文档内容
河南省实验中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知随机变量X的方差D(X)=m，设Y =3X+2，则D(Y)=（ ）
A．9m B．3m C．m D．3m+2
2．(a−2b) 6展开式的第3项的系数是（ ）
A．20 B．30 C．−160 D．60
3．有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，
则P(X<2)=（ ）
7 8 14
A． B． C． D．1
15 15 15
4．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成
立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]
5．端午节这一天，馨馨的妈妈煮了9个粽子，其中4个白味、3个腊肉、2个豆沙，馨馨
随机选取两个粽子，事件A=“取到的两个馅不同”，事件B=“取到的两个馅分别是白味
和豆沙”，则P(B|A)=（ ）
1 4 5 4
A． B． C． D．
3 13 9 5
6．已知0 B． <1 C．alnabb
lna lnb lnb
7．第19届亚运会在杭州举行．杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主
要由主体育场、游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成．现从甲、乙等7名服务者中随机
选取4人分别到这四个区域负责服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游
泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有（ ）
A．360种 B．480种 C．620种 D．720种
8．已知函数 f (x)=xeax+a(1−e)x−(e−1)lnx−1恰有2个零点，则实数a的取值范围
试卷第1页，共3页为（ ）
( 1 ) ( 1 1 )
A． −1,− ∪[e,+∞) B． − ,− ∪[e,+∞)
e2 e e2
( 1 ) ( 1 1 )
C． −1,− ∪[0,+∞) D． − ,− ∪[0,+∞)
e2 e e2
二、多选题
9．已知(2x−1)(x−1) 8=a +a x1+a x2+a x3+…+a x9，则下列结论正确的是（ ）
0 1 2 3 9
A．a =−1 B．a +a +⋅⋅⋅+a =1
0 1 2 9
a a a
C． 1+ 2+⋅⋅⋅+ 9=0 D．a +2a +⋅⋅⋅+9a =0
2 22 29 1 2 9
1 1 1
10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)= ，P(B)= ，P(A+B)= ，则
3 4 2
（ ）
2
A．事件A，B相互独立 B．P(A|B)=
3
1
C．P(B|A)= D．P(AB)0时，f (x)在(0,+∞)上是增函数
1
C．若f (x)在(0,+∞)上为减函数，则
a≤−e
−
2
( 2 1)
D．当a<0时，若函数F(x)=f (x)+ax有且只有一个零点，则a∈ − ,−
5 3
三、填空题
试卷第2页，共3页( 1)( a) 5
12．已知 x+ 2x+ 的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是 .
x x
13．下列说法中正确的是 ．
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性回归方程^y=3−5x，变量x增加1个单位时，^y平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相
关程度越强；
④在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越大，判断两个变量间有关联的把握
就越大．
14．若f (x)=xlnx+x2−mx+e2−x≥0，则实数m最大值为 .
四、解答题
15．已知函数f (x)=aex−x+2,a∈R．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若f (x)≥ex恒成立，求a的取值范围．
16．从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末成绩的样
本观测数据部分整理如下：
语文成绩
数学成绩 合计
不优秀 优秀
不优秀 200 50 250
优秀 60 90 150
合计 260 140 400
(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)假设用样本估计总体，用频率估计概率，现从全校数学成绩优秀的人中任取3人，记这
3人中语文成绩优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．
n(ad−bc) 2
参考公式：χ2= ，n=a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
试卷第3页，共3页α 0.1 0.05 0.01 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
α
17．现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿
球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一
次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入
球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块
月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率
(1)求第二次抽到红的概率
(2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率
(3)小明获得4块月饼的概率
18．某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，
工人人数x(单位:百人)对年产能y(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作
了初步处理，得到散点图和统计量表.
1 n n 1 1 n2 n 1 1 n
x y ln y ∑(x −∑x) 2 ( − ∑) (x −x)(∑y −( y)− )(l∑n y(−xl−nxy))(ln y −ln y)
x i x x i i x x i i i
i=1 i=1 i i=1 i=1 i i=1
5.825 3.612 −0.154 1.077 328 27.87 150.80 −55.74 126.56
b
（1）根据散点图判断:y=a+blnx与
y=ex
+a哪一个适宜作为年产能y关于投入的人力x的
回归方程类型？并说明理由？
（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立y关于x的回归方程；
（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下
一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？
附注：对于一组数据(s ,t )，(s ,t )，…，(s ,t )，其回归直线t=bs+a的斜率和截距的
1 1 2 2 n n
试卷第4页，共3页n
∑(s −s)(t −t)
i i
最小二乘估计分别为b^= i=1
n
,a^=t−b^s，(说明:f(x)=e b
x
+a的导函数为
∑(s −s) 2
i
i=1
b
+a
−b⋅ex
f′ (x)= )
x2
19．已知函数f (x)=lnx−x2+x．
(1)求曲线y=f (x)在点(e,f (e))处的切线方程；
(2)若f (x)<0在区间(0,a)上恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若方程f (x)=(m−1)x2+x(m∈R)有两个不同的实数解x ,x (x e+1．
1 2 x x
2 1
试卷第5页，共3页《河南省实验中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A B A C D ABD AC
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】根据方差的性质，直接计算即可.
【详解】∵D(X)=m，∴D(Y)=D(3X+2)=32D(X) =9D(X) =9m；
故选：A．
2．D
【分析】根据二项式展开式直接求解即可
【详解】因为(a−2b) 6展开式的第3项为T =T =C2a4(−2b) 2=4C2a4b2，
3 2+1 6 6
所以(a−2b) 6展开式的第3项的系数是4C2=4×15=60，
6
故选：D
3．C
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及超几何分布求解
即得.
【详解】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布，
C2
7
C1×C1
7
C2
1
则P(X=0)= 7 = ，P(X=1)= 7 3 = ，P(X=2)= 3 = ，
C2 15 C2 15 C2 15
10 10 10
7 7 14
所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)= + =
.
15 15 15
故选：C.
4．A
f (x)
【分析】首先根据ef（x）＞ex，构造函数F(x)= ，对其求导判断单调性即可。
ex
f (x) f'(x)ex−exf (x) f'(x)−f (x)
【详解】由题意得：令F(x)= ⇒F'(x)= =
ex (ex) 2 ex
因为f'（x）＞f（x），所以F'(x)>0，即F(x)在R上为增函数，因为ef（x）＞ex
答案第1页，共2页f(x) 1
即 > ⇒F(x)>F(1),所以x>1
ex e
故选:A
【点睛】本题主要考查了利用构造函数判断函数单调性的问题，解决此类问题的关键是构
造出新的函数，属于中等题。公众号：高中试卷君
5．B
【分析】根据条件概率的意义，先求出事件A的所有可能，再求出事件B的所有可能，相
除即可.
【详解】根据题意，A事件的所有可能有：C1 ⋅C1+C1 ⋅C1+C1 ⋅C1=26种；
4 3 4 2 3 2
同时，B事件的所有可能有：C1 ⋅C1=8种.
4 2
8 4
故P(B|A)= = .
26 13
故选：B.
【点睛】本题考查条件概率，一般地，条件概率的计算，可以通过公式计算两次概率；也
可以通过本题方式，在A事件的样本空间中计算B事件发生的概率.
6．A
【解析】根据选项特点分别构造函数，并利用导数研究函数的单调性，即可得答案；
x lnx−1
【详解】对A，令f(x)= ，f' (x)= ，当f' (x)<0⇒0f(b)，即 > ，故A正确；
lna lnb
lna
对B，∵ 01，故B错误；
lnb
1 1
对C，令f(x)=xlnx ⇒f' (x)=lnx+1，当0 时，f' (x)>0，
e e
1 1 1
∴ f(x)在(0, )单调递减，在( ,+∞)单调递增，显然当b= 时，alna>blnb，故C错
e e e
误；
1
对D，aa>bb⇔alna>blnb，由C选项的分析，当a= 时，alna0 ⇒x>ln(e−1)⇒ℎ(x)在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增；
令 ℎ ′(x)<0⇒x0，则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又
x
x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各
有1个交点，符合题意.
当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共
有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切.
1
如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为(x ,y )，因为 (lnx) '= ，y =lnx ，则
3 3 x 3 3
相应切线方程为
1 1 1
y= (x−x )+lnx = x+lnx −1=−ax ⇒¿ a=− ；
x 3 3 x 3 3 e
3 3
如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为(x ,y )，则相应切线方程为
4 4
lnx −1=1，
1 1 4 1
y= x (x−x 4 )+lnx 4 = x x+ lnx 4 −1=1−ax⇒{ 1 =−a ⇒a=− e2 ， 则
4 4 x
4
( 1 1 ) ( 1 1 )
a∈ − ,− .综上 a∈ − ,− ∪[0,+∞).
e e2 e e2
故选：D.
9．ABD
【分析】用赋值法对ABCD四个选项分别判断：
对于A：令x=0，即可求解；
对于B：令x=1，即可求解；
1
对于C：令x= ，即可求解；
2
答案第4页，共2页对于D：先对(2x−1)(x−1) 8=a +a x1+a x2+a x3+…+a x9两边求导，再令x=1，
0 1 2 3 9
即可求解.
【详解】对于(2x−1)(x−1) 8=a +a x1+a x2+a x3+…+a x9 ，
0 1 2 3 9
对于A：令x=0，可得：(0−1)(0−1) 8=a +a 01+a 02+a 03+…+a 09，即a =−1.故
0 1 2 3 9 0
A正确；
对于B：令x=1，可得：(2−1)(1−1) 8=a +a 11+a 12+a 13+…+a 19，
0 1 2 3 9
即0=a +a +a +a +…+a ，因为a =−1，所以a +a +⋅⋅⋅+a =1.故B正确；
0 1 2 3 9 0 1 2 9
1 1 8 a a a a
对于C：令x= ，可得：(1−1)( −1) =a + 1+ 2+ 3+…+ 9 ，因为a =−1，所以
2 2 0 2 22 23 29 0
a a a
1+ 2+⋅⋅⋅+ 9=1.故C错误；
2 22 29
对于D：对(2x−1)(x−1) 8=a +a x1+a x2+a x3+…+a x9两边求导得：
0 1 2 3 9
(18x−10)(x−1) 7=a +2a x+3a x2+…+9a x8 ,
1 2 3 9
令x=1，可得：(18−10)(1−1) 7=a +2a 1+3a 12+…+9a 18 ，
1 2 3 9
即a +2a +⋅⋅⋅+9a =0.故D正确.
1 2 9
故选：ABD
10．AC
【分析】已知P(A+B)、P(A)、P(B)关系公式，把对应值代入就能算出P(AB)．
对于A选项：依据事件独立定义，若P(AB)=P(A)P(B)，则A、B独立，算出
P(A)P(B)和P(AB)比较即可．
P(AB) 2
对于B选项：用条件概率公式P(A|B)= ，把P(AB)、P(B)值代入计算，和
P(B) 3
比较．
P(AB)
对于C选项：先求P(A)和P(AB)，再用条件概率公式P(B|A)= 计算，看是否
P(A)
答案第5页，共2页1
等于 ．
4
对于D选项：根据P(AB)=P(A)−P(AB)算出P(AB)，和P(B)比较大小．
1 1
【详解】对于A，已知P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)，将P(A)= ，P(B)= ，
3 4
1 1 1 1
P(A+B)= 代入可得： = + −P(AB)
2 2 3 4
1 1 1 4 3 6 1
P(AB)= + − = + − =
3 4 2 12 12 12 12
1 1 1
因为P(A)P(B)= × = =P(AB)，所以事件A，B相互独立，A选项正确．
3 4 12
P(AB) 1 1
对于B，根据条件概率公式P(A|B)= ，将P(AB)= ，P(B)= 代入可得：
P(B) 12 4
1
12 1 1 2
P(A|B)= = ×4= ≠ ，B选项错误．
1 12 3 3
4
1 2
对于C，先求P(A)=1−P(A)=1− = ，
3 3
1 1 3 1 1
P(AB)=P(B)−P(AB)= − = − = ．
4 12 12 12 6
P(AB) 1 2
再根据条件概率公式P(B|A)= ，将P(AB)= ，P(A)= 代入可得：
P(A) 6 3
1
6 1 3 1
P(B|A)= = × = ，C选项正确．
2 6 2 4
3
1 1 4 1 1 1
对于D，P(AB)=P(A)−P(AB)= − = − = ，而P(B)= ，所以
3 12 12 12 4 4
P(AB)=P(B)，D选项错误．
故选：AC．
11．ACD
【分析】对于A，利用导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积
判断A；对于B，利用导数研究函数的单调性判断B；对于C，将问题化为在(0,+∞)上
答案第6页，共2页−2lnx−1 −2lnx−1
2a≤ 恒成立，应用导数研究g(x)= 的最小值，即可得参数范围判
x x
−2lnx+1 −2lnx+1
断C；对于D，将问题化为a= 有唯一解，应用导数研究g(x)= 的单
x+1 x+1
调性和值域判断D.
【详解】对于A，由题设f′(x)=2lnx+4x+1，
则f′(1)=2ln1+4+1=5，且f (1)=2ln1+2−1=1，
所以f (x)在x=1处的切线方程为y=5x−4，
(4 )
切线与x轴的交点坐标为 ,0 ，与y轴的交点坐标为(0,−4)，
5
1 4 8
所以f (x)在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 × ×4= ，故A正确；
2 5 5
对于B，由题设f′(x)=2lnx+2ax+1，a>0,
当x→0时，f′(x)趋向于负无穷，当x→+∞时，f′(x)趋向于正无穷，
所以存在x ∈(0,+∞)，使f′ (x )=0，
0 0
所以当0e2时，g′(x)>0，
所以g(x)在 ( 0,e 1 2 ) 上单调递减，在 ( e 1 2,+∞ ) 上单调递增，
1
( 1) −2lne2−1 − 1
所以g(x) =g e2 = =−2e 2，
min 1
e2
答案第7页，共2页1 1
所以
2a≤−2e
− 2，所以
a≤−e
− 2，故C正确；
对于D，函数F(x)=f (x)+ax=2xlnx+ax2−x+ax有且只有一个零点，
−2lnx+1
即2xlnx+ax2−x+ax=0有唯一解，则a= ，
x+1
2
−2lnx+1 2lnx− −3
令g(x)=
x+1
，且x>0，则 g′(x)= x ，
(x+1) 2
2
令ℎ(x)=2lnx− −3，显然在(0,+∞)上为增函数，
x
17 10
ℎ(5)=2ln5− <0< ℎ(6)=2ln6− ，
5 3
2
则存在x ∈(5,6)，使得ℎ(x )=2lnx − −3=0，
0 0 0 x
0
易知0x
0
时，ℎ(x)>0，
则g(x)在(0,x )上单调递减，在(x ,+∞)上单调递增，
0 0
2
− −2
则 x 2 ，
g(x) =g(x )= 0 =−
min 0 x +1 x
0 0
当a<0时，当x→0时，g(x)趋向于正无穷，当x→+∞时，g(x)趋向于0，
所以a= −2lnx+1 有且只有一个解时，a=g(x )=− 2 ，即a=− 2 ∈ ( − 2 ,− 1) ，
x+1 0 x x 5 3
0 0
故D正确.
故选：ACD.
12．40
( 1)( a) 5 1 5 1 1 5
【分析】令x=1可得a=−1，将 x+ 2x+ 化为x(2x− ) + (2x− ) ，利用通
x x x x x
1 5 1
项公式分别求出(2x− ) 展开式中的 的系数与x的系数，再相加即可得到结果.
x x
答案第8页，共2页( 1)( a) 5
【详解】因为 x+ 2x+ 的展开式中各项系数和为2，
x x
所以令x=1可得2(2+a) 5=2，解得a=−1，
( 1)( a) 5 1 1 5 1 5 1 1 5
所以 x+ 2x+ =(x+ )(2x− ) =x(2x− ) + (2x− ) ，
x x x x x x x
1 5 1 r
因为(2x− ) 的通项公式为T =Cr (2x) 5−r (− ) =25−r ⋅(−1) rCr ⋅x5−2r
x r+1 5 x 5
(r=0,1,2,3,4,5)，
令5−2r=−1，得r=3，令5−2r=1，得r=2，
所以展开式中常数项是25−3 ⋅(−1) 3 ⋅C3+25−2 ⋅(−1) 2 ⋅C2 =40.
5 5
故答案为：40
【点睛】本题考查了二项展开式的各项系数和，考查了利用通项公式求指定项，解题关键
( 1)( a) 5 1 5 1 1 5
是将 x+ 2x+ 拆成x(2x− ) + (2x− ) ，属于基础题.
x x x x x
13．①④
【分析】利用方差的性质判断①的正误；利用回归直线的性质判断②，相关系数判断③，
独立检验判断④．
【详解】对于①，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满
足方差的性质，①正确；
对于②，设有一个线性回归方程^y=3−5x，变量x增加1个单位时，^y平均减少5个单位；
所以②不正确；
对于③，设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间
的线性相关程度越弱，所以③ 不正确；
对于④，在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越大，判断两个变量间有关联
的把握就越大，所以④正确；
故答案为：①④．
14．3
答案第9页，共2页【分析】二次求导，结合隐零点得到方程与不等式，变形后得到(x +1)(e2−x 0−x )≥0，从
0 0
而e2−x 0≥x ，lnx ≤2−x ，代入m=lnx +2x +1−e2−x 0，得到m的最大值.
0 0 0 0 0
【详解】f (x)=xlnx+x2−mx+e2−x≥0， 定义域为x∈(0,+∞)，
则f′(x)=lnx+2x+1−m−e2−x，
令ℎ(x)=lnx+2x+1−m−e2−x，
1
则ℎ
′(x)= +2+e2−x>0，ℎ(x)在(0，+∞)上单调递增，
x
且x→0时，ℎ(x)→−∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞
∴∃x ∈(0，+∞),使得ℎ(x )=0， 即f′ (x )=0.
0 0 0
当x∈(0,x )时f′(x)<0，当x∈(x ,+∞)时f′(x)>0，
0 0
故f (x)在x∈(0,x )上单调递减，在x∈(x ,+∞)上单调递增，
0 0
所以f (x) =f (x )=x lnx +x2−mx +e2−x 0≥0②，
min 0 0 0 0 0
由f′ (x )=0得lnx +2x +1−m−e2−x 0=0①，
0 0 0
即m=lnx +2x +1−e2−x 0，代入②得，x lnx +x2−(lnx +2x +1−e2−x 0)x +e2−x 0≥0，
0 0 0 0 0 0 0 0
整理得(x +1)(e2−x 0−x )≥0
0 0
∵x +1>0，
0
∴e2−x 0≥x ，
0
∴lnx ≤2−x ，
0 0
m=lnx +2x +1−e2−x 0≤2−x +2x +1−x =3，
0 0 0 0 0
故m的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】隐零点的处理思路：
答案第10页，共2页第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕
捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数
与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
15．(1)答案见解析
(2)[e−3+1,+∞)
【分析】（1）先对函数f(x)求导得f' (x)=aex−1，再根据a的取值范围讨论导数正负.确
定函数的单调区间.
x−2 x−2 3−x
（2）把f(x)≥e2恒成立转化为a−1≥ .令g(x)= ，对其求导得g' (x)= ，
ex ex ex
根据导数正负确定g(x)单调性，求出g(x)最大值，进而得到a的取值范围.
【详解】（1）f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)<0，函数f (x)在R上单调递减；
当a>0时，由f′(x)>0得x>−lna，由f′(x)<0得x<−lna，所以函数f (x)在(−∞，
−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f (x)在R上单调递减，当a>0时，函数f (x)在(−∞,−lna)上
单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增．
x−2
（2）f (x)≥ex恒成立等价于(a−1)ex≥x−2，即a−1≥ ．
ex
x−2 3−x
令g(x)= ,g′(x)= ，当x<3时，g′(x)>0，当x>3时，g′(x)<0，
ex ex
所以函数g(x)在(−∞,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，
1
所以g(x)≤g(3)= =e−3 ，所以a−1≥e−3，即a≥e−3+1．
e3
所以a的取值范围为[e−3+1,+∞)．
16．(1)认为语文成绩和数学成绩有关联
9
(2)分布列见解析，
5
答案第11页，共2页【分析】（1）计算出χ2，比较临界值可得结果；
（2）确定X取值为0，1，2，3，再计算出从数学成绩优秀的人中任取1人语文成绩优秀
的概率，利用二项分布的概率公式得到分布列，再利用期望公式计算期望.
【详解】（1）零假设为：H ：语文成绩和数学成绩无关．
0
根据列联表中的数据，计算得到：
400(200×90−50×60) 2 6000
χ2= = ≈65.9>3.841=x ．
250×150×260×140 91 0.05
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为语文成绩和数学成绩有
0
关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
90 3
（2）由已知，从全校数学成绩优秀的人中任取1人语文成绩优秀的概率为p= = ．
150 5
( 3)
可得X服从二项分布，即X~B 3, ．
5
X取值为0，1，2，3．
P(X=0)=C0(3) 0
⋅
(2) 3
=
8 ；P(X=1)=C1(3) 1
⋅
(2) 2
=
36
；
3 5 5 125 3 5 5 125
P(X=2)=C2(3) 2
⋅
(2) 1
=
54 ；P(X=3)=C3(3) 3
⋅
(2) 0
=
27
．
3 5 5 125 3 5 5 125
X的分布列为：
X 0 1 2 3
8 36 54 27
P
125 125 125 125
3 9
E(X)=3× = ．
5 5
9
17．(1)
20
2
(2)
9
11
(3)
40
【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件A ,B分别表示第一次、第二次
i i
取到i球，i=1,2,3.
答案第12页，共2页（1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球
的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率；
（2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案；
（3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和.
【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件A ,B分别表示第一次、
i i
第二次取到i球，i=1,2,3，
1 1
则P(A )= ，P(A )=P(A )= ，
1 2 2 3 4
1 2 2
又由条件概率知P(B |A )= ，P(B |A )= ，P(B |A )= ，
1 1 2 1 2 5 1 3 5
3
1 1 1 2 9
由全概率公式知P(B )=∑ P(A )P(B |A )= × + × ×2= ，
1 i 1 i 2 2 4 5 20
i=1
（2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为
1 2 2
×
P(A B ) 4 5 20 2
P(A |B )= 2 1 = = = ，
2 1 P(B ) 9 9 9
1
20 20
（3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种：
①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为
1 1 1
P(A )P(B |A )= × = ，
1 3 1 2 4 8
②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为
1 2 1
P(A )P(B |A )= × = ，
3 1 3 4 5 10
③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为
1 1 1
P(A )P(B |A )= × = ，
2 2 2 4 5 20
1 1 1 11
所以小明获得4块月饼的概率是 + + = .
8 10 20 40
b 2
18．（1）选择
y=ex
+a，理由见解析；（2）
y=e
−
x
+2；（3）20千万
答案第13页，共2页b
【分析】（1）由图可知
y=ex
+a适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型；
b 1
（2）由
y=ex
+a,得ln y=b⋅
x
+a，再利用最小二乘法求出b,a，从而得到y关于x的回归
方程；
2
− +2
（3）利用导数求得当x=2时， f(x)= e x 取得最大值.
x
b
【详解】（1）由图可知
y=ex
+a适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型
∵若选择y=a+blnx，则b>0，此时当x接近于0时，y必小于0，
b
故选择 y=ex +a作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型
b 1 1
（2）由
y=ex
+a,得ln y=b⋅
x
+a，故ln y与
x
符合线性回归，
n
1 1
∑( − )(ln y −ln y)
x x i −55.74
∴b= i=1 i = =−2.
n 1 1 2 27.87
∑( − )
x x
i=1 i
1
a=ln y−b⋅ =(−0.154)−(−2)×1.077=2，
x
2 2
∴ln y=2−
x
，即 y=e − x +2，
2
∴y关于x的回归方程 y=e − x +2 .
（3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大，
2
− +2
e x
由(2)可知人均产能函数 f(x)= ，
x
2 2
2 − +2 − +2
x⋅ ⋅e x −e x − 2 +2
x2 (2−x)⋅e x ，
∴f′ (x)= =
x2 x3
∵00，x>2时f′ (x)<0，
答案第14页，共2页∴x∈(0,2)时，f(x)单调递增，x∈(2,+∞)时，f(x)单调递减，
2
− +2
∴当x=2时，人均产能函数 f(x)= e x 达到最大值，
x
因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大，
∵对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足，
∴下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大.
【点睛】本题考查统计中的散点图、回归方程的最小二乘法求解、统计中的决策问题，考
查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理能力、逻辑推理能力和运算求解能力，
求解时注意知识的交会.
19．(1) (1 −2e+1 ) x−y+e2=0；
e
(2)(0,1]；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）导数研究函数的单调性，结合f(x) =f (1)=0及不等式恒成立确定参数范围；
max
2(x2−x2)
1
（3）由f (x)=(m−1)x2+x有两个不同的实数解x ,x (x 2 1 ，由
x+1 2 1 lnx2−lnx2
2 1
lnx lnx
=m(m∈R)有两个不同的实数解x ,x (x (e+1)m，即可证.
x x
2 1
答案第15页，共2页1 1
【详解】（1）f′(x)= −2x+1(x>0)，则切线的斜率为f′ (e)= −2e+1，又
x e
f (e)=1−e2+e，
所以(e,f (e))处的切线方程为y−(1−e2+e)= (1 −2e+1 ) (x−e)，即
e
(1 −2e+1 ) x−y+e2=0．
e
1 (2x+1)(x−1)
（2）f′(x)= −2x+1=− ，
x x
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0；
所以f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则f(x) =f (1)=0．
max
若f (x)<0在区间(0,a)上恒成立，则a的取值范围为(0,1]．
（3）由f (x)=(m−1)x2+x，得lnx=mx2(m∈R)，
若f (x)=(m−1)x2+x有两个不同的实数解x ,x (x 0，
x+1 x (x+1) 2 x(x+1) 2
2(x−1)
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，此时g(x)>g(1)=0，所以lnx> ．
x+1
(x2
)
2 2−1
x2 x2 2(x2−x2) 1
所以ln 2> 1 ，即x2+x2> 2 1 ，所以x2+x2> ①．
x2 x2 2 1 lnx2−lnx2 2 1 m
1 2+1 2 1
x2
1
lnx
由f (x)=(m−1)x2+x，得 =m(m∈R)有两个不同的实数解x ,x (x 0,φ(x)单调递增，当 x>e2时φ′(x)<0,φ(x)单调递减，
答案第16页，共2页( 1) 1 1 1
由φ e2 = ，φ(1)=0，所以1 时，ℎ ′(t)>0,ℎ(t)单调递增，
e e
此时ℎ(t)≥ℎ
(1)
=−
1
，即tlnt≥−
1
，故t2lnt≥−
1
t，当且仅当t=
1
时等号成立．
e e e e e
1
不妨设直线y=−m与直线y=− t,y=t−1交点的横坐标分别为t ′,t ′ ，
e 1 2
则t −t (e+1)m②．
x x
2 1
综上，(x2+x2) ( 1+ 1 − 1 ) > 1 ⋅(e+1)m=e+1．
1 2 x x m
2 1
答案第17页，共2页
