浙江省衢州市2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测数学试卷（含答案）_2025年6月_250620浙江省衢州市2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测（全科）

浙江省衢州市2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测数学试卷 {#{QQABLQks5wiY0JRACQ7aA0kQCgmQsIORJYoGwQAIqAwDSQFIBAA=}#}浙江省衢州市2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测数学试卷 {#{QQABLQks5wiY0JRACQ7aA0kQCgmQsIORJYoGwQAIqAwDSQFIBAA=}#}浙江省衢州市2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测数学试卷 {#{QQABLQks5wiY0JRACQ7aA0kQCgmQsIORJYoGwQAIqAwDSQFIBAA=}#}浙江省衢州市2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测数学试卷 {#{QQABLQks5wiY0JRACQ7aA0kQCgmQsIORJYoGwQAIqAwDSQFIBAA=}#}衢州市2025年6月高二年级教学质量检测试卷 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D A A C B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BCD AD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 5 12. 有 13.  14. 60 5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)   已知函数 f(x)sin(x )sin(x ) 6cosx. 4 4 (1) 求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2) 求使 f(x) 2成立的x的取值集合.   解：(1)已知函数 f(x)sin(x )sin(x ) 6cosx . 4 4 2 2 2 2 f(x) sinx cosx sinx cosx 6cosx = 2sinx 6cosx 2 2 2 2  2 2sin(x )......................................................3分 3 2 T  2........................................................5分 1    5   +2k x  +2k(kZ) ， +2k x +2k(kZ) ， 2 3 2 6 6  5    f(x)的单调递增区为  +2k, +2k (kZ) ....................9分    6 6    1 (2)要使2 2sin(x ) 2 ,则sin(x ) ，则 3 3 2   5   +2kx  +2k(kZ), +2k x +2k(kZ) 6 3 6 6 2      x的取值集合为  +2k， +2k (kZ) .............................13分    6 2  高二答案 {#{QQABDQIQggggAAAAAQhCAQXqCkGQkAEAAQoGgAAYoAABCAFABAA=}#}16.(本小题满分15分) 如图，在三棱台ABCABC 中，底面ABC为等边三角形，BBABBC， 1 1 1 1 1 AB2AB 2，BB 3. 1 1 1 (1)求证：BB AC ； 1 (2) 当三棱台ABCABC 体积最大时； 1 1 1 (i)求直线CC 与底面ABC所成角的正弦值. 1 (ii)求三棱锥B ABC 外接球的半径. 1 解:(1)连接BA，BC，取AC 中点O交于，连接BO，BO， 1 1 1 因为BC BA，BBABBC ，BBBB ， 1 1 1 1 所以BBCBBA，故BABC .....................2分 1 1 1 1 O为线段AC 的中点，所以BO AC， 1 又ABC 为等边三角形，故AC BO，而BOBOO， 1 所以AC 平面BOB ，BB平面BOB ，所以BB AC...................5分 1 1 1 1 (2)法1：当BB底面ABC时，三棱台ABC ABC 体积取最大.............7分 1 1 1 1 (i)取BC中点M ，连接CM ，易知BCMB为矩形，所以BB//CM ， 1 1 1 1 1 由BB底面ABC，可知CM 底面ABC，所以CCB即为所求角，......9分 1 1 1 3 10 因为CM BB 3，CM 1，故CC  10，所以sinCCB ........11分 1 1 1 1 10 (ii)由题易知，过三棱锥B ABC 的外接球球心O必在过ABC 中心O 的垂线上， 1 1 2 3 2 3 2 3 3 且OB ，令OOt，由OBOB ，可得( )2 t2 ( )2 (3t)2，故t  ， 1 3 1 1 3 3 2 129 所以OB  OO2OB2  ........................................15分 1 1 1 6 法2：当BB底面ABC时，三棱台ABC ABC 体积取最大， 1 1 1 1 (i)以AC 中点为坐标原点，OB,OC为x,y轴，如图建立空间直角坐标系，取BC中点M ， 3 1 A(0,1,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),B( 3,0,3)，M( , ,0) ， 1 2 2    由BM CC ，易知BM 与面ABC所成角即为所求角， 1 1 1   3 1 设面ABC法向量n(0,0,1)，BM ( , ,3) 1 2 2     BM n 3 10 所以sin cos BM,n  1   ...............................11分 1 BM n 10 1 OAOB  (ii)设三棱锥B ABC 的外接球球心O(x,y,z)，半径为R，则OB OC 1 1  OB OA 1 x2 (y1)2 z2 x2 (y1)2 z2  3 3 129 (x 3)2  y2 (z3)2 x2 (y1)2 z2 ，故O( ,0, ),所以R ....15分 3 2 6   (x 3)2  y2 (z3)2 x2 (y1)2 z2 高二答案 {#{QQABDQIQggggAAAAAQhCAQXqCkGQkAEAAQoGgAAYoAABCAFABAA=}#}17.(本小题满分15分) 已知函数 f(x)ae2x (a2)ex x. (1) 讨论 f(x)的单调性； (2) 当x0时， f(x)0，求a的取值范围. 解：(1) f '(x)2ae2x (a2)ex 1,.....................................2分 f '(x)2ae2x (a2)ex 1(2ex 1)(aex 1) 2ex 10，................3分 当a0时，aex 10， f '(x)0， f(x)在R上单调递减；................5分 （无因式分解得4分） 当a0时，令aex 10，xlna，当x,lna，aex 10， f '(x)0， f(x) 单调递减；当xlna，，aex 10， f '(x)0， f(x)单调递增 综上，当a0时， f(x)在R上单调递减；当a0时， f(x)在,lna单调递减， f(x) 在lna，+单调递增...........................................8分 (2) 由题可知， f(0)0，解得a1，下证a1时， f(x)0恒成立.........11分 由(1)可知，当a1时，lna0， f(x)在0，+上单调递增.  f(x) f(0)2a20 a1..................................... ..15分 （其他方法酌情给分） 18.(本小题满分17分) 某摄影公司为拓展业务提升经营业绩，借助AI助手自动检测和修改美化照片. 现有一批照 片需要检测，每张照片被AI助手评为A+的概率为 p(0 p1)，且检测结果相互独立. 2 (1) 若 p ，现选取4张不同的照片，安排AI助手对每张照片进行一次检测，记检测结 3 果为A+的照片数为X ，求P(X 2)及D(X)； (2) 为进一步提高选片质量，摄影公司决定每张照片由AI助手检测三次（检测相互独立， 互不干扰）. 若三次检测结果均为A+，则照片被评为优秀，照片选出；若三次检测结 果均为非A+，则照片被评为不合格，照片淘汰；其余情况，可以借助AI修图，达到 优秀. 拟定每张照片的检测费用为1元，若需要AI修图，还需再花费3元的修图费. 若 实施该方案，且检测照片100张，摄影公司用于检测和修图费用的预算为330元是否 合理？并说明理由.(摄影公司用于检测和修图费用的期望不超过预算即为合理). 解：(1)由题意得X B(4, 2 3 )，PX 2C2 4    2 3    2    1 2 3    2  2 8 4 1 ，..........................3分 2 1 8 DXnp(1 p)4   ．………………………………..........................7分 3 3 9 (若列出分布列未得答案得5分) (2)设每张照片检测所需费用为Y元，则Y的可能取值为1，4．............................9分 PY 1 p31 p3， PY 41 p31 p3． 所以EY=p3 1 p341 p3 1 p3 ，化简得E(Y)=9p2 9p1   令 f p9p2 9p1， p0,1………….............................…....................13分 当0 p 1 ， f p在  0, 1  单调递增，当 1  p1， f p在   1 ，1   单调递减， 2  2 2 2  1 1 所以当 p 时， f p的最大值为 f  3.25．...........................................15分 2 2 实施该方案，最高费用为1003.25325元330元，预算合理．....................17分 （其他方法酌情给分） 高二答案 {#{QQABDQIQggggAAAAAQhCAQXqCkGQkAEAAQoGgAAYoAABCAFABAA=}#}19.(本小题满分17分) 设整数n2，对于集合A{1,2,3,...,n}，定义对应关系 f :AA， 规定：①xA， f(x)x；②若x y，则 f(x) f(y). (1) 当n4时，写出满足 f(1)2，f(2)1的对应关系； n (2)(i)当n为偶数时，求(1)f(i)i 的最小值（结果用n表示）； i1 (ii)集合B{f(x)|xA}，记M {b,b ,b ...b }，kZ 是集合B的一个子集，令M 对应 1 2 3 k k 一个数S(M)(1)k b （规定：空集对应的数为1）. 对于B的所有子集，记它们 i i1 n 对应的数的总和为S. 求S| f(i)i|的最小值（结果用n表示）. i1 解：(1) 对应关系 f ： f(1)2，f(2)1，f(3)4, f(4)3 .........................3分 n (2)(i) 要求(1)f(i)i 的最小值，尽可能取 f(i)i为奇数或奇数相反数， i1 当n为偶数时，不妨取 f(1)2, f(2)1, f(3)4, f(4)3，...f(n1)n, f(n)n1， n n 此时(1)f(i)i n，所以 (1)f(i)i 的最小值为n....................9分 i1 i1 （没有过程，只有最小值为n得6分. 其他方法酌情给分， 例如： f(1)2, f(2)3, f(3)4, f(4)5, ...f(n1)n, f(n)1） n (ii) 因为 f(i)i,所以| f(i)i|1，则| f(i)i|n ，当且仅当 f(i)i1或1时取 i1 n 等号. 由（i）可知，当n为偶数时，则| f(i)i|最小值为n；同理，当n为奇数时， i1 n 按照上述构造，必有一个| f(i)i|2，此时| f(i)i|n1， i1 取 f(1)2, f(2)1, f(3)4, f(4)3,...，f(n2)n1, f(n1)n, f(n)n2 ， n n 此时| f(i)i|n1，所以| f(i)i|最小值为n1......................13分 i1 i1 易知集合B{1,2,3,...,n1,n}有2n个子集，含有“1”的子集有： 一元子集1个：{1}；二元子集C1 个：{1,2},{1,3},...,{1,n}； n1 三元子集C2 个：{1,2,3},{1,2,4},...,{1,n1,n}.....，n元子集Cn1个： {1,2,3,...,n1,n} n1 n1 所以子集中“1”的和： 1[(1)1C0 (1)2C1 (1)3C2 ....(1)nCn1]1(1)(11)n10 n1 n1 n1 n1 集合B的子集中含有“2”的子集有： 一元子集1个：{2}；二元子集C1 个：{2,1},{2,3},...,{2,n}； n1 三元子集C2 个：{2,1,3},{2,1,4},...,{2,n1,n}.....，n元子集Cn1个：{2，1,,3,...,n1,n} n1 n1 所以子集中“2”的和： 2[(1)1C0 (1)2C1 (1)3C2 ....(1)nCn1]2(1)(11)n10 n1 n1 n1 n1 以此类推，可得子集中“n”的和： n[(1)1C0 (1)2C1 (1)3C2 ....(1)nCn1]2(1)(11)n10 n1 n1 n1 n1 又因为空集对应的数为1，所以S 1.（若写出S 1，无推理得14分） n n1,n为偶数 综上所述S| f(i)i|  .................................17分 i1 n2,n为奇数 高二答案 {#{QQABDQIQggggAAAAAQhCAQXqCkGQkAEAAQoGgAAYoAABCAFABAA=}#}