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专题 04 双曲线（2 种经典基础练+3 种优选提升练）
双曲线及其标准方程（共16题）
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高二上·山东东营·期末）若 是双曲线 的两个焦点， 为 上关于
坐标原点对称的两点，且 ，设四边形 的面积为 ，四边形 的外接圆的面
积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知 为双曲线 的左，右焦点， 为坐标原点，
为双曲线上一点，且 ，则 到 轴的距离为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2 B． C． D．
4．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线 的左焦点为F，点P在双曲线C的右
支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则 （ ）
A．8或20 B．20 C．6或22 D．22
5．（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆 ： 和 ：
都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B．
C． （ ） D． （ ）
6．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其
外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线 的一部分绕其虚轴所在直线
旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为 ，最大直径为 ，双曲线的离心率为
，则该花瓶的高为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点 在双曲
学科网（北京）股份有限公司线上， ，则 （ ）
A．13 B．10 C．1 D．13或1
二、多选题
8．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知角 ，则方程 可能表示下列哪些
曲线（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．两条直线
三、填空题
9．（23-24高二上·山西大同·期末）点 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在
上，且 ，则 的周长是 ．
10．（23-24高二上·湖南益阳·期末） 的坐标满足方程： ，
则M的轨迹方程为 .
11．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为 ，实轴长为8，则该双曲线的标
准方程为 .
12．（23-24高二上·天津西青·期末）已知双曲线 （ ）的两个焦点为 ， ，焦距
为20，点P是双曲线上一点， ，则 .
13．（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输
一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔
的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为 ,上口半径为 ,下口半径为
，高为 .附墙升降机轨道在 点以下与冷却塔贴合,从 点到顶端 点是竖直的,则 长约
为 （保留整数）.
学科网（北京）股份有限公司四、解答题
14．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线过点 且与椭圆 有相同
的焦点 ，
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点 在双曲线上，且 ，求 与 的值．
15．（23-24高二上·河南漯河·期末）求符合下列条件的曲线方程：
(1)已知点 四点，你只需任意选择其中三个点作圆，求所作圆的标
准方程.
(2)以 轴， 轴为对称轴，且同时过 两点的圆锥曲线的标准方程.
16．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线 与椭圆 的
焦点相同，点 是 和 在第一象限的公共点，记 的左，右焦点依次为 ， ， ．
(1)求 的标准方程；
学科网（北京）股份有限公司(2)设点 在 上且在第一象限， ， 的延长线分别交 于点 ， ，设 ， 分别为 ，
的内切圆半径，求 的最大值．
双曲线的简单几何性质（共21题）
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线
的焦点坐标分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则
双曲线的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线 （ ）的一条渐近线为 ，则
其离心率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． 或 D． 或
4．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为 ， ， ，
，其大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的
渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线 的图
象的一部分，当拱顶M到水面的距离为 米时，水面宽 为 米，则此双曲线的虚轴长为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．2 C．3 D．6
二、多选题
7．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知点P是双曲线 上任意一点， ， 是C的左、
右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C的离心率为
C． D．C的渐近线方程为
8．（23-24高三上·河北保定·期末）已知双曲线 的渐近线方程为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的离心率为
C．曲线 经过 的一个顶点 D． 与 有相同的渐近线
9．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线C的方程为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．双曲线C的实轴长为6
B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司10．（23-24高二上·广东深圳·期末）经过点 ，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方
程是 .
11．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E与双曲线 具有相同的渐近线，且经过
点 ，则双曲线E的方程为 .
12．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若双曲线 的虚轴长为4，则该双曲
线的渐近线方程为 .
13．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E： 的一条渐近线与圆C：
交于A，B两点，若 ，则E的焦距为 ．
14．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知 为双曲线 的右焦点， 为双曲线
的两条渐近线，以 为圆心的圆与渐近线相切于 两点，则 ．
四、解答题
15．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为 的双曲线 与x轴交于A，B两
点，B在A的右侧．在E上任取一点 ，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线
PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．
(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：直线 与直线 的斜率乘积为定值；
(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说
明理由．
学科网（北京）股份有限公司16．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系 中，双曲线 的左
顶点到右焦点的距离是3，且 的离心率是2．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)点 是 上位于第一象限的一点，点 关于原点 对称，点 关于 轴对称．延长
至 使得 ，且直线 和 的另一个交点 位于第二象限中．
（ⅰ）求 的取值范围，并判断 是否成立？
（ⅱ）证明： 不可能是 的三等分线．
17．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线 的焦点在 轴上，且虚轴长 ，过双曲
线 的右焦点 且垂直 轴的直线 交双曲线 于 两点， 的面积为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线 交双曲线 于 两点，且点 是线段 的中点，求直线 的方程.
18．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线 的一条渐近线方程为
学科网（北京）股份有限公司， 为坐标原点，点 在双曲线 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，且 ，求 的最小值．
19．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线 过点 ，左右焦点
分别为 ，且 ．
(1)求 的标准方程．
(2)设过点 的直线 与 交于 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得 为常数？
若存在，求出点 的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．
20．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知定点 ，直线 相交于点M，且它
们的斜率之积为 ，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点 满足 ，直线 与双曲线 分别相切于点A，B.证明：
直线 与曲线C相切于点Q，且 .
学科网（北京）股份有限公司21．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线 ： 过点 ，离心
率为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交双曲线左支于点 ，平行于 的直线交双曲线的渐近线于
A，B两点，点A在第一象限，直线 的斜率为 .若四边形 为平行四边形，证明： 为
定值.
双曲线中定点问题
1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点 ，动点 到直线l： 的距离为d，且
，记S的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若 ， 分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线 上，且 .连接
学科网（北京）股份有限公司， 分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.
2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线 上的动点 满足 ，且
.
(1)求 的方程；
(2)已知直线 与 交于 两点，过 分别作 的切线，若两切线交于点 ，且点 在直线
上，证明： 经过定点.
3．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知双曲线 的左焦点 ，一条
渐近线方程为 ，过 做直线 与双曲线左支交于两点 ，点 ，延长 与双
曲线右支交于 两点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)判断直线 是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知双曲线 的实轴长为4，且双曲线
经过点 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为零的直线 与双曲线 交于 两点， 关于 轴的对称点为 ，求证：
直线 过定点 .
5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线 ： 的左右顶点分别为 、 ．
(1)求以 、 为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程；
(2)直线 过点 与双曲线 交于 、 两点，若点 恰为弦 的中点，求出直线 的方程；
(3)动直线 ： 恒过 ，且与双曲线 的交于 、 两点（异于 ），点 （常
数 ）是 轴上的一个定点，若恒有 成立，求实数 的值．
学科网（北京）股份有限公司双曲线中定值问题
1．（22-23高二上·安徽蚌埠·期末）已知 分别为双曲线 和双曲线
上不与顶点重合的点，且 的中点在双曲线 的渐近线上.
(1)设 的斜率分别为 ，求证： 为定值；
(2)判断 的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.
2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知 ， 分别是双曲线 ： （ ，
）的左、右焦点， ，点 到 的渐近线的距离为3.
(1)求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知点 为坐标原点，动直线 与 相切，若 与 的两条渐近线交于 ， 两点，求证：
的面积为定值.
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）双曲线 和 的方程均满足 ，其中
的焦点在 轴上，顺次连接 的两个焦点和 的两个顶点恰好可以构成一个面积为4的正方形．
(1)求双曲线 和 的方程．
(2)若 为 左支上一动点且不在 轴上，过 作 的切线交 于 两点，过 作
的平行线交 于 ，顺次连接 四点构成四边形 ，求证：四边形
的面积为定值．
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知离心率为 的双曲线 经过点
.
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的方程；
(2)如图，点 为双曲线上的任意一点， 为原点，过点 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两
渐近线交于 、 两点，求证：平行四边形 的面积为定值.
5．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率
为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支交于M，N两点，且 ，
，D为垂足．证明：存在定点Q，使得 为定值，并求出Q点坐标．
6．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知双曲线 （ ， ）的离心率为2，且经
过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)点 ， 在双曲线 上，且 ， ， 为垂足.证明：①直线 过定点；②存
学科网（北京）股份有限公司在定点 ，使得 为定值.
7．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
过 作直线 交双曲线右支于 两点，当直线 与 轴垂直时， ．过 作直线 分别交
双曲线两支于 两点，且 的最小值为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设线段 的中点分别为 ，记 的面积为 ， 的面积为 （ 为双曲线的
中心），若直线 的斜率分别为 且 ，求证： 为定值，并求出这个定值．
8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知点 在双曲线 上，双曲
学科网（北京）股份有限公司线 的离心率为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 交双曲线 于不同于点 的 两点，直线 和直线 的斜率之和是否
为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
9．（23-24高二上·广东广州·期末）已知双曲线 ： 与圆 的
一个交点为 .
(1)求双曲线E的方程；
(2)设点A为双曲线E的右顶点，点B，C为双曲线E上关于原点O对称的两点，且点B在第一象限，
直线 与直线 交于点M，直线 与双曲线E交于点D.设直线 与 的斜率分别为 ，
，请问 是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司10．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，已知曲线 是以原点O为中心、 为焦点的椭圆的
一部分，曲线 是以原点O为中心， 为焦点的双曲线的一部分，A是曲线 和曲线 的交点，
且 为钝角，我们把曲线 和曲线 合成的曲线C称为“月蚀圆”．设
.
(1)求曲线 和 所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点 作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的
中点，H为BE的中点．问： 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
11．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线 ： 过点 ，离心
率为 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交双曲线左支于点 ，平行于 的直线交双曲线的渐近线于
A，B两点，点A在第一象限，直线 的斜率为 .若四边形 为平行四边形，证明： 为
定值.
12．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为 的双曲线 与x轴交于A，B两
点，B在A的右侧．在E上任取一点 ，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线
PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．
(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：直线 与直线 的斜率乘积为定值；
(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说
明理由．
13．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线 的渐近线为 ，双曲线 与双曲线C
的渐近线相同，过双曲线 的右顶点的直线与 ，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为
8．
学科网（北京）股份有限公司(1)求双曲线 的方程；
(2)点P是双曲线 上任意一点，过点P作 依次与双曲线C和 交于A，B两点，再过点P
作 依次与双曲线C和 交于E，F两点，证明： 为定值．
14．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知双曲线 的渐近线方程为 ，且点 在
上．
(1)求 的方程；
(2)点 在 上，且 为垂足．证明：存在点 ，使得 为定值．
双曲线中最值问题
1．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点 ，焦点在 轴上的双曲线 的焦距为
4，且过点 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线 交双曲线 的右支于 ， 两点，连接 并延长交双曲线 的左支于点 ，
求 的面积的最小值.
2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线方程为 ， ， 为双曲线的左、有焦点，
离心率为2，点 为双曲线在第一象限上的一点，且满足 ， ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 作斜率不为0的直线 交双曲线于 两点；则在 轴上是否存在定点 使得
为定值，若存在，请求出 的值及此时 面积的最小值，若不存在，请说明理由．
3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线 的离心率为 ，点 分别是双曲
线的左右焦点，过 的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存
在时， ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求双曲线的标准方程；
(2)线段 交圆 于点B，记 的面积分别为 ，求
的最小值．
4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线 的一条渐近线方程为
， 为坐标原点，点 在双曲线 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，且 ，求 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）椭圆 与双曲线 有相同的焦点，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，设 为直线 上不同于点 的任意一点，
连接线段 交椭圆于点 ，连接线段 并延长交椭圆于点 .
（i）证明：点B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值.
6．（23-24高二上·福建福州·期末）若双曲线 的一个焦点是 ，且离
心率为2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 ，过焦点 的直线 与双曲线 的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率
之和的最大值．
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高二上·四川成都·期末）请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.
(1)已知圆 ，圆 过点 且与圆 外切. 设 点的轨迹为曲线
.
①已知曲线 与曲线 无交点，求 的最大值（用 表示）；
②若记①的 最大值为 ，圆 和曲线 相交于 、 两点，曲线 与
轴交于 点，求四边形 的面积的最大值，并求出此时 的值. （参考公式：
，其中 ，当且仅当 时取等号）
(2)如图，椭圆 的左右焦点分别为 、 ，其上动点 到 的距离最大值
和最小值之积为 ，且椭圆 的离心率为 .
①求椭圆 的标准方程；
②已知椭圆 外有一点 ，过 点作椭圆 的两条切线，且两切线斜率之积为 .是否存在合适的
点，使得 ？若存在，请写出 点的坐标；若不存在，请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司8．（22-23高三上·广东东莞·期末）已知 ， 为双曲线E： （ ，
）的左右焦点，点 在双曲线E上，O为坐标原点．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切，分别过点 ， 作直线l的垂线，垂足为P，
Q，求 面积最大值．
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