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高一上数学暑假测试密卷（三）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．设集合 ， ， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据交集的概念即可求解.
【详解】因为集合 ， ，
由交集的定义可得： ，
故选: .
2．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】 ，
，
两式相加得 ，
.
故选：C.
3．已知 ， ，如果不等式 恒成立，那么 的最大值等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】，选C.
4．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可.
【详解】对于A：当 时， ，A错误；
对于B： ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故等号不能成立， ，B错误；
对于C： ，当且仅当 ，即 时等号成立，C正确；
对于D：当 时， ，当且仅当 ，即
时等号成立，D错误；
故选：C.
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除 ,再根据 ,对应 ,排除 ,进而选出正确答案 .
【详解】由函数 ， 可得 ，
故函数的定义域为 ，
又 ， 所以 是偶函数，
其图象关于 轴对称， 因此 错误；
当 0 时， ， 所以 错误．
故选:
6．叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收纳
甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影．经研究发现，叶
广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是 ，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为多
少个单位（ ）
A．2 B． C．160 D．6
【答案】C
【分析】由题意 ，由指数与对数的关系求解即可
【详解】由题意有： ，
所以所以 ，
所以 ，
故选：C
7．已知奇函数 的图像关于点 对称，当 时， ，则当 时，
的解析式为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当 时， ,结合奇偶性与对称性即可得到结果.
【详解】因为奇函数 的图像关于点 对称，所以 ，
且 ，所以 ，故 是以 为周期的函数.
当 时， ，故
因为 是周期为 的奇函数，所以
故 ，即 ，
故选C
【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.
8．已知函数 的定义域是 ，函数 的图象的对称中心是 ，若对任意的 ， ，
且 ，都有 成立， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】利用函数 的图象的对称中心是 可得 是 上的奇函数，由
可得 ，故可得 在 上单调递增，然后分 ， 和 三种情况
进行求范围即可
【详解】因为 是 向左平移1个单位长度得到，且函数 的图象的对称中心是 ，
所以 的图象的对称中心是 ，故 是 上的奇函数，所以 ，
对任意的 ， ，且 ，都有 成立，
所以 ，
令 ，所以根据单调性的定义可得 在 上单调递增，
由 是 上的奇函数可得 是 上的偶函数
所以 在 上单调递减，
当 时，不等式 得到 ，矛盾；
当 时， 转化成 即 ，所以 ；
当 时， 转化成 ， ，所以 ，
综上所述，不等式 的解集为
故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的最大值是2 B． 的最小正周期为
C． 在 上是增函数 D． 的图像关于点 对称
【答案】AC
【分析】对A，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B，D根据正弦函数的周期与对称中心公式，整
体代入即可判断；对C，先求出 的单调递增区间，即可判断.
【详解】解：对A， ，
故当 时， ，故A正确；
对B， 的最小正周期 ，故B错误；
对C，令 ，
解得： ，
故 的单调递增区间为： ，
当 时， 的一个单调递增区间为： ，
故 在 上单调递增，故C正确；对D，令 ，
解得： ，
故 的对称中心为： ，
令 ，
即 ，
解得： ，
故 不是 的对称中心，故D错误.
故选：AC.
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式、诱导公式求得正确答案.
【详解】因为 ，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
因为 ，
所以 ，故D错误．故选：ABC
11．已知函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数 是偶函数
D．关于x的不等式 的解集为
【答案】ACD
【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a的值，判断A，B；根据图象的平移结合偶
函数的性质可判断C；分段解不等式可得不等式 的解集，判断D.
【详解】由函数图像可知 为函数 的对称轴，即函数满足 ，
则当 时，则 ，故 ，则 ，
同理当 时，则 ，故 ，则 ，
综合可知 ，A正确；B错误.
将 的图象向左平移1个单位，即得函数 的图象，
则 的图象关于y轴对称，故 为偶函数，C正确；
当 时， ，令 ，解得 ，故 ；
当 时， ，令 ，解得 ，故 ，综合可得 ，即不等式 的解集为 ，D正确，
故选：ACD
【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定
义去判断解答，即可求解.
12．若函数 同时满足：（1）对于定义域内的任意 ，有 ；（2）对于定义域内的任
意 ， ，当 时，有 ，则称函数 为“理想函数”.给出下列四个函数是“理
想函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】满足（1）可得， 是奇函数，满足（2）可得， 在定义域内是减函数，问题转化为判断
以下函数是否满足这两个性质；根据选项，逐项判断函数奇偶性与单调性，即可得出结果.
【详解】由（1）对于定义域内的任意 ，恒有 ，即 ，所以 是奇函数；
由（2）对于定义域内的任意 ， ，当 时，恒有 ，所以 或
，则 在定义域内是减函数；
对于A：由 可得 ，所以 是偶函数，故不是“理想函数”；
对于B：由 得 ，所以 是奇函数，又 在 上是增函数，所以 在 上是减函数，所以是“理想函数”；
对于C：由 得 ，所以 是奇函数；又 在定义
域上增函数， 在 和 上是减函数，所以 在 和 上都是增函数，
故不是“理想函数”；
对于D： ， ，所以 是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知 在 和 都是减函数，且在 处连续，所以
在 上是减函数，所以是“理想函数”.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：
求解函数新定义问题时，一般根据函数的新定义，结合函数基本性质（单调性、奇偶性、对称性等），确
定新定义下的函数的性质，即可求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数f（x）＝2x－5的零点所在区间为[m，m＋1]（m∈N），则m＝ ．
【答案】2
【详解】试题分析：因为f(2)＝22－5=-1<0，f(3)＝23－5=3>0, f(2) f(3)<0,且f(x)是增函数
所以函数f(x)＝2x－5在区间[2,3]上存在零点，所以m=2.
考点：函数的零点；零点存在性定理．
点评：零点存在性定理只能判断函数是否存在零点，而不能判断函数零点的个数．要想判断零点的个数，
还需要判断函数的单调性．
14．函数 （ 且 ）的图象必过定点，则定点坐标为 .
【答案】【分析】由 可得当 时， ，可得答案.
【详解】由 有当 时， .
所以当 时，
所以 恒有 ，即 得图像必过点
故答案为：
【点睛】本题考查指数函数的图像性质，属于基础题.
15．已知函数 ，若 ， ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】 ， ，分离参数 ，得到 ，求出 的范围，即可得出
结论.
【详解】 ， 恒成立，
即 恒成立，
设 在 单调递减，所以 ，
所以 .
故答案为： .
16．若函数 满足 ，则称 为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，所有满足
“倒负”变换的函数序号是 ．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】④【分析】求得 的解析式，再与 的解析式进行比较即可得到满足“倒负”变换的函数
【详解】① ，不符合要求；
② ，不符合要求；
③ ，不符合要求；
④ ，符合要求
故答案为：④
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立同角三角函数的平方式，根据角的取值范围，利用三角函数的商式关系，可得答案；
（2）由（1）求得三角函数，利用正弦的差角公式以及二倍角公式，可得答案.
【详解】（1）由 ，则 ，消去 ，可得 ，
分解因式可得 ，解得 或 ，由 ，则 ，即 ，故 .
（2）由（1）可知 ， ，
.
18．已知函数 ( ，且 ).
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并求函数的单调区间.
【答案】（1） ；（2）函数为奇函数；当 时，函数 在 ， 上为减
函数；当 时，函数 在 ， 上为增函数.
【分析】（1）根据对数函数真数大于零，由 求解.
（2）利用函数奇偶性的定义判断，设 ，则 在 和 上均为减函数，再分
， ，利用复合函数的单调性求解.
【详解】（1）∵ ( 且 )，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
故函数 的定义域 ，
（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称，
∵ ，∴函数为奇函数，
设 ，则 ，
因为函数u在 和 上均为减函数，
当 时，函数 在 为增函数，
所以函数 在 ， 上为减函数，
当 时，函数 在 为减函数，
故函数 在 ， 上为增函数.
【点睛】方法点睛：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间
(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为
增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．
19．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在 中，若 ，求 的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 ，再利用正弦函数性质求出周期作答.
（2）由（1）中函数式求出A，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.
【详解】（1）依题意，
，
所以函数 的周期为 .（2）由（1）知， ，
在 中， ，有 ，于是 ，解得 ，则 ，
，
显然 ， ，因此当 ，即 时， ，
所以 的最大值为 .
20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ中，半径 ，圆心角
，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记 ，矩形ABCD的面积为 ．
(1)将面积S表示为角 的函数；
(2)当角 取何值时，S最大？并求出这个最大值．
【答案】(1) ；
(2) ， .
【分析】（1）根据给定的图形，用 的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答.
（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.
【详解】（1）依题意，在 中， ，则 ，
，在 中， ，则 ，
因此 ，，
所以面积S表示为角 的函数是 .
（2）由（1）知，当 时， ，则当 ，即 时， ，
所以当 时， .
21．已知函数 （a为常数， ）．
(1)讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
(2)当 为偶函数时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范
围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出 和 时 的具体值，即可判断奇偶；
（2）由（1）可得 ，题意可转化成 对 恒成立，设 ，
，利用单调性的定义判断 在 上为减函数，即可求解
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， 即 ，解得 ，
所以 时，函数 是偶函数，
当 时， 即 ，解得 ，
所以 时，函数 是奇函数，综上所述，当 时，函数 是奇函数；
当 时，函数 是偶函数；
当 时，函数 是非奇非偶函数
（2） 为偶函数，根据（1）可知
对于任意的 ，都有 成立，故 即
，
因为 ，所以 对 恒成立，
设 ， ，
任取 ，且 ，即 ，
则 ，
因为 ，所以 ，可得 ，即
所以 在 上为减函数， ，故
所以实数m的取值范围是
【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，
并注意把握下述结论：
① 存在解 ； 恒成立 ；
② 存在解 ； 恒成立 ；
③ 存在解 ； 恒成立 ；
④ 存在解 ； 恒成立22．设函数 ；
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ，且 在闭区间 上有实数解，求实数 的范围；
（3）如果函数 的图象过点 ，且不等式 对任意 均成立，求实数 的取
值集合．
【答案】（1） （2） （3） ， ，
【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可；
（2）根据 可得 的解析式，由 分离变量可得 ，令
，它在闭区间 上的值域即为 的范围；
（3）函数 的图象过点 ，求 的解析式，可得 ，则不等式
转化为 ，求解 ，又∵ ，即 ， ，讨论 的范围
可得答案．
【详解】解：函数 ；
（1）当 时， ，
那么：不等式 ；即 ，
可得： ，且 ，解得： ，
∴不等式的解集为 ；
（2）∵ ，可得 ，
∴ ，
，即 在闭区间 上有实数解，
可得 ，
令 ，求在闭区间 上的值域，
根据指数和对数的性质可知： 是增函数，
∴ 在闭区间 上的值域为 ，
故得实数 的范围是 ；
（3）∵函数 的图象过点 ，
则有： ，
∴ ，
故 ，
那么：不等式 转化为 ，
即 ，∴ ， ，
解得： ， ，
又∵ ，即 ，
∴ ， ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
故得任意 均成立，实数 的取值集合为 ， ， ．
