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专题十五 《概率与分布列》讲义
15.4 正态分布
题型一 . 正正态分布
1．（2017•宝鸡三模）设随机变量 服从正态分布N（3，4），若P（ ＜2a﹣3）＝P
（ ＞a+2），则a的值等于（ ）ξ ξ
ξ 5 7
A． B． C．3 D．5
3 3
2．（2018春•清远期末）设两个正态分布N （ ，σ ）和N （ ， ）的密度函数曲
1 1
❑
2 2 2 σ2
1 2
μ μ
线如图所示，则有（ ）
A． ＜ ，σ ＜σ B． ＜ ，σ ＞σ
1 2 1 2 1 2 1 2
C．μ1 ＞μ2 ，σ
1
＜σ
2
D．μ1 ＞μ2 ，σ
1
＞σ
2
3．（2μ021春μ •沈阳期末）设X～N（ 1 ，σ2 1 ），Y～Nμ（ μ2 ，σ 2 2），这两个正态分布密度曲
线如图所示，下列结论中错误的是μ（ ） μ
A．P（Y≥ ）≥P（Y≥ ）
2 1
B．P（X≤μσ
2
）≤P（X≤μσ
1
）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
4．（2016秋•武汉期末）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进
行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩 X服从正态分布N（80，σ2）（满分为
100分），已知P（X＜75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3
位同学．
（1）求抽取的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100）各有一位同学的概率；
（2）记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为 ，求随机变量
的分布列和数学期望E（ ）． ξ ξ
5．（2014•新课标Ⅰ）从某ξ企业生产的某种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质量
指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中数据用该组
区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（ ，σ2），其中
近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．
μ μ
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位
于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：√150≈12.2．
若Z～N（ ，σ2）则P（ ﹣σ＜Z＜ +σ）＝0.6826，P（ ﹣2σ＜Z＜ +2σ）＝0.9544．
6．（2017•新μ课标Ⅰ）为了μ监控某种零μ件的一条生产线的生μ产过程，检μ验员每天从该生产
线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为
这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（ ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16个零μ 件中其尺寸在（ ﹣3σ，
+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望； μ
μ（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3σ， +3σ）之外的零件，就认为这条
生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况μ，需对当μ 天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 1 16 9.97，s √ 1 16 √ 1 16 0.212，
x= ∑ x = = ∑ (x −x) 2= (∑ x2−16x2 )≈
16 i 16 i 16 i
i=1 i=1 i=1
其中x 为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
i
用样本平均数 作为 的估计值̂(cid:8) ，用样本标准差s作为σ的估计值̂(cid:8) ，利用估计值判断
x
μ σ
μ
是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3σ， +3σ）之外的数据，用剩下的数据
估计 和σ（精确到0.01）． μ μ
附：若μ 随机变量 Z服从正态分布 N（ ，σ2），则P（ ﹣3σ＜Z＜ +3σ）＝0.9974，
0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09． μ μ μ
题型二 . 分布列综合问题
1．微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调
查，结果如表：
n [0，3） [3，6） [6，9） [9，12） [12，15） [15，18）
男同学人数 7 15 11 12 2 1
女同学人数 5 13 20 9 3 2
若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”．
（Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？
（Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．
（i）设A为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；
（ii）用X表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量 X的分布列和数学
期望．
2．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50个作为样
本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，
（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为 ，求 的分布
列和数学期望及方差． ξ ξ3．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A农场购进一批优质棉花，厂方技术员从A农
场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的
均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：
长度（单 [23， [25， [27， [29， [31， [33， [35， [37，39]
位： 25） 27） 29） 31） 33） 35） 37）
mm）
频数 4 9 16 24 18 14 10 5
（1）求这100个样本数据的平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
（2）将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布 X～N（ ，
σ2）其中 ≈x，σ2＝s2 μ
①利用正μ态分布，求P（X＞ ﹣2σ）；
②纺织厂将A农场送来的这批μ优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均
值y（i＝1，2…，20），数据如下：
i
y y y y y y y y y y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
24.1 31.8 32.7 28.2 28.4 34.3 29.1 34.8 37.2 30.8
y y y y y y y y y y
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
30.6 25.2 32.9 27.1 35.9 28.9 33.9 29.5 35.0 29.9
若20个样本中纤维均值Y＞ ﹣2σ的频率不低于①中P（X＞ ﹣2σ）即可判断该批优
质棉花合格，否则认为农场运μ送时掺杂了次品，判断该批棉花不μ合格．按照此依据判断
A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由．
附：若Z～N（ ，σ2），则P（ ﹣σ＜Z＜ +σ）＝0.6827，P（ ﹣2σ＜Z＜ +2σ）＝
0.9543，√12.28μ≈3.504 μ μ μ μ课后作业 . 正态分布
1．随机变量 服从正态分布N（ ，σ2），若P（ ＜2）＝0.2，P（2＜ ＜6）＝0.6，则
＝ ． ξ μ ξ ξ
2．μ已知随机变量X～N（0.4，σ
1
2），Y～N（0.8，σ
2
2），其正态曲线如图所示，则下列说
法错误的是（ ）
A．P（X≥0.4）＝P（Y≥0.8）
B．P（X≥0）＝P（Y≥0）
C．X的取值比Y的取值更集中于平均值
D．两支正态曲线与x轴之间的面积均为1
3．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交
站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需
时间Z（单位：分）服从正态分布N（33，42），下车后从公交站步行到单位要12分钟；
乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间 Z（单位：分）服从正态分布N（44，
22），下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度看，下列说法合理的是（
）
A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到
B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大
D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到
4．某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现
其成绩服从正态分布N（69，49），现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理
后，绘制出如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算该校50名学生成绩的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）求这50名学生成绩在[80，100]内的人数；
（Ⅲ）现从该校50名考生成绩在[80，100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名
（从高到低）在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：若X～N（ ，σ2），则P（ ﹣σ＜X≤ +σ）＝0.6828
P（ ﹣2σ＜X≤ +2σ）μ＝0.9544 μ μ
P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
μ μ
