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2017 年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项符合题目
要求）
1．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（
）
A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5
【微点】相反数．
【思路】根据相反数的定义求解即可．
【解析】解：﹣0.5的相反数是0.5，
故选：A．
【点拨】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【微点】轴对称图形．
【思路】根据轴对称图形的定义求解可得．
【解析】解：A，此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意；
B、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；
D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（3分）中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示
为（ ）
第 1 页 / 共 27 页A．0.96×107 B．9.6×106 C．96×105 D．9.6×102
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：“960万”用科学记数法表示为9.6×106，
故选：B．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图所示的几何体的主视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【微点】简单组合体的三视图．
【思路】先细心观察原立体图形和长方体的位置关系，结合四个选项选出答案．
【解析】解：由图可知，主视图由一个矩形和三角形组成．
故选：D．
【点拨】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．（3分）使代数式 有意义的整数x有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【微点】二次根式有意义的条件．
【思路】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解析】解：由题意，得
x+3＞0且4﹣3x≥0，
解得﹣3＜x ，
整数有﹣2，﹣1，0，1，
第 2 页 / 共 27 页故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得
出不等式是解题关键．
6．（3分）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿
出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚
好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜
面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小
丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等
于（ ）
A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
【微点】相似三角形的应用．
【思路】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解析】解：由题意可得：AB＝1.5m，BC＝0.5m，DC＝4m，
△ABC∽△EDC，
则 ，
即 ，
解得：DE＝12，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
7．（3分）关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
【微点】根与系数的关系．
【思路】由方程的两根结合根与系数的关系可求出 m、n的值，将其代入nm中即可求出
结论．
第 3 页 / 共 27 页【解析】解：∵关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，
∴ 1， 2，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴nm＝（﹣4）2＝16．
故选：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，根据方程的两根结合根与系数的关系求出 m、n
的值是解题的关键．
8．（3分）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．
已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，
则这个陀螺的表面积是（ ）
A．68 cm2 B．74 cm2 C．84 cm2 D．100 cm2
【微点π】几何体的表面积；圆π锥的计算． π π
【思路】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．
【解析】解：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，
∴母线长为5cm，
∴其表面积＝ ×4×5+42 +8 ×6＝84 cm2，
故选：C． π π π π
【点拨】考查了圆锥的计算及几何体的表面积的知识，解题的关键是能够了解圆锥的有
关的计算方法，难度不大．
9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交
AD，BC于E，F两点．若AC＝2 ，∠AEO＝120°，则FC的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【微点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
第 4 页 / 共 27 页【思路】先根据矩形的性质，推理得到OF＝CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可
得到CF的长．
【解析】解：∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，
∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，
∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，
∴OF＝CF，
又∵Rt△BOF中，BO BD AC ，
∴OF＝tan30°×BO＝1，
∴CF＝1，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：
矩形的对角线相等且互相平分．
10．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的
图象与一次函数y＝2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
【微点】一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换．
【思路】先根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式，再列方程组，
有公共点则△≥0，则可求出b的取值．
【解析】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣1，
则 ，
（x﹣3）2﹣1＝2x+b，
x2﹣8x+8﹣b＝0，
△＝（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
第 5 页 / 共 27 页故选：D．
【点拨】主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两
函数有一个交点或两个交点，可利用方程组→一元二次方程→△≥0的问题解决．
11．（3分）如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交
AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【微点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．
【思路】根据三角形的重心性质可得 OC CE，根据直角三角形的性质可得 CE＝
AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM CE，进一步得到OM CE，即OM
AE，根据垂直平分线的性质和含 30°的直角三角形的性质可得 EF AE，MF
EF，依此得到MF AE，从而得到 的值．
【解析】解：∵点O是△ABC的重心，
∴OC CE，
∵△ABC是直角三角形，
∴CE＝BE＝AE，
∵∠B＝30°，
∴∠FAE＝∠B＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠FAE＝∠CAF＝30°，△ACE是等边三角形，
∴CM CE，
第 6 页 / 共 27 页∴OM CE CE CE，即OM AE，
∵BE＝AE，
∴EF AE，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝60°，
∴∠FEM＝30°，
∴MF EF，
∴MF AE，
∴ ．
故选：D．
【点拨】考查了三角形的重心，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含 30°
的直角三角形的性质，关键是得到OM AE，MF AE．
12．（3分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图
形，第1幅图形中“●”的个数为a ，第2幅图形中“●”的个数为a ，第3幅图形中
1 2
“●”的个数为a ，…，以此类推，则 的值为（ ）
3
A． B． C． D．
【微点】规律型：图形的变化类．
【思路】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
【解析】解：a ＝3＝1×3，a ＝8＝2×4，a ＝15＝3×5，a ＝24＝4×6，…，a ＝n
1 2 3 4 n
（n+2）；
第 7 页 / 共 27 页∴ （ 1
） （1 ） ，
故选：C．
【点拨】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线
上）
13．（3分）分解因式：8a2﹣2＝ 2 （ 2 a + 1 ）（ 2 a ﹣ 1 ） ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解析】解：8a2﹣2，
＝2（4a2﹣1），
＝2（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：2（2a+1）（2a﹣1）．
【点拨】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意分解要彻底．
14．（3分）关于x的分式方程 的解是 x ＝﹣ 2 ．
【微点】解分式方程．
【思路】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
【解析】解：两边乘（x+1）（x﹣1）得到，2x+2﹣（x﹣1）＝﹣（x+1），
解得x＝﹣2，
经检验，x＝﹣2是分式方程的解．
∴x＝﹣2．
故答案为x＝﹣2．
【点拨】本题考查分式方程的解，记住即为分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
15．（3分）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，
若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是 （ 7 ， 4 ） ．
第 8 页 / 共 27 页【微点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．
【思路】根据平行四边形的性质及A点和C的坐标求出点B的坐标即可．
【解析】解：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），
点C的坐标是（1，4），
∴BC＝OA＝6，6+1＝7，
∴点B的坐标是（7，4）；
故答案为：（7，4）．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质
是解决问题的关键．
16．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶
数”的概率是 ．
【微点】列表法与树状图法．
【思路】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于 8
且为偶数”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9，
所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率 ．
故答案为 ．
第 9 页 / 共 27 页【点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
17．（3分）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，
△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若
CA＝5，AB＝6，AD：AB＝1：3，则MD 的最小值为 2 ．
【微点】等腰三角形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路】先求出AD＝2，BD＝4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和可得∠AMD+∠A＝∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD＝∠BDN，从而得到△AMD和
△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得 ，求出MA•DN＝4MD，再将
所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．
【解析】解：∵AB＝6，AD：AB＝1：3，
∴AD＝6 2，BD＝6﹣2＝4，
∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，
∴∠A＝∠B＝∠FDE，
由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A＝∠EDF+∠BDN，
∴∠AMD＝∠BDN，
∴△AMD∽△BDN，
∴ ，
∴MA•DN＝BD•MD＝4MD，
∴ ，
∴MD MD （ ）2+（ ）2﹣2 2 （ ）
第 10 页 / 共 27 页2+2 ，
∴ ，即MD ，
如图，
连接CD，过点C作CG⊥AB于G，
∵AC＝BC＝5，AB＝6，
∴AG＝3，CG＝4，
∴DG＝AG﹣AD＝3﹣2＝1，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD
当点M和点C重合时，DM最大，即：DM最大
当DM⊥AC时，DM最小，过点D作DH⊥AC于H，即：DM最小＝DH，
在Rt△ACG中，sin∠A ，
在Rt△ADH中，sin∠A ，
∴DH＝ADsin∠A＝2 ，
∵ DM ，
∴DM 时，MD 有最小值为2 ．
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转变换，难点在
于将所求代数式整理出完全平方的形式从而判断出最小值．
18．（3分）如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分
∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM AF，连接CM并延长交直
第 11 页 / 共 27 页线DE于点H．若AC＝2，△AMH的面积是 ，则 的值是 8 ．
【微点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【思路】过点H作HG⊥AC于点G，由于AF平分∠CAE，DE∥BF，∠HAF＝∠AFC＝
∠CAF，从而AC＝CF＝2，利用△AHM∽△FCM， ，从而可求出AH＝1，利
用△AMH的面积是 ，从而可求出 HG，利用勾股定理即可求出 CG的长度，所以
．
【解析】解：过点H作HG⊥AC于点G，
∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF＝∠AFC＝∠CAF，
∴AC＝CF＝2，
∵AM AF，
∴ ，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴ ，
∴AH＝1，
设△AHM中，AH边上的高为m，
△FCM中CF边上的高为n，
∴ ，
∵△AMH的面积为： ，
第 12 页 / 共 27 页∴ AH•m
∴m ，
∴n ，
设△AHC的面积为S，
∴ 3，
∴S＝3S△AHM ，
∴ AC•HG ，
∴HG ，
∴由勾股定理可知：AG ，
∴CG＝AC﹣AG＝2
∴ 8
故答案为：8
【点拨】本题考查相似三角形综合问题，解题的关键是通过相似三角形的性质求出
HG、CG、AH长度，本题属于难题．
三、解答题（本大题共7小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）（1）计算： cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣| |；
（2）先化简，再求值：（ ） ，其中x＝3 ，y
．
【微点】实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
第 13 页 / 共 27 页【思路】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x、y的值代入化简后的式
子即可解答本题．
【解析】解：（1） cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣| |
＝0.2
＝0.2
＝0.7；
（2）（ ）
，
当x＝3 ，y 时，原式 ．
【点拨】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值，解
答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（11分）红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查，从试验
田中随机抽取了30株，得到的数据如下（单位：颗）：
1 1 2 1 2 2 1 1 2 2
82 95 01 79 08 04 86 92 10 04
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
75 93 00 03 88 97 12 07 85 06
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2
88 86 98 02 21 99 19 08 87 24
（1）对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析，请补全下表中空格，并完善直方图：
1 1 1 2 2
第 14 页 / 共 27 页谷 75 85 95 05 15
粒 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
颗 x x x x x
数 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜
18 19 20 21 22
5 5 5 5 5
8 1 3
频 3 0 6
数
D E C
对 B A
应
扇
形
图
中
区
域
如图所示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为 72 度，扇形B对应的圆心角为
36 度；
（2）该试验田中大约有3000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的
水稻有多少株？
【微点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图．
【思路】（1）根据表格中数据填表画图即可，利用360°×其所占的百分比求出扇形对应
的圆心角度数；
（2）用360°乘以样本中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻所占百分比即可．
【解析】解：（1）填表如下：
1 1 1 2 2
谷 75 85 95 05 15
粒 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
颗 x x x x x
数 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜
18 19 20 21 22
5 5 5 5 5
第 15 页 / 共 27 页3 8 1 6 3
频 0
数
B D E A C
对
应
扇
形
图
中
区
域
如图所示：
如图所示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为：360° 72度，扇形B对应
的圆心角为360° 36度．
故答案为3，6，B，A，72，36；
（2）3000 900．
即据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有900株．
【点拨】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图
获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也
考查了利用样本估计总体．
21．（11分）江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割
小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的
第 16 页 / 共 27 页收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，
有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
【微点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【思路】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小
麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台
大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据总费
用＝大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出 w与m之间的函数关系式，由
“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元”，即可得出关于m
的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各方案，再结合一次函
数的性质即可解决最值问题．
【解析】解：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收
割小麦y公顷，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．
（2）设大型收割机用m台，总费用为w元，则小型收割机用（10﹣m）台，
根据题意得：w＝300×2m+200×2（10﹣m）＝200m+4000．
∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，
∴ ，
解得：5≤m≤7，
∴有三种不同方案．
∵w＝200m+4000中，200＞0，
∴w值随m值的增大而增大，
∴当m＝5时，总费用取最小值，最小值为5000元．
答：有三种方案，当大型收割机用5台、小型收割机用5台时，总费用最低，最低费用
为5000元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的
第 17 页 / 共 27 页应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量间的
关系，找出总费用w与使用大型收割机m台之间的函数关系式．
22．（11分）如图，设反比例函数的解析式为y （k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A，B两点，如
图所示，当△ABO的面积为 时，求直线l的解析式．
【微点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路】（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；
（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，可得y＝kx+2k，由 消去y
得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO
的面积为 ，可得 •2•3k •2•k ，解方程即可解决问题；
【解析】解：（1）由题意A（1，2），
把A（1，2）代入y ，得到3k＝2，
∴k ．
（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，
∴y＝kx+2k，
第 18 页 / 共 27 页由 消去y得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为 ，
∴ •2•3k •2•k ，
解得k ，
∴直线l的解析式为y x ．
【点拨】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点、待定系数法、二元一次方程组等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（11分）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的
一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于
点N．
（1）求证：CA＝CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA ，AN＝2 ，求圆O的直径的长度．
【微点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形．
【思路】（1）（方法一）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得
出∠M+∠FOH＝180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M＝∠C＝
2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN＝90°﹣∠OAF＝∠ANC，由此即可
证出CA＝CN；
（方法二）连接OF，根据切线的性质可得出∠MFO＝90°，即∠MFN+∠NFO＝90°，由
CD⊥AB可得出∠ANH+∠NAH＝90°，根据OF＝OA可得出∠NFO＝∠NAH，进而可得
第 19 页 / 共 27 页出∠MFN＝∠CNA，结合平行线的性质可得出∠MFN＝∠NAC＝∠ANC，再由等角对等
边可证出CA＝CN；
（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA 、AN＝2 ，即可求出CH、AH的长
度，设圆的半径为r，则OH＝r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解
之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．
【解析】（1）证明：（方法一）连接OF，则∠OAF＝∠OFA，如图1所示．
∵ME与 O相切，
∴OF⊥M⊙E．
∵CD⊥AB，
∴∠M+∠FOH＝180°．
∵∠BOF＝∠OAF+∠OFA＝2∠OAF，∠FOH+∠BOF＝180°，
∴∠M＝2∠OAF．
∵ME∥AC，
∴∠M＝∠C＝2∠OAF．
∵CD⊥AB，
∴∠ANC+∠OAF＝∠BAC+∠C＝90°，
∴∠ANC＝90°﹣∠OAF，∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣2∠OAF，
∴∠CAN＝∠OAF+∠BAC＝90°﹣∠OAF＝∠ANC，
∴CA＝CN．
（方法二）连接OF，如图1所示．
∵ME与 O相切，
∴∠MFO⊙＝90°，
∴∠MFN+∠NFO＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ANH+∠NAH＝90°．
∵OF＝OA，
∴∠NFO＝∠NAH，
∴∠MFN＝∠CNA．
∵ME∥AC，
∴∠MFN＝∠NAC，
∴∠NAC＝∠ANC，
第 20 页 / 共 27 页∴AC＝CN．
（2）连接OC，如图2所示．
∵cos∠DFA ，∠DFA＝∠ACH，
∴ ．
设CH＝4a，则AC＝5a，AH＝3a，
∵CA＝CN，
∴NH＝a，
∴AN a＝2 ，
∴a＝2，AH＝3a＝6，CH＝4a＝8．
设圆的半径为r，则OH＝r﹣6，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝8，OH＝r﹣6，
∴OC2＝CH2+OH2，r2＝82+（r﹣6）2，
解得：r ，
∴圆O的直径的长度为2r ．
【点拨】本题考查了切线的性质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理以及解一元一
次方程，解题的关键是：（1）（方法一）通过角的计算找出∠CAN＝90°﹣∠OAF＝
∠ANC；（方法二）利用平行线的性质结合等角的余角相等找出∠MFN＝∠NAC＝
第 21 页 / 共 27 页∠ANC；（2）利用解直角三角形求出CH、AH的长度．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并
且经过点（4，2），直线y x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心
为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等
于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．
【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解
析式；
（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD
的长，可求得圆的半径，可证得结论；
（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐标
可求得FH，则可求得MF和BE的长，可求得其比值．
【解析】解：
（1）∵已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
∵抛物线经过点（4，2），
∴2＝a（4﹣2）2+1，解得a ，
∴抛物线解析式为y （x﹣2）2+1 x2﹣x+2；
第 22 页 / 共 27 页（2）联立直线和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴B（3 ， ），D（3 ， ），
∵C为BD的中点，
∴点C的纵坐标为 ，
∵BD 5，
∴圆的半径为 ，
∴点C到x轴的距离等于圆的半径，
∴圆C与x轴相切；
（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，
由（2）可知CM ，CH 1 ，
在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH＝2，
∵HF ，
∴MF＝HF﹣MH 2，
∵BE 1 ，
第 23 页 / 共 27 页∴ ．
【点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定
和性质、勾股定理等知识．在（1）中注意利用抛物线的顶点式，在（2）中求得B、D
的坐标是解题的关键，在（3）中求得BE、MF的长是解题的关键．本题考查知识点较
多，综合性较强，计算量较大，难度较大．
25．（14分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速
度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点
N，且保持∠NMC＝45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF．将△MNF关
于直线NF对称后得到△ENF，已知AC＝8cm，BC＝4cm，设点M运动时间为t（s），
△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t
值；如果不能，说明理由；
（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．
【微点】四边形综合题．
【思路】（1）由已知得出 CN＝CM＝t，FN∥BC，得出 AN＝8﹣t，由平行线证出
△ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NF AN （8﹣t），由对称的性质得出
∠ENF＝∠MNF＝∠NMC＝45°，MN＝NE，OE＝OM＝CN＝t，由正方形的性质得出
OE＝ON FN，得出方程，解方程即可；
第 24 页 / 共 27 页（2）分两种情况： 当0＜t≤2时，由三角形面积得出y t2+2t；
①
当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF （8﹣t），GH＝NH，GH＝
②
2FH，得出GH NF （8﹣t），由三角形面积得出y （8﹣t）2（2＜t≤4）；
（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF＝BF，EM＝2CN＝2CM＝2t，
EM＝2BM，得出方程，解方程求出CN＝CM＝2，AN＝6，得出BM＝2，NF AN＝
3，因此EM＝2BM＝4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB 2 ，
求出EF ，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出 DF NF ，
在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值．
【解析】解：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：
连接ME交NF于O，如图1所示：
∵∠C＝90°，∠NMC＝45°，NF⊥AC，
∴CN＝CM＝t，FN∥BC，
∴AN＝8﹣t，△ANF∽△ACB，
∴ 2，
∴NF AN （8﹣t），
由对称的性质得：∠ENF＝∠MNF＝∠NMC＝45°，MN＝NE，OE＝OM＝CN＝t，
∵四边形MNEF是正方形，
∴OE＝ON FN，
∴t （8﹣t），
解得：t ；
即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为 ；
第 25 页 / 共 27 页（2）当点E在AB边上时，连接EM，如图3所示：
则EF＝BF，EM＝2CN＝2CM＝2t，EM＝2BM，
∵BM＝4﹣t，
∴2t＝2（4﹣t），
解得：t＝2，
分两种情况：
当0＜t≤2时，y （8﹣t）×t t2+2t，
①
即y t2+2t（0＜t≤2）；
当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，
②
由（1）得：NF （8﹣t），GH＝NH，GH＝2FH，
∴GH NF （8﹣t），
∴y NF′GH （8﹣t） （8﹣t） （8﹣t）2，
即y （8﹣t）2（2＜t≤4）；
（3）当点E在AB边上时，y取最大值，
连接EM，如图3所示：
则EF＝BF，EM＝2CN＝2CM＝2t，EM＝2BM，
∵BM＝4﹣t，
∴2t＝2（4﹣t），
解得：t＝2，
∴CN＝CM＝2，AN＝6，
∴BM＝4﹣2＝2，NF AN＝3，
∴EM＝2BM＝4，
作FD⊥NE于D，则EB 2 ，△DNF是等腰直角三角形，
∴EF ，DF NF ，
第 26 页 / 共 27 页在Rt△DEF中，sin∠NEF ．
【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性
质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、等腰直角三角形的判定与性质等知识；
本题综合性强，有一定难度．
第 27 页 / 共 27 页
