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（北师大版）七年级上册数学《第 3 章 整式及其加减》
3.1 代数式
代数式
知识点一
◆1、代数式的定义：像 的式子都是用运算符号把数与字母连接而成的，
叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
【注意】
（1）运算符号包括＋、－、×、÷、乘方．
（2）带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
◆2、代数式书写注意事项：
（1）在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
（2）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
（3）含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
列代数式及其表示的意义
知识点二
◆1、列代数式的定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就
是列代数式．
◆2、列代数式应该注意的以下五点：
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又
要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
◆3、代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义．
1单项式
知识点三
◆1、单项式的定义：
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
◆2、判断单项式的方法：
（1）单独一个数或一个字母也是单项式.
（2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
（3）单项式数字因数与字母可能一个或多个.
（4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
◆3、单项式的系数、次数
（1）系数：单项式中数与字母相乘，通常把数字因数叫作系数；
（2）次数：所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.
（3）确定单项式的系数及次数时，应注意：
① 圆周率 π 是常数；
② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写；
③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
多项式
知识点四
◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
（1）单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就
叫b次a项式．
（2）多项式的每一项包含它前面的符号．
◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
（1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
（2）一个多项式的最高次项可以不唯一.
2（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式.
整式
知识点五
（1）单项式和多项式统称整式.
（2）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数
式，但反过来不一定成立.
（3）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
题型一 代数式及其意义
3解题技巧提炼
1、用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字
母也是代数式．
2、代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含
义．
1．（2023秋•射洪市期末）下列代数式中符合书写要求的是（ ）
1 1
A．ab2×4 B．6xy2÷3 C．2 a2b D． x
2 4
1
2．（2024春•禹城市校级月考）在 ，x2+2，1﹣2x＝0，√x+ y，ab，a＞3，0， 中，代数式有（ ）
a
π
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3．（2024春•内黄县期末）单项式﹣5x的意义可以是（ ）
A．﹣5与x的和 B．﹣5与x的差 C．﹣5与x的积 D．﹣5与x的商
4．（2024•丛台区校级三模）下列四个叙述，正确的是（ ）
A．3x表示3与x的和
B．3x+5表示3个x与5的和
C．x2表示2个x的和
D．3x2表示3x与3x的积
5．若练习本每本a元，铅笔每支b元，那么代数式8a+3b表示的意义是 ．
6．用一生活情景描述1.5a+2b的实际意义： ．
7．（2023秋•郑州期末）某网店进行促销，将原价 a元的商品以（0.8a﹣20）元出售，该网店对该商品促
销的方法是 ．
8．（2023秋•南开区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．表示﹣x的平方的式子是﹣x2
B．表示x、（﹣y）2、﹣3的积的式子是3xy2
C．x、y两数差的平方表示为（x﹣y）2
D．x2+y2的意义是x与y和的平方
题型二 列代数式及求值
4解题技巧提炼
1、把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出
来，就是列代数式．
2、求代数式的值就是将具体的数值代入到代数式中，并按照一定的运算规则进
行计算即可解答.
1．（2024•岳麓区校级三模）中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八
人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每 4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；
若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x辆车，则总人数可
表示为（ ）
A．4（x﹣1） B．4（x+1） C．2x﹣8 D．2（x+1）+8
2．（2023秋•惠安县期中）若x＝3，则代数式2x+3的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．26
3．（2023秋•彰武县期末）若x2+3x﹣5的值为7，则3x2+9x﹣2的值为（ ）
A．44 B．34 C．24 D．14
4．（2024•绿园区校级开学）淘气今年m岁，爸爸的年龄比淘气的2倍多5岁，爸爸今年 岁．
5．（2024•镇平县模拟）有一盒圆珠笔，若平均分给甲组的m位同学，每人可分5支；若平均分给乙组的
同学，每人可多分1支，则乙组有 位同学．
6．（2023秋•伊通县期末）若2m2+m＝﹣1，则4m2+2m+5＝ ．
7．（2024春•威海期末）某个数值转换器原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，
第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2021次输出的结果是 ．
8．（2024春•揭西县月考）如图，在某一禁毒基地的建设中，准备在一个长为6a米，宽为5b米的长方形
草坪上修建两条宽分别为a和b米的通道．
（1）剩余草坪的面积是多少平方米？
（2）若a＝1，b＝3，则剩余草坪的面积是多少平方米？
5题型三 单项式的有关概念
解题技巧提炼
1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项
式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如 a或﹣a这样的
式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这
个单项式为几次单项式．
b
1．（2022秋•连山区期末）在0，3x+1， ，x2，﹣5a中，属于单项式的有（ ）
a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023秋•英德市期末）单项式﹣xy2的次数是（ ）
A．2 B．3 C．﹣1 D．1
2πa2b2
3．（2023秋•湖北期末）下列关于单项式− 的说法正确的是（ ）
3
2
A．次数是2，系数是﹣2 B．次数是5，系数是−
3
π
2 2
C．次数是4，系数是− π D．次数是4，系数是
3 3
4．（2024•黔南州一模）下列各式中，运算结果是次数为5的单项式的是（ ）
A．a5+b5 B．（a2）3 C．a3•a2 D．（ab2）2
65．（2024•渠县校级模拟）下列说法中正确的是（ ）
1 1
A．单项式 ab的系数是 ，次数是1
2 2
B．单项式a3b没有系数，次数是4
C．单项式√7πx y2的系数是√7，次数是4
D．单项式﹣5y的系数是﹣5，次数是1
2 2x2y x+ y 3
6．下列式子− ab， ， ，﹣a2bc，1，x2﹣2x+1， 中，单项式有 个．
3 5 2 a
7．（2023秋•中原区期末）请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式： ．
题型四 利用单项式的相关概念求值
解题技巧提炼
根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方
程，求出方程的解即可.
1．已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3
2．若单项式− x y3的系数是m，次数是n，则m+n＝（ ）
5
7 11 17 19
A． B． C． D．
5 5 5 5
3．（2024春•南岗区校级期中）已知（a+3）x2y|a|+1是关于x，y的六次单项式，则a的值是（ ）
A．3 B．﹣3
C．3或﹣3 D．以上都不对
4．若（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值．
5．已知（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式，求a2+3a﹣9的值．
1
6．（2023秋•东莞市期中）若3ax2y|2﹣b|是关于x，y的单项式，且系数为− ，次数是3，求a和b的值．
3
77．已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
题型五 多项式及整式的有关概念
解题技巧提炼
1、几个单项式的和叫做多项式.
2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也
不是多项式的式子一定不是整式.
1
1．（2023•南京模拟）多项式 x6 y2−2x3y4+3的次数和项数分别为（ ）
2
A．7，2 B．8，3 C．8，2 D．7，3
5 1
2．（2023秋•丛台区期末）式子x2+5，﹣1，﹣3x+2， ， ，x2+ ，5x中整式有（ ）
x x+1
π
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2023秋•法库县期末）下列说法正确的是（ ）
A．整式就是多项式 B． 是单项式
π3x−1
C．x4+2x3是七次二项式 D． 是单项式
5
4．下列结论不正确的是（ ）
A．abc的系数是1
B．多项式1﹣3x2﹣x中，二次项是﹣3x2
C．﹣ab3的次数是4
3xy
D．− 不是整式
4
5．在多项式2a4﹣4a3b2+7ab2﹣9中，最高次项的系数是（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．5
86．（2023秋•馆陶县期末）在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（ ）
A．a2﹣3 B．a3+2ab﹣1 C．4a3﹣b D．4a2﹣3b+2
2x
7．下列说法：① 的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2﹣x﹣2的常数项为2；④在
π
1 1 5 y
，2x+y， a2b， ，0中，整式有3个．其中正确的有（ ）
x 3 4x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型六 利用多项式的相关概念求值
解题技巧提炼
根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出
方程的解即可.
1．（2023秋•沙坪坝区校级期末）（m﹣2）x2﹣2mx+1是一个一次二项式，则m＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
2．（2023秋•襄都区期末）若5x4yn+（m﹣2）x﹣1是关于x，y的六次三项式，则下列说法错误的是（
）
A．m可以是任意数 B．六次项是5x4yn
C．n＝2 D．常数项是﹣1
1
3．如果关于x，y的多项式xy|a|− (a−2)y2+1是三次三项式，则a的值为 ．
3
4．若x|m|﹣1+（3+m）x﹣5是关于x的二次二项式，那么m的值为 ．
5．若多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝ ．
6．（2023秋•蒲城县期末）已知多项式﹣x4ym﹣1﹣4mx3﹣3y4﹣2y2+7是关于x，y的七次五项式．求该多项
式的三次项．
7．已知（m﹣1）x3﹣（n+2）x2+（2m﹣5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
98．（2023秋•澄城县期末）已知关于 x、y的多项式xy3﹣3x4+x2ym+2﹣5mn是五次四项式（m，n为有理
数），且单项式5x4﹣myn﹣3的次数与该多项式的次数相同．
（1）求m，n的值；
（2）将这个多项式按x的降幂排列．
1
9．（2023秋•辉县市期中）对于多项式 x|m|−(m−3)x+k2−1
2
（1）若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值．
（2）若此关于x的多项式不含常数项，求k的值．
题型七 综合利用单项式、多项式的相关概念求值
解题技巧提炼
主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解
题即可．
1．已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny2﹣m的次数与该多项式的次数相同．
求m，n的值
1 2
2．已知多项式﹣3x3ym+1+xy2− x3+6是六次四项式，单项式 xny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求
2 3
π
mn的值．
101 1
3．（2023秋•宝鸡期中）已知− a2b2−m是关于a，b的六次单项式， a2bn+1+ab−2a2+b−5是关于
2 2
a，b的四次五项式，求n﹣m的值．
4．﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同．
（1）求m，n的值；
（2）求多项式的常数项以及各项的系数和．
5．（2023秋•武冈市期末）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次
数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值．
6．（2023秋•澄城县期末）已知关于 x、y的多项式xy3﹣3x4+x2ym+2﹣5mn是五次四项式（m，n为有理
数），且单项式5x4﹣myn﹣3的次数与该多项式的次数相同．
（1）求m，n的值；
（2）将这个多项式按x的降幂排列．
题型八 多项式中结论开放性问题
解题技巧提炼
本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念
是关键．
111．（2023秋•淮滨县期末）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：
．
2．（2023秋•曹县期末）一个含有两个字母的三次二项式，它的次数最高的项的系数是负数，且常数项的
倒数是2，则这个代数式可以为 ．（写出个即可）
3．（2023秋•惠民县期末）写出一个含有x，y的五次三项式 ，其中最高次项的系数为﹣
2，常数项为6．
4．一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3，这个多项式最多有几项，试写出一个符合要求的多
项式．
5．写出一个关于x，y的六次四项式，且常数是﹣8．
6．写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件：
（1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或﹣1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母
a，b不含有其它字母．
7．试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件：
（1）六次三项式；
（2）每一项的系数均为1或﹣1；
（3）不含常数项；
（4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母．
题型九 单项式中的规律探究问题
解题技巧提炼
对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各
项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
1．（2023•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，
则第7个单项式是（ ）
12A．﹣19a7 B．19a7 C．﹣22a6 D．22a6
2．（2024•安宁市模拟）探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣3x2、5x3、﹣7x4、9x5、…，根据其中
的规律得出的第9个单项式是（ ）
A．﹣15x9 B．19x9 C．17x9 D．﹣17x9
3．（2023•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式
是（ ）
A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2
4．（2024春•香坊区校级期中）下面是一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4…观察它们的系数和指数的特
点，则第6个单项式是 ．
5．观察下列一系列单项式的特点：
1 1 1 1
x2y，− x2y2， x2y3，− x2y4，…
2 4 8 16
（1）写出第8个单项式；
（2）猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
6．探究规律题：
按照规律填上所缺的单项式并回答问题：
（1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4， ， ；
（2）试写出第2017个和第2018个单项式．
（3）试写出第n个单项式．
（4）试计算：当a＝﹣1时，a+（﹣2a2）+3a3+（﹣4a4）+…+99a99+（﹣100a100）的值．
题型十 多项式中的规律探究问题
解题技巧提炼
对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各
项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
1．一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（
）
A．n B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．2n
132．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 ．
3．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是 ．
4．有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10
个多项式为 ．
5．已知多项式﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，则第100项是 ，第2007项是 ，第n项是
．
6．观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题：
（1）它的第100项是什么？
（2）它的第n（n为正整数）项是什么？
（3）当x＝1时，求前2014项的和．
14
