文档内容
2022 年贵港市初中学业水平考试试卷数学
（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间120分钟）
注意：答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题都给出标号为A，B，C，D．的四个选项，其中只有
一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑）
的
1. 倒数是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：-2的倒数是 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数，是解题的关键．
2. 一个圆锥如右图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三个视图完全相同
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的定义即可求解．
【详解】解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆，
故主视图和左视图相同，主视图俯视图和左视图与俯视图都不相同，故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键．
的
3. 一组数据3，5，1，4，6，5 众数和中位数分别是（ ）
A. 5，4.5 B. 4.5，4 C. 4，4.5 D. 5，5
【答案】A
【解析】
【分析】把这组数按照从小到大的顺序排列，第3、4两个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最
多的是5，从而得到这组数据的众数．
【详解】解：把这组数按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6，
第3、4两个数的平均数是 ，
所以中位数是4.5，
在这组数据中出现次数最多的是5，即众数是5．
故选：A．
【点睛】此题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，找中位数时一定要先从小到大或
从大到小排好顺序，然后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个时，则正中间的数字即为所
求，如果是偶数个时则找中间两位数的平均数，熟练掌握相关知识是解题关键．
4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到
．已知 ，则 用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵ ，
∴28nm=2.8×10-8m．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5. 下例计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. 2a−a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. (-a3)2=a6，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，熟知运算法则
是解题关键．
6. 若点 与点 关于y轴对称，则 的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
【详解】∵点 与点 关于y轴对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a-b=-1，
故选A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
7. 若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0
【答案】B
【解析】【分析】直接把 代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入 ，则
，
解得： ；
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的另一个根是 ；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
8. 下列命题为真命题的是（ ）
A. B. 同位角相等
C. 三角形的内心到三边的距离相等 D. 正多边形都是中心对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】根据判断命题真假的方法即可求解．
【详解】解：当 时， ，故A为假命题，故A选项错误；
当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；
三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；
三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握其判断方法是解题的关键．
9. 如图，⊙ 是 的外接圆， 是⊙ 的直径，点P在⊙ 上，若 ，则 的度
数是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到
的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∴
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，在点A处测得树顶C的仰角为 ，在点B处测得树
顶C的仰角为 ，且A，B，D三点在同一直线上，若 ，则这棵树 的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切
函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ，
即： ，
解得 ，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
11. 如图，在 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若 的顶点均是格点，则
的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，∵每个小正方形的边长为1，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ,
在 中， ,
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
12. 如图，在边长为1的菱形 中， ，动点E在 边上（与点A、B均不重合），点
F在对角线 上， 与 相交于点G，连接 ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 的最小值为
【答案】D
【解析】【分析】先证明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由
∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判断B项答案正确，证△BEG △CEB得 ，即可判断
C项答案正确，由 ，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△ABC
的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG= ，即可判断D项错误．
是
【详解】解：∵四边形ABCD 菱形， ，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC= ∠BAD= = ，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故C项答案正确，
∵ ，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴ ，AF= AC= ，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG= ，故D项错误，
故应选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质
是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题）
13. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负数．
【详解】解：由题意得：
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
14. 因式分解： ________．
【答案】a(a+1)(a-1)
【解析】
【分析】先找出公因式 ，然后提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：
故答案为： .
【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
15. 从 ， ，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是___．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：∵从 ， ，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（ ， ），（ ，2），（ ，2），（ ， ），（2， ），（2， ），共6
个点；在第三象限的点有（ ， ），（ ， ），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列举法求概率，解题的关键是正确的列出所有可能的点，以及在第三象限上的点，再
由概率公式进行计算，即可得到答案．
16. 如图，将 绕点A逆时针旋转角 得到 ，点B的对应点D恰好落在
边上，若 ，则旋转角 的度数是______．【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，由旋转的性质，得到 ， ，则 ，
即可求出旋转角 的度数．
【详解】解：根据题意，
∵ ，
∴ ，
由旋转的性质，则 ， ，
∴ ，
∴ ；
∴旋转角 的度数是50°；
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
17. 如图，在 中， ，以点A为圆心、 为半径画弧交 于点E，
连接 ，若 ，则图中阴影部分的面积是_______．
【答案】
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S
阴影
=S −S −S 结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
▱ABCD 扇形ADE △EBC
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵ ，
∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB−AE= ，
∴S =S −S −S
阴影 ▱ABCD 扇形ADE △EBC
=
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
18. 已知二次函数 ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 ，对称轴
为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③ ；④（其中 ）；⑤若 和 均在该函数图象上，且 ，则 ．其中正确
结论的个数共有_______个．
【答案】3
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴 ，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，
代入可得： ，再根据抛物线开口朝下，可得 ，进而可得 ， ，再结合二次函数的
图象和性质逐条判断即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为： ，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，
∴代入(-2,0)、(1,0)得： ，
解得： ，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程 有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式 ，故②正确；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，故④正确；
∵抛物线的对称轴为： ，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数 ，在 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，故⑤错误，
故正确的有：②③④，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性
质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算： ；
（2）解不等式组：
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）根据绝对值的意义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及特殊角的三角函数值进行计
算即可；
（2）先分别求解出不等式①和不等式②的解集，再找这个两个解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值以求解不
等式组的解集的知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
20. 尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作 ，使 ．
【答案】见解析
【解析】【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取 ；作 ；即可得到 ．
【详解】解：如图所示： 为所求．
注：（1）作直线l及l上一点A；
（2）过点A作l的垂线；
（3）在l上截取 ；
（4）作 ．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21. 如图，直线 与反比例函数 的图像相交于点A和点 ，与x轴的正半轴相交
于点B．
（1）求k的值；
（2）连接 ，若点C为线段 的中点，求 的面积．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）直接把点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出答案；（2）由题意，先求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，求出点B的坐标，再求出 的面积
即可．
【小问1详解】
解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ 是线段 的中点，点B在x轴上，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在 上，
∴点A的坐标为 ，
∵ ，
设直线AC为 ，则，解得 ，
∴直线 为 ，
令 ，则 ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函
数与一次函数的图像和性质进行解题．
22. 在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）科技兴趣（B）、民族
体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期
学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整
的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有________人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是_______；
（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．
【答案】（1）90 （2）见解析（3）
（4）300人
【解析】
【分析】（1）用劳技实践（E）社团人数除以所占的百分比求解；
（2）先用总人数分别减去传统国学（A）、科技兴趣（B）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E）社团的人数
计算出民族体育（C）社团的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用360度乘传统国学（A）社团所占的比例来求解；
（4）用2700乘艺术鉴赏（D）社团所占的比例来求解．
【小问1详解】
解：本次调查的学生人数为：
（人）．
故答案为：90；
【小问2详解】
解：民族体育（C）社团人数为： （人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：在扇形统计图中，传统国学（A）社团对应扇形的圆心角度数是
．故答案为： ；
【小问4详解】
解：该校有2700名学生，本学期参加艺术鉴赏（D）社团活动的学生人数为
（人）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，理解先求出本次调查人数是解答关键．
23. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价
格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的
数量各是多少？
【答案】（1）绳子的单价为7元，实心球的单价为30元
（2）购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个
【解析】
【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为 元，根据“84元购买绳子的数量与360元
购买实心球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题；
（2）根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题．
【小问1详解】
解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为 元，
根据题意，得： ，
解分式方程，得： ，
经检验可知 是所列方程的解，且满足实际意义，
∴ ，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
【小问2详解】
设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为 条，
根据题意，得： ，解得
∴
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
24. 图，在 中， ，点D是 边的中点，点O在 边上，⊙ 经过点C且与 边
相切于点E， ．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若 ， ，求⊙ 的半径及 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
【分析】（1）作 ，垂足为H，连接 ，先证明 是 的平分线，然后由切线的判定
定理进行证明，即可得到结论成立；
（2）设 ，由勾股定理可求 ，设 的半径为r，然后证明
，结合勾股定理即可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图，作 ，垂足为H，连接 ，∵ ，D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴ ，即 是 的平分线，
∵O在 上， 与 相切于点E，
∴ ，且 是 的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
解：如（1）图，∵在 中， ，
∴可设 ，
∴ ，则 ，
设 的半径为r，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，则 ，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得 ，又 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ．
【点睛】本题考查了三角函数，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的
关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．
25. 如图，已知抛物线 经过 和 两点，直线 与x轴相交于点C，P是
直线 上方的抛物线上的一个动点， 轴交 于点D．
（1）求该抛物线的表达式；（2）若 轴交 于点E，求 的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与 相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
【答案】（1）
（2）最大值为
（3） 或 ，
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点C的坐标为 ，然后证明 ，设点P的坐标为 ，
其中 ，则点D的坐标为 ，分别表示出 和 ，再由二次函数的最值性质，求出
答案；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当 ∽ 时；当 ∽ 时；分别求出两种
情况 的点的坐标，即可得到答案．
【小问1详解】
解：（1）∵抛物线 经过 和 两点，
∴
解得： ， ，
∴抛物线的表达式为 ．
【小问2详解】
解：∵ ，∴直线 表达式为 ，
∵直线 与x轴交于点C，
∴点C的坐标为 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
设点P的坐标为 ，其中 ，
则点D的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，且最大值为 ．
【小问3详解】
解：根据题意，
在一次函数 中，令 ，则 ，∴点C的坐标为（2，0）；
当 ∽ 时，如图
此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵ 轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为： ，
∴点P的坐标为（2，3）；
当 ∽ 时，如图，则 ，
设点 ，则点P 为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，点P的坐标为 ；
∴满足条件的点P，点D的坐标为 或 ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练
掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析．
26. 已知：点C，D均在直线l的上方， 与 都是直线l的垂线段，且 在 的右侧，
， 与 相交于点O．
（1）如图1，若连接 ，则 的形状为______， 的值为______；
（2）若将 沿直线l平移，并以 为一边在直线l的上方作等边 ．
①如图2，当 与 重合时，连接 ，若 ，求 的长；
②如图3，当 时，连接 并延长交直线l于点F，连接 ．求证： ．【答案】（1）等腰三角形，
（2）① ；②见解析
【解析】
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD
的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．
（2）①过点E作 于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得 ，根据等边三角形的
性质可得 ，再利用勾股定理即可求解．
②连接 ，根据 ，得 ，即 是等边三角形，把 旋转得
，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到 ，则可得
，根据三角形相似的性质即可求证结论．
【小问1详解】
解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴ 的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，，即 ，
，
故答案为：等腰三角形， ．
【小问2详解】
①过点E作 于点H，如图所示：
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴ ，
∵ 是等边三角形，且 与 重合，
∴∠EAD=60°，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
又由（1）知 ，
∴ ，则 ，
∴在 中，由勾股定理得： ．
②连接 ，如图3所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形，
∴ 是等边三角形，
又∵ 是等边三角形，
∴ 绕点D顺时针旋转 后与 重合，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理
的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．
