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专题十五 《概率与分布列》讲义
15.4 正态分布
题型一 . 正正态分布
1．（2017•宝鸡三模）设随机变量 服从正态分布N（3，4），若P（ ＜2a﹣3）＝P
（ ＞a+2），则a的值等于（ ）ξ ξ
ξ 5 7
A． B． C．3 D．5
3 3
【解答】解：∵P（ ＜2a﹣3）＝P（ ＞a+2），
∴2a﹣3+a+2＝6， ξ ξ
7
∴a= ．
3
故选：B．
2．（2018春•清远期末）设两个正态分布N （ ，σ ）和N （ ， ）的密度函数曲线
1 1
❑
2 2 2 σ2
1 2
μ μ
如图所示，则有（ ）
A． ＜ ，σ ＜σ B． ＜ ，σ ＞σ
1 2 1 2 1 2 1 2
C．μ1 ＞μ2 ，σ
1
＜σ
2
D．μ1 ＞μ2 ，σ
1
＞σ
2
【解μ答】μ解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ
1
＜μ
2
，
正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小， μ μ
∴σ ＜σ
1 2
故选：A．
3．（2021春•沈阳期末）设X～N（ ，σ2 ），Y～N（ ，σ 2），这两个正态分布密度曲
1 1 2 2
线如图所示，下列结论中错误的是μ（ ） μA．P（Y≥ ）≥P（Y≥ ）
2 1
B．P（X≤μσ
2
）≤P（X≤μσ
1
）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
【解答】解：∵由图可知， ＜0＜u ，σ ＜σ ，
1 2 1 2
∴P（Y≥
2
）＜P（Y≥
1
）μ，故A选项错误，
由图可得，μ P（X≤σ
2
）＞μ P（X≤σ
1
），故B选项错误，
由图可得，对任意实数t，P（X≤t）≥P（Y≤t），而P（X≤t）＝1﹣P（X≥t），P
（Y≤t）＝1﹣P（Y≥t），故P（X≥t）＜P（Y≥t），故C选项正确，D选项错误．
故选：ABD．
4．（2016秋•武汉期末）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进
行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩 X服从正态分布N（80，σ2）（满分为
100分），已知P（X＜75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3
位同学．
（1）求抽取的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100）各
有一位同学的概率；
（2）记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为 ，求随机变量
的分布列和数学期望E（ ）． ξ ξ
ξ 1
【解答】解：（1）P(80≤X＜85)= −P(X＜75)=0.2⋯（2 分）P（85≤X＜
2
95）＝0.3﹣0.1＝0.2，P（95≤X＜100）＝0.1，…（4分）
所以所求概率为 （6分）
P=A3×0.2×0.2×0.1=0.024⋯
3
（2） 的可能值为0，1，2，3．则
P(ξ=k)=Ck (0.4) k (0.6) 3−k，k=0，1，2，3
3
ξ
．，
，
P(ξ=0)=C0 (0.4) 0 (0.6) 3=0.216
3
，
P(ξ=1)=C1 (0.4) 1 (0.6) 2=0.432
3
，
P(ξ=2)=C2 (0.4) 2 (0.6) 1=0.288
3P(ξ=3)=C3 (0.4) 3 (0.6) 0=0.064
3
0 1 2 3
Pξ 0.216 0.432 0.288 0.064
E（ ）＝0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064＝1.2…（12分）
ξ
5．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质量
指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中数据用该组
区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（ ，σ2），其中
近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．
μ μ
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位
于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：√150≈12.2．
若Z～N（ ，σ2）则P（ ﹣σ＜Z＜ +σ）＝0.6826，P（ ﹣2σ＜Z＜ +2σ）＝0.9544．
【解答】解μ：（Ⅰ）抽取μ产品的质量μ指标值的样本平均数μx和样本方μ差s2分别为：
x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200，
s2 ＝ （ ﹣ 30 ） 2×0.02+ （ ﹣ 20 ） 2×0.09+ （ ﹣ 10 ）
2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣
12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26．
6．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为
这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（ ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16个零μ 件中其尺寸在（ ﹣3σ，
+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望； μ
μ（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3σ， +3σ）之外的零件，就认为这条
生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况μ，需对当μ 天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 1 16 9.97，s √ 1 16 √ 1 16 0.212，
x= ∑ x = = ∑ (x −x) 2= (∑ x2−16x2 )≈
16 i 16 i 16 i
i=1 i=1 i=1
其中x 为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
i
用样本平均数 作为 的估计值̂(cid:16) ，用样本标准差s作为σ的估计值̂(cid:16) ，利用估计值判断
x
μ σ
μ
是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3σ， +3σ）之外的数据，用剩下的数据
估计 和σ（精确到0.01）． μ μ
附：若μ 随机变量 Z服从正态分布 N（ ，σ2），则P（ ﹣3σ＜Z＜ +3σ）＝0.9974，
0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09． μ μ μ
【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（ ﹣3σ， +3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（ ﹣3σ， +3σ）之外的概率为1﹣μ 0.9974μ＝0.0026，
由题意知μX～B（1μ6，0.0026），
因为P（X＝0） （1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
=C0 ×
16
所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，
因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）＝16×0.0026＝0.0416；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) 之外的概率只有
(μ−3σ，μ+3σ)
0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) 之外的零件的概率
(μ−3σ，μ+3σ)只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生
产过程的方法是合理的．
（ⅱ）由 x=9.97，s≈0.212，得 的估计值为̂(cid:16) 9.97，σ的估计值为̂(cid:16) 0.212，由样本
μ= σ=
μ
数据可以看出一个
零件的尺寸在 ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) 之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
(μ−3σ，μ+3σ)
剔除 ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) 之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
(μ−3σ，μ+3σ)
1
（16×9.97﹣9.22）＝10.02，
15
因此 的估计值为10.02．
16 μ 2＝16×0.2122+16×9.972≈1591.134，
∑ x
i
i=1
剔除 ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) ̂(cid:16) 之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
(μ−3σ，μ+3σ)
1
（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，
15
因此σ的估计值为√0.008≈0.09．
题型二 . 分布列综合问题
1．微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调
查，结果如表：
n [0，3） [3，6） [6，9） [9，12） [12，15） [15，18）
男同学人数 7 15 11 12 2 1
女同学人数 5 13 20 9 3 2
若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”．
（Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？
（Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．
（i）设A为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；
（ii）用X表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量 X的分布列和数学
期望．【解答】解：（Ⅰ）样本中“社会实践标兵”不低于12次的学生有8人，
8
∴该校学生中“社会实践标兵”有：1600× =128人．
100
（Ⅱ）8名“社会实践标兵”中有男同学3人，女同学5人，
（i）A为“抽取的4位同学全是女同学”，
∴P（ A ） = C 5 4 = 1 ，
C4 14
8
1 13
∴P（A）＝1﹣P（A）＝1− = ．
14 14
（ii）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X＝0） = C 5 4 = 1 ，
C4 14
8
P（X＝1） = C1 3 C 5 3 = 3，
C4 7
8
P（X＝2） = C 3 2C 5 2 = 3，
C4 7
8
P（X＝3） = C 3 3C 5 1 = 1 ．
C4 14
8
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1 3 3 1
14 7 7 14
1 3 3 1 3
E（X）=0× +1× +2× +3× = ．
14 7 7 14 2
2．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50个作为样
本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，
（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为 ，求 的分布
ξ ξ列和数学期望及方差．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10＝1
解得a＝0.03；
（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40＝24.6（克）
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（Ⅲ）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的频率为0.2；
则 ～B（3，0.2），
＝ξ0，1，2，3；
ξ 64
P（ ＝0）＝C 0×0.83= ；
3
125
ξ
48
P（ ＝1）＝C 1×0.82×0.2= ；
3
125
ξ
12
P（ ＝2）＝C 2×0.8×0.22= ；
3
125
ξ
1
P（ ＝3）＝C 3×0.23= ，
3
125
ξ
∴ 的分布列为：
ξ 0 1 2 3
Pξ 64 48 12 1
125 125 125 125
E ＝3×0.2＝0.6，D ＝3×0.2×0.8＝0.48．
3．某ξ纺织厂为了生产一ξ 种高端布料，准备从A农场购进一批优质棉花，厂方技术员从A农
场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的
均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：
长度（单 [23， [25， [27， [29， [31， [33， [35， [37，39]
位： 25） 27） 29） 31） 33） 35） 37）
mm）频数 4 9 16 24 18 14 10 5
（1）求这100个样本数据的平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
（2）将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布 X～N（ ，
σ2）其中 ≈x，σ2＝s2 μ
①利用正μ态分布，求P（X＞ ﹣2σ）；
②纺织厂将A农场送来的这批μ优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均
值y（i＝1，2…，20），数据如下：
i
y y y y y y y y y y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
24.1 31.8 32.7 28.2 28.4 34.3 29.1 34.8 37.2 30.8
y y y y y y y y y y
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
30.6 25.2 32.9 27.1 35.9 28.9 33.9 29.5 35.0 29.9
若20个样本中纤维均值Y＞ ﹣2σ的频率不低于①中P（X＞ ﹣2σ）即可判断该批优
质棉花合格，否则认为农场运μ送时掺杂了次品，判断该批棉花不μ合格．按照此依据判断
A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由．
附：若Z～N（ ，σ2），则P（ ﹣σ＜Z＜ +σ）＝0.6827，P（ ﹣2σ＜Z＜ +2σ）＝
0.9543，√12.28μ≈3.504 μ μ μ μ
【 解 答 】 解 ： （ 1 ）
1
x= (4×24+9×26+16×28+24×30+18×32+14×34+10×36+5×38)=31，
100
1
s2= (4×72+9×52+16×32+24×1+18×1+14×32+10×52+5×72 )=12.28；
100
（2）棉花的纤维长度服从分布X～N（ ，σ2），其中 ＝31，σ=√12.28≈3.504．
μ 1 μ
①利用正态分布，则P（X＞ ﹣2σ）=1− (1−0.954)=0.97715，
2
μ
② ﹣2σ＝31﹣2×3.504≈23.992，
故f（μ Y＞ ﹣2σ）＝f（Y＞23.992）＝1，满足条件，
∴认为该批μ 优质棉花合格．
课后作业 . 正态分布
1．随机变量 服从正态分布N（ ，σ2），若P（ ＜2）＝0.2，P（2＜ ＜6）＝0.6，则
ξ μ ξ ξ＝ 4 ．
μ【解答】解：由题意可知，P（ ＜6）＝P（ ＜2）+P（2＜ ＜6）＝0.2+0.6＝0.8，
∴P（ ＞6）＝1﹣0.8＝0.2， ξ ξ ξ
∵（ ＜ξ 2）＝P（ ＞6），
ξ2+6
ξ
∴μ= =4．
2
故答案为：4．
2．已知随机变量X～N（0.4，σ 2），Y～N（0.8，σ 2），其正态曲线如图所示，则下列说
1 2
法错误的是（ ）
A．P（X≥0.4）＝P（Y≥0.8）
B．P（X≥0）＝P（Y≥0）
C．X的取值比Y的取值更集中于平均值
D．两支正态曲线与x轴之间的面积均为1
【解答】解：由已知得 ＝0.4， ＝0.8，σ ＜σ ，所以 P（X≥0.4）＝0.5，P
1 2 1 2
（Y≥0.8）＝0.5，故A正确μ， μ
由图象可知，在 y轴的左侧，分布列 X的图象在 Y的图象下方，故 P（X≥0）＞P
（Y≥0），故B错误，
分布列X的图象比Y的图象更“高瘦”，故X的取值比Y的取值更集中于平均值左右，
故C正确，
两支密度曲线与x轴之间的面积均为1，故D正确．
故选：B．
3．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交
站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需
时间Z（单位：分）服从正态分布N（33，42），下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间 Z（单位：分）服从正态分布N（44，
22），下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度看，下列说法合理的是（
）
A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到
B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大
D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到
【解答】解：对于A，若8：00出门，A先生乘坐公交，从甲到车站需要5分钟，下车
后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z （单位：分钟）服从正态分布 N（33，
1
42），
1−P(21＜Z＜45) 1−0.9974
当满足P（Z≥45）= = =0.0013时，江先生仍旧有可能
2 2
迟到，只不过发生的概率较小，故选项A错误；
对于B，若8：02出门，江先生乘坐地铁，因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再
到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z （单位：分钟）服从正态分布 N（44，
2
22），
1−P(40＜Z＜48)
故当满足P（Z≤48）= +P（40＜Z＜48）＝0.9972时，A先生乘
2
坐地铁不会迟到；故选项B正确；
对于C：若8：06出门，江先生乘坐公交，因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再
到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z （单位：分钟）服从正态分布 N（33，
1
42），
1−P(29＜Z＜37)
故当满足P（Z≤37）= +P（29＜Z＜37）＝0.8413时，江先生乘
2
坐公交不会迟到；故选项C正确；
对于D：若8：12出门，江先生乘坐地铁，因为从家到车站需要5分钟，下地铁后步行
再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z （单位：分钟）服从正态分布 N（44，
2
22），1−P(38＜Z＜50)
故当满足P（Z≤38）= =0.00135时，江先生乘坐地铁会迟到，故
2
选项D错误．
故选：BC．
4．某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现
其成绩服从正态分布N（69，49），现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理
后，绘制出如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算该校50名学生成绩的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（Ⅱ）求这50名学生成绩在[80，100]内的人数；
（Ⅲ）现从该校50名考生成绩在[80，100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名
（从高到低）在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：若X～N（ ，σ2），则P（ ﹣σ＜X≤ +σ）＝0.6828
P（ ﹣2σ＜X≤ +2σ）μ＝0.9544 μ μ
P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
【 μ 解 答 】 μ 解 ： （ Ⅰ ） 该 校 50 名 学 生 成 绩 的 平 均 值 x=
45×0.08+55×0.20+65×0.32+75×0.20+85×0.12+95×0.08＝68.2；
（Ⅱ）这50名学生成绩在[80，100]内的频率为0.20，则这50名学生成绩在[80，100]内
的人数为50×（0.08+0.12）＝10；
（Ⅲ）∵P（69﹣3×7＜X≤69+3×7）＝0.9974，
1
∴P（ ≥90）= （1﹣0.9974）＝0.0013，
2
ξ
∵0.0013×20000＝26．
∴全市前26名的排名（从高到低） 最低是90，这50人中90分以上的有50×0.08＝4人．
随机变量X可取0，1，2，于是P（X＝0） = C 6 2 = 1，P（X＝1） = C1 6 ⋅C1 4= 8 ，P（X＝2） = C2 4 = 2 ，
C2 3 C2 15 C2 15
10 10 10
X 0 1 2
P 1 8 2
3 15 15
1 8 2 4
∴E（X）＝0× +1× +2× = ．
3 15 15 5
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