文档内容
2013 年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）
一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．（3分） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【微点】实数的性质．
【思路】由于互为相反数的两个数和为0，由此即可求解．
【解析】解： 的相反数为： ．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了求无理数的相反数，无理数的相反数和有理数的相反数的意义
相同，无理数的相反数是各地中考的重点．
2．（3分）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
【微点】轴对称图形．
【思路】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做对称轴，找到各选项中的对称轴即可．
【解析】解：A、有一条对称轴，故本选项正确；
B、没有对称轴，故本选项错误；
C、有两条对称轴，故本选项错误；
D、有两条对称轴，故本选项错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握轴对称图及对称轴的定义，属
于基础题．
3．（3分）2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，
其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数
法表示为（ ）
第 1 页 / 共 28 页A．1.2×10﹣9米 B．1.2×10﹣8米 C．12×10﹣8米 D．1.2×10﹣7米
【微点】科学记数法—表示较小的数．
【思路】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数
字前面的0的个数所决定．
【解析】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：D．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，
n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况
如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）
A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■
【微点】等式的性质；不等式的性质．
【思路】设▲、●、■的质量为a、b、c，根据图形，可得a+c＞2a，a+b＝3b，由此可
将质量从大到小排列．
【解析】解：设▲、●、■的质量为a、b、c，
由图形可得： ，
由 得：c＞a，
由①得：a＝2b，
故②可得c＞a＞b．
故选：C．
【点拨】本题考查了不等式的性质及等式的性质，解答本题关键是根据图形列出不等式
和等式，难度一般．
5．（3分）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（ ）
第 2 页 / 共 28 页A． B．
C． D．
【微点】几何体的展开图．
【思路】根据三棱柱的概念和定义以及展开图解题．
【解析】解：根据两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是
三棱柱．
把图中的三棱柱展开，所得到的展开图是B．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了几何体的展开图，根据三棱柱三个侧面和上下两个底面组成，
两个底面分别在侧面的两侧进而得出是解题关键．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【微点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；等腰梯形的判定．
【思路】对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，对角线相等的梯形是等腰梯形，对角
线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，根据以上
内容判断即可．
【解析】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项错误；
B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误；
第 3 页 / 共 28 页C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了对菱形、矩形、平行四边形、等腰梯形的判定的应用，主要考查学
生的理解能力和辨析能力．
7．（3分）如图，要拧开一个边长为a＝6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为
（ ）
A． mm B．12mm C． mm D． mm
【微点】正多边形和圆．
【思路】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心
距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解析】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，
∴cos∠BAC ，
∴AM＝6 3 （mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MC AC，
∴AC＝2AM＝6 （mm）．
故选：C．
第 4 页 / 共 28 页【点拨】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角
三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解．
8．（3分）朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还少3个，如果每人2个又
多2个，请问共有多少个小朋友？（ ）
A．4个 B．5个 C．10个 D．12个
【微点】一元一次方程的应用．
【思路】设有x个小朋友，根据苹果数量一定，可得出方程，解出即可．
【解析】解：设有x个小朋友，
由题意得，3x﹣3＝2x+2，
解得：x＝5．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据苹果的分配情况得出
方程．
9．（3分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮
建筑物的墙角C点，且俯角 为60°，又从A点测得D点的俯角 为30°，若旗杆底点G
为BC的中点，则矮建筑物的α高CD为（ ） β
A．20米 B． 米 C． 米 D． 米
【微点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【思路】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC
中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．
【解析】解：∵点G是BC中点，EG∥AB，
第 5 页 / 共 28 页∴EG是△ABC的中位线，
∴AB＝2EG＝30米，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，
则BC＝ABtan∠BAC＝30 10 米．
如图，过点D作DF⊥AF于点F．
在Rt△AFD中，AF＝BC＝10 米，
则FD＝AF•tan ＝10 10米，
β
综上可得：CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．
故选：A．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三
角函数的知识求解相关线段的长度．
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点
H，且DH与AC交于G，则GH＝（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
【微点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形．
【思路】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求
出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AO＝4cm，BO＝3cm，
第 6 页 / 共 28 页在Rt△AOB中，AB 5cm，
∵ BD×AC＝AB×DH，
∴DH cm，
在Rt△DHB中，BH cm，
则AH＝AB﹣BH cm，
∵tan∠HAG ，
∴GH AH cm．
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积
等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．
11．（3分）“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5
名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进
行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
【微点】列表法与树状图法．
【思路】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解析】解：根据题意画出树状图如下：
一共有20种情况，恰好是一男一女的有12种情况，
所以，P（恰好是一男一女） ．
故选：D．
【点拨】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况
第 7 页 / 共 28 页数之比．
12．（3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），
（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A ＝（i，
M
j）表示正奇数 M是第 i组第 j个数（从左往右数），如 A ＝（2，3），则 A ＝
7 2013
（ ）
A．（45，77） B．（45，39） C．（32，46） D．（32，23）
【微点】规律型：数字的变化类．
【思路】先计算出2013是第几个数，然后判断第1007个数在第几组，再判断是这一组
的第几个数即可．
【解析】解：2013是第 1007个数，
设2013在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1007，
即 1007，
解得：n≥31.7，
当n＝31时，1+3+5+7+…+61＝961；
当n＝32时，1+3+5+7+…+63＝1024；
故第1007个数在第32组，
第1024个数为：2×1024﹣1＝2047，
第32组的第一个数为：2×962﹣1＝1923，
则2013是（ 1）＝46个数．
故A ＝（32，46）．
2013
故选：C．
【点拨】此题考查了数的规律变化，需要熟练掌握其中的方法与技巧，在规律不好发现
的时候可以用试一试的办法找其规律．
二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线
上．
13．（4分）因式分解：x2y4﹣x4y2＝ x 2 y 2 （ y ﹣ x ）（ y + x ） ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】首先提取公因式x2y2，再利用平方差进行二次分解即可．
【解析】解：原式＝x2y2（y2﹣x2）
第 8 页 / 共 28 页＝x2y2（y﹣x）（y+x）．
故答案为：x2y2（y﹣x）（y+x）．
【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提
取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（4分）如图，AC、BD相交于O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB＝35°，则
∠AOD＝ 75 ° ．
【微点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
【思路】根据 AB＝BC，可得出∠BAC＝∠ACB＝35°，根据 AB∥CD，可得∠D＝
∠ABD，继而利用三角形的外角的知识可求出∠AOD的度数．
【解析】解：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD＝40°，
∴∠AOD＝∠ABD+∠BAC＝75°．
故答案为：75°．
【点拨】本题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握两直线
平行内错角相等，及等腰三角形的性质．
15．（4分）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），
嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐
标是 （ 3 ， 3 ） ．
【微点】坐标与图形变化﹣平移．
【思路】先确定右眼B的坐标，然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个
单位，纵坐标不变，由此可得出答案．
第 9 页 / 共 28 页【解析】解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），
∴右眼的坐标为（0，3），
向右平移3个单位后右眼B的坐标为（3，3）．
故答案为：（3，3）．
【点拨】本题考查了平移变换的知识，注意左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变．
16．（4分）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、
N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可
以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM的面积为1，则“飞
机”的面积为 1 4 ．
【微点】七巧板．
【思路】分别得到“飞机”中的每个板的面积，再相加即可得到“飞机”的面积．
【解析】解：由“飞机”的图形可知，“飞机”由2个面积为1的三角形，2个面积为4
的三角形，1个面积为2的平行四边形，1个面积为2的正方形组成，
故“飞机”的面积为：1×2+4×2+2+2＝14．
故答案为：14．
【点拨】本题考查了七巧板．七巧板中的每个板的面积都可以利用正方形的性质求出来
的．
17．（4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3 x+8＝0，则
△ABC的周长是 6 或 1 2 或 1 0 ．
【微点】解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式；三角形三边关系．
【思路】根据题意得k≥0且（3 ）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k＝4，方程变形为x2
﹣6x+8＝0，解得x ＝2，x ＝4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8＝0，
1 2
所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．
【解析】解：根据题意得k≥0且（3 ）2﹣4×8≥0，
第 10 页 / 共 28 页解得k ，
∵整数k＜5，
∴k＝4，
∴方程变形为x2﹣6x+8＝0，解得x ＝2，x ＝4，
1 2
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8＝0，
∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．
∴△ABC的周长为6或12或10．
故答案为：6或12或10．．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，
方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．
18．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
2a+b＞0； b＞a＞c； 若﹣1＜m＜n＜1，则m+n ； 3|a|+|c|＜2|b|．
① ② ③ ④
其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）．
①③④
【微点】二次函数图象与系数的关系．
【思路】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的
符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
对称轴x 1，﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故选项 正确；
①
令ax2+bx+c＝0，抛物线与轴交于（x ，0），（x ，0）则x •x ，
1 2 1 2
第 11 页 / 共 28 页由图不能准确判断 与1大小，则无法确定a，c的大小关系，故选项 不正确
②
∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x 1， 2，m+n ，故选项 正确；
③
当x＝1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，则3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b＝2|b|，故 选项正确．
故答案为： ． ④
【点拨】此①题主③要④考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范
围是解题关键．
三．解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
19．（16分）（1）计算： ；
（2）解方程： ．
【微点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；解分式方程；特殊角的三角函数值．
【思路】（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值及
绝对值的代数意义化简计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解析】解：（1）原式 2（ 1）×（ 1）
2
＝1 ；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，原分式方程无解．
第 12 页 / 共 28 页【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程
转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（12分）为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，
两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：
甲、乙射击成绩统计表
平均数 中位数 方差 命中10环的次数
甲 7 7 4 0
乙 7 7. 5 5. 4 1
甲、乙射击成绩折线图
（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规
则？为什么？
【微点】统计表；折线统计图；算术平均数；中位数；方差．
【思路】（1）根据折线统计图列举出乙的成绩，计算出甲的中位数，方差，以及乙平
均数，中位数及方差，补全即可；
（2）计算出甲乙两人的方差，比较大小即可做出判断；
（3）希望乙胜出，修改规则，使乙获胜的概率大于甲即可．
【解析】解：（1）根据折线统计图得：
乙的射击成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
则平均数为 7（环），中位数为7.5（环），
第 13 页 / 共 28 页方差为 [（2﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）
2+（9﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝5.4；
甲的射击成绩为9，6，7，6，2，7，7，9，8，9，平均数为7（环），
则甲第八环成绩为70﹣（9+6+7+6+2+7+7+8+9）＝9（环），
所以甲的10次成绩为：9，6，7，6，2，7，7，9，8，9．
中位数为7（环），
方差为 [（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（2﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）
2+（9﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝4．
补全表格如下：
甲、乙射击成绩统计表
平均数 中位数 方差 命中10环的次数
甲 7 7 4 0
乙 7 7.5 5.4 1
甲、乙射击成绩折线图
（2）由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定，故甲胜出；
（3）如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相
同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（10环）次数多者胜出．因为甲乙
的平均成绩相同，乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲
第2次比第1次、第4次比第3次，第5次比第4次命中环数都低，且命中10环的次数
第 14 页 / 共 28 页为0次，即随着比赛的进行，有可能乙的射击成绩越来越好．
【点拨】此题考查了折线统计图，中位数，方差，平均数，以及统计表，弄清题意是解
本题的关键．
21．（12 分）如图，AB 是 O 的直径，C 是半圆 O 上的一点，AC 平分∠DAB，
AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与 O的位置⊙关系，并证明你的结论；
（2）若E是 的⊙中点， O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
⊙
【微点】切线的判定；扇形面积的计算．
【思路】（1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA
＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角
相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得
证；
（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE＝弧EC，利用等弧对等弦得到AE＝EC，可得
出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即
可．
【解析】解：（1）CD与圆O相切．理由如下：
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
则CD与圆O相切；
第 15 页 / 共 28 页（2）连接EB，交OC于F，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
又∵∠EAC＝∠OAC，
∴∠ECA＝∠OAC，
∴CE∥OA，
又∵OC∥AD，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∴CE＝OA，AE＝OC，
又∵OA＝OC＝1，
∴四边形AOCE是菱形，
∵AB为直径，得到∠AEB＝90°，
∴EB∥CD，
∵CD与 O相切，C为切点，
∴OC⊥C⊙D，
∴OC∥AD，
∵点O为AB的中点，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF AE ，即CF＝DE ，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF＝FB＝DC ，
则S阴影 ＝S△DEC ．
第 16 页 / 共 28 页【点拨】此题考查了切线的判定，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法
是解本题的关键．
22．（12分）如图，已知矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，双曲线 （k＞0）与矩形两
边AB、BC分别交于E、F．
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证
明△EGD∽△DCF，并求k的值．
【微点】反比例函数综合题．
【思路】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数
解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；
（2）证明∠GED＝∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（ ，
2），点F坐标为（4， ），即可得CF ，BF＝DF＝2 ，在Rt△CDF中表示出
CD，利用对应边成比例可求出k的值．
【解析】解：（1）∵点E是AB的中点，OA＝2，AB＝4，
∴点E的坐标为（2，2），
第 17 页 / 共 28 页将点E的坐标代入y ，可得k＝4，
即反比例函数解析式为：y ，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标 1，
故点F的坐标为（4，1）；
（2）由折叠的性质可得：BE＝DE，BF＝DF，∠B＝∠EDF＝90°，
∵∠CDF+∠EDG＝90°，∠GED+∠EDG＝90°，
∴∠CDF＝∠GED，
又∵∠EGD＝∠DCF＝90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为（ ，2），点F坐标为（4， ），
则CF ，BF＝DF＝2 ，ED＝BE＝AB﹣AE＝4 ，
在Rt△CDF中，CD ，
∵ ，即 ，
∴ 1，
解得：k＝3．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F的
横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的
性质，难度较大．
23．（12分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动
商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3
月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少
辆自行车？
第 18 页 / 共 28 页（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入 3万元再购进一批两种规格的自行
车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价
为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．
假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
【微点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【思路】（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的
销量即可；
（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列
出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解
即可．
【解析】解：（1）设平均增长率为a，根据题意得：
64（1+a）2＝100
解得：a＝0.25＝25%或a＝﹣2.25
四月份的销量为：100•（1+25%）＝125（辆）．
答：四月份的销量为125辆．
（2）设购进A型车x辆，则购进B型车 辆，
根据题意得：2 x≤2.8
解得：30≤x≤35
利润W＝（700﹣500）x （1300﹣1000）＝9000+50x．
∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．
当x＝35时， 不是整数，故不符合题意，
∴x＝34，此时 13（辆）．
答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．
【点拨】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是
根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点．
24．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴
于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x＝m（m＞1）与x轴交于D．
第 19 页 / 共 28 页（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、
C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P
为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理
由．
【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，
且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b＝0，c＝﹣2，再将A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，
求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y＝0，解一元二次方程求出x的值即
可得到点B的坐标；
（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB＝∠BOC＝90°，则D与O对应，所以当以
P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：
△OCB∽△DBP； △OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m
①的关系式，进而可得到②点P的坐标；
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶
点的等腰直角三角形．过点 Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出
BD＝PE，DP＝EQ．再分两种情况讨论： P（m， ）； P（m，2（m﹣
① ②
1））．都根据BD＝PE，DP＝EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且
m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角
形．
第 20 页 / 共 28 页【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），
∴b＝0，c＝﹣2；
∵y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），
∴0＝a+0﹣2，a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣2．
当y＝0时，2x2﹣2＝0，
解得x＝±1，
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）设P（m，n）．
∵∠PDB＝∠BOC＝90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
若△OCB∽△DBP，则 ，
①
即 ，
解得n ．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m， ）或（m， ），
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m， ）
若△OCB∽△DPB，则 ，
②
即 ，
解得n＝2m﹣2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），
∵P在第一象限，m＞1，
∴点P的坐标为（m，2m﹣2）
第 21 页 / 共 28 页综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m， ），（m，2m﹣2）．
（3）
方法一：
假设在抛物线上存在第一象限内的点 Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的
等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD＝90°，∠QPE+∠BPD＝90°，
∴∠DBP＝∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，
，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD＝PE，DP＝EQ．
分两种情况：
当P（m， ）时，
①
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴ ，
解得 ， （均不合题意舍去）；
当P（m，2（m﹣1））时，
②∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴ ，
解得 ， （均不合题意舍去）；
第 22 页 / 共 28 页综上所述，不存在满足条件的点Q．
方法二：
若在第一象限内存在点Q，
∵B（1，0），P（m， ），
①
点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90°而成，
将点P平移至原点，得P′（0，0），则点B′（1﹣m， ），
将点B′顺时针旋转90°，则点Q′（ ，m﹣1），
将点P′平移回P（m， ），则点Q′平移后即为点Q，
∴Q（ ， ），
将点Q代入抛物线得：m2﹣m＝0，
∴m ＝1，m ＝0，
1 2
∴Q （1，0），Q （0， ）（均不合题意舍去），
1 2
∵B（1，0），P（m，2m﹣2），
②同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），
将点Q代入抛物线得：3m﹣3＝2（2﹣m）2﹣2，
∴2m2﹣11m+9＝0，
∴m ＝1，m ，
1 2
∴Q （1，0），Q （ ， ）（均不合题意舍去）
1 2
综上所述，不存在满足条件的点Q．
第 23 页 / 共 28 页【点拨】此题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数解析式的确定，相似三角形、
全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；在相似三角形的对应角和对
应边不确定的情况下，一定要注意分类讨论，以免漏解．
25．（14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．
重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质
可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明： ；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足 ，试判断
O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与 AB、AC相交于G、H（均不与
△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG ，S△AGH 分别表示四边形BCHG和△AGH
的面积，试探究 的最大值．
【微点】三角形的重心；相似形综合题．
第 24 页 / 共 28 页【思路】（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论；
（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由
（1）可知， ，而已知 ，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心；
（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出 的
表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．
【解析】（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．
∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．
∴DE是中位线，
∴DE∥AC，且DE AC．
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∴ 2，
∵AD＝AO+OD，
∴ ．
（2）答：点O是△ABC的重心．
证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．
第 25 页 / 共 28 页由（1）可知， ，
而 ，
∴点Q与点O重合（是同一个点），
∴点O是△ABC的重心．
（3）解：如答图3所示，连接DG．
设S△GOD ＝S，由（1）知 ，即OA＝2OD，
∴S△AOG ＝2S，S△AGD ＝S△GOD +S△AGO ＝3S．
为简便起见，不妨设AG＝1，BG＝x，则S△BGD ＝3xS．
∴S△ABD ＝S△AGD +S△BGD ＝3S+3xS＝（3x+3）S，
∴S△ABC ＝2S△ABD ＝（6x+6）S．
设OH＝k•OG，由S△AGO ＝2S，得S△AOH ＝2kS，
∴S△AGH ＝S△AGO +S△AOH ＝（2k+2）S．
∴S四边形BCHG ＝S△ABC ﹣S△AGH ＝（6x+6）S﹣（2k+2）S＝（6x﹣2k+4）S．
∴
①
第 26 页 / 共 28 页如答图 3，过点 O 作 OF∥BC 交 AC 于点 F，过点 G 作 GE∥BC 交 AC 于点 E，则
OF∥GE．
∵OF∥BC，
∴ ，
∴OF CD BC；
∵GE∥BC，
∴ ，
∴GE ；
∴ ，
∴ ．
∵OF∥GE，
∴ ，
∴ ，
∴k ，代入 式得：
①
x2+x+1＝﹣（x ）2 ，
∴当x 时， 有最大值，最大值为 ．
【点拨】本题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应
用，考查了相似三角形、中位线、图形面积、二次函数最值等知识点．试题的难点在于
第（3）问，如何求出 的关系式是解题的关键；另外，第（3）问尚有多种不
同的解法，同学们可以深入探究．
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