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【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
绵阳市 2022 年高中阶段学校招生暨初中学业水平考试
数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，
并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号．
2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米
的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试
题卷上答题无效．
3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项符合题目
要求．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解： 的绝对值是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
2. 下图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（ ）．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，且看得见的棱是实线，看不见的棱是虚线，即可得出答案．
【详解】解：如图所示几何体的俯视图是：
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的相关概念，明确从上面看到的图形是俯视图是解
题的关键．
3. 中国共产主义青年团是中国青年的先锋队，是中国共产党的忠实助手和可靠后备军、截止至2021年12
月31日，全国共有共青团员7371.5万名，将7371.5万用科学记数法表示为（ ）
A. 0.73715×108 B. 7.3715×108
C. 7.3715×107 D. 73.715×106
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|< 10， n为整数确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数，
当原数的绝对值< 1时，n是负数．
【详解】7371.5万= 7371.5×104 = 7.3715×107
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为
a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列关于等边三角形的描述不正确的是（ ）
A. 是轴对称图形 B. 对称轴的交点是其重心【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
C. 是中心对称图形 D. 绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形的轴对称性，三线合一的性质逐一判断选项，即可．
【详解】解：A. 等边三角形是轴对称图形，正确，不符合题意，
B. 等边三角形的对称轴的交点是其重心，正确，不符合题意，
C. 等边三角形不是中心对称图形，符合题意，
D. 等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形重心，中心对称图形与轴对称图形的定义，正确掌握相关
定义是解题关键．
5. 某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示：
时间/h 2 3 4 5 6
人数 1 3 2 3 1
关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ）
A. 众数是6 B. 平均数是4 C. 中位数是3 D. 方差是1
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数，众数，平均数和方差的定义，逐一判断选项即可．
【详解】解：∵志愿者服务时间为3小时的人数为3个人，志愿者服务时间为5小时的人数为3个人，
∴志愿者服务时间的众数为3和5，故A错误；
∵ ，
∴平均数是4，故B正确；
∵时间从小到大排序，第5、6个数都是4，
∴中位数为4，故C错误；
∵ ，
∴方差为1.4，故D错误，
故选B．
【点睛】本题主要考查中位数，众数，平均数和方差的定义，熟练掌握上述定义和计算方法是解题的关键．
6. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角
坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P，
根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，
∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴，
∴ ，
∴ ，
∵点A的坐标为（2，-3），
∴AP=3，OP=BN=2，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，BP=1，
∴点C的纵坐标为1+2=3，
∴点C的坐标为 ．
故选：A
【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计
算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
7. 正整数a、b分别满足 ， ，则 （ ）
A. 4 B. 8 C. 9 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算 ．
【详解】解： ， ，
， ，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查无理数的估值，掌握立方根，平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定的值是
解题的关键．
8. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管
理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙
两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、
C、D，画出树状图，即可求解．
【详解】解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、
B、C、D，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=4÷16= ，
故选A．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率，画出树状图是解题的关键．
9. 如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：
mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取
3.14）（ ）
A. 282.6 B. 282600000 C. 357.96 D. 357960000
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆锥的表面积 ，圆柱的表面积
，进一步求出组合体的表面积为： ，即可求出
答案．
【详解】解：如图：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
由勾股定理可知：圆锥的母线长 ，
设底圆半径为r，则由图可知 ，
圆锥的表面积： ，
圆柱的表面积： ，
∴组合体的表面积为： ，
∵每平方米用锌0.1千克，
∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌 ．
故选：A
【点睛】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握勾股定理，表
面积公式．
10. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线
段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为 ，则图象最低点
E的坐标为（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点F的坐标，可得MB=1，AB=2，连接AC，CM，交BD于点N ，连接A N ，此时MN+AN
1 1
的最小值=M N +A N =CM，根据菱形和直角三角形的性质可得CM= ，DN = ，进而
1 1 1
即可得到答案．
【详解】解：∵图象右端点F的坐标为 ，M是AB的中点，
∴BD= ，MN+AN=AB+MB=3MB=3，
∴MB=1，AB=2，
连接AC，CM，交BD于点N ，连接A N ，此时MN+AN的最小值=M N +A N =CM，
1 1 1 1
∵在菱形ABCD中，∠C＝120°，
∴∠ABC=60°，
∴ 是等边三角形，
∴CM⊥AB，∠BCM=30°，
∴BC=2×1=2，CM= ，
∵AB∥CD，
∴CM⊥CD，
∵∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠BDC=30°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴DN =CD÷cos30°=2÷ = ，
1
∴E的坐标为 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，函数的图像，添加辅助线，
构造直角三角形是解题的关键．
11. 如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于 ， 两点，若
，则下列四个结论：① ，② ，③ ，④ ．
正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c
＜0，即可判断④．
【详解】∵对称轴为直线x=1，-2 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，以④错误；
故选B
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌
握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
12. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋ ．则四边形EFGH的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】证明四边形EFGH为平行四边形，作 交于点P， 交于点K，设 ，表
示出 ， ， ， ，进一步表示出
， ， ，利用勾股定
理即可求出a的值，进一步可求出边形EFGH的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
同理： ，
∴ ，
∴四边形EFGH为平行四边形，
作 交于点P， 交于点K，
设 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ABKH为矩形，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴四边形EFGH的周长为： ，
故选：A.
【点睛】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解题的关键是利用 求出a的值．
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上．
13. 因式分解： _________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．
14. 分式方程 的解是_________．
【答案】
【解析】
为
【详解】分式方程化 ：x2-x=（x+1）（x-3），
整理得x+3=0，
求根为x=-3，
经检验 是方程的根．
15. 两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于M，若
， 则∠DMC的大小为_________．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】110°##110度
【解析】
【分析】延长ED交BC于点G，利用三角形内角和定理求出∠C＝30°，∠E＝40°，再利用平行的性质求出
∠EGC＝∠E= 40°，再利用三角形内角和即可求出∠DMC＝110°．
【详解】解：延长ED交BC于点G，
∵∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，
∴∠C＝30°，∠E＝40°，
∵ ，
∴∠EGC＝∠E= 40°，
∴∠DMC＝180°-∠EGC -∠C= 110°．
故答案为：110°
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是求出∠C＝30°，∠E＝40°，证明
∠EGC＝∠E= 40°．
16. 如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上
观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛
上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝_________海里（计算结果不取近似值）．
【答案】 ##
【解析】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】过点D作DE上AB，垂足为E，根据题意求得 ，
进而求得 90°，然后在Rt△ACB中，
利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出
AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC=52海里，列出关于
x的方程，进行计算即可解答．
【详解】如图：过点D作DE上AB，垂足为E，
依题意得， ，
，
=90°，
在 中，
，
设 海里，
在 中， 海里，
，
，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在 中， 海里，
海里，
海里，
海里，
海里，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
17. 已知关于x的不等式组 无解，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解∶ ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，解得： ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ ，
CD＝2，则△ABE的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据三角形的面积
公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而求得AE，最后由三角形面积公
式求得结果．
【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
为
∴△ABC 等腰直角三角形，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∵∠ADC＝90°，CD=2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公
式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
19. （1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ，
【答案】（1）2024（2）化简的结果： 当 ， 时，值为100
【解析】
【分析】（1）先计算三角函数值、绝对值化简、负指数幂、二次根式化简，再进行加减计算即可．
（2）先化简分式，再代入求值．
【详解】（1）原式
（2）原式
将 ， 代入上式，得【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故原式的值为100．
【点睛】本题考查实数的运算、分式的化简求值，解决本题的关键是熟悉各计算法则．
的
20. 目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临 共同问题，某市在实施居民用水定额管理前，
通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据（单位：
t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
月均用水量（t） 2≤x＜3．5 3．5≤x＜5 5≤x＜6．5 6．5≤x＜8 8≤x＜9．5
频数 7 6
对应的扇形区域 A B C D E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市
60％的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由．
【答案】（1）频数分布直方图见解析，E对应的圆心角的度数为：14.4°
（2）要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题A的频数和百分比得到抽取的总数，进而求得B、C的频数即可补全频数分布直方图，
求出E的频数，360°乘以E所占的比例即可求解；
（2）由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收
费不受影响，而7+23=30，故家庭月均用水量应该定为5吨．
【小问1详解】
抽取的总数为：7÷14%=50，B的频数为：50×46%=23，C的频数为：50×24%=12，频数分布直方图如下：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
扇形图中扇形E对应的圆心角的度数为：
360° =14.4°；
【小问2详解】
要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：
因为月平均用水量不超过5吨的有7+23=30(户)，30÷50=60%．
【点睛】本题考查了读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图
获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21. 某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格（元/kg） 4 5 6 40
零售价格（元/kg） 5 6 8 50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利
润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只
记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第
一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【答案】（1）500元；
（2）方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【解析】
【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果
共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售
利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果 ，根据“菠梦 的进货量不低于88kg，且这两种水果已全
部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出
m的取值范围，再结合m， 均为正整数，即可得出各进货方案．
【小问1详解】
解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：
，
解得： ，
∴ 元，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
【小问2详解】
解：设购进菠萝mkg，则购进苹果 ，根据题意：
，解得： ，
∵m， 均为正整数，
∴m取88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22. 如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限交于 、 两点， 垂直x轴于【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
点 ， 为坐标原点，四边形 的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
的
（2）点P是反比例函数第三象限内 图象上一动点，请简要描述使 的面积最小时点P的位置（不
需证明），并求出点P的坐标和 面积的最小值．
【答案】（1） ， ；
（2） ， ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形 的面积为38．求出
，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）平移一次函数与 在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短， 的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为： ，联立 ，解得： ，进一步求出： ，即【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，连接PM，PN，过点P作 的延长线交于点B，作 交于点C，根据
以及点的坐标即可求出 的面积．
【小问1详解】
解：∵ 在 上，
∴ ，即反比例函数解析式为： ，
设 ，
∵四边形 的面积为38．
∴ ，整理得： ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，
将 和 代入 可得： 解得： ，
∴一次函数解析式为： ．
【小问2详解】
解：平移一次函数 到第三象限，与 在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最
短， 的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为： ，联立 可得： ，整理得： ，
∵有唯一交点P，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，解得： 或 （舍去），
将 代入 得： ，解得：
经检验： 是分式方程 的根，
∴ ，
连接PM，PN，过点P作 的延长线交于点B，作 交于点C，
则： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点．
23. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长
线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证： ；
（2）若⊙O的半径为 ，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）3
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用垂径定理可得 ，由 为⊙O的切线可得 ，由平行线
的判定定理可得结论；
（2）连接 ， ，设 ，则 ，由 可得 ，
，在 中，利用勾股定理可得 ，即 ；
（3）连接 ， ，设 与 交于点 ，利用 可得 ，在
中利用勾股定理可得 ，所以 ，又证明四边形 为矩形，所以【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
面积为矩形 面积的一半，进而可得 的面积．
【小问1详解】
解：证明：如图，连接 ，
为劣弧 的中点，
，
，
又 为⊙O的切线，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接 ， ，
设 ，则 ，
为劣弧 的中点，
，
，
又 ，
，
，
，
，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
为⊙O的直径，
，
又 ⊙O的半径为 ，
，
由 得 ，
解得 或 （舍），
；
【小问3详解】
解：如图，设 与 交于点 ，
由（2）知 ，
， ，
在 中，
，
，
，
，
又 ，
，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
为⊙O的直径，
，
由（1）可知 ， ，
四边形 为矩形，
， ，
．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性
质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用
是解题的关键．
24. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物
线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若
存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；
（3）存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-
12）或
【解析】
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线
的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的
长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，
由此可得出点M的坐标．
【小问1详解】
解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
【小问2详解】
存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，
如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，
设 ，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴ ， ，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或 （舍去）或 ，
∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或 ，
综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或
（-3，-12）或 ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形
的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角
形并得出AD∶AE的值是解题关键．
25. 如图，平行四边形ABCD中，DB＝ ，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着
A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．
（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 秒时，设CE
与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面
积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
（3）如图3，H在线段AB上且AH＝ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，
探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
【答案】（1） ；
（2）y关于x的函数解析式为 ；当 时，y的最大值为
；
（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得 ，可得 ，根据题意可得
AF= ，AE= ，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当 时，E点在BD上，
F点在AB上；当 时，点E、F均在BD上，即可求解；
（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解 ．
【小问1详解】
解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为 秒，
∴AF= ，AE= ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵AB=4，AD=2，
∴BF= ， ED= ，
∴ ，
∴BG=1，
∴CG=3，
∵ ，
∴△PDE∽△PGC，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x， ，
∵ ， AB=4，AD=2，
∴ ，
∴△ABD是直角三角形，
∵ ，
∴∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
如图，过点E作 交于H，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ；
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
此时当x=2时，y有最大值3；
当 时，E点在BD上，F点在AB上，
如图， 过点E作 交于N，过点D作 交于M，则EN∥DM，
根据题意得：DE=x-2，
∴ ，
在Rt△ABD中， ，AM=1，
∵EN∥DM，
∴△BEN∽△BDM，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
此时该函数图象的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，
此时当x=2时，y有最大值3；
当 时，点E、F均在BD上，
过点E作 交于Q，过点F作 交于P，过点D作DM⊥AB于点M，
∴ ，DA+DE=x，
∵AB=4，AD=2，
∴ ， ，
∵PF∥DM，
∴△BFP∽△BDM，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴△BEQ∽△BDM，
∴ ，即 ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
此时y随x的增大而减小，
此时当 时，y有最大值 ；
综上所述：y关于x的函数解析式为
当 时，y最大值为 ；
【小问3详解】
解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：
连接DH，如图，
∵ ，AB=4，
∴．AH=1，
由（2）得：此时 ，
∵M是DF的中点，
∴HM=DM=MF，
∵EF∥BD，BD⊥AD，
∴EF⊥AD，
∴EM=DM=FM，
∴EM=HM．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类
讨论，数形结合是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
