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2014 年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
【微点】相反数．
【思路】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解析】解：2的相反数是﹣2．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．
2．（3分）下列四个图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【微点】中心对称图形．
【思路】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转
180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a＝a2 B．a2÷a＝a C．a2+a＝a3 D．a2﹣a＝a
【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．
【思路】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法的知识求解即可求得答案．
【解析】解：A、a2a＝a3，故A选项错误；
B、a2÷a＝a，故B选项正确；
C、a2+a＝a3，不是同类项不能计算，故C选项错误；
D、a2﹣a＝a，不是同类项不能计算，故D选项错误；
第 1 页 / 共 24 页故选：B．
【点拨】本题主要考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法的知识，熟记法则是
解题的关键．
4．（3分）若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x B．x C．x D．x
【微点】二次根式有意义的条件．
【思路】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解析】解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得x ．
故选：D．
【点拨】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5．（3分）一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【微点】几何概率．
【思路】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与
总面积的比值．
【解析】解：观察这个图可知：黑色区域（3块）的面积占总面积（9块）的 ，故其概
率为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用
阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比
例即事件（A）发生的概率．
6．（3分）如图所示的正三棱柱，它的主视图是（ ）
第 2 页 / 共 24 页A． B．
C． D．
【微点】简单几何体的三视图．
【思路】根据主视图是从物体正面看所得到的图形求解．
【解析】解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形．
故选：B．
【点拨】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
7．（3分）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），则
点Q（﹣3，1）的对应点F的坐标为（ ）
A．（﹣8，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，4） D．（﹣6，﹣1）
【微点】坐标与图形变化﹣平移．
【思路】首先根据P点的对应点为E可得点的坐标的变化规律，则点Q的坐标的变化规
律与P点的坐标的变化规律相同即可．
【解析】解：∵点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），
∴E点是P点横坐标+5，纵坐标+3得到的，
∴点Q（﹣3，1）的对应点F坐标为（﹣3+5，1+3），
即（2，4）．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握把一个图形平移后，各点
的变化规律都相同．
8．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿
正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所
在的B处与灯塔P的距离为（ ）
第 3 页 / 共 24 页A．40 海里 B．40 海里 C．80海里 D．40 海里
【微点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【思路】过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．
【解析】解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：∠A＝30°，∠B＝45°，AP＝80海里，
故CP AP＝40（海里），
则PB 40 （海里）．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解
题关键．
9．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【微点】命题与定理．
【思路】根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
第 4 页 / 共 24 页【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错
误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
10．（3分）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了
不亏本，n应满足（ ）
A．n≤m B．n
C．n D．n
【微点】一元一次不等式的应用．
【思路】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．
【解析】解：设成本为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，
则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0，
去括号得：1﹣n%+m% 1≥0，
整理得：100n+mn≤100m，
故n ．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．
11．（3分）在边长为正整数的△ABC中，AB＝AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周
长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【微点】三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理．
【思路】设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，再根
据题意列出关于x、n、y的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不
符合条件的x、y的值，由n是正整数求出△ABC面积的最小值即可．
【解析】解：设这个等腰三角形的腰为 x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，
第 5 页 / 共 24 页得
或 ，
解得 或 ，
∵2 （此时不能构成三角形，舍去）
∴取 ，其中n是3的倍数
∴三角形的面积S△ n2，对于S△ n2 n2，
当n＞0时，S△ 随着n的增大而增大，故当n＝3时，S△ 取最小．
故选：C．
【点拨】本题考查的是三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于 x、n、y
的方程组是解答此题的关键．
12．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作
半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（
）
A． B． C． D．
【微点】平行线的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；切线的性质；相似三角
形的判定与性质．
第 6 页 / 共 24 页【思路】（1）连接AQ，易证△OQB∽△OBP，得到 ，也就有 ，可得
△OAQ∽OPA，从而有∠OAQ＝∠APO．易证∠CAP＝∠APO，从而有∠CAP＝
∠OAQ，则有∠CAQ＝∠BAP，从而可证△ACQ∽△ABP，可得 ，所以A正确．
（2）由△OBP∽△OQB得 ，即 ，由AQ≠OP得 ，故C不正确．
（3）连接OR，易得 ， 2，得到 ，故B不正确．
（4）由 及 AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR 可得 ，由 AB≠AP 得
，故D不正确．
【解析】解：（1）连接AQ，如图1，
∵BP与半圆O切于点B，AB是半圆O的直径，
∴∠ABP＝∠ACB＝90°．
∵OQ⊥BC，
∴∠OQB＝90°．
∴∠OQB＝∠OBP＝90°．
又∵∠BOQ＝∠POB，
∴△OQB∽△OBP．
∴ ．
∵OA＝OB，
∴ ．
又∵∠AOQ＝∠POA，
∴△OAQ∽△OPA．
∴∠OAQ＝∠APO．
∵∠OQB＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OP．
∴∠CAP＝∠APO．
∴∠CAP＝∠OAQ．
第 7 页 / 共 24 页∴∠CAQ＝∠BAP．
∵∠ACQ＝∠ABP＝90°，
∴△ACQ∽△ABP．
∴ ．
故A正确．
（2）如图1，
∵△OBP∽△OQB，
∴ ．
∴ ．
∵AQ≠OP，
∴ ．
故C不正确．
（3）连接OR，如图2所示．
∵OQ⊥BC，
∴BQ＝CQ．
∵AO＝BO，
∴OQ AC．
∵OR AB．
∴ ， 2．
∴ ．
∴ ．
故B不正确．
（4）如图2，
∵ ，
且AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR，
第 8 页 / 共 24 页∴ ．
∵AB≠AP，
∴ ．
故D不正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂
径定理、三角形的中位线等知识，综合性较强，有一定的难度．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）2﹣2＝ ．
【微点】负整数指数幂．
【思路】根据负整数指数幂的运算法则直接进行计算即可．
【解析】解：2﹣2 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查负整数指数幂，幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然
后将负整数指数幂当成正的进行计算．
14．（4分）“五一”小长假，以生态休闲为特色的绵阳近郊游倍受青睐．假期三天，我
第 9 页 / 共 24 页市主要景区景点人气火爆，据市旅游局统计，本次小长假共实现旅游收入5610万元，
将这一数据用科学记数法表示为 5.61×1 0 7 元．
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：将5610万元用科学记数法表示为：5.61×107．
故答案为：5.61×107．
【点拨】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（4分）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠ ＝ 20 ° ．
α
【微点】平行线的性质；等边三角形的性质．
【思路】延长CB交直线m于D，根据两直线平行，内错角相等解答即可，再根据三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ ．
【解析】解：如图，延长CB交直线m于D， α
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵l∥m，
∴∠1＝40°．
∴∠ ＝∠ABC﹣∠1＝60°﹣40°＝20°．
故答α案为：20°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的
关键，也是本题的难点．
第 10 页 / 共 24 页16．（4分）如图， O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于 O，则图中阴影部分面
⊙ ⊙
积为 cm2．（结果保留 ）
π
【微点】正多边形和圆．
【思路】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分
面积转化为扇形面积求解即可．
【解析】解：如图所示：连接BO，CO，
∵正六边形ABCDEF内接于 O，
∴AB＝BC＝CO＝1，∠ABC⊙＝120°，△OBC是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW和△ABW中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积＝S扇形
是解题关键．
OBC
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，
第 11 页 / 共 24 页△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 2 ．
【微点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．
【思路】根据旋转的性质得出∠EAF′＝45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出
EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝4，得出正方形边长即可．
【解析】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△EAF′中
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝DF+FC+BC＝4，
∴2BC＝4，
∴BC＝2．
故答案为：2．
【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出
△FAE≌△EAF′是解题关键．
18．（4分）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图
第 12 页 / 共 24 页形面积为S ，第2次对折后得到的图形面积为S ，…，第n次对折后得到的图形面积为
1 2
S ，请根据图2化简，S +S +S +…+S ＝ 1 ．
n 1 2 3 2014
【微点】规律型：图形的变化类．
【思路】观察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通
项公式．
【解析】解：观察发现S +S +S +…+S 1 ，
1 2 3 2014
故答案为：1 ．
【点拨】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图
形的变化规律．
三、解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（1）计算：（2014 ）0+|3 | ；
（2）化简：（1 ）÷（ 2）
【微点】分式的混合运算；零指数幂；二次根式的混合运算．
【思路】（1）根据零指数幂和分母有理化得到原式＝1+2 3﹣2 ，然后合并即可；
（2）先把前面括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约
分即可．
【解析】解：（1）原式＝1+2 3﹣2
＝﹣2；
（2）原式
•
第 13 页 / 共 24 页．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行
二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分式的混合运算．
20．（12分）四川省“单独两孩”政策于2014年3月20日正式开始实施，该政策的实施
可能给我们的生活带来一些变化，绵阳市人口计生部门抽样调查了部分市民（每个参与
调查的市民必须且只能在以下6种变化中选择一项），并将调查结果绘制成如下统计图：
种 A B C D E F
类
变 有 导 提 增 缓 促
化 利 致 升 大 解 进
于 人 家 社 男 人
延 口 庭 会 女 口
缓 暴 抗 基 比 与
社 增 风 本 例 社
会 险 公 不 会
老 能 共 平 、
龄 力 服 衡 资
化 务 现 源
现 的 象 、
象 压 环
力 境
的
协
调
可
持
续
发
展
根据统计图，回答下列问题：
（1）参与调查的市民一共有 200 0 人；
（2）参与调查的市民中选择C的人数是 40 0 人；
（3）∠ ＝ 54 ° ；
（4）请α补全条形统计图．
第 14 页 / 共 24 页【微点】统计表；扇形统计图；条形统计图．
【思路】（1）根据A类的有700人，所占的比例是35%，据此即可求得总人数；
（2）利用总人数乘以对应的比例即可求解；
（3）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（4）利用总人数乘以对应的比例求得D类的人数，然后根据（1）即可作出统计图．
【解析】解：（1）参与调查的市民一共有：700÷35%＝2000（人）；
（2）参与调查的市民中选择C的人数是：2000×（1﹣35%﹣5%﹣10%﹣15%﹣15%）
＝400（人）；
（3）∠ ＝360°×15%＝54°；
α
（4）D的人数：2000×10%＝200（人）．
【点拨】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信
息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（12分）绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，
为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成
人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于
4人）学生听音乐会．
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x
的函数关系式；
（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．
【微点】一次函数的应用．
【思路】（1）首先根据优惠方案 ：付款总金额＝购买成人票金额+除去4人后的学生
票金额； ①
第 15 页 / 共 24 页优惠方案 ：付款总金额＝（购买成人票金额+购买学生票金额）×打折率，列出y关于
x的函数关②系式，
（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三
种情况讨论．
【解析】解：（1）按优惠方案 可得
y
1
＝20×4+（x﹣4）×5＝5x+60（①x≥4），
按优惠方案 可得
y
2
＝（5x+20②×4）×90%＝4.5x+72（x≥4）；
（2）因为y ﹣y ＝0.5x﹣12（x≥4），
1 2
当y ﹣y ＝0时，得0.5x﹣12＝0，解得x＝24，
1 2
①∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多．
当y ﹣y ＜0时，得0.5x﹣12＜0，解得x＜24，
1 2
②∴4≤x＜24时，y
1
＜y
2
，优惠方案 付款较少．
当y
1
﹣y
2
＞0时，得0.5x﹣12＞0①，解得x＞24，
③当x＞24时，y
1
＞y
2
，优惠方案 付款较少．
【点拨】本题根据实际问题考查②了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列
出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．
22．（12分）如图，已知反比例函数y （k＞0）的图象经过点A（1，m），过点A作
AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1．
（1）求m，k的值；
（2）若一次函数y＝nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y 的图象有两个不同的公共
点，求实数n的取值范围．
【微点】反比例函数与一次函数的交点问题．
第 16 页 / 共 24 页【思路】（1）根据三角形的面积公式即可求得m的值；
（2）若一次函数y＝nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y 的图象有两个不同的公共
点，则方程 nx+2有两个不同的解，利用根的判别式即可求解．
【解析】解：（1）由已知得：S△AOB 1×m＝1，
解得：m＝2，
把A（1，2）代入反比例函数解析式得：k＝2；
（2）由（1）知反比例函数解析式是y ，
由题意得： 有两个不同的解，即 nx+2有两个不同的解，
方程去分母，得：nx2+2x﹣2＝0，
则△＝4+8n＞0，
解得：n 且n≠0．
【点拨】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，
然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
23．（12分）如图，已知△ABC内接于 O，AB是 O的直径，点F在 O上，且满足
，过点C作 O的切线交AB的⊙延长线于D⊙点，交AF的延长线于⊙E点．
（1）求证：AE⊥D⊙E；
（2）若tan∠CBA ，AE＝3，求AF的长．
【微点】切线的性质．
【思路】（1）首先连接OC，由OC＝OA， ，易证得OC∥AE，又由DE切 O
于点C，易证得AE⊥DE； ⊙
第 17 页 / 共 24 页（2）由AB是 O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据
⊙
AE＝3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF＝OA ，
在△ACB中，利用已知条件求得答案．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵ ，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切 O于点C，
∴OC⊥D⊙E，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是 O的直径，
∴△ABC是直角三⊙角形，
∵tan∠CBA ，
∴∠CBA＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC＝30°，
∵△AEC为直角三角形，AE＝3，
∴AC＝2 ，
连接OF，
∵OF＝OA，∠OAF＝∠BAC+∠EAC＝60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF＝OA AB，
在Rt△ACB中，AC＝2 ，tan∠CBA ，
∴BC＝2，
∴AB＝4，
∴AF＝2．
第 18 页 / 共 24 页【点拨】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及圆
周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落
在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在
线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积
最大？并求出其最大值．
【微点】四边形综合题．
【思路】（1）由矩形和翻折的性质可知 AD＝CE，DC＝EA，根据“SSS”可求得
△DEC≌△EDA；
（2）根据勾股定理即可求得．
（3）由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以 ，从而求得PQ，由PN∥EG，得
出 ，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．
【解析】（1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD＝CE，DC＝EA，
在△ADE与△CED中，
第 19 页 / 共 24 页∴△DEC≌△EDA（SSS）；
（2）解：如图1，
∵∠ACD＝∠BAC，∠BAC＝∠CAE，
∴∠ACD＝∠CAE，
∴AF＝CF，
设DF＝x，则AF＝CF＝4﹣x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，
即32+x2＝（4﹣x）2，
解得：x ，
即DF ．
（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA
∴
又∵CE＝3，AC 5
设PE＝x（0＜x＜3），则 ，即PQ
过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，
∴
又∵在Rt△AEC中，EG•AC＝AE•CE，解得EG ，
∴ ，即PN （3﹣x），
设矩形PQMN的面积为S，
则S＝PQ•PN x2+4x 3（0＜x＜3）
所以当x ，即PE 时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．
第 20 页 / 共 24 页【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例
定理．
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2， ），顶点坐标为
N（﹣1， ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；
若不存在，请说明理由．
【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1， ），可设其解析式为y＝a（x+1）
2 ，再将M（﹣2， ）代入，得 a（﹣2+1）2 ，解方程求出a的值即
可得到抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线y x2 x 与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，
再根据勾股定理得到BC 2 ．设P（﹣1，m），当△PBC为等腰三角
形时分三种情况进行讨论： CP＝CB； BP＝BC； PB＝PC；
（3）先由勾股定理的逆定理①得出BC⊥AC②，连结BC并③延长至B′，使B′C＝BC，连
第 21 页 / 共 24 页结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣
3，0），C（0， ），根据中点坐标公式求出B′（3，2 ），再运用待定系数法求
出直线MB′的解析式为y x ，直线AC的解析式为y x ，然后
解方程组 ，即可求出Q点的坐标．
【解析】解：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1， ），可设其解析式为y＝a（x+1）
2 ，
将M（﹣2， ）代入，得 a（﹣2+1）2 ，
解得a ，
故所求抛物线的解析式为y x2 x ；
（2）∵y x2 x ，
∴x＝0时，y ，
∴C（0， ）．
y＝0时， x2 x 0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC 2 ．
设P（﹣1，m），
当CP＝CB时，有CP 2 ，解得m ± ；
当BP＝BC时，有BP 2 ，解得m＝±2 ；
当PB＝PC时， ，解得m＝0，
第 22 页 / 共 24 页综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1， ），（﹣1，
），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2 ），（﹣1，0）；
（3）由（2）知BC＝2 ，AC＝2，AB＝4，
所以BC2+AC2＝AB2，即BC⊥AC．
连结BC并延长至B′，使B′C＝BC，连结B′M，交直线AC于点Q，
∵B、B′关于直线AC对称，
∴QB＝QB′，
∴QB+QM＝QB′+QM＝MB′，
所以此时△QBM的周长最小．
由B（﹣3，0），C（0， ），易得B′（3，2 ）．
设直线MB′的解析式为y＝kx+n，
将M（﹣2， ），B′（3，2 ）代入，
得 ，解得 ，
即直线MB′的解析式为y x ．
同理可求得直线AC的解析式为y x ．
由 ，解得 ，即Q（ ， ）．
所以在直线AC上存在一点Q（ ， ），使△QBM的周长最小．
【点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函
第 23 页 / 共 24 页数的解析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求
法等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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