱ｉ（犪，犫，犮，犱∈犚）烅
犫＝犱．
烆
３． 复数的四则运算：一般地，对任意两个复数犪＋犫ｉ，犮＋犱ｉ
（犪，犫，犮，犱∈犚）．
加法：（犪＋犫ｉ）＋（犮＋犱ｉ）＝（犪＋犮）＋（犫＋犱）ｉ；
减法：（犪＋犫ｉ）－（犮＋犱ｉ）＝（犪－犮）＋（犫－犱）ｉ；
乘法：（犪＋犫ｉ）（犮＋犱ｉ）＝（犪犮－犫犱）＋（犪犱＋犫犮）ｉ；
１０２５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
犪＋犫ｉ （犪＋犫ｉ）（犮－犱ｉ）
除法：当犮＋犱ｉ≠０时， ＝ ．
犮＋犱ｉ 犮２＋犱２
４． 在复数范围解简单的方程．
三、学习要求和需要注意的问题
１． 学习要求：
（１）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
（２）了解复数的代数表示法及其几何意义；
（３）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的
加、减运算的几何意义．
２． 需要注意的问题：
（１）在复数概念与运算的教学中，应注意避免烦琐的计算与技
巧训练；
（２）注意向量与复数的几何意义相结合．
四、参考例题
１
例１ 设狕∈犆，求满足条件狕＋ ∈犚且｜狕－２｜＝２的复数狕．
狕
解 设狕＝犪＋犫ｉ（犪，犫∈犚）．
１ １ 犪－犫ｉ
则 狕＋ ＝犪＋犫ｉ＋ ＝犪＋犫ｉ＋
狕 犪＋犫ｉ 犪２＋犫２
（ ） （ ）
犪 犫
＝犪＋ ＋犫－ ｉ．
犪２＋犫２ 犪２＋犫２
１ 犫
∵ 狕＋ ∈犚，∴ 犫－ ＝０．
狕 犪２＋犫２
∴ 犫＝０或犪２＋犫２＝１．
又∵｜狕－２｜＝２，∴｜（犪－２）＋犫ｉ｜＝２． ∴ （犪－２） ２＋犫２＝４．
（１）当犫＝０时，（犪－２） ２＝４，∴犪＝４或犪＝０．
∵狕≠０，∴狕＝４．
１
（２）当犪２＋犫２＝１时，∴ （犪－２） ２＋１－犪２＝４． ∴ 犪＝ ．
４
槡１５ １ 槡１５
∴ 犫＝± ． ∴ 狕＝ ± ｉ．
４ ４ ４
１０３５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
１ 槡１５
综合 （１）（２）得 狕＝４或狕＝ ± ｉ．
４ ４
例２ 已知复数狕满足｜狕｜＝槡２，狕２ 的虚部为２，狕所对应的
点犃在第一象限．
（１）求狕；
（２）若狕，狕２ ，狕－狕２ 在复平面上对应点分别为犃，犅，犆，求
ｃｏｓ∠犃犅犆．
解 （１）令狕＝狓＋狔ｉ，∵｜狕｜＝槡２，∴ 狓２＋狔２＝２． ①
又∵ 狕２＝（狓＋狔ｉ） ２＝狓２－狔２＋２狓狔ｉ，∴ ２狓狔＝２．∴ 狓狔＝１． ②
烄狓＝１， 烄狓＝－１，
由①②可解得
烅
或
烅
烆狔＝１ 烆狔＝－１．
∴ 狕＝１＋ｉ或狕＝－１－ｉ．
又∵ 狓，狔＞０，∴ 狕＝１＋ｉ．
（２）狕２＝（１＋ｉ） ２＝２ｉ，狕－狕２＝１＋ｉ－２ｉ＝１－ｉ．
如图５ １１所示，
图５ １１
∴ 犃（１，１），犅（０，２），犆（１，－１）．
→ →
∴ 犅犃＝（１，－１），犅犆＝（１，－３）．
→ →
犅犃·犅犆 １＋３ ４ ２槡５
∴ ｃｏｓ∠犃犅犆＝ ＝ ＝ ＝ ．
｜犅  犃 → ｜·｜犅  犆 → ｜ 槡２·槡１０ ２槡５ ５
复 习 题 五
学 而 时 习 之
１．下列四个命题中，有 （ ）个正确命题．
（１）任何复数的模都是非负数；
（２）狓轴是复平面的实轴，狔轴是虚轴；
１０４５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
（３）狕＝槡５ｉ，狕＝槡２－槡３ｉ，狕＝－槡５，狕＝２－ｉ，则这些复数的对应点共圆；
１ ２ ３ ４
（４） ｃｏｓθ＋ｉ·ｓｉｎθ的最大值为槡２，最小值为０．
（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３
２．若复数狕＝ｓｉｎ２α－（１－ｃｏｓ２α）ｉ是纯虚数，α∈［０，２π），则α＝ ．
ｉ 狕
３．若复数狕＝２－ｉ，狕＝１－３ｉ，则 ＋ ２的虚部为 ．
１ ２ 狕 ５
１
４．把复数１＋ｉ对应的点向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点犃，把所
→ →
得向量犗犃绕点犗逆时针旋转９０°，得到向量犗犅，则犅点对应的复数为 ．
温 故 而 知 新
５．求满足下列各条件的复数狕．
（１）狕ｉ＝ｉ－１； （２）狕２－狕＋２＝０；
１０
（３）｜狕｜－狕＝ ； （４）狕２＝７＋２４ｉ．
１－２ｉ
６．已知狕，狕∈犆，｜狕｜＝槡３，｜狕｜＝槡２，｜狕＋狕｜＝２槡２，求｜狕－狕｜．
１ ２ １ ２ １ ２ １ ２
７．已知｜狕｜＝２，求｜狕－ｉ｜的最大值．
８．△犃犅犆的∠犃，∠犅所对的边长为犪，犫，设复数狕＝犪＋犫ｉ，狕＝ｃｏｓ犃＋
１ ２
ｉ·ｃｏｓ犅，且狕·狕所对应的点落在虚轴上． 试判断△犃犅犆的形状．
１ ２
上 下 而 求 索
９．已知角α，用几何作图法在复平面上作出表示ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα的点犘．试叙述作
图步骤．
１０．设圆犗是以原点犗为圆心、半径为１的圆，犘是圆上一点，已知∠狓犗犘＝α，
求点犘表示的复数．
１１．当α取什么值的时候，下面的等式成立？
（１）（ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα）３＝１； （２）（ｃｏｓα＋ｉ·ｓｉｎα）狀＝１．
１２．求方程狕狀＝１的所有复数根，将这些根用复平面上的点表示． 这些点为顶点组
成什么样的多边形？
１３．在复数集犆中，已知方程狓２－（２ｉ－１）狓＋３犿－ｉ＝０有实根，求实数犿的值．
１０５５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
数学文化
数系扩充小史
自然数的原始概念在人类的文字尚未出现时即已形成． 例如前
人清点猎物的数目，拿过一只猎物 （例如山鸡）就扳一个指头，或
在一个小土坑里放上一颗石子，或在绳子上打一个结． 这些事物的
多寡都是自然形成的，所以后人称其为自然数． 由于双手有１０个
指头，所以古代中国和印度等国发明了十进制记数法． 南美洲气候
炎热，那里古代人类打赤脚，所以古玛雅文明中有二十进制． 自然
数的概念究竟是何年何地的人们首先创立，是不可考究的事了． 据
考古学家估计大约在５万年以前，有的甚至说３０万年以前，人类已
有自然数的概念． 公元前５世纪左右，中国发明了数字 （从一到九）：
． 而且我国古代人已有一一对
应计数的观念，例如想数数人有多少，则问 “几口人？”想知道牛
有多少，则问 “几头牛？”人与嘴一一对应，牛与头一一对应． 自
然数是数学的祖先．１９世纪，德国数学家克罗内克说：“上帝创造
了自然数，其余 （数学）都是人造的． ”
公元元年左右，中国 《九章算术》中由除法与减法引入了分数
和负数．
公元８７６年，印度人首先把零当成数看待，且创造了数字０，
１，２，３，４，５，６，７，８，９． 公元９世纪由阿拉伯数学家花拉子
米把这１０个数字引入欧洲． 由于花氏是阿拉伯人，欧洲人误称０，
１，…，９为阿拉伯数字． 其实应正名为印度数字． 但已沿袭多年
的 “阿拉伯数字”之称，不易改变称谓了．
公元前６世纪毕达哥拉斯学派的著名数学家希帕苏斯提问单位
１０６５
数系的扩充与复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第 章
正方形的对角线有多长．当时毕达哥拉斯学派的信条是 “万物皆
数”，他们和当时全人类都认为数就是正分数和正整数，此外不存
在别的什么数． 但由勾股定理，单位正方形对角线长犾应满足犾＝
２
狇
２，若犾＝ 是既约分数，则会引出矛盾． 为了维护毕达哥拉斯的尊
狆
严和世俗对数的偏见与无知，毕氏竟因此下令把他的得意门生希帕
苏斯投入爱琴海，使其葬身鱼腹． 但问题并没有解决，对角线是
物，它的长就应该是数． 但这个数不是毕达哥拉斯时代的人们所知
道的数，于是出现了第一次数学危机． 当然应当承认事实，而不是
事实服从传统的观念，所以从那之后人们发现了一种不是自然数与
分数的数，名曰 “无理数”． 无理数比负数发现得早，数学家们把
有理数与无理数统称为实数． 但直到１９世纪，数学家们才搞清楚
什么是无理数，什么是实数．
１５４５年，意大利著名数学家卡丹用三次方程狓
３
＝狆狓＋狇（狆，
（ ） （ ） （ ） （ ）
３ ３
狇＞０）的求根公式狓＝
槡狇
＋
槡狇２
－
狆３
＋
槡狇
－
槡狇２
－
狆３
２ ２ ３ ２ ２ ３
求解时，面对负数开平方但又不能把这种数舍去的局面，例如
狓
３
＝１５狓＋４，它有一个根狓 是４，而把狆＝１５，狇＝４代入公式则
１
得这个根
狓＝
槡３２＋槡－１２１＋ 槡３２－槡－１２１，
１
卡丹叹道：“对这种量进行运算，感到道德上的折磨，但结果令人
满意．”卡丹称诸如槡－１２１这种负数开平方的量为 “诡辩量”，但
这里已经不能再像过去解一元二次方程那样见到Δ＝犫
２
－４犪犮＜０，
则声称根在实数范围无意义而舍弃． 事实上，如果这时把狓 舍
１
弃，舍弃的是实根４． 所以人们开始接受负数开平方的运算，确
认运算结果也是一个数．１６３７年，笛卡儿称负数开平方的结果是
“虚数”．
１７９７年，挪威数学家韦塞尔对犪＋犫槡－１作出几何解释，平面
→
直角坐标系中，若一点犘的坐标为 （犪，犫），则向量犗犘用复数犪＋
犫槡－１表示．１８０１年，高斯引入记号槡－１＝ｉ，复数犪＋犫槡－１写
１０７５
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数系的扩充与复数
成犪＋犫ｉ．
数系扩充的谱图如下：
１０８6
第 章
推理与证明
久病成医信不虚， 疱丁解牛未足奇．
青山踏遍寻真谛， 斗室神游识玄机．
力学定律通宇宙， 几何公理贯中西．
有理有据走天下， 文章千古叹神笔．
“推理与证明” 是数学的基本思维过程，
也是人们生活和学习中经常使用的思维方式．
推理一般包括合情推理和演绎推理． 本章将
通过对已学知识的回顾， 进一步体会合情推
理、 演绎推理以及二者之间的联系与差异，
体会数学证明的特点， 了解数学证明的基本
方法．６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
６１ 合情推理和演绎推理
合情推理 （ｐｌａｕｓｉｂｌｅｒｅａｓｏｎｉｎｇ）的意思是 “合乎情理”的推理．
在日常生活中，律师对案情的论证分析就是合情推理．数学中的合
情推理有多种多样，最常见的就是归纳和类比．
６１１ （ ）
合情推理 一 ———归纳
用手扔出的石子，它要掉下来．再扔一个玻璃球，它也要掉下
在物理、化学、生
物、医学等许多实验科 来．再扔一个苹果，它还是要掉下来．我们会想到：不管扔的是什
学的研究中，用归纳推
么东西，它都是要掉下来的；进一步去想这是为什么，想到最后，
理来验证一条定律、一
条假说是常有的事．理
认为是由于地球有引力．但是，我们并没有把每件东西都扔上去试
论对不对，用实验来
验证． 一试．试了若干次，就认为可以相信这是普遍规律．
农谚 “瑞 雪 兆 丰
像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作
年”， “霜下东风一日
晴”等，就是农民根据 归纳 （ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ）．
多年的实践经验进行归
纳的结果．
归纳常常从观察开始．一个生物学家会观察鸟的生活，一个晶
体学家会观察晶体的形状，一个数学家会观察数和形．
例１ 观察下列等式：
１＝１２ ，
１＋３＝２２ ，
１＋３＋５＝３２ ，
１＋３＋５＋７＝４２ ，
１＋３＋５＋７＋９＝５２ ，
……
通过对上面几个式子的观察，我们可以推测这样一个结论：“对
任何正整数狀，等式１＋３＋５＋…＋（２狀－１）＝狀２ 成立．”
１１０
书书书６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
例２ 已知数列 ｛犪｝的第１项犪＝２，当狀≥２时，犛＋犪＝
狀 １ 狀 狀
１
（狀２＋５狀＋２）． 试猜想出这个数列的通项公式．
２
分析 数列的通项公式表示的是数列 ｛犪｝的第狀项犪与序号狀
狀 狀
之间的对应关系． 为此，我们先根据已知条件，算出该数列的前几项．
解 当狀＝１时，犪＝２．
１
１
由犛＋犪＝犪＋２犪＝ （２２＋５×２＋２），得犪＝３；
２ ２ １ ２ ２ ２
１
由犛＋犪＝犪＋犪＋２犪＝ （３２＋５×３＋２），得犪＝４；
３ ３ １ ２ ３ ２ ３
１
由犛＋犪＝犪＋犪＋犪＋２犪＝ （４２＋５×４＋２），得犪＝５．
４ ４ １ ２ ３ ４ ２ ４
观察可得，该数列的前４项都等于相应序号加１．
于是，我们可以猜想，这个数列的通项公式为犪＝狀＋１（狀∈犖 ）．
狀 ＋
在例２中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想，
虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但这个猜想可以为我们的研
究提供一种方向．
例３ 探求凸多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系 （欧拉公
式的发现）．
欧拉曾观察一些特殊的多面体，如四面体、五面体、六面体、
欧 拉 （Ｅｕｌｅｒ，
七面体、八面体、九面体等，如图６ １．
１７０７—１７８３）瑞士数学
家、物理学家． 欧拉是
数学史上最多产的数学
家．而且涉猎广，人们
把他称为 “数学界的莎
士比亚”．
图６ １
１１１６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
通过观察图６ １中多面体的面数犉、顶点数犞、棱数犈，我们
得到表６．１．
表６１
运用归纳推理的一
多面体 面数（犉） 顶点数（犞） 棱数（犈） 犞＋犉－犈＝？
般步骤为：首先，通过
四面体 ４ ４ ６ ４＋４－６＝２
观察特例发现某些共性
或一般规律；然后，把 五面体 ５ ５ ８ ５＋５－８＝２
这种共性推广为一般性 六面体 ６ ８ １２ ８＋６－１２＝２
命题 （猜 想）；最 后，
七面体 ７ １０ １５ １０＋７－１５＝２
对所得出的一般性猜想
八面体 ８ ６ １２ ６＋８－１２＝２
进行检验和证明．
九面体 ９ ９ １６ ９＋９－１６＝２
由表中数据可知： 犞＋犉－犈＝２．
从而可以猜想：任意凸多面体的面数犉、顶点数犞、棱数犈满足
犞＋犉－犈＝２．
后来欧拉证明了这个猜想，这就是著名的欧拉公式．
用归纳推理可以帮助我们从具体事例中发现一般规律．但是应
该注意，仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论不一定可
靠，只是一种合情推理，其结论正确与否，还需要经过理论的证明
和实践的检验．
例４ 设犳（狓）＝狓２＋狓＋１１，取狓＝１，２，３，…，９，则
犳（１）＝１３，犳（２）＝１７，犳（３）＝２３，
犳（４）＝３１，犳（５）＝４１，犳（６）＝５３，
犳（７）＝６７，犳（８）＝８３，犳（９）＝１０１．
可以看出，这些值都是质数．
从这些特殊情况似乎可以归纳出：当狓为正整数时，犳（狓）＝
狓２＋狓＋１１的值都是质数．但经过进一步检验却发现这个结论是错
误的．
事实上，当狓＝１０时，犳（１０）＝１０２＋１０＋１１＝１２１，这是个合数．
尽管由归纳推理所得的结论未必是可靠的，还需进一步检验．
但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却
是十分有用的．观察、实验，对有限的资料做归纳整理，提出猜想，
乃是科学研究的最基本的方法之一．
１１２６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
多 知 道 一 点
哥德巴赫猜想
观察
６＝３＋３，
８＝３＋５，
１０＝３＋７＝５＋５，
１２＝５＋７，
１４＝３＋１１＝７＋７，
１６＝３＋１３＝５＋１１，
……
归纳猜想：任何一个大于４的偶数都可以表示成两个奇素数之
和．这就是著名的哥德巴赫猜想，这个猜想至今没有得到证明．
练 习
１．如图６ ２的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，犪所表示的
１
数是 ．
１ ２ １
２．观察下列等式：
１ ３ ３ １
１３＝１２，
１ ４ 犪 ４ １
１３＋２３＝３２， １ ５ １０１０ ５ １
１３＋２３＋３３＝６２，
图６ ２
１３＋２３＋３３＋４３＝１０２，
……
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以引出
什么规律．
１１３６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
习题 １
学 而 时 习 之
１．下列各列数都依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数．
（１）１，５，９，１３，１７，（ ）；
５ １ ３ １３ ３５
（２） ， ， ， ，（ ）， ．
１２ ３ ４ １２ １２
２．应 用归 纳推 理 猜 测 槡１ １１ … １－ ２ ２２ … ２的值 （狀∈犖 ）．
烏烐烑 烏烐烑 ＋
２狀个 狀个
３．如图６ ３，图 （ａ）是棱长为犪的小正方体，图 （ｂ）、图 （ｃ）由这样的小正方
体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二
层，…，第狀层．第狀层的小正方体的个数记为犛，解答下列问题：
狀
图６ ３
（１）按照要求填表．
狀 １ ２ ３ ４ … １０ …
犛 １ ３ ６ … …
狀
（２）犛＝ ．
狀
４．设犳（狀）＝狀２＋狀＋４１（狀∈犖 ），计算犳（１），犳（２），犳（３），…，犳（１０）的值，
＋
同时作出归纳推理，并用狀＝４０验证你的猜想是否正确．
５．定义 “等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常
数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和． 已知数列 ｛犪｝
狀
是等和数列，且犪＝２，公和为５，那么犪 的值为 ． 当狀为偶数时，
１ １８
这个数列的前狀项和犛＝ ；当狀为奇数时，犛＝ ．
狀 狀
１１４６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
温 故 而 知 新
６．推断凸狀边形有多少条对角线．
７．（１）图６ ４的 （ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）为四个平面图．数一数，每个平面图各有多
少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？请将结果填入下表．
图６ ４
顶点数 边数 区域数
（ａ） ４ ６ ３
（ｂ）
（ｃ）
（ｄ）
（２）观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
（３）现已知某个平面图有９９９个顶点，且围成了９９９个区域，试根据以上关系
确定这个图有多少条边．
６１２
合情推理（二）———类比
传说木工用的锯子是鲁班发明的． 有一天鲁班到山上去，手指
突然被一根丝毛草划了一下，划破了一道口子．他想，一根小草怎
这种仿照生物机制
么会这样厉害呢？鲁班仔细一看，发现草叶子的边缘生着许多锋利 的类比，到了近代，便
发展成了一门新兴的学
的小齿．鲁班立即想到，如果照着丝毛草叶子的模样，用铁片打制
科，即仿生学，例如，
潜水艇的设计思想来自
一把带利齿的工具，用它在树上来回拉，不就可以很快地将树割断
鱼类在水中浮沉之生物
吗？回去后他马上打了一把这样的工具，这就是锯子． 机制的类比．
聪明的鲁班在这里所使用的推理方法称为类比 （ａｎａｌｏｇｙ）．类比
１１５６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
是根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在
类比是一种相似，
其他方面也可能有相似之处，如根据带齿的草叶与带齿的铁片结构
即类比的对象在某些部
分或关系上的相似．在 相似，由前者能划破手指，推出后者能割断树木．例如，代数中根
文学艺术与科学研究中
据分式与分数都具有分子、分母这个相同的形式，从而推出分式具
都充满了类比，类比用
得好，在文学作品中可 有分数相似的性质，分式可以像分数一样进行化简和运算，这就是
使文章大为生色，在科
类比．
学研究中可引出新的
发现． 例１ 长方形和长方体，如图６ ５所示．
“问君能有几多愁，
恰似一江春水向东流”
图６ ５
（李煜）用的就是类比．
长方形的每一边恰与另一边平行，而与其余的边垂直；
长方体的每一面恰与另一面平行，而与其余的面垂直．
这两种几何图形间可以建立类比关系．如表６．２所示：
我们在学习立体几
表６２
何时常常可以类比平面
几何，将在平面几何中 长方形 长方体
成立的结论进行推广，
得到许多类似的结论． 每相邻两棱互相垂直
每相邻两边互相垂直
每相邻两面互相垂直
对边互相平行 对棱互相平行
对边长度相等 对棱长度相等
对角线相等 对角线相等
对角线互相平分 对角线互相平分
对角线的平方等于长与宽的平方和 对角线的平方等于长、宽、高的平方和
面积等于长与宽的乘积 体积等于长、宽、高的乘积
犛＝犪犫 犞＝犪犫犮
例２ 著名的欧姆定律就是德国物理学家欧姆在１８２６年把电传
导系统与热传导系统作类比而导出的．电流犐与热量犙相当，电压
犝同温差Δ犜相当，电阻犚与比热容犮的倒数相当．
１１６６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
电传导系统 热传导系统
犐（电流） 犙（热量）
犝 （电压） Δ犜（温差）
１
犚（电阻） （比热容的倒数）
犮
在热传导系统中有关系式：犙＝犿犮Δ犜（犿是质量）．
于是，就可猜想在电传导系统中有关系式：
犝 这就是欧姆定律．
犐＝ ．
犚
例３ 医药试验不宜直接在人体上进行．老鼠、猴子与人在身体
结构上具有类似之处，于是，有理由相信，在这些动物身上的试验
结果类似于在人体上试验的结果．
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比 类比与归纳一样，
其结论正确与否，必须
较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，都是合情推理．
经过严格的证明．
练 习
１．梯形与棱台（四棱台），如图６ ６所示．
图６ ６
梯 形 棱台 （四棱台）
上、下底边平行 上、下底面平行
另外两边不平行
两腰延长后交于一点
中位线平行于上、下底
２．已知狓≥０（犻＝１，２，…，狀），且狓＋狓＋…＋狓＝１． 求证：
犻 １ ２ 狀
１≤槡狓＋槡狓＋…＋槡狓≤槡狀．
１ ２ 狀
（提示：由２槡狓狓≤狓＋狓类比证明）
１ ２ １ ２
１１７６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
习题 ２
学 而 时 习 之
１．平面上的圆与空间中的球的类比．
平面几何中的概念 立体几何中的类似概念
圆 球
圆的切线 球的切面
圆的弦
圆周长
圆面积
圆的性质 球的性质
圆心与弦 （非直径）中点的连线垂直
于弦
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距
离不等的两弦不等；距圆心较近的弦
较长
…… ……
温 故 而 知 新
２．将椭圆与双曲线相应概念、性质作类比，填写下表：
椭圆
狓２＋ 狔２＝１（犪＞犫＞０）
双曲线
狓２－ 狔２＝１（犪＞０，犫＞０）
犪２ 犫２ 犪２ 犫２
对称性 （狓轴、狔轴、原点） 对称性
焦点 （±犮，０），犮＝槡犪２－犫２ 焦点
犮
离心率犲＝ ＜１ 离心率
犪
１１８６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
续表
椭圆
狓２＋ 狔２＝１（犪＞犫＞０）
双曲线
狓２－ 狔２＝１（犪＞０，犫＞０）
犪２ 犫２ 犪２ 犫２
（ ）
长轴２犪＝
２犲狆
其中焦准距狆＝
犫２
实轴
１－犲２ 犮
（ ）
短轴２犫＝
２犲狆
其中焦准距狆＝
犫２
虚轴
槡１－犲２ 犮
椭圆上一点犕（狓，狔）处的切线方程
０ ０ 双曲线上一点犕（狓，狔）处的切线方
０ ０
狓狓 狔狔
为 ０ ＋ ０ ＝１ 程为
犪２ 犫２
３．判断下列推理是否正确．
（１）把犪（犫＋犮）与ｌｏｇ（狓＋狔）类比，则有：
犪
ｌｏｇ（狓＋狔）＝ｌｏｇ狓＋ｌｏｇ狔；
犪 犪 犪
（２）把犪（犫＋犮）与ｓｉｎ（狓＋狔）类比，则有：
ｓｉｎ（狓＋狔）＝ｓｉｎ狓＋ｓｉｎ狔；
（３）把（犪犫）狀 与（犪＋犫）狀 类比，则有：
（犪＋犫）狀＝犪狀＋犫狀．
６１３
演绎推理
演绎推理 （ｄｅｄｕｃｔｉｖｅｉｎｆｅｒｅｎｃｅ）与归纳推理的过程相反，它是
从一般到特殊的推理．
演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论
式推理．
例１ 大前提：马有四条腿；
小前提：白马是马；
结 论：白马有四条腿．
这是三段论式推理常用的一种格式，可以用以下公式来表示：
三段论式推理的根
据，用集合的观点来
犕－犘（犕是犘），
讲，就是：若集合 犕
犛－犕（犛是犕） 的所有元素都具有性质
．
犛－犘（犛是犘）
犘，犛是犕的子集，那
么犛中所有元素都具有
三段论的公式中包含三个判断：
性质犘．
１１９６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的事实或道理；
第二个判断称为小前提，它指出了一个特殊情况；
这两个判断联合起来揭示了一般事实或道理和特殊情况的内在
联系，从而产生了第三个判断———结论．
演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴
含关系，因而，只要大前提、小前提都是真实的，推理的形式是正
确的，那么结论必是真实的．但错误的前提可能导致错误的结论．
例２ 用三段论证明：
数学理论都是用演
直角三角形两锐角之和为９０°．
绎推理组织起来的．每
一个数学理论都是一个 证明 因为任意三角形三内角之和为１８０°， （大前提）
演绎体系．最典型的例
而直角三角形是三角形， （小前提）
子就是欧几里得几何，
它是建立在五组公理之 所以直角三角形三内角之和为１８０°． （结论）
上的演绎体系．
设直角三角形两锐角为α和
β
，则上面结论可表示为
α＋β＋９０°＝１８０°．
因为等量减等量差相等， （大前提）
而 （α＋β＋９０°）－９０°＝１８０°－９０°是等量减等量，
（小前提）
所以α＋β＝９０°成立． （结论）
这里用了两次三段论进行推理，在数学中有时要用很多次的三
段论来证明一个命题，数学命题的证明过程就是一连串三段论的有
序组合．只是为了简洁，往往略去大前提或小前提，甚至有的大前
提、小前提全省略．如
完整式：
一切直角都相等， （大前提）
这两个角是直角， （小前提）
所以，这两个角相等． （结论）
省略式：
因为这两个角是直角， （小前提）
所以这两个角相等． （结论）
或省略式：
１２０６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
两个直角相等． （结论）
例３ 设（犪＋１）狀＝犅犪狀＋犅犪狀－１＋犅犪狀－２＋…＋犅 犪＋犅，
０ １ ２ 狀－１ 狀
求证：犅＋犅＋…＋犅＝２狀．
０ １ 狀
证明 由假设可知
（犪＋１） 狀＝犅犪狀＋犅犪狀－１＋犅犪狀－２＋…＋犅 犪＋犅，
０ １ ２ 狀－１ 狀
（大前提）
取犪＝１． （小前提）
即得
２狀＝犅＋犅＋…＋犅． （结论）
０ １ 狀
练 习
用三段论证明：矩形的两条对角线互相平分．
习题 ３
学 而 时 习 之
把下列各个推理还原成三段论．
１．因为∠犃犅犆和∠犃犆犅是等腰△犃犅犆的两底角，所以∠犃犅犆＝∠犃犆犅．
２．犃，犅，犆三点可以确定一个圆，因为它们不在同一直线上．
３．一圆周角所对的弦是直径，则它是一直角．
温 故 而 知 新
４．用三段论证明：同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么，这两
条直线平行．
１２１６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
６１４
合情推理与演绎推理的关系
海伦 （Ｈｅｒｏｎ，约１ 古希腊亚历山大城有一位久负盛名的学者———海伦，有一天，
世纪），古希腊数学家、
一位远道而来的将军向他请教一个问题：
物理学家、天文学家．
他发现了光学中的反射 从犃地出发到河边饮完马再到犅地去，在河边哪个地方饮马可
定律．
使路途最短？如图６ ７所示．
图６ ７
海伦巧妙地类比光的反射原理给出了下面的解法：
要解决的问题是：如何在犕犖上选出一个点犘，使犃犘＋犅犘
最短．
用合情推理的方法设想答案：从点犃到直线上一点犘，再从点
犘到点犅恰似光线的反射，因为光走最短路线，由此猜想，最短路
线应该像光的反射线．
用合情推理构思证明：如果把犕犖看成镜子，把点犅看作一只
眼睛，从镜子里看点犃的像点犃′，点犃′应该在镜子的背后，并且点
犃′在犅犘的延长线上．
由此先作点犃关于犕犖的对称点犃′，连接犅犃′，交犕犖于点
犘，点犘即为所求．
用演绎法证明如下：
如图６ ８所示，在犕犖上任取一点犘′（异于点犘），则犃犘′＝
犘′犃′，犃犘＝犘犃′，从而
犃犘′＋犘′犅＝犃′犘′＋犘′犅＞犃′犅＝犃′犘＋犘犅＝犃犘＋犘犅．
由此可知：犃到犅经点犘距离最短．
１２２６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
图６ ８
在探索自然规律时，首先要确定一个目标，或者提出一个要解
决的问题；然后通过日常的实践、分析和合情推理，总结出一个预
期的解决方案或猜想；最后还需对此猜想作出严格的证明．证明的
过程中则需要按演绎推理的规则进行，证明完前一步，下一步又该
如何演绎，仍需依靠合情推理提供思路，直至完成全部证明．
Ｇ．波利亚曾指出： “数学的创造过程是与其他知识的创造一样
的，在证明一个定理之前，你先得猜想这个定理的内容，在你完全
作出详细的证明之前，你先得猜想证明的思路．你要先把观察到的
结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地尝试．数学家的
创造性成果是论证推理 （演绎推理），即证明． 但这个证明是通过合
情推理，通过猜想而发现的．”
６２ 直接证明与间接证明
６２１ ：
直接证明 分析法与综合法
“走迷宫”游戏要求人们从入口处走到迷宫的出口处，人们习惯
于 “顺推”，即从 “入口”开始依次在各个岔口来回试探，碰壁后再
调整路线，这样反复试探，最终可以找到 “出口”． 如果倒过来走，
即从 “出口”倒推到 “入口”，有时更容易办到．
在数学证明中，就有这样的两种方法：一种是由已知走向求证，
１２３６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证
综合法的执因推
结论或需求的问题，称为综合法 （ｓｙｎｔｈｅｓｉｓｍｅｔｈｏｄ）；另一种则是反
果，有如从长江源头顺
流而下，一直到达上海 过来，由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需求问题出发，
的长江口．
一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法
（ａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄ）．综合法和分析法是直接证明的两种基本方法．
分析法的执果索
例１ 如图６ ９，在直三棱柱犃犅犆 犃犅犆 中，犃犅⊥犅犆，
因，有如从上海沿长江 １ １ １ １ １
逆流而上去寻找长江的 犃犅＝犆犆，试用综合法和分析法证明：犃犆⊥犃犅．
１ １ １
源头．
图６ ９
证法１ 综合法
连接犃犅． 在直三棱柱犃犅犆 犃犅犆 中，∵犃犅＝犆犆＝犅犅，
１ １ １ １ １ １
∴四边形犃犅犅犃 为正方形． ∴犃犅⊥犃犅．
１ １ １ １
又犃犅⊥犅犆，∴犃犅⊥平面犃犅犆，故犃犅⊥犃犆．
１ １ １ １ １ １ １ １
又犅犅⊥犃犆，∴犃犆⊥平面犃犃犅犅，故犃犆⊥犃犅．
１ １ １ １ １ １ １ １ １
证法２ 分析法
连接犃犅．
１
犃犆⊥犃犅犃犆⊥平面犃犃犅犅
１ １ １ １ １ １
烄犃犆⊥犅犅犅犅⊥平面犃犅犆直棱柱定义
１ １ １ １ １ １ １
烅
烆犃犆⊥犃犅犃犅⊥平面犃犅犆
１ １ １ １ １ １
烄犃犅⊥犅犆 （已知），
１ １
烅
烆犃犅⊥犃犅犃犃犅犅 是正方形犃犅＝犆犆＝犅犅．
１ １ １ １ １ １
由此，命题得证．
从上例可以看出，分析法的特点是：从 “未知”看 “需知”，执
果索因，逐步靠拢 “已知”．其逐步推理实际上是要寻找它的充分条
件．综合法的特点是：从 “已知”看 “可知”，由因导果，逐步推向
１２４６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．
例２ 求证：槡２＋槡７＜槡３＋槡６．
分析 因综合法不太容易想到解决这类问题的途径，所以用分
析法探求证明途径．
证法１ 分析法
槡２＋槡７＜槡３＋槡６
（槡２＋槡７） ２＜（槡３＋槡６）
２
９＋２槡１４＜９＋２槡１８
槡１４＜槡１８
１４＜１８．
最后一个不等式成立，故原不等式成立．
基于上述分析法的证明，我们还可以给出例２的综合法证明．
证法２ 综合法
１４＜１８
槡１４＜槡１８
９＋２槡１４＜９＋２槡１８
（槡２＋槡７） ２＜（槡３＋槡６） ２．
有时也将综合法、
因为槡２＋槡７＞０，槡３＋槡６＞０，所以槡２＋槡７＜槡３＋槡６．
分析法结合起来，就好
在上例中，我们很难想到从 “１４＜１８”入手，用综合法比较困 像有两个人，一个人从
入口走向迷宫的出口，
难．因此先用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证
一个人从迷宫出口走向
明过程，这是解决数学问题的一种常用方法． 入 口， 争 取 在 某 处
相会．
练 习
分别用综合法与分析法证明：
１．两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数．
犫＋犮－犪犮＋犪－犫犪＋犫－犮
２．设犪，犫，犮为不全相等的正数，求证： ＋ ＋ ＞３．
犪 犫 犮
１２５６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
习题 ４
学 而 时 习 之
分别用综合法与分析法证明：
１．如图６ １０，在平行四边形犃犅犆犇中，犅犕＝犕犆，犃犖＝犖犇，
求证：犅犈＝犈犉＝犉犇．
图６ １０
２．如果狓为实数，那么
狓２
≤
１
．
１＋狓４ ２
３．设犪，犫均为正实数，且犪≠犫，求证：犪３＋犫３＞犪２犫＋犪犫２．
温 故 而 知 新
分别用综合法与分析法证明：
４．如图６ １１，在平行四边形犃犅犆犇中，犃犈⊥犅犇于犈，犆犉⊥犅犇于犉，
求证：犃犈犆犉是平行四边形．
图６ １１
５．求证：槡３＋槡７＜２槡５．
１２６６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
６２２
间接证明： 反证法
间接证明不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题
为假，或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的．反证法是间
接证明的一种基本方法．
例１ 如图６ １２所示，直线犾平行于平
面α，
β
是过直线犾的平面，平面α与
β
相交
于直线犿． 求证：直线犾平行于直线犿．
证明 假设命题的结论不成立，即 “直
线犾不平行于直线犿”． 由于直线犾，犿在同 图６ １２
一平面
β
中，且直线犾，犿不平行，则直线犾，犿相交． 设交点为犘，
又点犘在直线犿上，故点犘在平面α上． 所以，直线犾与平面α相
交于点犘． 这与条件 “直线犾平行于平面α”矛盾． 因此，假设不成
立，故原命题成立．
上述证明没有从原命题的已知条件出发去推出结论，而是先假
成语故事 “自相矛
盾”中， “以子之矛攻
设原命题的否定成立，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事
子之盾”，正是采用了
实 （例１是与公理）相矛盾的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论 反证法．
的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立．像这样一种间接
证法，称为反证法 （ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｔｏａｂｓｕｒｄｉｔｙ）．
学习反证法应把握它的一般步骤：
（１）反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立； 这相当于增加了一
个已知条件，无异于雪
（２）归谬：由 “反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾———与已
中送炭！
知条件，已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
（３）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于 “反设”的谬
误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
运用反证法的关键在于导出矛盾．
例２ 求证：槡２是无理数．
用反证法证明如下：
１２７６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
狇
反设 假设槡２是有理数，不妨设槡２＝ （狆，狇为互质的正整数）．
狆
归谬 由反设有槡２狆＝狇狇２＝２狆２ ，故２必是狇的因数，于是可
设狇＝２犿（犿为正整数）２狆２＝４犿２ ，所以狆２＝２犿２ ，故２又是狆的
因数．因此狆，狇有公因数２，这与狆，狇为互质的正整数相矛盾．
结论 假设槡２是有理数不成立，故槡２是无理数．
无理数槡２的发现，
在历史上比负数还要 在应用反证法证题时，必须按 “反设—归谬—结论”的思路进
早，它是伴随着勾股定
行，这就是应用反证法的三部曲，但叙述上可以简略每一步的名称．
理的发现而被发现的，
这要归功于古希腊的毕 例３ 若犪＞０，犫＞０，犪３＋犫３＝２，求证：犪＋犫≤２．
达哥拉斯学派．
证明 假设犪＋犫＞２，则
犪３＋犫３ ＝（犪＋犫）（犪２－犪犫＋犫２）
＝（犪＋犫）［（犪＋犫）２－３犪犫］＞２×（２２－３犪犫）．
∵犪３＋犫３＝２，∴２＞２×（２２－３犪犫）． ∴犪犫＞１．
又犪３＋犫３≥２槡犪３犫３ ，∴犪犫≤１，矛盾，故假设不成立．
多 知 道 一 点
伽利略妙用反证法
１５８９年，意大利２５岁的科学家伽利略 （Ｇａｌｉｌｅｏ），为了推翻古
希腊哲学家亚里士多德的 “不同重量的物体从高空下落的速度与其
重量成正比”的错误论断，他除了拿两个重量不同的铁球登上著名
的比萨斜塔当众做实验来说明外，还运用了反证法加以证明：
假设亚里士多德的论断是正确的．设有物体犃，犅，质量分别
为犿，犿，且犿＞犿，则犃应比犅先落地．现把犃与犅捆在一
犃 犅 犃 犅
起成为物体犃＋犅，则犿＋犿＞犿，故犃＋犅比犃先落地；又因犃
犃 犅 犅
比犅落得快，犃，犅在一起时，犅应减慢犃的下落速度，所以犃＋犅
又应比犃后落地，这样便得到了自相矛盾的结果．这个矛盾之所以
产生，是由亚里士多德的论断所致，因此这个论断是错误的．
１２８６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
练 习
已知直线犪，犫和平面α，若犪α，犫α，且犪∥犫． 求证：犪∥α．
习题 ５
学 而 时 习 之
１．已知犳（狓）＝狓２＋犪狓＋犫，求证： 犳（１）， 犳（２）， 犳（３）中至少有一个不
１
小于 ．
２
２．已知犪，犫，犮，犱为实数，犪＋犫＝１，犮＋犱＝１，且犪犮＋犫犱＞１，求证：犪，犫，犮，
犱中至少有一个是负数．
温 故 而 知 新
３．已知０＜犪＜２，０＜犫＜２，０＜犮＜２，求证：犪（２－犫），犫（２－犮），犮（２－犪）不可
能都大于１．
４．若狆，狇是奇数，则方程狓２＋狆狓＋狇＝０不可能有整数根．
（ ）（ ）
１ １
５．已知狓，狔＞０，且狓＋狔＝１，求证： －１ －１ ≥９．
狓２ 狔２
６３ 数学归纳法
长长的一列士兵走
在路上，将军把一句口
令告诉最前面的士兵，
大概每个人都遇到过 “多米诺现象”：推倒头一块骨牌，它会带倒
这个士兵开始把口令往
第二块，再带倒第三块……直到所有骨牌全部倒下． 我们把骨牌想象 后传．如果每个士兵听
到口令之前都往后传，
为一系列无穷多个编了号的命题犘，犘，犘，…，假定我们能够证明：
１ ２ ３ 这 口 令 自 然 会 传 遍
（奠基）最初的一个命题正确； 全军．
１２９６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
（过渡）由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的正确性．
那么我们便证明了这一列命题的正确性．事实上，我们已会 “推
倒头一块骨牌”，即证明最初的一个命题成立 （所谓 “奠基”），而 “过
渡”则意味着 “每一块骨牌在倒下时都将带倒下一块骨牌”．这样一
来，我们并不需要特别强调应推倒哪一块骨牌，事实上，只要头一块
一旦倒下，那么这一列中的任何一块骨牌都或迟或早必然要倒下．
上述事例启发我们，在证明一个与正整数有关的命题时，可采
用下面两个步骤：
（１）证明狀＝狀（狀∈犖 ）时命题成立；
０ ０ ＋
（２）假设狀＝犽（犽∈犖 ，犽≥狀）时命题成立，证明当狀＝犽＋１时
＋ ０
命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以知道对任何从狀开始的所有正整数
０
数学归纳法是一种 狀命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法 （ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ）．
特殊的证明方法，主要
例１ 用数学归纳法证明：如果 ｛犪｝是一个等差数列，那么
用于研究与正整数有关 狀
的数学问题． 犪＝犪＋（狀－１）犱
狀 １
对一切狀∈犖 都成立．
＋
证明 （１）当狀＝１时，左边＝犪，右边＝犪＋０·犱＝犪，等式成立．
１ １ １
（２）假设当狀＝犽时，等式成立，即犪＝犪＋（犽－１）犱，
犽 １
那么 犪 ＝犪＋犱
犽＋１ 犽
＝［犪＋（犽－１）犱］＋犱
１
＝犪＋［（犽＋１）－１］犱．
１
这表明，当狀＝犽＋１时，等式也成立．
根据 （１）和 （２），可以断定，等式对任何正整数都成立．
上述结论是容易理解的：根据 （１），狀＝１时等式成立；再根据
（２），狀＝１＋１＝２时等式也成立．由于狀＝２时等式成立，再根据
（２），狀＝２＋１＝３时等式也成立．这样递推下去，就知道狀＝４，５，
６，…时等式都成立，即等式对任何狀∈犖 都成立．
＋
例２ 用数学归纳法证明：
１
１＋２＋３＋…＋狀＝ 狀（狀＋１）．
２
１３０６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
证明 （１）当狀＝１时，左边＝１，右边＝１，等式成立．
观察
（２）假设当狀＝犽时，等式成立，即 １＝
１·２
，
２
１＋２＋３＋…＋犽＝ １ 犽（犽＋１）， １＋２＝ ２· ２ ３ ，
２
３·４
１＋２＋３＝ ，
１ ２
那么 １＋２＋３＋…＋犽＋（犽＋１）＝ 犽（犽＋１）＋（犽＋１）
２ ４·５
１＋２＋３＋４＝ ，
２
１ ……
＝ （犽＋１）（犽＋２）
２ 归纳猜想：
１
１ １＋２＋３＋…＋狀＝ ·
＝ （犽＋１）［（犽＋１）＋１］． ２
２
狀（狀＋１）．
这表明，当狀＝犽＋１时，等式也成立．
根据 （１）和 （２），可以断定，等式对任何正整数狀都成立．
例３ 平面内有狀（狀≥２）条直线，其中任何两条不平行，任何三条
１
不共点．证明：这狀条直线交点的个数为犳（狀）＝ 狀（狀－１）．
２
证明 （１）当狀＝２时，直接检验知命题成立．
（２）假设当狀＝犽（犽≥２）时命题成立，现在考虑平面内有犽＋１
条直线的情况．任取其中一条直线，记为犾，由上述归纳法的假设，
１
除犾以外的其他犽条直线的交点个数犳（犽）＝ 犽（犽－１）．另外，因为
２
已知任何两条直线不平行，所以直线犾必与平面内其他犽条直线都相
交，有犽个交点；又因为已知任何三条直线不共点，所以这犽个交点
１
两两不相同，且与平面内其他的 犽（犽－１）个交点也两两不相同，从
２
而平面内交点的个数是
１ １
犽（犽－１）＋犽＝ （犽＋１）［（犽＋１）－１］，
２ ２
１
即 犳（犽＋１）＝ （犽＋１）［（犽＋１）－１］． 例如如果省略第一
２
步，则可以证出所有的
根据 （１）和 （２），可知命题对任何不小于２的正整数都成立． 正整数全相等这一谬
论．假设犽＝犽＋１成立，
从上面例子可看到，用数学归纳法证明命题的这两个步骤，是
两边各加１就会得出
缺一不可的．第一个步骤，通常证明起来很简单，但绝不能省略这 犽＋１＝犽＋２．
由此可得出全体正
一步骤，去掉这一步骤就会导出荒谬的结论．
整数都相等！
１３１６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
使用第一个步骤时，并不一定每次都从狀＝１开始，也可以从某
一个别的正整数开始，但这个正整数必须是要证命题的第一项．第
二个步骤是证明的难点，要经过大量的反复实践才能熟练灵活地掌
握数学归纳法的证明方法．
练 习
用数学归纳法证明：
１．１＋３＋５＋…＋（２狀－１）＝狀２．
犪（１－狇狀）
２．等比数列的前狀项和公式：犛＝ １ （狇≠１）．
狀 １－狇
习题 ６
学 而 时 习 之
用数学归纳法证明：
１．２＋４＋６＋…＋２狀＝狀２＋狀．
狀（狀＋１）（２狀＋１）
２．１２＋２２＋３２＋…＋狀２＝ ．
６
［ ］
１ ２
３．１３＋２３＋３３＋…＋狀３＝ 狀（狀＋１） ．
２
温 故 而 知 新
用数学归纳法证明：
观察
１
犳（３）＝１８０°， ４．１×２＋２×３＋３×４＋…＋狀×（狀＋１）＝ 狀（狀＋１）（狀＋２）．
３
犳（４）＝２×１８０°，
犳（５）＝３×１８０°，
５．凸狀边形的内角和犳（狀）＝（狀－２）×１８０°（狀≥３）．
……
１ １ １
６．设犳（狀）＝１＋ ＋ ＋…＋ ，是否存在犵（狀）使等式犳（１）＋犳（２）＋…＋
归纳猜想： ２ ３ 狀
犳（狀）＝（狀－２）·１８０°．
犳（狀－１）＝犵（狀）犳（狀）－犵（狀）对狀≥２的一切自然数成立？并证明结论．
１３２６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
小结与复习
一、指导思想
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们生活和学习
中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．
证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性
必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用
推理规则得出结论．
在本章中，通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演
绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数
学证明的基本方法，包括直接证明和间接证明的方法；感受逻辑证
明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习
惯；通过本章的学习，开发灵性，掌握方法，深入到数学的精髓．
二、内容提要
１．合情推理与演绎推理．
合情推理是根据已有的事实和正确的结论 （包括实验和实践的
结果）以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、
类比是合情推理常用的思维方法．在解决问题的过程中，合情推理
具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的
培养．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 （包括定义、公
理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养
和提高演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标．合
情推理和演绎推理之间联系紧密，相辅相成．
（１）归纳．
归纳是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式．
１３３６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
归纳有以下几个特点：
１）归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的
结论超越了前提所包容的范围；
２）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的
现象，因而结论具有猜测的性质；
３）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验
或实验的基础上的．
（２）类比．
类比是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似
点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理
模式．
类比有以下几个特点：
１）类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中
的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
２）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
３）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的
功能．
在运用类比推理时，其一般步骤为：首先，找出两类对象之间
可以确切表述的相似性 （或一致性）；然后，用一类对象的性质去
推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个
猜想．
（３）演绎推理．
演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式．
演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段
论式推理．三段论式推理常用的一种格式，可以用以下公式来
表示：
犕－犘（犕是犘），
犛－犕（犛是犕）
．
犛－犘（犛是犘）
三段论式推理的根据，用集合论的观点来讲，就是：若集合
１３４６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
犕的所有元素都具有性质犘，犛是犕的子集，那么犛中所有元素
都具有性质犘．
三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提
供了一个一般的事实或道理；第二个判断叫小前提，它指出了一个
特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般事实或道理和特殊情
况的内在联系，从而产生了第三个判断———结论．
２．直接证明与间接证明．
（１）直接证明：分析法与综合法．
分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，
而综合法则是从原因推导到由原因产生的结果的思维方法．具体地
说，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探
索下去，最后达到题设的已知条件．综合法是从数学题的已知条件
出发，经过逐步推理，最后达到待证结论或需求问题．
（２）间接证明：反证法．
对于反证法，法国数学家阿达玛 （Ｊ．Ｓ．Ｈａｄａｍａｒｄ，１８６５—
１９６３）这样说过：“反证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其
结论，就会导致矛盾．”这是对反证法极好的概括．
反证法证题的一般步骤：
１）反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；
２）归谬：由 “反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾———
与已知条件，已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或
自相矛盾；
３）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于 “反设”的谬
误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
３．数学归纳法．
数学归纳法是一种证明与正整数狀有关的数学命题的重要方
法．用数学归纳法证明命题的步骤是：
（１）证明当狀取第一个值狀 （例如狀＝１或２等）时结论
０ ０
正确；
（２）假设当狀＝犽（犽∈犖 ，犽≥狀）时结论正确，证明当
＋ ０
１３５６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
狀＝犽＋１时结论也正确．
在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从狀开始的
０
所有正整数狀都正确．
三、学习要求和需要注意的问题
１．学习要求．
（１）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的
含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理
在数学发现中的作用．
（２）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的
重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单
推理．
（３）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和
差异．
（４）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方
法———分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
（５）结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方
法———反证法；了解反证法的思考过程、特点．
２．需要注意的问题．
（１）应通过实例，运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，
并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜
想．重点在于通过学习具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追
求对概念的抽象表述．
（２）要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的，
在数学学习中综合运用它们．在探讨某些问题时，可以先从观察入
手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类
比方法进行试探，提出猜想；最后用逻辑推理方法 （例如数学归纳
法）去进行推证，以检验所提出的猜想．
（３）本章中设置的证明内容是对已学过的基本证明方法的总
结，应通过学习实例，认识各种证明方法的特点，体会证明的必要
１３６６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
性．对证明的技巧性不作过高的要求．
（４）要认识到用数学归纳法证明问题时，第一步是递推的基
础，第二步是递推的依据，两者缺一不可．
四、参考例题
例１ 已知数列
１ １ １ １
， ， ，…， ，…，
１×４ ４×７ ７×１０ （３狀－２）（３狀＋１）
计算犛，犛，犛，犛．根据计算结果，对犛的表达式有什么猜想？
１ ２ ３ ４ 狀
用数学归纳法证明猜想．
１ １
解 犛＝ ＝ ，
１ １×４ ４
１ １ ７＋１ ２
犛＝ ＋ ＝ ＝ ，
２ １×４ ４×７ ２８ ７
２ １ ２０＋１ ３
犛＝ ＋ ＝ ＝ ，
３ ７ ７×１０ ７０ １０
３ １ ３９＋１ ４
犛＝ ＋ ＝ ＝ ．
４ １０ １０×１３ １３０ １３
我们看到，在表示上面四个结果的分数中，分子可用项数狀表
示，分母可用３狀＋１表示，于是可猜想犛为
狀
１ １ １ １ 狀
＋ ＋ ＋…＋ ＝ ．
１×４ ４×７ ７×１０ （３狀－２）（３狀＋１） ３狀＋１
下面用数学归纳法来试探证明一下这个猜想．
（１）当狀＝１时，
１ １ １ １
左边＝ ＝ ，右边＝ ＝ ，所以等式成立．
１×４ ４ ３×１＋１ ４
（２）假设当狀＝犽时等式成立，即
１ １ １ １ 犽
＋ ＋ ＋…＋ ＝ ，
１×４ ４×７ ７×１０ （３犽－２）（３犽＋１） ３犽＋１
那么，当狀＝犽＋１时，
１ １ １ １
＋ ＋ ＋…＋ ＋
１×４ ４×７ ７×１０ （３犽－２）（３犽＋１）
１
［３（犽＋１）－２］［３（犽＋１）＋１］
１３７６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
犽 １
＝ ＋
３犽＋１ （３犽＋１）（３犽＋４）
３犽２＋４犽＋１
＝
（３犽＋１）（３犽＋４）
（３犽＋１）（犽＋１）
＝
（３犽＋１）（３犽＋４）
犽＋１
＝ ．
３（犽＋１）＋１
所以，当狀＝犽＋１时，等式也成立．
根据（１）和（２），可知等式对任何狀∈犖 都成立，即所得出的
＋
猜想得到证实．
例２ 费马大定理．
我国早在商周时代 （约公元前１１００年）就已经知道了不定
方程
狓２＋狔２＝狕２
至少有一组正整数解：狓＝３，狔＝４，狕＝５．
法国数学家费马 （Ｆｅｒｍａｔ，１６０１—１６６５）在阅读古希腊数学家
丢番图的 《算术》一书的第Ⅱ卷第８命题 “将一个平方数分为两个
平方数的和”时，他想到了更一般的问题，费马在页边空白处写下
了如下的一段话：
“将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次方数分
为两个四次方数的和，或者一般地将一个狀次方数分为两
个同次方数的和，这是不可能的．关于此，我确信已找到
了一个真正奇妙的证明，可惜这儿的空白太小，写不下．”
这段叙述用现代数学语言来说，就是
“当整数狀＞２时，方程
狓狀＋狔狀＝狕狀
没有正整数解”．
这就是著名的费马大定理．这个结论费马认为可以证明，但并
没有给出证明过程．这个困惑了世间智者３５０多年的猜想，终于在
１９９５年获证．
１３８６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
复 习 题 六
学 而 时 习 之
１．观察下面的几个算式，找出规律：
１＋２＋１＝４
１＋２＋３＋２＋１＝９
１＋２＋３＋４＋３＋２＋１＝１６
１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１＝２５
……
利用上面的规律，请你迅速算出：
１＋２＋３＋…＋９９＋１００＋９９＋…＋３＋２＋１＝ ．
２．如图６ １３所示，由火柴杆拼成的一列图形中，第狀个图形由狀个正方形组成：
图６ １３
通过观察可以发现：第４个图形中，火柴杆有 根；第狀个图形中，火柴杆
有 根．
３．观察下列各正方形图案，每条边上有狀（狀≥２）个圆点，第狀个图案中圆点的
总数是犛．
狀
· · · ·
· · ·
· · · ·
· ·
· · · ·
· · ·
· · · ·
狀＝２犛＝４ 狀＝３犛＝８ 狀＝４犛＝１２ ……
２ ３ ４
图６ １４
按此规律推断出犛与狀的关系式为 ．
狀
４．用三段论证明：
在梯形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，犃犅＝犇犆．求证：∠犅＝∠犆．
５．用综合法证明：
１３９６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
若犪，犫，犮为不全相等的三个正实数，则
（犪＋犫）（犫＋犮）（犮＋犪）＞８犪犫犮．
６．分别用分析法、综合法和反证法证明：槡３＋槡７＜２＋槡６．
７．用反证法证明：
若犪≥犫＞０，狀为正整数，且狀≥２，则狀槡犪≥狀槡犫．
８．用数学归纳法证明 （狀∈犖）：
（１）１×４＋２×７＋３×１０＋…＋狀（３狀＋１）＝狀（狀＋１）２；
（２）（犪＋犪＋…＋犪）２＝犪２＋犪２＋…＋犪２＋２（犪犪＋…＋犪犪＋犪犪＋…＋犪 犪）；
１ ２ 狀 １ ２ 狀 １ ２ １狀 ２ ３ 狀－１狀
（３）
１２
＋
２２
＋…＋
狀２
＝
狀（狀＋１）
；
１×３ ３×５ （２狀－１）×（２狀＋１） ２（２狀＋１）
（４）（狀＋１）（狀＋２）·…·（狀＋狀）＝２狀×１×３×…×（２狀－１）．
温 故 而 知 新
９．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐１，２，３，４号位上 （如图
６ １５），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样
交替进行下去，那么第２０１５次互换座位后，小兔坐在第 号座位上．
１鼠 ２猴 １兔 ２猫 １猫 ２兔 １猴 ２鼠
３兔 ４猫 ３鼠 ４猴 ３猴 ４鼠 ３猫 ４兔
开始 第一次 第二次 第三次
图６ １５
１０．用反证法证明：
若犪，犫为正数，且犪≠犫，则犪３＋犫３＞犪２犫＋犪犫２．
１１．圆内两条非直径的弦相交，试证它们不能互相平分．
１２．设（狓＋狔）狀＝Ｃ０狓狀＋Ｃ１狓狀－１狔＋Ｃ２狓狀－２狔２＋…＋Ｃ狀－１狓狔狀－１＋Ｃ狀狔狀，用三段论
狀 狀 狀 狀 狀
证明：
（１）Ｃ０－Ｃ１＋Ｃ２－Ｃ３＋…＋（－１）狀Ｃ狀＝０；
狀 狀 狀 狀 狀
（２）Ｃ０（１－狓）狀＋Ｃ１狓（１－狓）狀－１＋Ｃ２狓２（１－狓）狀－２＋…＋Ｃ狀狓狀＝１．
狀 狀 狀 狀
１３．用三段论证明：
狓－犪
若犪是不等于１的实数，则函数狔＝ 的图象关于直线狔＝狓对称．
犪狓－１
１４０６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
１４．已知数列
１ １ １ １
， ， ，…， ，…，
１×２ ２×３ ３×４ 狀（狀＋１）
犛 为其前狀项和，计算犛，犛，犛，由此推测计算犛的公式，并用数学归纳
狀 １ ２ ３ 狀
法给出证明．
１５．已知数列
８×１ ８×２ ８狀
， ，…， ，…，
１２×３２ ３２×５２ （２狀－１）２（２狀＋１）２
犛为其前狀项和，计算得
狀
８ ２４ ４８ ８０
犛＝ ，犛＝ ，犛＝ ，犛＝ ．
１ ９ ２ ２５ ３ ４９ ４ ８１
观察上述结果，猜测计算犛的公式，并用数学归纳法加以证明．
狀
１６．在平面上有狀条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，
问这些直线把平面分成多少部分？
１７．将直角三角形与直四面体进行类比，把勾股定理推广到三维空间．
上 下 而 求 索
１８．已知正三角形内任一点犘到三条边的距离之和等于三角形的高．我们可以猜
测正四面体内任一点犙到四个面的距离之和等于多少呢？并给出证明．
１９．是否存在常数犪，犫，犮使得等式
狀（狀＋１）
１×２２＋２×３２＋…＋狀（狀＋１）２＝ （犪狀２＋犫狀＋犮）
１２
对一切狀∈犖 都成立？并证明你的结论．
１ ３ １ １ ５ １ １ １ ７
２０．观察下列式子：１＋ ＜ ，１＋ ＋ ＜ ，１＋ ＋ ＋ ＜ ，…，由
２２ ２ ２２ ３２ ３ ２２ ３２ ４２ ４
此猜想出一个一般性结论，并加以证明．
２１．（角谷猜想，也称３狀＋１问题）
任取一个大于２的自然数，反复进行下述两种运算：
（１）若是奇数，就将该数乘以３再加上１；
（２）若是偶数，则将该数除以２．
例如，对３反复进行这样的运算，有
３→１０→５→１６→８→４→２→１；
对４，５，６反复进行上述运算，其最终结果也都是１；再对７进行这样的运
１４１６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
算，有
７→２２→１１→３４→１７→５２→２６→１３→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１．
运用归纳推理建立猜想 （通常称为 “角谷猜想”）：从任意一个大于２的自然
数出发，反复进行 （１）、（２）两种运算，最后必定得到１．这个猜想后来被人
们多次检验，发现对７０００亿以下的数都是正确的，究竟是否对大于２的一切
自然数都正确，至今还不得而知．
１４２６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
阅读与思考
用计算机证明几何定理
用机器证明数学定理，是历史上一些杰出的数学家与哲学家梦
寐以求的事．
数学问题大体上有两类：一类是求解，一类是求证．我们熟悉
的求解问题很多：解方程，解应用题，几何作图，求最大公约数与
最小公倍数．我们熟悉的求证问题，大多是初等几何证明题，还有
证明恒等式，证明不等式．
中国古代数学研究的中心问题是求解．把问题分为若干类，分
别给出解题的方法．这方法是一系列确定的步骤，谁都可以学会．
会一个方法，便能解一类问题．《九章算术》就是这么做的．
用一个固定的程序解决一类问题，这就是数学机械化的基本思
想．追求数学的机械化方法，是中国古代数学的优秀传统之一．
在西方，以希腊几何学研究为代表的古代数学，所研究的中心
问题不是求解而是求证，是从公理出发用演绎推理方式证明一个一
个的定理，而证明定理的方法，则是一题一证，各具巧思，无一确
定的法则可循．证明的成功有赖于技巧与灵感．
能不能找到一种方法，像解方程那样，按固定法则证明一批一
批的几何定理呢？
１７世纪法国的唯理论哲学家、发明了解析几何的数学家笛卡儿，
曾有过一个大胆的设想：
“一切问题化为数学问题．一切数学问题化为代数问题．一切代
数问题化为代数方程求解问题．”
笛卡儿想得太简单了：如果实现了他的设想，一切科学问题都
可以机械地解决了，因为代数方程求解是有机械法则的．
１４３６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
但是笛卡儿总算用坐标方法———解析几何的方法，把初等几何
问题化成了代数问题．
比笛卡儿稍晚一些的德国唯理论哲学家、与牛顿同时创立微积
分的数学家莱布尼茨，曾有过 “推理机器”的设想，希望用一台机
器代替人的推理活动．当人们争论得面红耳赤相持不下的时候，不
妨心平气和地坐下来，让机器演算一遍以确定是非曲直．莱布尼茨
还真的设计过计算机，他的努力促进了数理逻辑的研究．
２０世纪的数学大师希尔伯特，在他的名著 《几何基础》一书中，
也曾提出过一小类几何命题的机械判定方法．
第二次世界大战以后，电子计算机的出现大大促进了定理机器
证明的研究．经过许多出色数学家的辛勤耕耘，这个领域有了蓬勃
发展．各国数学家先后提出过几种用机器证明初等几何定理的方法
———这是数学家们长期以来就想实行机械化的领域，但是都不能在
计算机上真的用来证明非平凡的几何定理．一直到杰出的中国数学
家吴文俊教授在１９７７年发表他的初等几何机器证明新方法之后，在
电子计算机上证明初等几何定理才成为现实．一个古老的梦想开始
实现了．用吴方法已在计算机上证明了６００多条不平凡的几何定理，
其中包括一些新发现的定理．
吴方法的基本思想是：先把几何问题化为代数问题，再把代数
问题化为代数恒等式的检验问题．代数恒等式的检验是机械的，问
题的转化过程也是机械的，整个问题也就机械化了．
下面是吴方法 （代数法）的一个简单例子．
求证：平行四边形的两条对角线互相平分．
分析：第一步 几何问题代数化．
画图 （如图６ １６），并建立直角坐标
系，设犃（０，０），犅（狆，０），犆（狌，狏），犇（狓，狔），
犙（狕，狑），用代数等式表示出题设条件有以
下四式：
（１）犇犆∥犃犅，狔－狏＝０；
图６ １６
（２）犃犇∥犅犆，狏狓－（狌－狆）狔＝０；
１４４６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
（３）点犙在犃犆上，狏狕－狌狑＝０；
（４）点犙在犅犇上，（狓－狆）狑－（狕－狆）狔＝０．
表示出命题结论有以下两式：
（５）犃犙＝犙犆，２狕－狌＝０或２狑－狏＝０；
（６）犅犙＝犙犇，狓＋狆－２狕＝０或２狑－狔＝０．
第二步 整序．
原来表示假设条件的方程组化为较简单的升列．
（１）狔－狏＝０；
（２）狏狓－（狌－狆）狔＝０；
（３）２狆狑－狆狏＝０；
（４）狏狕－狌狑＝０．
第三步 伪除法求余．
若要证明犃犙＝犙犆，即２狕－狌＝０成立，把第二步中变元 “降
次”后代入验证即得证．
吴方法的成功吸引人们向更高的目标攀登，怎样用计算机产生人
能看得懂，并能检验的证明？
我国科学家提出了用面积消点的方法，对这类问题做了更简明、
更易于理解的机械化处理，即可读式证明．
下面只陈述简单的大意：
几何图形一般是由点、线、角、圆等基本元素构成，而两点决
定一线，两线决定一角，三点决定一圆，……所以这些基本的元素
最后都可以还原为点的表达．
一个几何命题的已知条件，是通过一步一步画图的次序描写出
来的，第一步给出的是若干个自由的点 （包括线、角、圆等），接着
在这些自由点的基础上，给出与自由点有依存关系的新点，每出现
一个新点，都算一个新的步骤，已知条件就是一个个新点的诞生过
程的步骤．
同样，一个几何命题的结论条件，也由一系列点的关系所表述，
这些关系式经过整理以后，可以把所有有关点的信息放在表达式的
左端，而右端只剩一个常数项．
１４５６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
消点证明的思路就是把结论条件中出现的许多点，先选一个在
已知条件中最后出现的点消去，在消去的同时显示所根据的理由．
这样，结论条件中就不再出现这个点，已知条件中也可以把最后一
个步骤删去，继续如此做下去，最后结论条件的左端也只剩下纯粹
的常量值．不证自明了．
难点在于，怎么消去一个点，并提供一个消点的充足理由． 这
需要建立一个定理的信息库，并且还需要建立一个有力度的搜索法，
以便搜索到当前待消除点的相关的已知定理，用此定理既可以消去
点，又同时提供了推理的理由．这跟我们平时做题具有相同的演绎
过程．
但是定理的信息库规模太大了，就好像你平时把定理都已经背
下来，无须证明就能判断命题是否成立，失去了推理的意义；如果
定理的信息库规模太小了，一切都要从公理开始推导，既烦琐又重
复，也不符合逻辑的推导意义．
为什么叫面积消点法？就是要找出一条深贯平面几何内涵的线
索，使得这条线索离源头的公理较近，离众多其他命题又不太远，
这样就可以最大限度地压缩定理的信息库，而包容了消点的威力．
面积定理就是这样一条能够贯穿整个知识内容的主线索，找到了这
条线索，也就由此诞生了可读性的机器证明．
１４６６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
数学文化
公理化思想对人类文化的影响
公理化思想产生阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得
《几何原本》的问世．
公元前３世纪，哲学家和逻辑学家亚里士多德从理论上全面阐
述了公理与演绎思想，总结了前人所发现和创立的逻辑知识，以完
全三段论为出发点，用演绎的方法推导出其余１９个不同格式的所
有三段论，从而创立了人类历史上第一个公理化方法．
１．欧几里得的 《几何原本》．
数学家欧几里得将逻辑公理演绎方法应用于几何学，于公元前
３００年完成了数学史上的划时代著作 《几何原本》．《几何原本》是
有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且成为
以后２０００多年严格证明的典范．书中开篇便给出５条公理：
（１）等于同一个量的量彼此相等；
（２）等量加等量其和相等；
（３）等量减等量其差相等；
（４）互相重合的量彼此相等；
（５）全体大于部分．
同时给出关于几何的５条公设：
（１）从每个点到每个别的点可以引直线；
（２）有限的直线可以沿直线连续地延长；
（３）以任一点为中心可以用任意半径画圆；
（４）所有直角都相等；
（５）如果一条直线与另外两条直线相交，在一侧构成两个同侧
内角之和小于两直角，那么这两条直线无限延长时，就在同侧内角
１４７６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
和小于两直角的那一侧相交．
在 《几何原本》中欧几里得还给出了１１９个定义，书中共有
４６５个命题皆由定义、公理与公设出发，用正确的逻辑推理逐一证
明出来 （前面已证得的结论后面可以当已知来用）．他的这种数学
系统开创了公理系统的先河，这种公理化的数学有不少优点，论证
有根有源，使思维经济有效，便于本学科知识的系统化和逻辑上的
严格化，便于该学科的传播等等．
公理化方法就是选择尽可能少的原始概念和一组公理作为出发
点，采用逻辑推理的法则，将一门科学建立成演绎系统的一种方
法．现代公理系统不仅要求有上述原始概念和原始命题，而且要求
这些原始命题具有独立性、相容性、完备性．
２．牛顿力学体系的公理化展开方式．
牛顿力学体系是一个公理化的演绎系统，这在牛顿的 《自然哲
学的数学原理》（以下简称 《原理》）一书中有清晰的表述．《原理》
是一部划时代的科学巨著，是按照公理化方法写成的一本力学
著作．
《原理》在一开始的 “说明”与 “附说”中，阐明了关于 “物
质”、“运动”、“外力”、“向心力”、“绝对空间”、“绝对时间”的概
念与定义，直接提出了力学三定律 （牛顿三定律）作为公理，在三
定律之后，推出了６条运动基本定理，在６条运动基本定理之后，
分卷讨论 “物体运动”及 “宇宙系统”．《原理》的公理化展开模式
简述如下：
基本概念：
在第一卷之前先给出了８个定义，它们是：物质的量，运动的
量，物体固有的力，外力，向心力，向心力的绝对度量，向心力的
加速度，向心力的运动度量．
公理 （３条）：
（１）牛顿第一定律：每个物体都保持其静止或匀速直线运动的
状态，除非有外力作用于它迫使其改变那个状态．
（２）牛顿第二定律：运动的变化正比于外力，变化的方向沿外
１４８６
推理与证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第 章
力作用的直线方向．
（３）牛顿第三定律：每一种作用都有一个相等的反作用，或者
两个物体间的相互作用总是相等的而且方向相反．
运动基本定理 （６条）：
（１）力的平行四边形法则：二力共同作用于一物体时，此物体
沿二力组成的平行四边形的对角线运动；运动所需的时间与它分别
受到这两个力作用时沿平行四边形两边运动的时间相同．
（２）力的三角形法则：如图６ １７，沿
犃犇的力可由沿犃犅的力与沿犅犇的力合
成；同样，沿犃犇的力也可分解为两个任
意的沿犃犅的力与沿犅犇的力．
图６ １７
（３）运动 （动量）守恒，即在物体互相碰撞时，各方向运动
（动量）的总和不变．
（４）两物体或多物体体系的公共重心，在无外力作用时，保持
静止或匀速直线运动，而不以体系内的物体的作用而改变其状态．
（５）当某空间静止或匀速直线运动时，该空间内所有物体的运
动不受影响．
（６）不管物体之间以任何方式运动，如果有相等的加速力以平
行的方向对之发生作用，则物体之间仍继续以相同的方式运动着，
就像没有受到这个力的作用一样．
这６条运动的基本定理是建立在公理基础之上的，即是通过力
学三定律严格证明的．《原理》在推演出运动的６条基本定理之后，
就进一步讨论 “物体之运动”以及 “宇宙系统”．在讨论中，牛顿
仍然采用相同的研究方法，即所有的定理都是从三定律以及被三定
律证明了的６条运动基本定理推演出来的．
综上所述，牛顿是通过综合的方法总结出一组公理，再由公理
推演得到一系列定理．这些定理散见于各卷中，其中，第一卷总共
６章，定理３０个；第二卷总共９章，定理３８个；第三卷总共４章，
定理２０个．
３．《独立宣言》的公理化展开方式．
１４９６
第 章 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．推理与证明
《独立宣言》是英属北美殖民地人民宣布独立的纲领性文件．
《独立宣言》是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的，
它试图借助公理化说明宣言的观点的正确性，使民众深信不疑，
《独立宣言》首先提出了下面不言而喻的事实．
人人生而平等，上帝赋予他们诸如生存、自由和追求幸福等不
可让与的权利．
在这个基础上，可以得到下面的结论：
（１）为了保障这些权利，人民才组织成立政府，政府由人民同
意后，取得正当的权力；
（２）任何政府一旦损害这些权利，人们就有权改换它或废除
它，建立新政府；
（３）新政府所根据的原则及其组织权力的方式，务必使人民认
为，唯有这样才最有可能保障他们的安全与幸福．
然后，列举若干具体的不平等事例，例如，司法部门包庇武装
部门，使犯有死罪的军人逍遥法外；切断北美与世界各地的贸易，
未得到北美人民的同意就强制征税；任意逮捕和审判北美人民；等
等．这些在立法、司法、行政、军事、贸易等方面对北美殖民地人
民的迫害，是严重侵犯北美人民人权的罪行，从而违背了四项真
理．因而人民就有权更换和废除它，成立一个自由的和独立的
国家．
最后，郑重宣布独立，并宣誓支持该项宣言 （《独立宣言》全
文可上网搜索）．
１５０附 录 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
附 录
数学词汇中英文对照表
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（按词汇所在页码的先后排序）
中文名 英 文 名 页 码
导数 ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ １２
导函数 ｄｅｒｉｖｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ １２
复合函数 ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎ ２５
极大值 ｍａｘｉｍｕｎｖａｌｕｅ ３７
极小值 ｍｉｎｉｍｕｎｖａｌｕｅ ３７
极值 ｅｘｔｒｅｍｅｖａｌｕｅ ３７
驻点 ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｐｏｉｎｔ ３８
定积分 ｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ ６４
复数 ｃｏｍｐｌｅｘｎｕｍｂｅｒ ８４
实部 ｒｅａｌｐａｒｔ ８４
虚部 ｉｍａｇｉｎａｒｙｐａｒｔ ８４
虚数 ｉｍａｇｉｎａｒｙｎｕｍｂｅｒ ８５
纯虚数 ｐｕｒｅｉｍａｇｉｎａｒｙｎｕｍｂｅｒ ８５
代数基本定理 ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＴｈｅｏｒｅｍｉｎＡｌｇｅｂｒａ ９０
复平面 ｃｏｍｐｌｅｘｐｌａｎｅ ９３
实轴 ｒｅａｌａｘｉｓ ９３
虚轴 ｉｍａｇｉｎａｒｙａｘｉｓ ９３
模 ｍｏｄｕｌｅ ９４
共轭复数 ｃｏｎｊｕｇａｔｅｃｏｍｐｌｅｘｎｕｍｂｅｒ ９４
合情推理 ｐｌａｕｓｉｂｌｅｒｅａｓｏｎｉｎｇ １１０
归纳 ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ １１０
类比 ａｎａｌｏｇｙ １１５
１５１．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．附 录
演绎推理 ｄｅｄｕｃｔｉｖｅｉｎｆｅｒｅｎｃｅ １１９
综合法 ｓｙｎｔｈｅｓｉｓｍｅｔｈｏｄ １２４
分析法 ａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄ １２４
反证法 ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｔｏａｂｓｕｒｄｉｔｙ １２７
数学归纳法 ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ １３０
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