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2018 年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。每个小题只有一个选项符合题
目要求。
1．（3分）（﹣2018）0的值是（ ）
A．﹣2018 B．2018 C．0 D．1
【微点】零指数幂．
【思路】根据零指数幂的意义即可求解．
【解析】解：（﹣2018）0＝1．
故选：D．
【点拨】本题考查了零指数幂的意义，掌握a0＝1（a≠0）是解题的关键．
2．（3分）四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量
为2075亿元．将2075亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.2075×1012 B．2.075×1011
C．20.75×1010 D．2.075×1012
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：将2075亿用科学记数法表示为：2.075×1011．
故选：B．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2
＝44°，那么∠1的度数是（ ）
A．14° B．15° C．16° D．17°
第 1 页 / 共 23 页【微点】平行线的性质．
【思路】依据∠ABC＝60°，∠2＝44°，即可得到∠EBC＝16°，再根据BE∥CD，即可
得出∠1＝∠EBC＝16°．
【解析】解：如图，∵∠ABC＝60°，∠2＝44°，
∴∠EBC＝16°，
∵BE∥CD，
∴∠1＝∠EBC＝16°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a3+a2＝a5 C．（a2）4＝a8 D．a3﹣a2＝a
【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【思路】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项
的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方
法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
【解析】解：A、a2•a3＝a5，故原题计算错误；
B、a3和a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、（a2）4＝a8，故原题计算正确；
D、a3和a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
故选：C．
【点拨】此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，以及合并同类项，关键是掌握计
算法则．
5．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
第 2 页 / 共 23 页C． D．
【微点】中心对称图形．
【思路】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点拨】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
6．（3分）等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【微点】二次根式的乘除法；在数轴上表示不等式的解集．
【思路】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【解析】解：由题意可知：
解得：x≥3
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本
题属于基础题型．
7．（3分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，
得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）
【微点】坐标与图形变化﹣旋转．
【思路】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．
第 3 页 / 共 23 页【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣4，3）．
故选：B．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形
象直观．
8．（3分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人
数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【微点】一元二次方程的应用．
【思路】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得
出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得： x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x ＝11，x ＝﹣10（不合题意，舍去）．
1 2
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
9．（3分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积
为25 m2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
π
第 4 页 / 共 23 页A．（30+5 ） m2 B．40 m2
C．（30+5 ）πm2 D．55πm2
【微点】圆锥的计π算． π
【思路】利用圆的面积得到底面圆的半径为5，再利用勾股定理计算出母线长，接着根
据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积，最后求它
们的和即可．
【解析】解：设底面圆的半径为R，
则 R2＝25 ，解得R＝5，
圆锥π的母线π长 ，
所以圆锥的侧面积 •2 •5• 5 ；
π π
圆柱的侧面积＝2 •5•3＝30 ，
所以需要毛毡的面π积＝（30π+5 ）m2．
故选：A． π π
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆
锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．（3分）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，
继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离
此航线的最近距离是（ ）（结果保留小数点后两位）（参考数据： 1.732，
1.414）
A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里
【微点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【思路】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC＝30°、∠ACB＝15°，作BD⊥AC于点
D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE＝∠ACB＝15°，设BD＝x，则AB
＝BE＝CE＝2x、AD＝DE x，据此得出AC＝2 x+2x，根据题意列出方程，求解
可得．
【解析】解：如图所示，
第 5 页 / 共 23 页由题意知，∠BAC＝30°、∠ACB＝15°，
作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE＝∠ACB＝15°，
则∠BED＝30°，BE＝CE，
设BD＝x，
则AB＝BE＝CE＝2x，AD＝DE x，
∴AC＝AD+DE+CE＝2 x+2x，
∵AC＝30，
∴2 x+2x＝30，
解得：x 5.49，
故选：B．
【点拨】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及的知识有：三角形的外角
性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，以及垂线段最短的应用，其中
理解题意，画出相应的图形，把实际问题转化为数学问题是解此类题的关键．
11．（3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的
顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE ，AD ，则两个三角形重叠部分的面积
为（ ）
A． B．3 C． D．3
【微点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【思路】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求
第 6 页 / 共 23 页出△ABC的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；
【解析】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．
∵∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB，
∵CE＝CD，CA＝CB，
∴△ECA≌△DCB，
∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD ，
∵∠EDC＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠CDB＝90°，
在Rt△ADB中，AB 2 ，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC 2×2＝2，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM＝ON，
∵ ，
∴S△AOC ＝2 3 ，
故选：D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平
分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择
题中的压轴题．
12．（3分）将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
第 7 页 / 共 23 页21 23 25 27 29
…
按照以上排列的规律，第25行第20个数是（ ）
A．639 B．637 C．635 D．633
【微点】规律型：数字的变化类．
【思路】由三角形数阵，知 3+5＝8＝23，7+9+11＝27＝33，13+15+17+19＝64＝43，
21+23+25+27+29＝125＝53，进而得出方程可得答案．
【解析】解：根据三角形数阵可知，3+5＝8＝23，
7+9+11＝27＝33，
13+15+17+19＝64＝43，
21+23+25+27+29＝125＝53，
设第25行中间的数是x，可得：253＝25x，
解得：x＝625，
即第13个数是625，第20个数是x＝x+2×7＝625+14＝639，
故选：A．
【点拨】本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线
上。
13．（3分）因式分解：x2y﹣4y3＝ y （ x ﹣ 2 y ）（ x + 2 y ） ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．
【解析】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．
故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．
【点拨】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项
式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公
式法分解．
14．（3分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐
标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 2 ） ．
第 8 页 / 共 23 页【微点】坐标确定位置．
【思路】首先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得
“卒”的坐标．
【解析】解：“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣2）．
【点拨】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．
15．（3分）现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从这5根木条中任取3根，能构
成三角形的概率是 ．
【微点】三角形三边关系；列表法与树状图法．
【思路】先列举出从1，2，3，4，5的木条中任取3根的所有等可能结果，再根据三角
形三边间的关系从中找到能组成三角形的结果数，利用概率公式计算可得．
【解析】解：从1，2，3，4，5的木条中任取3根有如下10种等可能结果：
3、4、5；2、4、5；2、3、5；2、3、4；1、4、5；1、3、5；1、3、4；1、2、5；1、
2、4；1、2、3；
其中能构成三角形的有3、4、5；2、4、5；2、3、4这三种结果，
所以从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举
出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏
第 9 页 / 共 23 页地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
16．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面
宽度增加 （ 4 4 ） m．
【微点】二次函数的应用．
【思路】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2
代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C
点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线
顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两
点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±2 ，所以水面宽度增加到4 米，比原先的宽度当然是增加了（4 4）
米，
故答案为：4 4．
第 10 页 / 共 23 页【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析
式是解决问题的关键．
17．（3分）已知a＞b＞0，且 ，则 ．
【微点】分式的加减法．
【思路】移项后，把分式加减，得到关于a、b的齐二次方程，解二次方程用含b的代
数式表示出a，得结果．
【解析】解：因为 ，
所以
整理，得a2﹣2ab﹣2b2＝0
所以a
＝b± b
因为a＞b＞0
所以a＝（1 ）b
所以
故答案为：
【点拨】本题考查了分式的加减，一元二次方程的解法．解决本题的关键是解二次方程，
用含b的代数式表示a．
18．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相
交于O点，则AB＝ ．
【微点】三角形的重心；勾股定理．
第 11 页 / 共 23 页【思路】利用三角形中线定义得到BD＝2，AE ，且可判定点O为△ABC的重心，
所以AO＝2OD，OB＝2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2＝4，OE2+AO2 ，等量代换
得到BO2 AO2＝4， BO2+AO2 ，把两式相加得到BO2+AO2＝5，然后再利用勾股
定理可计算出AB的长．
【解析】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，
∴BD BC＝2，AE AC ，点O为△ABC的重心，
∴AO＝2OD，OB＝2OE，
∵BE⊥AD，
∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2 ，
∴BO2 AO2＝4， BO2+AO2 ，
∴ BO2 AO2 ，
∴BO2+AO2＝5，
∴AB ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为
2：1． 也考查了勾股定理．
三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（16分）（1）计算： sin60°+|2 |
（2）解分式方程： 2
【微点】实数的运算；解分式方程；特殊角的三角函数值．
【思路】（1）根据算术平方根、特殊角的三角函数、绝对值进行计算即可；
（2）先去分母，再解整式方程即可，注意检验．
【解析】解：（1）原式 3 2
第 12 页 / 共 23 页2
＝2；
（2）去分母得，x﹣1+2（x﹣2）＝﹣3，
3x﹣5＝﹣3，
解得x ，
检验：把x 代入x﹣2≠0，所以x 是原方程的解．
【点拨】本题考查了实数的运算以及解分式方程，掌握算术平方根、特殊角的三角函数、
绝对值是解题的关键，分式方程一定要验根．
20．（11分）绵阳某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计
图和扇形统计图：
设销售员的月销售额为x（单位：万元）．销售部规定：当x＜16时为“不称职”，当
16≤x＜20时为“基本称职”，当20≤x＜25时为“称职”，当x≥25时为“优秀”．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全折线统计图和扇形统计图；
（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数和众数；
（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额
达到或超过这个标准的销售员将获得奖励．如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售
员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果取整数）？并简述其理
由．
【微点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；折线统计图；中位数；众数．
【思路】（1）根据称职的人数及其所占百分比求得总人数，据此求得不称职、基本称
第 13 页 / 共 23 页职和优秀的百分比，再求出优秀的总人数，从而得出26万元的人数，据此即可补全图
形．
（2）根据中位数和众数的定义求解可得；
（3）根据中位数的意义求得称职和优秀的中位数即可得出符合要求的数据．
【解析】解：（1）∵被调查的总人数为 40人，
∴不称职的百分比为 100%＝10%，基本称职的百分比为 100%＝
25%，优秀的百分比为1﹣（10%+25%+50%）＝15%，
则优秀的人数为15%×40＝6，
∴得26分的人数为6﹣（2+1+1）＝2，
补全图形如下：
（2）由折线图知称职与优秀的销售员职工人数分布如下：
20万4人、21万5人、22万4人、23万3人、24万4人、25万2人、26万2人、27万
1人、28万1人，
则称职与优秀的销售员月销售额的中位数为 22.5万、众数为21万；
（3）月销售额奖励标准应定为23万元．
∵称职和优秀的销售员月销售额的中位数为22.5万元，
∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定
为23万元．
【点拨】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（11分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车
第 14 页 / 共 23 页与6辆小货车一次可以运货17吨．
（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次
运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货
运公司应如何安排车辆最节省费用？
【微点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【思路】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆大
货车与4辆小货车一次可以运货18吨、2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨”
列方程组求解可得；
（2）因运输33吨且用10辆车一次运完，故10辆车所运货不低于10吨，且因为大货车
运费高于小货车，故用大货车少费用就小进行安排即可．
【解析】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意
可得：
，
解得： ，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨；
（2）设货运公司拟安排大货车m辆，则安排小货车（10﹣m）辆，
根据题意可得：4m+1.5（10﹣m）≥33，
解得：m≥7.2，令m＝8，
大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小
则安排方案有：大货车8辆，小货车2辆，
【点拨】本题以运货安排车辆为背景考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，
体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建
立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类
试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．
22．（11分）如图，一次函数y x 的图象与反比例函数y （k＞0）的图象交
于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．
第 15 页 / 共 23 页【微点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出 |k|＝1，进而得到反比例函数
的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，
点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A′B的长；利用待定系数法求出直线
A′B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标．
【解析】解：（1）∵反比例函数y （k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，
垂足为M，△AOM面积为1，
∴ |k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2，
故反比例函数的解析式为：y ；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则PA+PB最小．
由 ，解得 ，或 ，
∴A（1，2），B（4， ），
∴A′（﹣1，2），最小值A′B ．
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
第 16 页 / 共 23 页则 ，解得 ，
∴直线A′B的解析式为y x ，
∴x＝0时，y ，
∴P点坐标为（0， ）．
【点拨】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，
解题的关键是确定PA+PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的
坐标和图象的解析式是解题的关键．
23．（11分）如图，AB是 O的直径，点D在 O上（点D不与A，B重合），直线AD
交过点B的切线于点C，⊙过点D作 O的切线⊙DE交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE； ⊙
（2）若DE∥AB，求sin∠ACO的值．
【微点】切线的性质；解直角三角形．
【思路】（1）证明：连接OD，如图，利用切线长定理得到EB＝ED，利用切线的性质
得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE＝∠ACB，则EC＝ED，从而
得到BE＝CE；
（2）作OH⊥AD于H，如图，设 O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE
⊙
第 17 页 / 共 23 页＝CE＝r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH＝DH r，CD
r，
接着根据勾股定理计算出OC r，然后根据正弦的定义求解．
【解析】（1）证明：连接OD，如图，
∵EB、ED为 O的切线，
∴EB＝ED，O⊙D⊥DE，AB⊥CB，
∴∠ADO+∠CDE＝90°，∠A+∠ACB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠CDE＝∠ACB，
∴EC＝ED，
∴BE＝CE；
（2）解：作OH⊥AD于H，如图，设 O的半径为r，
∵DE∥AB， ⊙
∴∠DOB＝∠DEB＝90°，
∴四边形OBED为矩形，
而OB＝OD，
∴四边形OBED为正方形，
∴DE＝CE＝r，
易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形，
∴OH＝DH r，CD r，
在Rt△OCB中，OC r，
在Rt△OCH中，sin∠OCH ，
即sin∠ACO的值为 ．
第 18 页 / 共 23 页【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，
必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．
24．（12分）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，
0）．动点M，N同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位
长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间
记为t秒．连接MN．
（1）求直线BC的解析式；
（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t
值及点D的坐标；
（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的
函数关系式．
【微点】一次函数综合题．
【思路】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，连接AD交MN于点O′．想办法求出点D坐标，利用待定系数法即可
解决问题；
（3）分两种情形 如图2中，当0＜t≤5时，△ABC在直线MN右侧部分是△AMN．
如图3中，当5①＜t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分是四边形ABNM．分别求解即
②可；
第 19 页 / 共 23 页【解析】解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y x+4．
（2）如图，连接AD交MN于点O′．
由题意：四边形AMDN是菱形，M（3﹣t，0），N（3 t， t），
∴O′（3 t， t），D（3 t， t），
∵点D在BC上，
∴ t （3 t）+4，
解得t ．
∴t s时，点A恰好落在BC边上点D处，此时D（ ， ）．
（3）如图2中，当0＜t≤5时，△ABC在直线MN右侧部分是△AMN，S •t• t
t2．
如图3中，当5＜t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分是四边形ABNM．
第 20 页 / 共 23 页S 6×4 （6﹣t）•[4 （t﹣5）] t2 t﹣12．
【点拨】本题考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、相似三角形的判
定和性质、锐角三角函数、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（14分）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx（a≠0）过点A（ ，﹣3）和点B（3 ，
0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，
D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC S△AOQ ？若存在，求出点Q的坐标；若不
存在，请说明理由．
【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；
（2）设P坐标为（x， x2 x），表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例求出x
的值，即可确定出P坐标；
（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OM⊥OA，截取OM＝h，与
y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物
线解析式联立求出Q坐标即可．
第 21 页 / 共 23 页【解析】解：（1）把A（ ，﹣3）和点B（3 ，0）代入抛物线得： ，
解得：a ，b ，
则抛物线解析式为y x2 x；
（2）当P在直线AD上方时，
设P坐标为（x， x2 x），则有AD＝x ，PD x2 x+3，
当△OCA∽△ADP时， ，即 ，
整理得：3x2﹣9 x+18＝2 x﹣6，即3x2﹣11 x+24＝0，
解得：x ，即x 或x （舍去），
此时P（ ， ）；
当△OCA∽△PDA时， ，即 ，
整理得： x2﹣9x+6 6x﹣6 ，即x2﹣5 x+12＝0，
解得：x ，即x＝4 或 （舍去），
此时P（4 ，6）；
当点P（0，0）时，也满足△OCA∽△PDA；
当P在直线AD下方时，同理可得：P的坐标为（ ， ），
综上，P的坐标为（ ， ）或（4 ，6）或（ ， ）或（0，0）；
（3）在Rt△AOC中，OC＝3，AC ，
根据勾股定理得：OA＝2 ，
∵ OC•AC OA•h，
∴h ，
第 22 页 / 共 23 页∵S△AOC S△AOQ ，
∴△AOQ边OA上的高为 ，
过O作OM⊥OA，截取OM ，过M作MN∥OA，交y轴于点N，如图所示：
在Rt△OMN中，ON＝2OM＝9，即N（0，9），
过M作MH⊥x轴，
在Rt△OMH中，MH OM ，OH OM ，即M（ ， ），
设直线MN解析式为y＝kx+9，
把M坐标代入得： k+9，即k ，即y x+9，
联立得： ，
解得： 或 ，即Q（3 ，0）或（﹣2 ，15），
则抛物线上存在点Q，使得S△AOC S△AOQ ，此时点Q的坐标为（3 ，0）或（﹣2
，15）．
【点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三
角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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