文档内容
绝密★启用前 试卷类型：A
深圳实验、湛江一中、珠海一中 2024 届高三三校联考
数学试题
2023.12
注意事项：
1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．
3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．
4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．
5．考试结束后，考生上交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
2. 若复数 满足 ，则 在复平面上所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在梯形 中，设 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
4．已知函数 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
5．若 ，则
A． B． C． D．
6．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半
径为1，则圆台的体积为
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，与其准线交
于点 ，若 ，则
A． B． C． D．
8．已知函数 ，过点 作 的切线 ，若 （ ），则直线
学科网（北京）股份有限公司的条数为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,有
多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：
学生 甲 乙 丙 丁 戊
成绩
则下列结论正确的为
A．这 位同学成绩的中位数是
B．这 位同学成绩的平均数是
C．这 位同学成绩的第 百分位数是
D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变
10. 将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则下列结论
正确的为
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． 在区间 上单调递减 D． 的图象与 的图象关于 对
称
11．已知圆 ，点 在圆 上，过 可作 的
两条切线，记切点分别为 ， ，则下列结论正确的为
A．当 ， 时，点 可是 上任意一点
B．当 ， 时， 可能等于
C．若存在 使得△ 为等边三角形，则 的最小值为
D．若存在 使得△ 的面积为 ，则 可能为
12. 已知点 在棱长为 的正方体 的表面上运动，且四面体 的体
积恒为 ，则下列结论正确的为
A． 的轨迹长度为
B．四面体 的体积最大值为
C．二面角 的取值范围为
D．当△ 的周长最小时，
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则公差 ．
14．某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，
学科网（北京）股份有限公司若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导
方
案数为 ．
15．已知奇函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 恒成
立，则 ．
16. 已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，点 在 的左支上运动且
不
与顶点重合，记 为△ 的内心， ，若 ，则 的取值范围
为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （10分）
已知 为数列 的前 项和，且满足 （ ）.
(1) 求数列 的通项公式；
(2) 记 ，求数列 的前 项和 ．
18．（12分）
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1) 求证： ；
(2) 若△ 的面积为 ，且 ，求 ．
19．（12分）
如图，在三棱锥 中，△ 为等腰直角三角形， ，△ 为等边
三角形.
(1) 证明： ；
(2) 若直线 与平面 所成的角为 ，点 在棱 上，且 ，求二面
学科网（北京）股份有限公司角 的大小.
20．（12分）
已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，
按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获
胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲
队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为 ， ， ，且每场比赛的胜负均相互独立.
(1) 当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；
(2) 若主办方在决赛的前两场中共投资 （千万元），则能在这两场比赛中共盈利
（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资 （千万元），则能在
该场比赛中盈利 （千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期
望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
21．（12分）
已知函数 ， ．
(1) 讨论 的单调性；
(2) 当 时，若 的极小值点为 ，证明： 存在唯一的零点 ，且
．
22．（12分）
在平面直角坐标系 中，点 ， 的坐标分别为 和 ，设△ 的面积
为 ，内切圆半径为 ，当 时，记顶点 的轨迹为曲线 ．
(1) 求 的方程；
(2) 已知点 ， ， ， 在 上，且直线 与 相交于点 ，记 ， 的斜
学科网（北京）股份有限公司率分别为 ， ．
(i) 设 的中点为 ， 的中点为 ，证明：存在唯一常数 ，使得当 时，
；
(ii) 若 ，当 最大时，求四边形 的面积．
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
