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武汉二中 2024 级高一数学 A 卷
命题人：张鹄 审题人：左建华
2024.09.14
一、单选题（40分）
1. 下列关系中：① ，② ，③ ，④ 正确的个数为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于①：因为0是 的元素，所以 ，故①正确；
对于②：因为空集是任何集合的子集，所以 ，故②正确；
对于③：因为集合 的元素为0，1，集合 的元素为(0,1)，
两个集合的元素全不相同，所以 之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合 的元素为 ，集合 的元素为 ，
两个集合的元素不一定相同，所以 不一定相等，故④错误；
的
综上所述：正确 个数为2.
故选：B.
2. 若集合 ， ，则满足 的实数a的个数为（ ）
.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用 ，知 ，求出 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，
即 或者 ，解之可得 或 或 ，
当 时， ， 符合题意；
当 时， ， 符合题意；
当 时， ， 根据集合元素互异性可判断不成立。
所以实数a的个数为2个.
故选：B
3. 已知正实数a，b，设甲： ；乙： ，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质以及作差法结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ， ，
若 ，则 ，可得 ，
则 ，所以 成立，即甲是乙的充分条件；
若 ，可知 ，则 ，即 ，
可得 ，即 ，即甲是乙的必要条件．
综上可知：甲是乙的充要条件．
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司4. 已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用 和 范围求出 ，然后利用不等式的性质求解即可
【详解】由 ， ，
得 ，即 ，
，
所以 ，即 ，
故选：D
5. 已知条件 ，条件 ，且 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到 或 ，根据题意得到 是 的充分不必要条件，从而得到两不等式的
包含关系，求出答案.
【详解】由条件 ，解得 或 ；
因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的充分不必要条件，
故 是 或x>1}的真子集，
则 的取值范围是 ，
故选：B．
6. 在 整 数 集 中 ， 被 除 所 得 余 数 为 的 所 有 整 数 组 成 一 个 “ 类 ” ， 记 为 ， 即
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学科网（北京）股份有限公司，则下面选项正确的为（ ）
A.
B.
C.
D. 整数 属于同一“类”的充分不必要条件是“ ”
【答案】C
【解析】
【分析】求 被 除的余数，判断A，求 被 除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判
断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D.
【详解】对于A， ，A错误；
对于B， ，B错误；
对于C，每个整数除以 后的余数只有 ，没有其他余数，
所以 ，又 ，
故 ，C正确；
对于D，若 ，
则 ，
若 ，则 ，
不妨设 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
所以 除以 后余数相同，
所以 属于同一“类”
所以整数 属于同一“类”的充要条件是“ ”，D错误；
故选：C.
7. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 周长为 3，则 的最小值为（
）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用“ ”的代换，结合基本不等式求最值.
【详解】由题意得 ， ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
故当 时， 取到最小值 .
故 的最小值为 .
故选：C.
8. 记 表示 中最大的数．已知 均为正实数，则 的最小值为（
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A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，可得 ，利用基本不等式运算求解，注意
等号成立的条件.
【详解】由题意可知： 均为正实数，
设 ，则 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
可得 ，即 ，所以 的最小值为2.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出 ， ，再结合
基本不等式求得 .
二、多选题（18分）
9. 下列说法正确的是（ ）．
A. 的一个必要条件是
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学科网（北京）股份有限公司B. 若集合 中只有一个元素，则
C. “ ”是“一元二次方程 有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合 ，则满足条件 的集合N的个数为4
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，举例 时 不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得 不是
的充分条件， 也不是 的必要条件；对于B，按 和 两种情况去探究方程
的解即可；对于C，先由一元二次方程 有一正一负根得 ，
该不等式组的解即为方程 有一正一负根的充要条件；对于D，先由 得
，再由 结合子集个数公式即可得解.
【详解】对于A，当 时满足 ，但 不成立，
所以 不是 的充分条件， 不是 的必要条件，故A错误；
对于B，当 时，方程 的解为 ，
此时集合 中只有一个元素，满足题意，
当 时， 为一元二次方程，
则由集合 中只有一个元素得 ，故 ，
所以符合题意的 有两个， 或 ，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，一元二次方程 有一正一负根，则 ，
所以“ ”是“一元二次方程 有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
又 ，故集合N的个数为 个，故D正确.
故选：CD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 命题“ ， ”的否定是“ ， 或 ”
C. 若 ，则函数 的最小值为2
D. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判
断D.
【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B，命题“ ”的否定是“ 或 ”，故B正确；
对于C，则 ，
当且仅当 ，此时无解，故取不到等号，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故C错误；
对于D，当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述， ，故D正确.
故选：BD.
11. 定义全集 的子集 的特征函数 ,这里 表示 在全集 中的补集,那么对于集
合 、 ,下列所有正确说法是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用特征函数的定义知,由 ,对 与 、 关系分类讨论,可得A正确;利用特征函数的定义
可判断B的正误;取特殊值情况 ,利用定义可判断C的正误;利用集合运算与函数运算进行分类讨
论可判断D的正误,综合可得出结论.
【详解】对于A: ,分类讨论:
①当 ,则 ,此时 ;
②当 ,且 ,即 ,此时 ;
③当 ,且 ,即 时, , ,此时 .
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学科网（北京）股份有限公司综上有 ,故A正确;
对于B: ,故B正确;
对于C:假设 ,任取 ,则 ,则 , ,则
,故C不正确;
对于D:(1)若 ,则 ,有三种情况:
①当 时, ;
②当 时, ;
③当 且 时, ,
以上均满足 .
(2)若 时,有以下4中情况,
①当 且 时, , ;
②当 且 时, , ;
③当 时, ;
④当 时, ,
以上均满足 .
综上所述, ,故D正确.
.
故选:ABD
三、填空题（15分）
12. 已知集合 ， ， ，若
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学科网（北京）股份有限公司， ，则 __________．
【答案】4
【解析】
【分析】求出集合 ，根据集合关系可得 ，求出 的值，然后验证可得.
【详解】 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
由 得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，解 得 ，此时 ，不满足题意；
当 时，解 得 ，满足题意.
所以 .
故答案为：4
13. 设集合 ， ，其中 、 、 、 、 是五个不同的正
整数，且 ，已知 ， ， 中所有元素之和是246，请
写出所有满足条件的集合A：__________________.
【答案】 或
【解析】
【分析】由题意可得 ，所以 ，分类讨论当 和 时情况，即可得出
结果.
【详解】由题意，得 ，所以 .
由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合 有共同元素1，
若 ，则 ，于是 ；
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学科网（北京）股份有限公司此时 且 ，无正整数解；
若 ，集合 有共同元素1和9，则 ，
所以 ，且 ，而 ，
所以 ，
当 时， ；
当 时， ；
因此满足条件的 共有2个，分别为 .
故答案为: 或
14. 对于一个由整数组成的集合 ， 中所有元素之和称为 的“小和数”， 的所有非空子集的“小和数”
之和称为 的“大和数”．已知集合 ，则 的“小和数”为__________，
的“大和数”为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合 的 个子集，分为 与 ，其
中 ， ，且无重复，则 与 的“小和数”之和为 的“小和数”，即可求解.
【详解】根据题意， 的“小和数”为 ，
集合 共有11个元素，则一共有 个子集，
对于任意一个子集 ，总能找到一个子集 ，使得 ， ，
的
且无重复，则 与 “小和数”之和为 的“小和数”，
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学科网（北京）股份有限公司这样的子集对共有 个，
其中当 时， ，则子集对有 ，
则 的“大和数”为 .
故答案为： ；
四、解答题（77分）
15. 已知集合 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】(1)根据 可知 ，列出不等式组即可求解．
(2)分 和 两种情况讨论即可．
【小问1详解】
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的范围是 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司(i)若 ，则 ，即 ，此时满足 ；
(ii)若 ，则 ，
若 ，则 或 ，解得 或 ，
∴ 或 ；
综上， 或 ．
16. 已知非空集合 ， ，全集 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 是 成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用
，利用交集运算，求出 ，即可求出结果.
（2）根据条件得出 是 的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果.
【小问1详解】
方法一：当 时， ，
所以 或 ．
因为 ，
所以 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 或 ．
方法二：当 时， ，
故 ，
所以 或 ．
【小问2详解】
因为 是 成立的充分不必要条件，
所以 是 的真子集，
当 时， 或
解得 或 ，
综上，实数a的取值范围是 ．
17. 已知p:关于x的方程 有实数根， ．
（1）若命题 是假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题 是假命题，可得命题 是真命题，则由 ，求出 的取值范围；
（2）由 是 的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可.
【小问1详解】
因为命题 是假命题，则命题 是真命题，
即关于 的方程 有实数根，
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学科网（北京）股份有限公司因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
由（1）知，命题 是真命题，即 ，
因为命题 是命题 的必要不充分条件，则 ，
因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
18. 对于二次函数 ，若存在 ，使得 成立，则称 为二
次函数 的不动点.
（1）求二次函数 的不动点；
（2）若二次函数 有两个不相等的不动点 、 ，且 、 ，求
的最小值.
（3）若对任意实数 ，二次函数 恒有不动点，求 的取值范围.
【答案】（1） 和3
（2）8 （3）
【解析】
【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可；
（2）根据不动点定义得方程 有两个不相等的正实数根，列不等式求得 ，
结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可；
（3）根据不动点定义得 ，结合判别式即可求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意知 ，即 ，则 ，
解得 ， ，所以不动点为 和3.
【小问2详解】
依题意， 有两个不相等的正实数根，
即方程 有两个不相等的正实数根，
所以 ，解得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为8.
【小问3详解】
由题知： ，
所以 ，由于函数 恒有不动点，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
又因为 是任意实数，所以 ，
即 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的
问题，结合根与系数、判别式来求解.
19. 给定整数 ，由 元实数集合 定义其相伴数集 ，如果 ，
则称集合S为一个 元规范数集，并定义S的范数 为其中所有元素绝对值之和.
（1）判断 、 哪个是规范数集，并说明理由；
（2）任取一个 元规范数集S，记 、 分别为其中最小数与最大数，求证：
；
（3）当 遍历所有2023元规范数集时，求范数 的最小值.
注： 、 分别表示数集 中的最小数与最大数.
【答案】（1）集合A不是规范数集；集合B是规范数集；
（2）证明见详解； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据 元规范数集的定义，只需判断集合 中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大
于等于1即可；
（2）利用 元规范数集的定义，得到 ，从而分类讨论 、 与 三种情
况，结合去绝对值的方法即可证明；
（3）法一：当 时，证得 ，从而得到 ；当 时，证得
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学科网（北京）股份有限公司，从而得到 ；当 时，分类讨论 与
两种情况，推得 ，由此得解；
法二：利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解.
【小问1详解】
对于集合A：因为 ，所以集合A不是规范数集；
对于集合B：因为 ，
又 ， ， ， ， ，
，
所以B相伴数集 ，即 ，故集合B是规范数集.
【小问2详解】
不妨设集合S中的元素为 ，即 ，
因为S为规范数集，则 ，则 ，且 ，使得
，
当 时，
则
，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
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学科网（北京）股份有限公司则
，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
则 ，
当且仅当 时，等号成立；
综上所述： .
【小问3详解】
法一：
不妨设 ，
因为S为规范数集，则 ，则 ，且 ，使得
，
当 时，
则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则范数 ，
当且仅当 时，等号成立，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，等号成立，
故 ，即范数 的最小值 ；
当 时，
则当 时，可得
，
当且仅当 时，等号成立，则 ，
则范数
，
当且仅当 时，等号成立，
又
，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，即范数 的最小值 ；
当 ，使得 ，且 ，
当 ，即 ，即 时，
则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则范数
；
对于 ，其开口向上，对称轴为 ，
所以 ，
所以范数 的最小值为 ；
当 ，即 ，即 时，
则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则范数
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学科网（北京）股份有限公司；
对于 ，其开口向上，对称轴为 ，
所以 ，
所以范数 ；
综上所述：范数 的最小值 .
法二：
不妨设 ，
因为S为规范数集，则 ，则 ，且 ，使得
，
所以对于 ，同样有 ，则 ，
由（2）的证明过程与结论 可得， ，当且
仅当 时，等号成立，
即 ， ，…… ，
所以范数
，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，等号成立，
所以范数 的最小值 .
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解 元规范数集的定义，得到 ，再将集合中的元素进
行从小到大排列，利用分类与整合的思想进行讨论分析，从而得解.
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学科网（北京）股份有限公司
