广东省中山市第一中学2024届高三上学期第五次统测数学_2024届广东省中山市第一中学高三上学期第五次统测

中山市第一中学 2023~2024 学年第一学期高三年级第五次统测 数 学 本试卷共5页，共150分，考试时长120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 的 1. 集合 真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 复数 满足 ，其中 为虚数单位，则（ ） A. B. . C D. 3. 正三角形 中， ， 为 上的靠近 的四等分点， 为 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 4. 过点 与圆 相切的两条直线的夹角（锐角）为 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 各项均为正数的等比数列 中， 成等差数列， 是 的前 项和，则 （ ） A. B. C. D. 6. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛 ，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫 ，于 年被收入世界文化遗产名录．现测量一个 的屋顶，得其母线长为 ，屋顶的 表面积为 即圆锥的侧面积 若从该屋顶底面圆周一点 绕屋顶侧面一周至过 的母线的中点，安 装灯光带，则该灯光带的最短长度为（ ） A. B. C. D. 7. 设 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，若 ， 则 的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范 围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求） 为 9. 山东省某地区 年至 年生产总值指数分别 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则（ ）A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为 C. 这组数据的中位数为 D. 这组数据的上四分位数为 10. 如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中正确的（ ） A. 不可能垂直于 B. 平面 C. 三棱锥 的体积不变 D. 若正方体的棱长为 ，且 ， 分别为 ， 的中点，则过 ， ， 的截面面积最大值为 11. 已知双曲线 的离心率为 ， ， 是双曲线 的两个焦点，经过点 直线 垂直于双曲线 的一条渐近线，直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 的面积为 ，则 （ ） A. 双曲线 的渐近线方程为 的 B. 双曲线 实轴长为 的 C. 线段 长为 D. 是直角三角形12. 数学中一般用 表示a，b中的较小值， 表示a，b中的较大值；关于函数： ； ，有如 下四个命题，其中是真命题的是（ ） A. 与 的最小正周期均为 B. 与 的图象均关于直线 对称 C. 的最大值是 的最小值 D. 与 的图象关于原点中心对称 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 的展开式中常数项是_________ 用数字作答 14. 接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校 的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期， 未接种疫苗的感染率为 ，而接种了疫苗的感染率为 .现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫 苗的概率为___________ 15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，圆 与双曲线在 第一象限的交点为 ，且 ，则该双曲线的离心率为_________． 16. 已知 为 的外心， ，当 最大时， 边上的中线长为_________． 三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其它各题满分12分，共70分.） 17. 在① ，② ，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． （1）求角C； （2）若 ，求 的取值范围． 18. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男 子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采 取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军. 积分规则如下：比赛中以 或 取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以 取胜的队 员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为 . （1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）第10轮比赛中，记张三 取胜的概率为 . ①求出 的最大值点 ； ②若以 作为 的值，这轮比赛张三所得积分为 ，求 的分布列及期望. 19. （1）已知：有理数都能表示成 （ ，且 ， 与 互质）的形式，进而有理数集 ，且 ， 与 互质 ． 证明：（i） 是有理数． （ii） 是无理数． （2）已知各项均为正数的两个数列 和 满足： ， ．设 ，，且 是等比数列，求 和 的值． 20. 如图，已知四棱台 的体积为 ，且满足 ， 为棱 上的一点，且 平面 . （1）设该棱台的高为 ，求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 21. 如图，在平面直角 坐标系 中，双曲线 的上下焦点分别为 ．已知点 和 都在双曲线上，其中 为双曲线的离心率． （1）求双曲线的方程； （2）设 是双曲线上位于 轴右方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 ． （I）若 ，求直线 的斜率； （II）求证： 是定值． 22. 已知函数 （ ）.（1）若 恒成立，求a的取值范围； （2）若 ，证明： 在 有唯一的极值点x，且 .中山市第一中学 2023~2024 学年第一学期高三年级第五次统测 数学 本试卷共5页，共150分，考试时长120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 集合 的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的解集，用列举法表示出集合即求解. 【详解】不等式 ，解得 ， 因此 ， 所以集合 的真子集个数为3. 故选：B 2. 复数 满足 ，其中 为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数 ，再逐项计算判断即得. 【详解】由 ，得 ， ， 对于A， ，A正确； 对于B， ，B错误；对于C， ，C错误； 对于D， ，D错误. 故选：A 3. 正三角形 中， ， 为 上的靠近 的四等分点， 为 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量基本定理可得 ， ，再由平面向量 的数量积运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为 为 上的靠近 的四等分点， 则 ， 且 为 的中点， 则 ， 又 为等边三角形，且 ， 则. 故选：A 4. 过点 与圆 相切的两条直线的夹角（锐角）为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆方程可得圆心 为 ，半径 ，再由点 与圆心的距离可求得 ， 即可知 . 【详解】将圆 化为标准方程可得 ， 即圆心 为 ，半径 ；如下图所示： 又 ，易知 ， 所以可得 ，又 为锐角，可知 ；可得 . 故选：C 5. 各项均为正数的等比数列 中， 成等差数列， 是 的前 项和，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项可得 ，结合等比数列通项公式可得 ，再利用等比数列求 和公式运算求解. 【详解】设等比数列 的公比为 ， 因为 成等差数列，则 ， 且 ，则 ， 又因为 ，则 ，可得 ， 所以 . 故选：B. 6. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛 ，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名 叫 ，于 年被收入世界文化遗产名录．现测量一个 的屋顶，得其母线长为 ，屋顶的 表面积为 即圆锥的侧面积 若从该屋顶底面圆周一点 绕屋顶侧面一周至过 的母线的中点，安 装灯光带，则该灯光带的最短长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，根据圆锥的表面积求出侧面展开图顶角 ，再由余弦定理求出 . 【详解】 设圆锥的底面半径为r，侧面展开图如图所示， 由图可知B为SA的中点， 为所求长度的最小值， 由于母线长为 ，则 ，圆锥的侧面积为 ， 则由圆锥的侧面积公式可得 ， 所以底面圆的周长即弧长 ， 又 ， 则在 中，由余弦定理可得， 解得 m， 故选：C 7. 设 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，若 ， 则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆和双曲线的标准方程分别表示出离心率，再根据 运算得解. 【详解】因为 ，椭圆方程为 ，可得 ， 又由双曲线方程 ，可得 ， 因为 ，所以 ，整理得 ， 令 ，上式转化为 ，解得 或 （舍去）， . 故选：D. 8. 已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转 化为 在 上恒成立． 的 【详解】当 时，由 恒成立，二次函数 对称轴为 ， （1）当 时， 在 上单调递减，则 恒成立， （2）当 时， ，所以 综上可知，当 时， 在 上恒成立； 当 时， 恒成立，即 在 上恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ，函数单增，又 ，所以 ； 综上可知， 的取值范围是 ， 故选：D 二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求） 9. 山东省某地区 年至 年生产总值指数分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则（ ） A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为C. 这组数据的中位数为 D. 这组数据的上四分位数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将数据从小到大排列得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，再对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】将数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 从小 到大排成一列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 对于选项A，极差为 ，所以选项A正确； 对于选项B，众数为 ， ，所以选项B错误； 对于选项C，中位数为 ，所以选项C正确； 对于选项D，因为 ，故上四分位数为 ，所以选项D正确， 故选：ACD. 10. 如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中正确的（ ） A. 不可能垂直于 B. 平面C. 三棱锥 的体积不变 D. 若正方体的棱长为 ，且 ， 分别为 ， 的中点，则过 ， ， 的截面面积最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明、计算判断AD；证明面面平行判断B；证明线面平行判断C. 【 详解】对于A，当 与 重合时，由于 平面 ， 平面 ，则 ，A 错误； 对于B，连接 ，正方体 的对角面 是矩形， 则 ，而 平面 ， 平面 ，于是 平面 ， 同理 平面 ，又 平面 ， 因此平面 平面 ，而 平面 ，所以 平面 ，B正确； 对于C，由选项B知， 平面 ，则点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，为 定值， 又 的面积是定值，因此三棱锥 的体积是定值，不变，C正确； 对于D，当 与 重合时，直线 分别与 的延长线交于点 ， 连接 ，分别与棱 交于点 ，连接 ，则五边形 是过 的截面，显然 ， ， ， 由平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 则 ， ，同理 ，显然 ， ， 因此截面面积 ，而 ， 所以 ，D错误. 故选：BC 11. 已知双曲线 的离心率为 ， ， 是双曲线 的两个焦点，经过点 直线 垂直于双曲线 的一条渐近线，直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 的面积为 ，则 （ ） A. 双曲线 的渐近线方程为 B. 双曲线 的实轴长为C. 线段 的长为 D. 是直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】双曲线心率 ，求出 的值，得到渐近线方程，判断A；联立直线与双曲线方程， 表示 的面积，求出 的值，判断B；利用弦长公式得到线段 的长，判断C；求出 点坐标， 进而得到 斜率，根据斜率判断是否垂直，判断D. 【详解】 ∵ ，∴ ，即： ， ， ∴渐近线方程为 ，故A错误； 经过点 直线 垂直于双曲线 的一条渐近线，不妨设直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 ， ，消去x得 ，则 ， 设 ， ，则 ， ，所以 ， 解得 ，即： ，故双曲线C的实轴长为6，故B正确； 因为 ， ， 所以 8，故C正确； 因为 ， ， ， 所以双曲线方程为 ，直线 的方程为 ， ，消去x得 ， 则 或 ，又 ， ， 此时 ，所以 ，所以 是直角三角形，故D正确， 故选：BCD. 12. 数学中一般用 表示a，b中的较小值， 表示a，b中的较大值；关于函数： ； ，有如 下四个命题，其中是真命题的是（ ） A. 与 的最小正周期均为B. 与 图的象均关于直线 对称 C. 的最大值是 的最小值 D. 与 的图象关于原点中心对称 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出 ， ，结合函数 与 的图象即可求解 【详解】设 则 ， 函数 与 的大致图象如下所示： 对A，由图知， 与 的最小正周期均为2π；故A错误； 对B，由图知， 为函数 与 的对称轴，故B正确.对C， ，由图知∶函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，故C错误； 对D，由图知， 与 的图象关于原点中心对称，故D正确； 故选：BD. 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 的展开式中常数项是_________ 用数字作答 【答案】61 【解析】 【分析】根据题意借助于二项展开式的通项公式分析求解. 【详解】因为 的展开式的通项公式为 ， 令 ，解得 ，可得 ； 令 ，解得 ，可得 ； 所以展开式中常数项是 . 故答案为：61. 14. 接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校 的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期， 未接种疫苗的感染率为 ，而接种了疫苗的感染率为 .现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫 苗的概率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】设事件 “感染流行感冒”，事件 “未接种疫苗”，则 ， ， 故 . 故答案为： ． 15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，圆 与双曲线在 第一象限的交点为 ，且 ，则该双曲线的离心率为_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据双曲线定义并结合圆 及 从而求解. 【详解】由题意知圆 ，得圆是以 为直径的圆交于双曲线在第一象限点为 ， 且 ， 由双曲线定义得 ，又因为 ， 所以 ，得 ，得 ， 所以 ， ，在 中 ，即 ， 解得 ，即 .故答案为： . 【点睛】关键点点睛：根据圆是以 为直径的圆并结合双曲线定义及 从而可求解 16. 已知 为 的外心， ，当 最大时， 边上的中线长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到 ，再利用余弦定理与基本不等式求得 最大时 的值，从而得解. 【详解】取 中点D，连接 ，则 ， 则 ， 所以 ，即 ，又 ，所以 ， ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号，此时角 最大， 同时 ，所以 ， 所以 边上中线长为 . 故答案为： . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化 ，得到 ，从而得解. 三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其它各题满分12分，共70分.） 17. 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． （1）求角C； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①：由正弦定理得到 ，再利用两角和的正弦公式化简得到 求解；选②利用正弦定理得到 ，再利用余弦定理求解； 选③利用三角形面积公式和正弦定理得到 ，再利用余弦定理求解. （2）由正弦定理得到 ，从而有求解. 【小问1详解】 解：若选①：由正弦定理得 ， 则 ， ， ， ． 若选②： ， 由正弦定理得 ， ， ， 若选③： ， 则 ， 由正弦定理得 ， ， ．【小问2详解】 由正弦定理得 ， 则 ， ， ． . 18. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男 子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采 取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军. 积分规则如下：比赛中以 或 取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以 取胜的队 员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为 . 的 （1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区 概率是多少？ （2）第10轮比赛中，记张三 取胜的概率为 . ①求出 的最大值点 ； ②若以 作为 的值，这轮比赛张三所得积分为 ，求 的分布列及期望. 【答案】（1） ；（2）① ；②分布列答案见解析，数学期望： . 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式即得；（2）由题可求 ，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，即得. 【详解】（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是 ； （2）①由题可知 ， ， 令 ，得 ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减. 所以 的最大值点 ， ② 的可能取值为0，1，2，3. ； ； ； . 所以 的分布列为 0 1 2 3的期望为 . 19. （1）已知：有理数都能表示成 （ ，且 ， 与 互质）的形式，进而有理数集 ，且 ， 与 互质 ． 证明：（i） 是有理数． （ii） 是无理数． （2）已知各项均为正数的两个数列 和 满足： ， ．设 ， ，且 是等比数列，求 和 的值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据有理数的表示、等比数列求和可得答案； （ii）假设 是有理数，利用反证法可得答案； （2）利用基本不等式可得 ，设公比为 ，可得 ，利用等比数列的定义得 也为等比数列，再根据已知得 此方程至多只有两个根可得答案. 【详解】（1）（i）因为 ； （ii）假设 是有理数，则 （ ，且 与 互质），故 ①，所以存在 ，使得 ，代入①式可得 ， 所以存在 ，使得 ， 这与 互质矛盾．所以 是无理数； （2）因为 为正项数列，所以 ， 类似地，可得 ， 因此， ．又因为 是正项等比数列，设其公比为 ， 若 ，则与 矛盾，若 ，则与 矛盾，所以 ， 又因为 ，所以 ，故 也为等比数列， 又因为 ，所以 ，即 *， 而此方程至多只有两个根，所以 的公比 ，即 ，所以 ， 分将 代入*式得 ， 解得 或 （舍去）， 所以 ． 20. 如图，已知四棱台 的体积为 ，且满足 ， 为棱 上的一点，且 平面 .（1）设该棱台的高为 ，求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行条件求AE，再结合等腰梯形 可求得 ，然后利用棱台的体积公式 求出h可证； （2）利用三角形 可求 ，再用等体积法求出点E到平面 的距离，然后可得. 【小问1详解】 连接 ，由棱台性质可知， ，可得 ， 又 ， ，所以 ，所以 四点共面 又因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 所以 ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 又四边形 为等腰梯形， 易知 为梯形 的高，即所以 易得上下底面的面积分别为： ， 由体积公式有 ，解得 所以 【小问2详解】 连接 由（1）知 ，所以 平面ABCD， 因为平面 平面 ，所以平面 平面ABCD， 又 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 因为 平面 ，所以 易得 记三棱锥 的高为 ， 则由 得 ，解得又 ， 所以 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 21. 如图，在平面直角 坐标系 中，双曲线 的上下焦点分别为 ．已知点 和 都在双曲线上，其中 为双曲线的离心率． （1）求双曲线的方程； 的 （2）设 是双曲线上位于 轴右方 两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 ． （I）若 ，求直线 的斜率； （II）求证： 是定值． 【答案】（1） （2）（I） ；（II）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线的方程求解即可； （2）（I）构造平行四边形 ，求出 ，然后利用弦长公式求直线 的斜率即可；（II）利用三角形相似和双曲线的性质，将 转化为 ，然后结合韦达定理 求解即可. 【小问1详解】 将点 和 代入双曲线方程得： ，结合 ，化简得： ，解得 ， 双曲线的方程为 ． 【小问2详解】 （Ⅰ）设 关于原点对称点记为 ， 则 ． 因为 ,所以 ， 又因为 ，所以 ，即 ， 故 三点共线． 又因为 与 互相平分，所以四边形 为平行四边形，故 ， 所以 ．由题意知，直线 斜率一定存在， 设 的直线方程为 ，代入双曲线方程整理得： ，故 ， 直线 与双曲线上支有两个交点，所以 ，解得 ． 由弦长公式得 ， 代入解得 ． （Ⅱ）因为 ，由相似三角形得 ， 所以 ． 因为 ． 所以 ，故为定值． 22. 已知函数 （ ）. （1）若 恒成立，求a的取值范围；（2）若 ，证明： 在 有唯一的极值点x，且 . 【答案】（1） .（2）见解析 【解析】 【分析】（1）计算 得到 ，再证明当 （ ）时， ，先证明 （ ），讨论 和 两种情况，计算得到证明. （2）求导得到 ， ，得到存在唯一实数 ， 使 ，存在唯一实数 ，使 ，得到 ，得到证明. 【详解】（1）由 ，得 ，即 ，解得 ， ， 以下证明，当 （ ）时， . 为此先证： （ ）. 若 ，则 ； 若 ，则 . 令 （ ），可知 ，函数单调递增， 故 ，即 （ ）， 综上所述： （ ）. 若 （ ），则当 时， ，故 ，即 ； 当 时， ，由 （ ）， 得 . 故当 （ ）时， . 综上，所求a的取值范围是 . （2） ，令 ， ，∵ ，∴ 是 上的增函数， 又 ， ， 故存在唯一实数 ，使 ，当 时， ， 递减；当 时， ， 递增. 又 ，则 ， ， ， ∴ ， ， . 故存在唯一实数 ，使 . 当 时， ， 递减；当 时， ， 递增. 所以 在区间 有唯一极小值点 ，且极小值为 . 又由 ，得 ， ∴ . 又 . 以下只需证明，即证 ， . ∵ ，∴ . 则 ，所以 . 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，极值点问题，证明不等式，先算后证是解题的关键.