文档内容
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2023 年天津市初中学业水平考试试卷
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第
Ⅱ卷为第4页至第8页，试卷满分120分．考试时间100分钟．
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并
在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上
无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共 12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 计算 的结果等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数 的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解： ；
故选D．
【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键．
2. 估计 的值应在 （）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之
【答案】B
【解析】
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【分析】由于4＜6＜9，于是 ，从而有 ．
【详解】解：∵4＜6＜9，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图 的定义判断．
【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小
正方形，
故答案为：C．
【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 全 B. 面 C. 发 D. 展
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称的定义判断即可；
【详解】解：全面发展四个字中，可以看作是轴对称图形的是全；
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；掌握定义是解题关键．
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5. 据 年 月 日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、
亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到 人次，将数据 用科
学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解： ；
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法： ， 为整数，是解
题的关键．
6. 的值等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．
【详解】解 ： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的
关键．
7. 计算 的结果等于（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
8. 若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解： ， ，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限， 随 的增大而增大；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
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9. 若 是方程 的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程 中的 ，
是方程 的两个根，
， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关
键．
10. 如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相
等），两弧相交于 M，N 两点，直线 分别与边 相交于点 D，E，连接 ．若
，则 的长为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可知直线 为边 的垂直平分线，再由 得到 ，则可知
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三点在以 为圆心 直径的圆上，进而得到 ，由勾股定理求出 即可．
【详解】解：由作图可知，直线 为边 的垂直平分线，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 三点在以 为圆心 直径的圆上，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握
常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
11. 如图，把 以点A为中心逆时针旋转得到 ，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在
的延长线上，连接 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得 ， ， ，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
12. 如图，要围一个矩形菜园 ，共中一边 是墙，且 的长不能超过 ，其余的三边
用篱笆，且这三边的和为 ．有下列结论：
① 的长可以为 ；
② 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ；
③菜园 面积的最大值为 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，根据矩形的面积公
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式列二次函数解析式，再分别根据 的长不能超过 ，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，由题意得
，
其中 ，即 ，
① 的长不可以为 ，原说法错误；
③菜园 面积的最大值为 ，原说法正确；
②当 时，解得 或 ，
∴ 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关
键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机
取出1个球，则它是绿球的概率为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．
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14. 计算 的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可求得答案．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
15. 计算 的结果为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
16. 若直线 向上平移3个单位长度后经过点 ，则 的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点 代入即可求得 的值．
【详解】解： 直线 向上平移3个单位长度，
平移后的直线解析式为： ．
平移后经过 ，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查 的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
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17. 如图，在边长为3的正方形 的外侧，作等腰三角形 ， ．
（1） 的面积为________；
（2）若F为 的中点，连接 并延长，与 相交于点G，则 的长为________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（1）过点E作 ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到 的长，再利用勾股定理，
求出 的长，即可得到 的面积；
（2）延长 交 于点K，利用正方形和平行线的性质，证明 ，得到 的长，
进而得到 的长，再证明 ，得到 ，进而求出 的长，最后利用勾股定理，
即可求出 的长．
【详解】解：（1）过点E作 ，
正方形 的边长为3，
，
是等腰三角形， ， ，
，
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在 中， ，
,
故答案为：3；
（2）延长 交 于点K，
正方形 的边长为3，
， ，
， ，
，
，
，
F为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
由（1）可知， ， ，
，
，
，
，
，
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判
定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关
键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形 内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段 的长为________；
（2）若点D在圆上， 与 相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使
为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________．
【答案】（1）
（2）画图见解析；如图，取 与网格线的交点E，F，连接 并延长与网格线相交于点G；连接
与网格线相交于点H，连接 并延长与网格线相交于点 I，连接 并延长与圆相交于点K，连接
并延长与 的延长线相交于点Q，则点Q即为所求
12【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；
（2）取 与网格线的交点E，F，连接 并延长与网格线相交于点M，连接 ；连接 与网
格线相交于点G，连接 并延长与网格线相交于点H，连接 并延长与圆相交于点I，连接 并延长
与 的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接 ， ，过点E作 网格线，过点G作
网格线，由图可得 ，根据全等三角形的性质可得 和
，根据同弧所对圆周角相等可得 ，进而得到 和 ，再通
过证明 即可得到结论．
【小问1详解】
解： ；
故答案为： ．
【小问2详解】
解：如图，取 与网格线的交点E，F，连接 并延长与网格线相交于点G；连接 与网格线相
交于点H，连接 并延长与网格线相交于点I，连接 并延长与圆相交于点K，连接 并延长与
的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
连接 ， ，过点E作 网格线，过点G作 网格线，
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由图可得：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
14【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，此时点Q即为所求；
故答案为：如图，取 与网格线的交点E，F，连接 并延长与网格线相交于点G；连接 与网
格线相交于点H，连接 并延长与网格线相交于点I，连接 并延长与圆相交于点K，连接 并延长
与 的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解
题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组
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请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得________________；
（2）解不等式②，得________________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为________________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可．
【小问1详解】
解：解不等式①，得 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：解不等式②，得 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【小问4详解】
解：原不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决
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本题的关键．
20. 为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的
学生的年龄情况，随机调查了 名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下的
统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为________，图①中 的值为________；
（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1） ， ；
（2）平均数是 ，众数是 ，中位数是 ．
【解析】
【分析】（1）根据条形图求出各组数据总和可得到 ，再根据百分比的定义求m即可；
（2）根据平均数，众数，中位数的定义求解即可；
【小问1详解】
解：由题意， ，
岁学生所占百分比为： ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
观察条形统计图，
∵ ，
∴这组数据的平均数是 ．
∵在这组数据中， 出现了 次，出现的次数最多，
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∴这组数据的众数是 ．
∵将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是 ，有 ，
∴这组数据的中位数是 ．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到信息是解决
问题的关键．
21. 在 中，半径 垂直于弦 ，垂足为D， ，E为弦 所对的优弧上一点．
（1）如图①，求 和 的大小；
（2）如图②， 与 相交于点F， ，过点E作 的切线，与 的延长线相交于点G，若
，求 的长．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据半径 垂直于弦 ，可以得到 ，从而得到 ，结合已知
条件 即可得到 ，根据 即可求出 ；
（ 2 ） 根 据 ， 结 合 ， 推 算 出 ， 进 一 步 推 算 出
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， 在 中 ， ， 再 根 据
即可得到答案．
【小问1详解】
解：在 中，半径 垂直于弦 ，
∴ ，得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图，连接 ．
同（1）得 ．
∵在 中， ，
∴ ．
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
又 ，
∴ ．
∵ 与 相切于点E，
∴ ，即 ．
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．
22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔 前有一座高为 的观景台，已知 ，点E，C，A在同一条水平直线
上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为 ．
（1）求 的长；
（2）设塔 的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段 的长（结果保留根号）；
②求塔 的高度（ 取0.5， 取1.7，结果取整数）．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
20【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）①分别在 和 中，利用锐角三角函数定义求得 ， ，进而可求解；
②过点 作 ，垂足为 ．可证明四边形 是矩形，得到 ，
．在 中，利用锐角三角函数定义得到 ，然后求解即可．
【小问1详解】
解：在 中， ，
∴ ．
即 的长为 ．
【小问2详解】
解：①在 中， ，
∴ ．
在 中，由 ， ， ，
则 .
∴ ．
即 的长为 ．
②如图，过点 作 ，垂足为 ．
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
根据题意， ，
∴四边形 是矩形．
∴ ， ．
可得 ．
在 中， ， ，
∴ ．即 ．
∴ ．
答：塔 的高度约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角
函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
23. 已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍 ，体育场离宿舍 ，
张强从宿舍出发，先用了 匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了 ，之后匀速步行了 到
文具店买笔，在文具店停留 后，用了 匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿
舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/ 1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为________ ；
③当 时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度
为 ，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①0.12，1.2，0.6；②0.06；③ ；
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；
③当 时，直接根据图象写出解析式即可；当 时，设y与x的函数解析式为
，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）当张强离开体育场 时，即 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当
李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为
，求解即可．
【小问1详解】
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
① ，
由图填表：
张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6
故答案为：0.12，1.2，0.6；
②张强从体育场到文具店的速度为 ，
故答案为：0.06；
当 时，
；
当 时，设y与x的函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ；
综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为 ；
【小问2详解】
当张强离开体育场 时，即 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，
当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，
∴
解得 ，
当 时， ，
所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是 ．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
意，熟练掌握知识点是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形 的顶点 ，矩形 的顶
点 ．
（1）填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；
（2）将矩形 沿水平方向向右平移，得到矩形 ，点E，F，G，H的对应点分别为 ，
， ， ．设 ，矩形 与菱形 重叠部分的面积为S．
①如图②，当边 与 相交于点M、边 与 相交于点N，且矩形 与菱形 重
叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
②当 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1） ， ．
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；
（2）①由题意易得 ，然后可得 ，则有 ，进而根
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当 时，矩形 和菱形 重叠
部分的面积 是增大的，当 时，矩形 和菱形 重叠部分的面积 是减小的，
然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可．
【小问1详解】
解：∵四边形 是矩形，且 ，
∴ ，
∴ ；
连接 ，交于一点H，如图所示：
∵四边形 是菱形，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ， ；
【小问2详解】
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解：①∵点 ，点 ，点 ，
∴矩形 中， 轴， 轴， ．
∴矩形 中， 轴， 轴， ．
由点 ，点 ，得 ．
在 中， ，得 ．
在 中，由 ，得 ．
∴ ．同理，得 ．
∵ ，得 ．
又 ，
∴ ，
当 时，则矩形 和菱形 重叠部分为 ，
∴ 的取值范围是 ．
②由①及题意可知当 时，矩形 和菱形 重叠部分的面积 是增大的，当
时，矩形 和菱形 重叠部分的面积 是减小的，
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴当 时，矩形 和菱形 重叠部分如图所示：
此时面积S最大，最大值为 ；
当 时，矩形 和菱形 重叠部分如图所示：
由（1）可知B、D之间的水平距离为 ，则有点D到 的距离为 ，
由①可知： ，
∴矩形 和菱形 重叠部分为等边三角形，
∴该等边三角形的边长为 ，
∴此时面积S最小，最小值为 ；
综上所述：当 时，则 ．
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函
数、图形与坐标是解题的关键．
25. 已知抛物线 ， 为常数， 的顶点为 ，与 轴相交于 ， 两点 点 在
点 的左侧 ，与 轴相交于点 ，抛物线上的点 的横坐标为 ，且 ，过点 作
，垂足为 ．
（1）若 ．
①求点 和点 的坐标；
②当 时，求点 的坐标；
（2）若点 的坐标为 ，且 ，当 时，求点 的坐标．
【答案】（1）①点 的坐标为 ；点 的坐标为 ；②点 的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得 的坐标，令 ，解方程，即可求
得 的坐标；
②过点 作 轴于点 ，与直线 相交于点 ．得出 ．可得 中，
． 中， ．设点 ，点 ．根据 ，解
方程即可求解；
（2）根据题意得出抛物线的解析式为 ．得点 ，其中
．则顶点 的坐标为 ，对称轴为直线 ．过点 作 于
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点 ，则 ，点 ．由 ，得 ．于是
．得出 (舍)．，同(Ⅰ)，过点 作 轴于点 ，与直线
相交于点 ，则点 ，点 ，点 ．根据已知条件式，建立方程，解方程
即可求解．
【小问1详解】
解：①由 ，得抛物线的解析式为 ．
∵ ，
∴点 的坐标为 ．
当 时， ．解得 ．又点 在点 的左侧，
∴点 的坐标为 ．
②过点 作 轴于点 ，与直线 相交于点 ．
∵点 ，点 ，
∴ ．可得 中， ．
∴ 中， ．
∵抛物线 上的点 的横坐标为 ，其中 ，
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∴设点 ，点 ．
得 ．即点 ．
∴ ．
中，可得 ．
∴ ．又 ，
得 ．即 ．解得 (舍)．
∴点 的坐标为 ．
【小问2详解】
∵点 在抛物线 上，其中 ，
∴ ．得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
得点 ，其中 ．
∵ ，
∴顶点 的坐标为 ，对称轴为直线 ．
过点 作 于点 ，则 ，点 ．
由 ，得 ．于是 ．
∴ ．
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即 ．解得 (舍)．
同(Ⅰ)，过点 作 轴于点 ，与直线 相交于点 ，
则点 ，点 ，点 ．
∵ ，
∴ ．
即 ．解得 (舍)．
∴点 坐标为 ．
的
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，
待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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