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2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D A C B D C C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ACD ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．3 14．②③④
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）原式 ...........................6分
（2）由 ，而 ，.................................................9分
则 ，故 ..........................................................13分
16．（15分）
【详解】（1）由题设 ，则 ，........................................................3分
或 ，则 ...............................................................................6分
（2）由 ，.....................................................................................................8分
若 时， ，满足；.............................................................................10分
学科网（北京）股份有限公司若 时， ；..................................................................................14分
综上， ..................................................................................................................................15分
17．（15分）
【详解】（1）函数 是定义在 上的奇函数，即函数 的图象关于原点对称，
则函数 图象如图所示．
...............................................................2分
故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；....4分
（2）根据题意，
令 ，则 ，则 ，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
即 ，....................................................................................6分
所以 .........................................................................8分
（3）当 时， ，
则 ，
其对称轴为 ，..............................................................................9分
学科网（北京）股份有限公司当 时，即 ，则 ，...........................11分
当 时，即 ，则 ，............................13分
故 .............................................................................15分
18．（17分）
【详解】（1）因为 ， ,定义域关于原点对称，
令 ，所以 ，故 ，...................................................................2分
则 ， ，
所以 为定义在 上的奇函数，故 ...................................................................4分
（2） 是 上的增函数.
证明：任取 ，且 ，
，......6分
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 是 上的增函数........................................................................................................9分
（3）当 时，不等式 即 ，...................................11分
学科网（北京）股份有限公司故 ，
则令 ，由题意可知 ， ，....................................................13分
因为函数 ， 为 上的增函数，
故 在 上单调递增，
故 ，
所以 ....................................................................................................................................17分
19．（17分）
【详解】（1）对于 ，定义域为 ，显然定义域 中任意实数 有 成立，又
，
是倒函数，............................................................................................................3分
对于 ，定义域为 ，
故当 时， ，不符合倒函数的定义，
所以 不是倒函数；.....................................................................................................6分
（2）因为 ，又 是 上的倒函数，
所以 ，所以 ，
故 ，.................................................................9分
充分性：当 时， 且 ，又 在 上是严格增函数，
所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，故 ..............................................12分
必要性：当 时，
有
，.............................................................................................15分
又 恒大于0，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上是严格增函数．所以 ，即有 成立.
综上所述： 是 的充要条件．..................................................................17分
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