福建省泉州第一中学2026届高三上学期10月第二次月考数学试卷（含解析）_251106福建省泉州第一中学2026届高三上学期10月第二次月考

泉州一中 2026 届高三第二次月考数学试卷 20251101 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 ， 是不共线的非零向量，若 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在 中，a，b，c为 ， ， 的对边， ， ， ，则c的值为（ ） A. 3或5 B. 3或6 C. 3 D. 5 5. 设 且 则 A. B. C. D. 6. 若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 7. “湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量 澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点 ，且 ，已经测得两个角 ，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组 新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（ ）组 ① 和 ；② 和 ；③ 和 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知 为常数，函数 存在极大值，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数 的图象过点 ，则 B. “向量 与向量 共线”是“存在 ，使得 ”的充分必要条件 C. 若 的终边不相同，则 D. 在 中，角 对边分别为 ，则“ ”是“ 且 ”的充要条 件 10. 已知平面向量 ， ，则（ ） A 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 在 的投影向量为 ，则 D. 若 ，则 11. 已知函数 ，则（ ） A. 为 的一个周期 B. 的图像关于直线 对称 C. 在 上单调递增 D. 的值域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是______． 13. 已知 ， ，则 ______． 14. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在 中，已知 ， ， ． （1）求角 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 的面积.16. 已知函数 ， . （1）若 存在极小值，且极小值为 ，求 ； （2）若 ，求 的取值范围. 17. 已知向量 ， ，函数 . （1）若 ，且 ，求 的值； （2）将 图象上所有的点向右平移 个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为 原来的 ，得到函数 的图象，当 时，解不等式 . 18. 在 中， ， 是边 上一点， ． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的取值范围． 19. 已知函数 ， ． 的 （1）若 ，求函数 单调递增区间； （2）若对于任意 ，恒有 ，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n， ．答案版 泉州一中 2026 届高三第二次月考数学试卷 20251101 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由 得， ，所以 ，所以 ， 对于集合 ，因为 ，所以当 时， ； 当 时， ；当 时， ； . 故选：B. 2. 已知 ， 是不共线的非零向量，若 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由 可知存在实数，使得 ，所以 从而可得 ． 故选：A 3. 已知函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：由 ，得到 ， 因为函数在 上是减函数，所以 在 上恒成立， 当 时， 在 上不恒成立，不满足题意； 当 时， 在 上恒成立，则 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 .故选：B 4. 在 中，a，b，c为 ， ， 的对边， ， ， ，则c的值为（ ） A. 3或5 B. 3或6 C. 3 D. 5 【答案】D 【详解】解：∵ ，且 ∴ 则 ，得 或5， 当 时， ，则 与 矛盾． 易知： ； 故选：D. 5. 设 且 则 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】[方法一]：. 故选：C. [方法二]： 又 . 故选：C. 6. 若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【详解】因为函数 的最大值为1， 的最大值为1， 由题意可知， 取得最大值1时， 也取得最大值1， 即当 时， ， ， 得 ， ， ， 当 时， ，其他值不满足等式. 故选：D 7. “湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点 ，且 ，已经测得 两个角 ，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组 新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（ ）组 ① 和 ；② 和 ；③ 和 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【详解】由 ， ， ∴可求出 、 ， ① 和 ：△ 中 ，即可求 ； ② 和 ：可求 、 ，则在△ 中 求 ； ③ 和 ：可求 ，则在△ 中 ，即可求 ； ∴①②③都可以求 . 故选：D 8. 已知 为常数，函数 存在极大值，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为存在 ，所以要求 ，故函数的定义域为 ， 因为函数 存在极大值，所以其导数 需存在零点，且零点处由正变负， 求导得： ， 令 ，即 .二阶导数 ， 当 时， 在定义域 上恒成立，所以 在 上单调递增， 此时函 数 可能存在极小值或无极值，不存在极大值，不符合题意； 当 时， 时，即 ， 时，即 ； 故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；故 的极小值为 ， 若函数 存在极大值，则 ，故 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，故 化简为 ，所以 . 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数 的图象过点 ，则B. “向量 与向量 共线”是“存在 ，使得 ”的充分必要条件 C. 若 的终边不相同，则 D. 在 中，角 对边分别为 ，则“ ”是“ 且 ”的充要条 件 【答案】AD 【详解】对A：设 ，由 ，所以 ，所以 ，故A正确； 对B：若 与 共线，且 时，才存在 ，使得 ，所以“向量 与向量 共线”不是“存在 的 ，使得 ” 充分条件，故B错误； 对C：当 ， 时，满足 的终边不相同，但 ，故C错误； 对D：在 中， ，由正弦定理 ，所以“ ”与“ ”互为充要条件； ，又 在 上单调递减，所以 .所以“ ”与“ ” 互为充要条件. 所以“ ”与“ 且 ”互为充要条件，故D正确. 故选：AD 10. 已知平面向量 ， ，则（ ） A 若 ，则B. 若 ，则 C. 若 在 的投影向量为 ，则 D. 若 ，则 【答案】ACD 【详解】对A：若 ，则有 ，解得 ，故A正确； 对B：若 ，则有 ，解得 ，故B错误； 对C：若 在 的投影向量为 ， 则有 ， 化简得 ，即 ，故C正确； 对D：若 ，则有 ，解得 ，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数 ，则（ ） A. 为 的一个周期 B. 的图像关于直线 对称 C. 在 上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABD 【详解】因为 ，所以 为 的一个周期，故A正确；因为 ，所以 的图像关 于直线 对称，故B正确； 因为当 时， ， ， 故 在 上单调递减，故C错误； 因为 在 上单调递减，所以 在 上的取值范围为 ， 因为 关于直线 对称，所以 在 上的取值范围为 ， 又 的周期为 ，所以 在整个定义域上的值域为 ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【详解】命题“ ， ”的否定为“ ， ”. 因为命题“ ， ”为假命题，所以命题“ ， ”为真命题. 设 ， ，因为 ，当且仅当 即 时取等号. 所以 . 所以 . 故答案为： 13. 已知 ， ，则 ______． 【答案】 【详解】由 ① 由 （*）， 由题意， ， 均有意义，所以 . 将（*）式两边同除以 得： ② ① ②得： . 故答案为： 14. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．【答案】（ ， ） 【详解】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中， ∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得 ，即 ，解得 = ，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°， ∠FCB=30°，由正弦定理知， ，即 ，解得BF= ，所以 AB的取值范围为（ ， ）. 考点：正余弦定理；数形结合思想四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在 中，已知 ， ， ． （1）求角 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 的面积. 【答案】（1） 或 （2） 【小问1详解】 ， 在三角形中， ， ， ， ， 在 中， ， ， 又 ， ， ， 由正弦定理 ，得 ， ， 或 ； 【小问2详解】因为 为锐角三角形，所以 ， ， 点 为三角形 重心， 所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 的面积为 . 16. 已知函数 ， . （1）若 存在极小值，且极小值为 ，求 ； （2）若 ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 ， ， 当 时， ，所以函数 无极值， 当 时，由 ，得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的极小值为 ，解得 . 【小问2详解】 由 ，得 ，即 ， ， 设 ， ， 则 ， 当 时， ，即 单调递减， 当 时， ，即 单调递增， 所以 ，则 ， 所以 的取值范围为 . 17. 已知向量 ， ，函数 . （1）若 ，且 ，求 的值； （2）将 图象上所有的点向右平移 个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为 原来的 ，得到函数 的图象，当 时，解不等式 . 【答案】（1） （2）【小问1详解】 因为 ， ，函数 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 【小问2详解】 将 图象上所有的点向右平移 个单位得到 ， 再将 向下平移1个单位得到 ， 最后将 的所有点的纵坐标变为原来的 得到 ， 即 ，由 ，即 ，所以 ， ， 解得 ， ， 令 可得 ，令 可得 ， 又 ，所以 ， 即在 时不等式 的解集为 . 18. 在 中， ， 是边 上一点， ． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解：由 ， ， 可得 ， ． 在 中，由正弦定理得 ； 在 中，由正弦定理得 ；在 中，由正弦定理得 ， 所以 ． 【小问2详解】 解：由 ，得 ． 设 ，则 ， ， 所以 ， ， ，则 ， 故 ． 设 ，则 ． 因为 ，所以 ，则 ． 设 ， ，则 ． 因为当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增． 因为 ， ，所以 ， 故 的取值范围为 ．19. 已知函数 ， ． （1）若 ，求函数 的单调递增区间； （2）若对于任意 ，恒有 ，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n， ． 【答案】（1） ， （2） （3）证明见解析 【小问1详解】 当 时， ， 对 求导得 ， 令 ，得 ，即 ， 解得 ， ； 故函数 的单调递增区间为 ， . 【小问2详解】 对 求导得 ，记 ，令 ，则 ， ，由 得 ，所以函数 在 上单调递增， 所以 的最大值为 ，所以 ， ①当 时， ， 所以 在 上单调递减，所以 ； ②当 时，因为 ， 即 ，使得当 时， ， 则 在 上单调递增，所以 ，与 矛盾. 故实数 的取值范围为 . 【小问3详解】 由（2）可知，当 时， . 设 ， ， 则 ； 令 ， ，则 ，可得 在区间 上单调递减， 所以 ， 所以 在区间 上单调递减， 所以 . 所以当 时， ， 可得 时， ， 可得 ， 则 .