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小P行程问题
习题：小张家距离工厂15千米，乘坐班车20分钟可到工厂。一天，他错过班车，改乘出租车上班。出租车出发
时间比班车晚4分钟，送小张到工厂后出租车马上原路返回，在距离工厂1.875千米处与班车相遇。如果班车和出租
车都是匀速运动且不计上下车时间，那么小张比班车早多少分钟到达工厂？
A.3 B.4 C.5 D.6行程问题
习题：往返A市和B市的长途汽车以同样的发车间隔从两个城市分别发车，以每小时40公里的速度前往目标城市。
上午9点多，李先生以每小时50公里的速度开车从A市长途汽车站前往B市长途汽车站，路途中总共追上了3辆从A市
开往B市的长途汽车。问他在路途中最多能迎面遇到多少辆从B市开往A市的长途汽车：
A.27 B.25 C.36 D.341容斥问题
给100位同学各分发1张问卷，多选题ABC，收上来发现80人选了A、60人选了B。
可以让选A的人和选B的人都错开吗？容斥问题
给100位同学各分发1张问卷，多选题ABC，收上来发现80人选了A、60人选了B。容斥问题
给100位同学各分发1张问卷，多选题ABC，收上来发现80人选了A、60人选了B。容斥问题
给100位同学各分发1张问卷，多选题ABC，收上来发现80人选了A、60人选了B。集合容斥
总人数：参加了讨论范围的人数总和
总人次：每个对象中存在人数的总和（每个人符合对象数的总和）
20人发苹果，8人仅拿了1个青苹果，8人仅拿了1个红苹果，还有4
人各拿了1个红苹果和青苹果。
双集合计算公式
∪
A B=A+B-A∩B
∪
A∩B=A+B-A B
A+B（总人次）=总人数+二层人次（A且B的部分）集合容斥 算“中间”
例题：某班有54名学生，共中有24名同学喜欢唱歌，有32名同学喜欢跳舞，唱歌、跳舞都不喜欢的有7名同学，
那么既喜欢唱歌也喜欢跳舞的同学有多少人？
A.9人 B.23人 C.28人 D.13人集合容斥 算“两翼”
例题：某班共有46人参加了一次数学测验，其中35人做对了第一题，28人做对了第二题，有3人都做错了这两
道题，那么该班有多少人只做对了第二题？
A.8人 B.11人 C.15人 D.18人集合容斥 算“两翼”
例题：九年级145名同学参加物理、化学竞赛，每人至少一门及格。已知物理93人及格，化学77人及格，则只
有物理一门没有及格的有（ ）人。
A.69 B.68 C.52 D.45集合容斥 总和一定列方程
例题：学期末，某校150名学生代表对两位老师进行教学质量满意评价，对张老师满意的人数比对刘老师满意的
人数要多10，对刘老师满意的人数比学生代表人数的2/5多4，则对两位老师都满意的人数是对他们都不满意人数的
5/8，对两位老师都满意的人数是（ ）。
A.5人 B.15人 C.20人 D.25人集合容斥 总和一定列方程
例题：某单位共有264名员工参加了唱歌和跳舞比赛，其中参加歌唱比赛的人数比参加跳舞比赛的人数多1/6，
两种比赛都参加的人数是只参加唱歌比赛人数的2/5，则只参加跳舞比赛的有（ ）人。
A.72 B.80 C.88 D.962集合容斥
双集合计算公式
∪
A B=A+B-A∩B
∪
A∩B=A+B-A B
A+B（总人次）=总人数+二层人次（A且B的部分）
在之前的问题中，双集合之间的关系都是留一个未知部分要求计算，
如果未知的部分不止一个呢？
例：企业运动会里有个部门有30人，其中参加了跳远的有12人，参
加了跳高的有8人，那么该部门最少有多少人没参加运动会，最多有多少
人没参加运动会？
x=20-y集合容斥
例题：某高中开设2门兴趣课程，同学们可自由报名参加，其中三年一班的同学中，参加A课程的同学共19人，
参加B课程的同学26人，另有11位同学未参加兴趣课程，请问三年一班最少有多少位同学？（ ）
A.37 B.34 C.45 D.56集合容斥 算“中间”
例题：有100名员工去年和今年均参加考核，考核结果为优、良、中、差四个等次。今年考核结果为优的人数是
去年的1.2倍，今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少
人？
A.55人 B.65人 C.75人 D.85人集合容斥
例题：某班级55名同学参加语文、数学二门课的考试。已知语文51人及格，数学48人及格，则只有语文一门课
程及格的人数最多有（ ）人。
A.3 B.4 C.7 D.83行程问题
A+B+C(总人次）=一层+二层+三层
A+B+C(总人次）=仅1+2×仅2+3×仅3
A+B+C(总人次）=一层+仅2+2×仅3集合容斥 其他已知算总人次
例题：某旅行团共有48名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点的人数与至少
参观了两个景点的人数相同，是参观了三个景点的人数的4倍。
则需要为这些游客购买多少张景点门票：
A.48 B.72 C.78 D.84行程问题
总人数=A+B+C-二层-三层
总人数=A+B+C-仅2层-2×仅3层
总人数=A+B+C-（A∩B+A∩C+B∩C）+A∩B∩C集合容斥 其他已知算总人数
例题：为了解某校乒乓球、篮球、排球三种球类的运动情况，采访了某班的同学，了解到会打乒乓球的32人，
会打篮球的25人，会打排球的23人，只会打两种球类的18人，三种球类都会打的8人，三种球类都不会的6人，问这
个班共有多少人？
A.50 B.52 C.60 D.76集合容斥 其他已知算总人数
例题：某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学
习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两
种方式学习的有20人，不存在三种方式学习都不用的人。那么，这次共发放了多少份问卷？
A.370 B.380 C.390 D.400集合容斥 其他已知算总人数
例题：某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修
丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、
丙三门课程均选的有20人。问三门课程均未选的有多少人？
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人集合容斥 算三层人数
例题：某单位26人需要安排在ABC三种不同工作岗位上，发现不能胜任A岗位的有3人，不能胜任B岗位的有2
人，不能胜任C岗位的有1人，其中，不能胜任两个及以上岗位的2人，三个岗位都不能胜任的1人，该单位多少人能
够胜任所有岗位工作？
A.21 B.22 C.23 D.24集合容斥 算三层人数
例题：某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标
识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种？
A.14 B.21 C.23 D.32集合容斥 算局部二层
例题：某社区组织35名志愿者参加志愿活动。其中，志愿者可以从楼道巡逻、帮扶空巢老人、扫雪中任选至多2
项，参加楼道巡逻、帮扶空巢老人、扫雪的人数分别是16人、23人、24人。其中，楼道巡逻、帮扶空巢老人都参加
的有11人，楼道巡逻、扫雪都参加的有9人，则帮扶空巢老人、扫雪都参加的有（ ）人。
A.43 B.12 C.8 D.9集合容斥 算局部一层
例题：某单位举办设有A、B、C三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有72
名员工报名，其中参加A、B、C三个项目的人数分别为26、32、38，三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目
的员工人数是？
A.48 B.40 C.52 D.44集合容斥 算局部一层
例题：某单位组织100名员工进行体检，员工可自愿选择甲、乙、丙三个体检项目。结果发现，有58人选择了甲
项目，38人选择了乙项目，52人选择了丙项目，甲和丙项目都选择的有18人，乙和丙项目都选择的有16人，三个项
目都选择的有12人，已知每个人至少选择一个项目，则只选择了乙项目的有多少人？（ ）
A.6人 B.8人 C.10人 D.12人4集合容斥
三集合计算公式
总人数=A+B+C-二层-三层
总人数=A+B+C-仅2层-2×仅3层
总人数=A+B+C-（A∩B+A∩C+B∩C）+A∩B∩C
三集合最值问题与双集合最值问题类似，都是存在不止一个未知的部
分，需要进行方程换算判断其中某个未知数的最大值或者最小值。
20=100-x-y集合容斥
最值问题的铺砖思维
1.先满足题目硬性要求（如至少拿1个、至少拿2个...）
2.剩余“砖头”自由发挥时考虑 or
例：给100位同学各分发1张问卷，多选题ABC（至少选1个），收上
来发现80人选了A、60人选了B、72人选了C。
同时选了ABC三个选项的人最少有多少个？最多有多少个？集合容斥
例题：有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有
60人，未参加赛跑的有70人，问至少有多少人参加了不止一个项目？（ ）
A.7人 B.10人 C.15人 D.20人集合容斥
例题：一个班级组织跑步比赛，共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人，报名参加100米比赛的有
27人，参加200米比赛的有25人，参加400米比赛的有21人。如果每人最多只能报名参加2项比赛，那么该班最多有
多少人未报名参赛？（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14集合容斥
例题：阅览室有100本杂志。小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的
杂志最少有（ ）本。
A.5 B.10 C.15 D.30集合容斥
例题：某中学，在高考前夕进行了四次数学模考，第一次得80分以上的学生为70%，第二次是75%，第三次是
85%，第四次是90%，请问四次考试中都是80分以上的学生至少是（ ）。
A.10% B.20% C.30% D.40%集合容斥
例题：某班有45人参加一次数学比赛，结果有35人答对第一题，有27人答对第二题，有41人答对第三题，有38
人答对第四题，则这个班四道题都答对的至少有（ ）人
A.5 B.6 C.7 D.8集合容斥
例题：一个班级组织跑步比赛，共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人，报名参加100米比赛的有
38人，参加200米比赛的有14人，参加400米比赛的有20人。如果每人最多只能报名参加2项比赛，那么该班最多有
多少人未报名参赛？（ ）
A.11 B.12 C.13 D.145集合容斥
1到100中，有多少个自然数可以被4或者5整除？
总个数=[100/a]+[100/b]-[100/{a,b}]集合容斥
1到100中，有多少个自然数可以被4或者5或者6整除？
总个数=[100/a]+[100/b]+[100/c]-[100/{a,b}]-[100/{a,c}]-[100/{b,c}]+[100/{a,b,c}]集合容斥
例题：在自然数1到100中，既不是3又不是4的倍数的个数有多少个？
A.25 B.33 C.42 D.50集合容斥
例题：在400米操场起点开始放置旗帜，每40米放置一面蓝色旗帜，每50米放置一面红色旗帜，如果旗帜重叠，
则更换为黄色旗帜。问一圈下来一共放置了多少面旗帜？
A.18 B.20 C.16 D.17集合容斥
例题：某校组织新生入学抽查检测，学生编号为1、2、3······1200，然后将编号为2的倍数的同学删除，再将编
号为3的倍数的同学删除，最后将编号为5的倍数的同学删除，请问还剩下多少名同学参加检测？（ ）
A.120 B.240 C.320 D.400集合容斥
例题：网管员小刘负责甲、乙、丙三个机房的巡检工作，甲、乙和丙机房分别需要每隔2天、4天和7天巡检一次。
3月1日，小刘巡检了三个机房，问他在整个3月有几天不用做机房的巡检工作：
A.12 B.13 C.14 D.15
