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2019 年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题
目要求．
1．（3分）若 2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．
【微点】算术平方根．
【思路】根据算术平方根的概念可得．
【解析】解：若 2，则a＝4，
故选：B．
【点拨】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
2．（3分）据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.0002米．将数
0.0002用科学记数法表示为（ ）
A．0.2×10﹣3 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣3 D．2×10﹣4
【微点】科学记数法—表示较小的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：将数0.0002用科学记数法表示为2×10﹣4，
故选：D．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
第 1 页 / 共 28 页D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
【微点】轴对称图形；中心对称图形．
【思路】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【解析】解：如图所示：是中心对称图形．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握定义是解题关键．
4．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【微点】简单几何体的三视图．
【思路】主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
【解析】解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；
故选：C．
【点拨】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），
∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ）
第 2 页 / 共 28 页A．（2， ） B．（ ，2） C．（ ，3） D．（3， ）
【微点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【思路】过点E作EF⊥x轴于点F，由直角三角形的性质求出EF长和OF长即可．
【解析】解：过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，
∴ 30°，∠FAE＝60°，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴ 2，
∴ ，EF ，
∴OF＝AO﹣AF＝4﹣1＝3，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含 30°直角三角形的性质．正确作出辅助
线是解题的关键．
6．（3分）已知x是整数，当|x |取最小值时，x的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【微点】算术平方根；实数的性质．
【思路】根据绝对值的意义，由与 最接近的整数是5，可得结论．
【解析】解：∵ ，
∴5 ，
第 3 页 / 共 28 页且与 最接近的整数是5，
∴当|x |取最小值时，x的值是5，
故选：A．
【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
7．（3分）帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量（单位：吨），
整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是5 D．方差是8
【微点】折线统计图；中位数；众数；极差；方差．
【思路】根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【解析】解：由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，9．
A．极差＝11﹣3＝8，结论错误，故A不符合题意；
B．众数为5，7，11，3，9，结论错误，故B不符合题意；
C．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，9，11，中位数为7，结论错误，故C
不符合题意；
D．平均数是（5+7+11+3+9）÷5＝7，
方差S2 [（5﹣7）2+（7﹣7）2+（11﹣7）2+（3﹣7）2+（9﹣7）2]＝8．
结论正确，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了折线统计图，主要利用了极差、众数、中位数及方差的定义，根据
图表准确获取信息是解题的关键．
8．（3分）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+6n＝（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．a2b3 D．a2+b3
【微点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【思路】将已知等式代入22m+6n＝22m×26n＝（22）m•（23）2n＝4m•82n＝4m•（8n）2可得．
【解析】解：∵4m＝a，8n＝b，
第 4 页 / 共 28 页∴22m+6n＝22m×26n
＝（22）m•（23）2n
＝4m•82n
＝4m•（8n）2
＝ab2，
故选：A．
【点拨】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法
则．
9．（3分）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100
元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种
商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【微点】一元一次不等式组的应用．
【思路】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，根据“购进甲乙商
品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x的不等式组，
解之求得整数x的值即可得出答案．
【解析】解：设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，
根据题意，得： ，
解得：20≤x＜25，
∵x为整数，
∴x＝20、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种，
故选：C．
【点拨】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴
含的不等关系，并据此列出不等式组．
10．（3分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦
图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．
如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sin ﹣cos ）2＝（ ）
θ θ
第 5 页 / 共 28 页A． B． C． D．
【微点】数学常识；勾股定理的证明；解直角三角形的应用．
【思路】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5 ，小正方形的边长为5，再
根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解析】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为5 ，小正方形的边长为5，
∴5 cos ﹣5 sin ＝5，
θ θ
∴cos ﹣sin ，
θ θ
∴（sin ﹣cos ）2 ．
θ θ
故选：A．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中．
11．（3分）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x ，0），
1
（2，0），其中0＜x ＜1．下列四个结论： abc＜0； 2a﹣c＞0； a+2b+4c＞0；
1
① ② ③
4，正确的个数是（ ）
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【微点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【思路】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时①，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|
第 6 页 / 共 28 页a|越大开口就越小．
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当 a与b同号时（即ab＞
②0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同
右异）
常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
③【解析】解： ∵抛物线开口向上，
∴a＞0， ①
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以 正确；
∵图象与x轴①交于两点（x
1
，0），（2，0），其中0＜x
1
＜1，
②
∴ ，
∴1 ，
当 时，b＞﹣3a，
∵当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a c，
∴﹣2a c＞﹣3a，
∴2a﹣c＞0，故 正确；
②
当x 时，y的值为 a b+c，
③
给 a b+c乘以4，即可化为a+2b+4c，
∵抛物线的对称轴在1 ，
∴x 关于对称轴对称点的横坐标在 和 之间，
第 7 页 / 共 28 页由图象可知在 和2之间y为负值，2和 之间y为正值，
∴a+2b+4c与0的关系不能确定，
故 错误；
③
∵ ，
④
∴2a+b＜0，
∴（2a+b）2＞0，
4a2+b2+4ab＞0，
4a2+b2＞﹣4ab，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴ ，
即 ，
故 正确．
故④选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的
关键．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，CD＝AD＝3，
点E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEG的两边与线段AB分别交于点F、G，
连接AC分别交EF、EG于点H、K．若BG ，∠FEG＝45°，则HK＝（ ）
A． B． C． D．
【微点】勾股定理．
【思路】根据等腰直角三角形的性质得到 AC＝3 ，根据相似三角形的性质得到
第 8 页 / 共 28 页，求得CK ，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，得到
EM＝AD＝3，AM＝DE＝2，由勾股定理得到EG ，求得EK
，根据相似三角形的性质得到 ，设HE＝3x，HK x，再由相似三角形
的性质列方程即可得到结论．
【解析】解：∵∠ADC＝90°，CD＝AD＝3，
∴AC＝3 ，
∵AB＝5，BG ，
∴AG ，
∵AB∥DC，
∴△CEK∽△AGK，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵CK+AK＝3 ，
∴CK ，
过E作EM⊥AB于M，
则四边形ADEM是矩形，
∴EM＝AD＝3，AM＝DE＝2，
∴MG ，
∴EG ，
第 9 页 / 共 28 页∵ ，
∴EK ，
∵∠HEK＝∠KCE＝45°，∠EHK＝∠CHE，
∴△HEK∽△HCE，
∴ ，
∴设HE＝3x，HK x，
∵△HEK∽△HCE，
∴ ，
∴ ，
解得：x ，
∴HK ，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩
形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线
上．
13．（3分）因式分解：m2n+2mn2+n3＝ n （ m + n ） 2 ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】首先提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解析】解：m2n+2mn2+n3
＝n（m2+2mn+n2）
第 10 页 / 共 28 页＝n（m+n）2．
故答案为：n（m+n）2．
【点拨】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．（3分）如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2＝
90° ．
【微点】平行线的性质．
【思路】根据平行线的性质可得∠ABD+∠CDB＝180°，再根据角平分线的定义可得∠1
∠ABD，∠2 ∠CDB，进而可得结论．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵BE是∠ABD的平分线，
∴∠1 ∠ABD，
∵DE是∠BDC的平分线，
∴∠2 ∠CDB，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
15．（3分）单项式x﹣|a﹣1|y与2x y是同类项，则ab＝ 1 ．
【微点】同类项．
【思路】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，结合二
次根式的性质可求出a，b的值，再代入代数式计算即可．
【解析】解：由题意知﹣|a﹣1| 0，
∴a＝1，b＝1，
则ab＝（1）1＝1，
第 11 页 / 共 28 页故答案为：1．
【点拨】此题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，
难度一般．
16．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km
所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为 1 0 km/h．
【微点】分式方程的应用．
【思路】直接利用顺水速＝静水速+水速，逆水速＝静水速﹣水速，进而得出等式求出
答案．
【解析】解：设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：
，
解得：x＝10，
经检验得：x＝10是原方程的根，
答：江水的流速为10km/h．
故答案为：10．
【点拨】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
17．（3分）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10 ，AC＝5 ，则△ABC的面积是 7 5 或
25 ．
【微点】勾股定理；解直角三角形．
【思路】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出 AD，
BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝10，BD＝AB•cosB＝10；
在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5 ，
∴CD 5，
∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，
∴S△ABC BC•AD＝75或25．
故答案为：75或25．
第 12 页 / 共 28 页【点拨】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及
勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．
18．（3分）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，
DE＝2 ．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段
AD′上时，则CE′＝ ．
【微点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．
【思路】如图，连接CE′，根据等腰三角形的性质得到AB＝BC＝2 ，BD＝BE＝2，
根据性质的性质得到 D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90′，∠D′BD＝
∠ABE′，由全等三角形的性质得到∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，
解直角三角形即可得到结论．
【解析】解：如图，连接CE′，
∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 ，
∴AB＝BC＝2 ，BD＝BE＝2，
∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，
∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
∴△ABD′≌△CBE′（SAS），
∴∠D′＝∠CE′B＝45°，
过B作BH⊥CE′于H，
在Rt△BHE′中，BH＝E′H BE′ ，
在Rt△BCH中，CH ，
第 13 页 / 共 28 页∴CE′ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，
解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．（16分）（1）计算：2 |（ ）﹣1|﹣2 tan30°﹣（ ﹣2019）0；
π
（2）先化简，再求值：（ ） ，其中a ，b＝2 ．
【微点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数
值．
【思路】（1）根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的运算法则、特殊角的
三角函数值计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解析】解：（1）2 |（ ）﹣1|﹣2 tan30°﹣（ ﹣2019）0
π
2﹣2 1
2 1
＝1；
（2）原式
，
第 14 页 / 共 28 页当a ，b＝2 时，原式 ．
【点拨】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算，掌握分式的混合运算法则、分式
的通分、约分法则、实数的混合运算法则是解题的关键．
20．（11分）胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人“选拔赛，现
将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部
分信息如下：
请根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形D对应的圆心角度数；
（2）成绩在D区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术
节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【微点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法．
【思路】（1）由B组百分比求得其人数，据此可得80～85的频数，再根据各组频数之
和等于总人数可得最后一组频数，从而补全图形，再用360°乘以对应比例可得答案；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出抽取的学生恰好是一名男生和一名
女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：（1）80～90的频数为36×50%＝18，
则80～85的频数为18﹣11＝7，
95～100的频数为36﹣（4+18+9）＝5，
补全图形如下：
第 15 页 / 共 28 页扇形统计图中扇形D对应的圆心角度数为360° 50°；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为
12，
所以抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
【点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求
出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件
B的概率．
21．（11分）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：
若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业
额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，
房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果
游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多
少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？
【微点】二元一次方程组的应用；二次函数的应用．
第 16 页 / 共 28 页【思路】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到m关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可
解答本题．
【解析】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元，
根据题意，得： ，
解得 ，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
（2）设每天的定价增加了a个20元，则有2a个房间空闲，
根据题意有：m＝（20﹣2a）（200+20a﹣80）＝﹣40a2+160a+2400＝﹣40（a﹣2）
2+2560，
∵﹣40＜0，
∴当a＝2时，m取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为200+2×20＝240元．
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2560
元．
【点拨】本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题
意，利用二次函数的性质解答．
22．（11分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y （m≠0
且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点
C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE＝4CD．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．
【微点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路】（1）将点A（4，1）代入y ，即可求出m的值，进一步可求出反比
第 17 页 / 共 28 页例函数解析式；
（2）先证△CDB∽△CEA，由CE＝4CD可求出BD的长度，可进一步求出点B的坐标，
以及直线AC的解析式，直线AC与坐标轴交点的坐标，可证直线AC与坐标轴所围成和
三角形为等腰直角三角形，利用垂线段最短可求出OM长度的最小值．
【解析】解：（1）将点A（4，1）代入y ，
得，m2﹣3m＝4，
解得，m ＝4，m ＝﹣1，
1 2
∴m的值为4或﹣1；反比例函数解析式为：y ；
（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，
∴∠CDB＝∠CEA＝90°，
∴△CDB∽△CEA，
∴ ，
∵CE＝4CD，
∴AE＝4BD，
∵A（4，1），
∴AE＝4，
∴BD＝1，
∴x ＝1，
B
∴y 4，
B
∴B（1，4），
将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，
得， ，
解得，k＝﹣1，b＝5，
∴y ＝﹣x+5，
AB
设直线AB与x轴交点为F，
当x＝0时，y＝5；当y＝0时x＝5，
∴C（0，5），F（5，0），
第 18 页 / 共 28 页则OC＝OF＝5，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∴CF OC＝5 ，
则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，
即OM CF ．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质，垂线段最短等定理，解题
关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质．
23．（11分）如图，AB是 O的直径，点C为 的中点，CF为 O的弦，且CF⊥AB，
垂足为E，连接BD交CF⊙于点G，连接CD，AD，BF． ⊙
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
【微点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【思路】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；
（2）解法一：连接OF，设 O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求
解； ⊙
解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC
（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE
和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．
解法三：连接 OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得 OH＝1，证明
△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．
第 19 页 / 共 28 页【解析】证明：（1）∵C是 的中点，
∴ ，
∵AB是 O的直径，且CF⊥AB，
∴ ⊙，
∴ ，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
∵ ，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设 O的半径为r，
⊙
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，
∵ ，
∴ ，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，
解得：r＝1（舍）或3，
∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，
∴BF＝2 ；
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
第 20 页 / 共 28 页∵ ，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），
∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），
∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，
∴ ，
∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2 ．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
第 21 页 / 共 28 页∵C是 的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH，
∵OA＝OB，
∴OH AD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，
∴△COE≌△BOH（AAS），
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝EF 2 ，
∴BF 2 ．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的
性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合
思想的应用．
24．（12分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，
再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点
B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点
C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时
点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE PA的最小值．
第 22 页 / 共 28 页【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由
△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐
标可求出一次函数解析式；
（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE ＝S△AME ﹣S△CME
构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝
∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP AP＝FP+HP，此时FH最小，
求出最小值即可．
【解析】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2
个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y ，即y ．
令y＝0，解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴B（3，0），
∴AB＝OA+OB＝4，
∵△ABD的面积为5，
∴ 5，
第 23 页 / 共 28 页∴y ，代入抛物线解析式得， ，
D
解得x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∴D（4， ），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得： ，
∴直线AD的解析式为y ．
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a， ），则M（a，
），
∴ ，
∴S△ACE ＝S△AME ﹣S△CME ，
，
∴当a 时，△ACE的面积有最大值，最大值是 ，此时E点坐标为（ ）．
（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x
轴于点P，
第 24 页 / 共 28 页∵E（ ），OA＝1，
∴AG＝1 ，EG ，
∴ ，
∵∠AGE＝∠AHP＝90°
∴sin ，
∴ ，
∵E、F关于x轴对称，
∴PE＝PF，
∴PE AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，
∵EF ，∠AEG＝∠HEF，
∴ ，
∴ ．
∴PE PA的最小值是3．
【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要
会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长
度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
第 25 页 / 共 28 页25．（14分）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点
O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，
△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，
得到△EFH．
（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；
（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．
【微点】四边形综合题．
【思路】（1）由正方形的性质可得∠DAC＝∠CAB＝45°，根据圆周角定理得∠FDE＝
∠DFE＝45°，则结论得证；
（2）设OE＝t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF ，证明△AEF∽△ADG
可得AG ，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段 ，求出t的值，代
入EG的表达式可求EH的值；
（3）由（2）知EG ，过点F作FK⊥AC于点K，根据 即可
求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠CAB＝45°，
∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，
第 26 页 / 共 28 页∴∠FDE＝∠DFE＝45°，
∴∠DEF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）设OE＝t，连接OD，
∴∠DOE＝∠DAF＝90°，
∵∠OED＝∠DFA，
∴△DOE∽△DAF，
∴ ，
∴ t，
又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，
∴△AEF∽△ADG，
∴ ，
∴ ，
又∵AE＝OA+OE＝2 t，
∴ ，
∴EG＝AE﹣AG ，
当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE+∠HFE＝45°+45°＝90°，
∴△ADF∽△BFH，
∴ ，
∵AF∥CD，
∴ ，
∴ ，
第 27 页 / 共 28 页∴ ，
解得：t ，t （舍去），
1 2
∴EG＝EH ；
（3）过点F作FK⊥AC于点K，
由（2）得EG ，
∵DE＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠DEO＝∠EFK，
∴△DOE≌△EKF（AAS），
∴FK＝OE＝t，
∴S ．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰
直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问
题，属于中考常考题型．
第 28 页 / 共 28 页
