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2021年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目
要求。
1．（3分）（2021•绵阳）整式 的系数是
A． B．3 C． D．
2．（3分）（2021•绵阳）计算 的结果是
A．6 B． C． D．
3．（3分）（2021•绵阳）下列图形中，轴对称图形的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）（2021•绵阳）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高
是
A．2 B．3 C． D．
5．（3分）（2021•绵阳）如图，在边长为3的正方形 中， ， ，
则 的长是
第1页（共37页）A．1 B． C． D．2
6．（3分）（2021•绵阳）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现
有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12
件，还差6件，那么该分派站现有包裹
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
7．（3分）（2021•绵阳）下列数中，在 与 之间的是
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）（2021•绵阳）某同学连续 7天测得体温（单位： 分别是 36.5、36.3、
36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是
A．众数是36.3 B．中位数是36.6 C．方差是0.08 D．方差是0.09
9．（3分）（2021•绵阳）如图，在等腰直角 中， ， 、 分别为 、
上 的 点 ， ， 为 上 的 点 ， 且 ， ， 则
A． B． C． D．
第2页（共37页）10．（3 分）（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
， ，将四边形 向左平移 个单位后，点 恰好和原点 重合，
则 的值是
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
11．（3分）（2021•绵阳）关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，若
，则 的最大值是
A．1 B． C． D．2
12．（3分）（2021•绵阳）如图，在 中， ， ， ，
且 ，若 ，点 是线段 上的动点，则 的最小值是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.
13．（4分）（2021•绵阳）如图，直线 ，若 ，则 ．
第3页（共37页）14．（4分）（2021•绵阳）据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过 9100万．
数字91000000用科学记数法表示为 ．
15．（4分）（2021•绵阳）若 ， ，则 ．
16．（4分）（2021•绵阳）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从 6月
12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买 4盒肉粽和5盒白粽需350元，
打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉
粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 元．
17．（4分）（2021•绵阳）如图，在菱形 中， ， 为 中点，点 在
延长线上， 、 分别为 、 中点， ， ，则 ．
18．（4分）（2021•绵阳）在直角 中， ， ， 的角平
分线交 于点 ，且 ，斜边 的值是 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（16分）（2021•绵阳）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．
20．（12分）（2021•绵阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．
第4页（共37页）某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中 段对
应扇形圆心角为 ．
分段 成绩范围 频数 频率
20
0.3
70分以下 10
注： 表示成绩 满足： ，下同．
（1）在统计表中， ， ， ；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及
以上的学生人数；
（3）若统计表 段的男生比女生少1人，从 段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选
到1名男生和1名女生的概率．
21．（12分）（2021•绵阳）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不
少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买 、 两类原木共150根用于
工艺品制作，其中，1根 类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根 类原木
可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买 类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺
厂购买 、 两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
22．（12分）（2021•绵阳）如图，点 是 的边 上的动点， ，连接 ，
并将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．
（1）作 ，垂足 在线段 上，当 时，判断点 是否在直线
上，并说明理由；
第5页（共37页）（2）若 ， ，求以 、 为邻边的正方形的面积 ．
23．（12分）（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系 中，直角 的顶点 ，
在函数 图象上， 轴，线段 的垂直平分线交 于点 ，交
的延长线于点 ，点 纵坐标为2，点 横坐标为1， ．
（1）求点 和点 的坐标及 的值；
（2）连接 ，求 的面积．
24．（12分）（2021•绵阳）如图，四边形 是 的内接矩形，过点 的切线与
的延长线交于点 ，连接 与 交于点 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）设 ，求 的面积（用 的式子表示）；
（3）若 ，求 的长．
第6页（共37页）25．（14 分）（2021•绵阳）如图，二次函数 的图象与一次函数
的图象交于点 、 （点 在右侧），与 轴交于点 ，点 的横坐标恰好为 ．
动点 、 同时从原点 出发，沿射线 分别以每秒 和 个单位长度运动，经过
秒后，以 为对角线作矩形 ，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求 的值及 秒时点 的坐标；
（2）当矩形 与抛物线有公共点时，求时间 的取值范围；
（3）在位于 轴上方的抛物线图象上任取一点 ，作关于原点 的对称点为 ，当点
恰在抛物线上时，求 长度的最小值，并求此时点 的坐标．
第7页（共37页）第8页（共37页）2021年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目
要求。
1．（3分）（2021•绵阳）整式 的系数是
A． B．3 C． D．
【解答】解：整式 的系数是 ．
故选： ．
2．（3分）（2021•绵阳）计算 的结果是
A．6 B． C． D．
【解答】解：
，
故选： ．
3．（3分）（2021•绵阳）下列图形中，轴对称图形的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第1个图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
第2个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
第3个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
第9页（共37页）第4个图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选： ．
4．（3分）（2021•绵阳）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高
是
A．2 B．3 C． D．
【解答】解： 某圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，
圆锥的底面半径为 ，母线长为2，
此圆锥的高是 ．
故选： ．
5．（3分）（2021•绵阳）如图，在边长为3的正方形 中， ， ，
则 的长是
A．1 B． C． D．2
【解答】解： 四边形 是正方形，
第10页（共37页）， ，
中， ，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： （负值舍去），
，
，
，
，
，
， ，
，
．
故选： ．
6．（3分）（2021•绵阳）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现
有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12
件，还差6件，那么该分派站现有包裹
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
【解答】解：设该分派站有 个快递员，
依题意得： ，
解得： ，
，
即该分派站现有包裹66件．
故选： ．
第11页（共37页）7．（3分）（2021•绵阳）下列数中，在 与 之间的是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：因为 ， ， ，
， ， ，
所以 ．
故选： ．
8．（3分）（2021•绵阳）某同学连续 7天测得体温（单位： 分别是 36.5、36.3、
36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是
A．众数是36.3 B．中位数是36.6 C．方差是0.08 D．方差是0.09
【解答】解：7个数中36.5、36.7和37.1都出现了二次，次数最多，即众数为36.5、36.7
和37.1，故 选项不正确，不符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.5，36.5，36.7，36.7，37.1，37.1，则中位数
为36.7，故 选项错误，不符合题意；
，
，，故
选项正确，符合题意，故 选项错误，不符合题意；
故选： ．
9．（3分）（2021•绵阳）如图，在等腰直角 中， ， 、 分别为 、
上 的 点 ， ， 为 上 的 点 ， 且 ， ， 则
第12页（共37页）A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 交
于 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
存在两种情况：
如图， ，
第13页（共37页）① 是 中点时，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
② ，
，
，
，
，
，
第14页（共37页）而图中 ，所以此种情况不符合题意．
故选： ．
10．（3 分）（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
， ，将四边形 向左平移 个单位后，点 恰好和原点 重合，
则 的值是
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【解答】解：如图，过点 作 交 于 ，交 于 ．
， ，
，
，
．
，
，
，
， ，
，
，
，
第15页（共37页），
设 ， ，
，
解得 ，
，
将四边形 向左平移 个单位后，点 恰好和原点 重合，
，
故选： ．
11．（3分）（2021•绵阳）关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，若
，则 的最大值是
A．1 B． C． D．2
【解答】解： 关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，
，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
的最大值是2，
故选： ．
第16页（共37页）12．（3分）（2021•绵阳）如图，在 中， ， ， ，
且 ，若 ，点 是线段 上的动点，则 的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
解得： （负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
过 作 于 ，
，
，
第17页（共37页）， ，
，
当 时， 的值最小，
， ，
，
，
，
，
故选： ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.
13．（4分）（2021•绵阳）如图，直线 ，若 ，则 ．
【解答】解：如图，
， ，
第18页（共37页），
．
故答案为： ．
14．（4分）（2021•绵阳）据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过 9100万．
数字91000000用科学记数法表示为 ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
15．（4分）（2021•绵阳）若 ， ，则 0 ．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为0．
16．（4分）（2021•绵阳）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从 6月
12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买 4盒肉粽和5盒白粽需350元，
打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉
粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 14 5 元．
【解答】解：设打折前每盒肉粽的价格为 元，每盒白粽的价格为 元，
第19页（共37页）依题意得： ，
解得： ，
．
故答案为：145．
17．（4分）（2021•绵阳）如图，在菱形 中， ， 为 中点，点 在
延长线上， 、 分别为 、 中点， ， ，则 4
．
【解答】解：连接 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，
、 分别为 、 中点，
是 的中位线，
，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
第20页（共37页），
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
点 为 的中点，
，
在 中，由勾股定理得：
，
，
．
故答案为：4．
18．（4分）（2021•绵阳）在直角 中， ， ， 的角平
分线交 于点 ，且 ，斜边 的值是 ．
【解答】解：如图，
， 的角平分线交 于点 ，且 ，
，
， ， ，
，
即 ，
又 ，
，
第21页（共37页）在 中， ，
在 中， ，
，
，
即 ，
故答案为： ．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（16分）（2021•绵阳）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【解答】解：（1）原式
，
第22页（共37页）（2）原式
，
当 ， 时： ．
20．（12分）（2021•绵阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．
某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中 段对
应扇形圆心角为 ．
分段 成绩范围 频数 频率
20
0.3
70分以下 10
注： 表示成绩 满足： ，下同．
（1）在统计表中， 5 ， ， ；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及
以上的学生人数；
（3）若统计表 段的男生比女生少1人，从 段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选
到1名男生和1名女生的概率．
第23页（共37页）【解答】解：（1）总人数为： （人 ，
， （人 ，
（人 ，
故答案为：5，0.4，15；
（2）由题意得：成绩在 之间的人数为5，
随机选出的这个班级总人数为50，
设该年级成绩在 之间的人数为 ，
则 ，
解得： ，
（3）由（1）（2）可知： 段有男生2人，女生3人，
记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，
选出2名学生的结果有：
男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，
男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，
共10种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中包含1名男生1名女生的结果有6种，
，即选到1名男生和1名女生的概率为 ．
21．（12分）（2021•绵阳）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不
少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买 、 两类原木共150根用于
工艺品制作，其中，1根 类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根 类原木
可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买 类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺
厂购买 、 两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设工艺厂购买 类原木 根，则购买 类原木 根，
第24页（共37页）根据题意，得 ，
可解得 ，
为整数，
，51，52，53，54，55；
答：工艺厂购买 类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55；
（2）设获得利润为 元，
由题意，得 ，
即 ，
，
随 的增大而减小，
时， 取最大值，最大值为： （元 ，
答：该工艺厂购买 、 两类原木分别为50和100根时，所获得利润最大，最大利润是
76000元．
22．（12分）（2021•绵阳）如图，点 是 的边 上的动点， ，连接 ，
并将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．
（1）作 ，垂足 在线段 上，当 时，判断点 是否在直线
上，并说明理由；
（2）若 ， ，求以 、 为邻边的正方形的面积 ．
【解答】解：（1）结论：点 在直线 上，理由如下：
第25页（共37页）， ，
，
，即 ，
线段 绕点 逆时针旋转 落在直线 上，
即点 在直线 上，
（2）作 于点 ，
， ，
，
，
，
， ，
， ，
，即以 ． 为邻边的正方形面积为 ．
23．（12分）（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系 中，直角 的顶点 ，
在函数 图象上， 轴，线段 的垂直平分线交 于点 ，交
的延长线于点 ，点 纵坐标为2，点 横坐标为1， ．
（1）求点 和点 的坐标及 的值；
（2）连接 ，求 的面积．
第26页（共37页）【解答】解：（1）由题意得点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ，
又 轴，且 为直角三角形，
点 的坐标为 ，
又 ，
点 的坐标为 ，
点 在线段 的垂直平分线上，
，
在 中， ，
，
或 ，
当 时，点 ， ， 三点重合，不能构成三角形，故舍去，
，
， ， ；
（2）由（1）可得， ， ， ，
设 的中点为 ，
， ，
第27页（共37页）， ，
，
，
，
．
24．（12分）（2021•绵阳）如图，四边形 是 的内接矩形，过点 的切线与
的延长线交于点 ，连接 与 交于点 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）设 ，求 的面积（用 的式子表示）；
（3）若 ，求 的长．
【解答】解：如图1，
第28页（共37页）（1） 是 的切线，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
对于
，
，
又 ，
；
（2）如图2，
第29页（共37页）取 的中点 ，连接 ，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
由（1）知： ，
，
，
，
；
（3）如图3，
第30页（共37页）作 于 ，延长 交 的延长线于
在 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
第31页（共37页），
，
在 中，由射影定理得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， （舍去），
， ，
，
，
作 于 ，设 ，
，
第32页（共37页），
，
由 得，
，
，
即： ．
25．（14 分）（2021•绵阳）如图，二次函数 的图象与一次函数
的图象交于点 、 （点 在右侧），与 轴交于点 ，点 的横坐标恰好为 ．
动点 、 同时从原点 出发，沿射线 分别以每秒 和 个单位长度运动，经过
秒后，以 为对角线作矩形 ，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求 的值及 秒时点 的坐标；
（2）当矩形 与抛物线有公共点时，求时间 的取值范围；
（3）在位于 轴上方的抛物线图象上任取一点 ，作关于原点 的对称点为 ，当点
恰在抛物线上时，求 长度的最小值，并求此时点 的坐标．
第33页（共37页）【解答】解：（1）由题意知，交点 坐标为 ，代人 ，
解得： ，
抛物线解析式为： ，
当 秒时， ，设 的坐标为 ，
则 ，
解得 或 （舍去），
的坐标为 ；
（2）经过 秒后， ， ，
由（1）方法知， 的坐标为 ， 的坐标为 ，
由矩形 的邻边与坐标轴平行可知， 的坐标为 ， 的坐标为 ，
矩形 在沿着射线 移动的过程中，点 与抛物线最先相交，如图1，
然后公共点变为2个，点 与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，
将 代入 ，得 ，
第34页（共37页）解得： ，或 （舍 ，
将 代入 ，得 ，
解得： 或 （舍 ．
所以，当矩形 与抛物线有公共点时，
时间 的取值范围是： ；
（3）设 ，则 关于原点的对称点为 ，
当点 恰好在抛物线上时， 坐标为 ，
过 和 作坐标轴平行线相交于点 ，如图3，
则 ，
又 得 ，
消去 得：
，
当 时， 长度的最小值为 ，
此时， ，
解得： ，
第35页（共37页）点 的坐标是 ， ．
第36页（共37页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/14 18:44:08；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736
第37页（共37页）
