高一数学第一次月考卷01（全解全析）PDF版_1多考区联考试卷_0920（新高考通用）黄金卷：2024-2025学年高一上学期第一次月考（含答题卡word解析版）

2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知全集U Z，集合A  xZ x3或x3  ，B0,3，则   AB（ ）
U
A．1,2 B．1,2,3 C．0,1,3 D．1,2
【答案】D
【详解】由已知可得 U A2,1,0,1,2,3，又B0,3，∴   U A  B1,2．
故选：D.
2．在R上定义运算“”：a

bab2ab，则满足x

(x2)0的实数x的取值范围是（ ）
A．(0,2) B．(2,1) C．(,2)

(1,) D．(1,2)
【答案】B
【详解】根据给出在𝑅上定义运算x (x2) x(x2)2x(x2) x2x2(x2)(x1)，

由x

(x2)0得(x2)(x1)0，解之得2<x<1，
故该不等式的解集是(2,1)．
故选：B
y
3．若两个正实数x,y满足4x y xy，且存在这样的x,y使不等式x m23m有解，则实数m的取值范
4
围是（ ）
A．1,4 B．4,1 C．,41, D．,30,
【答案】C
4 1
【详解】由4x y xy，x,y0，可得  1，
y x
1
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}y  y 4 1
所以x x   
4  4  y x
4x y 4x y
2  22  4，
y 4x y 4x
4x y
当且仅当  ，即y4x8时等号成立．
y 4x
所以m23m4,m23m4m4m10，解得m4或m1，
所以实数m的取值范围是,41,．
故选：C．
4．对于xR，用x表示不大于x的最大整数，例如：π3，2.13，则“ xy ”是“x y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当x y时，如x3.2，y3.1，不能得到xy，
由xy，则x yy，又xx，所以一定能得到x y，
所以“ xy ”是“x y”成立的充分不必要条件.
故选：A.
5．已知全集为U，集合M，N满足M N U ，则下列运算结果为U的是（ ）．
 
A．M N B．  N  M
U U
C．M 

N D．N

M
U U
【答案】D
【详解】如图，
因为M

N

U ，所以M

N N U ，故A错误；
因为   N  M  M N  M U ，故B错误；
U U U U
因为M  N  U ，所以M   U NU，故C错误；
因为M  N  U
，所以N
 U
MU
，故D正确.
2
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}故选：D
6．关于x的一元二次方程x2 xm0有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
1 1 1 1
A．m B．m C．m D．m
2 4 2 4
【答案】A
【详解】因为一元二次方程x2 xm0有实根，
1
所以14m0，解得m .
4
1 1
又(, ]是(, )的真子集，
4 2
1 1
所以“(, )”是“(, ]”的必要不充分条件.
2 4
故选：A
ax1 xa
7．不等式 1的解集为 x x1或x4，则 0的解集为（ ）
xb bx1
 1
A．x 6 x  B． x 1 x1
 4
 1  1 
C．x 6x  D．x  x1
 4  4 
【答案】A
ax1
【详解】不等式 1可转化为

a1xb1

xb0，
xb
其解集为 x x1或x4，
所以a1，且方程axxb1xb0的两个根为x 1，x 4，
1 2
a1b10 4a4b10 a6 a1
则 或 ，解得 或 （舍去），
4b0 1b0 b4 b1
x6 x64x10 1
即有 0，即 ，解得6x .
4x1 4x10 4
 1
所以不等式的解集为x 6x .
 4
故选：A.
1 4
8．已知xy  8(x,y0)，则xy的最小值为（ ）
x y
A．5 3 B．9 C．4 26 D．10
【答案】B
3
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}1 4 1 4
【详解】xy  8 x y8  ，
x y x y
1 4
两边同时乘以“xy”得：(xy8)(xy)(  )(xy)，
x y
1 4 y 4x
所以(xy8)(xy)(  )(xy)5  9，
x y x y
当且仅当y2x时等号成立，令t  xy，
所以(t8)t9，解得t1或t9，
因为xy0，所以x y9，即(xy) 9，
min
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下面命题正确的是（ ）
A．若x,yR且xy2，则x，y至少有一个大于1
B．“任意x1，则x²1”的否定是“存在x1，则x2 1”
C．设x,yR，则“x2且y2”是x²y²4的必要而不充分条件
D．设a,bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件
【答案】ABD
【详解】对于A，假设x,y都不大于1，即x1，y1，则xy2与已知矛盾，假设是错的，原命题为真
命题，A正确；
对于B， “任意x1，则x2 1”的否定为“存在x1，则x2 1”，B正确；
对于C，x2则x2 4，y2则y2 4，x2y2 8，则x2 y2 4成立，满足充分性，C错误；
对于D，当a0时，ab可能为零，当ab0时，a一定不等于零，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件，
D正确.
故选：ABD.
10．若ab0，则下列不等式成立的是（ ）
b a b b1 1 1
A．  B．abb2 C．  D．a b
a b a a1 b a
【答案】BCD
a b
【解析】对A，若ab0，则a2 b2，两边同时除以ab，所以  ，A错误；
b a
对B，由ab0可得abb2，B正确；
b1 b
对C，因为a(b1)b(a1)ab0，所以a(b1)b(a1)0，即  ，C正确；
a1 a
1 1 1 1
对D，由ab0可得，  0，所以a b ，D正确．故选：BCD.
b a b a
4
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}11．已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为M ，则下列说法正确的是（ ）
A．若M ，则a0且b24ac0
a b c
B．若   ，则关于x的不等式ax2 bxc0的解集也为M
a b c
C．若M {x|1 x2}，则关于x的不等式a(x21)b(x1)c2ax的解集为N {x|x0,或x3}
a3b4c
D．若M {x|x x ,x 为常数}，且ab，则 的最小值为52 5
0 0 ba
【答案】ACD
【详解】A选项，若M ，即一元二次不等式ax2bxc0无解，
则一元二次不等式ax2bxc0恒成立，
a0且b24ac0，故A正确；
a b c a b c
B选项，令   t（t0），则a 、b 、c ，
a b c t t t
1
∴ax2 bxc0可化为 (ax2bxc)0，
t
1
当t0时， (ax2bxc)0可化为ax2bxc0，其解集不等于M ，故B错误；
t
C选项，若M {x|1 x2}，
则a0，且1和2是一元二次方程ax2bxc0的两根，
b c
12 ，且12 ，ba，c2a，
a a
关于x的不等式a(x21)b(x1)c2ax可化为a(x21)a(x1)2a2ax，
可化为a(x23x)0，

a0，x23x0，解得x0或x3，
即不等式a(x21)b(x1)c2ax的解集为N {x|x0,或x3}，故C正确；
D选项，

M {x|x x
0
,x
0
为常数}，
b2
a3b
a0且b24ac0， a3b4c a ，
 
ba ba
ba0，ba0，令bat0，则bat，

b2 (at)2
a3b a3(at)
a a 5a t 5a t ，
    52  52 55
ba t t a t a
 
3 5 a
当且仅当t  5a，则 b(1 5)a,c ，且a为正数时，等号成立，
2
a3b4c
所以 的最小值为52 5，故D正确.
ba
故选：ACD.
5
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知1ab4，1ab2，则4a2b的取值范围为 .
【答案】2,10
【详解】解：设4a2bxabyabxyaxyb，
xy4 x1
所以 ，解得 ，
xy2 y3
因为1ab4，1ab2，
则33ab6，
因此，24a2b10.
故答案为：2,10
.
x24x50
13．已知关于x的不等式组 的解集中存在整数解且只有一个整数解，则k的取值范围

2x25x2x5k
为 .
【答案】6,23,4
【详解】由x24x5x5x10，得x1或x5，
所以2x22k5x5k 2x5xk0的解集与{x∣x1或x5}的交集中存在整数解，且只有一个整
数解.
5  5 
当k  时，2x22k5x5k 0的解集为x|  xk，此时2k 6，即6k 2，满足要求；
2  2 
5
当k  时，2x22k5x5k 0的解集为，此时不满足题设；
2
5  5
当k  时，2x22k5x5k 0的解集为x k  x ，此时4k 3，即3k 4，满足要求.
2  2
综上，k的取值范围为6,23,4
.
故答案为：6,23,4
1
14．定义集合P{x|a xb}的“长度”是ba，其中a，bR．已如集合M {x|mxm }，
2
3 6
N {x|n xn}，且M，N都是集合{x|1 x2}的子集，则集合MN的“长度”的最小值是 ；若m ，
5 5
3
集合M N 的“长度”大于 ，则n的取值范围是 .
5
1 8 17 9 
【答案】 /0.1

,  ,2

10 5 10 5 
6
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}1 3
【详解】集合M {x|mxm }，N {x|n xn}，且M，N都是集合{x|1 x2}的子集，
2 5
m1  3
 3 n 1 8
由 1 ，可得1m ，由 5 ，可得 n2．
m 2 2 5
  2  n2
要使MN的“长度”最小，只有当m取最小值、n取最大或m取最大、n取最小时才成立.
 7 3 3 7 1
当m1，n2，M N x x ，“长度”为   ，
 5 2 2 5 10
3 8  3 8 8 3 1
当m ，n ，M N x  x ，“长度”为   ，
2 5  2 5 5 2 10
1
故集合MN的“长度”的最小值是 ；
10
6  6 17
若m ，M x  x ，
5  5 10
3 3 17 3 6 3
要使集合M N 的“长度”大于 ，故n   或n  ,
5 5 10 5 5 5
17 9 8 8 17 9 
即n 或n ,又 n2，故n  ,  ,2 .
10 5 5 5 10 5 
1 8 17 9 
故答案为： ；  ,  ,2 .
10 5 10 5 
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知集合A{x|2 x15}、集合B{x|m1 x2m1}（mR）.
(1)若A

B，求实数m的取值范围；
(2)设命题p：xA；命题q：xB，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【详解】（1）由题意可知A{x|2 x15}{x|1x6}，
又A

B，当B时，m12m1，解得m2，
当B时，m12m1，m16或2m11，解得m5，
综上所述，实数m的取值范围为,25,；............................6分
（2）∵ 命题p是命题q的必要不充分条件，∴ 集合B是集合A的真子集，
当B时，m12m1，解得m2，
m12m1
 7
当B时，m11 （等号不能同时成立），解得2m ，
2

2m16
 7
综上所述，实数m的取值范围为, .............................13分
 2
7
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}16．（15分）
甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在A､B､C､D四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者
为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知A､B的底面积均为x2，高分别为x､y;C､D的底面积均为y2，
高分别为x､y(其中x y）.在未能确定x与y大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两
个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由.
【详解】设A，B，C，D的体积分别为V ，V ，V ，V ，则V x3,V x2y,V xy2,V  y3，
A B C D A B C D
甲从A，B，C，D中任选2个，有AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种可能，............................4分
当x y时，则x3 x2yxy2  y3，即V V V V ，
A B C D
则V V V V ，V V V V ，即甲取BD,CD均不能够稳操胜券；..........................7分
A B C D A C B D
当x y时，则y3  y2x yx2 x3，即V V V V ，
D C B A
则V V V V ，V V V V ，即甲取AC,AB均不能够稳操胜券；............................10分
D C B A D B C A
若甲先取AD，则V V V V x3y3  xy2x2y  (xy)2(xy)0，
A D B C
即V V V V ，即甲先取AD能够稳操胜券，选BC不能够稳操胜券；
A D B C
综上所述：甲必胜的方案：甲选AD.............................15分
17．（15分）
已知实数a、b满足：9a2b24ab10.
(1)求ab和3ab的最大值；
(2)求9a2b2的最小值和最大值.
【详解】（1）∵ 9a2b24ab10，∴ 9a2b2 104ab，
∵ 9a2b2 6ab，∴ 104ab6ab，∴ ab1，
3 3
当且仅当a 、b 3或a 、b 3时等号成立，∴ ab的最大值为1，
3 3
∵ 9a2b24ab10，∴ (3ab)2102ab，
2 2 3ab (3ab)2
∵ 2ab 3ab ( )2  ，
3 3 2 6
(3ab)2
∴ (3ab)210 ，∴ (3ab)2 12，
6
3
∴ 3ab2 3，当且仅当a 、b 3时等号成立，∴ 3ab的最大值为2 3；............................7分
3
109a2b2
（2）∵ 9a2b24ab10，∴ ab ，
4
109a2b2
∵ 9a2b2 6ab，∴ 9a2b2 6 ，即9a2b2 6，
4
8
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}3 3
当且仅当a 、b 3或a 、b 3时等号成立，∴ 9a2b2的最小值为6，
3 3
109a2b2
又9a2b2 6ab，∴ 9a2b2 6 ，即9a2b2 30，
4
15 15
当且仅当a 、b 15或a 、b 15时等号成立，
3 3
∴ 9a2b2的最大值为30.............................15分
18．（17分）
已知函数ym1x2m1xm1．
(1)若不等式m1x2m1xm11的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式m1x22mxm10；
 1 1
(3)若不等式m1x2m1xm10对一切xx  x 恒成立，求m的取值范围．
 2 2
【详解】（1）由题意，
当m10, 即 m1 时, 2x21, 解集不为 R, 不合题意;
当m10, 即 m1 时, (m1)x2(m1)xm20 的解集为 R,
m10 m1
 ，即
Δ(m1)24(m1)(m2)0 3m22m90
12 7
故 m1 时, m .
3
12 7
综上，m .............................6分
3
（2）由题意得,
在(m1)x22mxm10, 即 [(m1)x(m1)](x1)0,
当 m10, 即 m1 时, 解集为
x x1
;
 m1
当 m10, 即 m1 时, x (x1)0,
 m1
m1 2  m1 
即 1 1，解集为 x x 或x1；
m1 m1  m1 
 m1
当 m10, 即 m1 时, x (x1)0,
 m1
m1 2  m1
 1 1, 解集为 x1x .
m1 m1  m1
 m1
综上，当 m1 时, 解集为 x1x ;
 m1
9
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}当 m1 时, 解集为
x x1
;
 m1 
当 m1 时, 解集为x x 或x1.............................11分
 m1 
（3）由题意，
(m1)x2(m1)xm10, 即 m  x2x1  x2x1,
x2x10 恒成立,

x2x1 2(1x)
∴ m 1 ,
x2x1 x2x1
1 3
设 1xt, 则 t ,x1t
2 2
1x t t 1
   
x2x1 (1t)2(1t)1 t2t1 1 ,
t 1
t
1

t 2, 当且仅当 t 1 时取等号,
t
1x
 1, 当且仅当 x0 时取等号,
x2x1
x2 x1
 当 x0 时,   1,
 x2 x1 
max
m1，
∴ m的取值范围为1, ...........................17分
19．（17分）
已知S 1,2, ,nn3，Aa,a , ,a k 2是S 的子集，定义集合A*   a a a,a A且a a  ，
n  1 2  k n i j i j i j
若A*

nS
n
，则称集合A是S
n
的恰当子集．用 X 表示有限集合X的元素个数．
（1）若n5，A1,2,3,5，求A*并判断集合A是否为S 的恰当子集；
5
（2）已知A1,a,b,7ab是S 的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
7
（3）若存在A是S 的恰当子集，并且 A 5，求n的最大值．
n
【解析】（1）若n5，有S 1,2,3,4,5，由A1,2,3,5，则A* 1,2,3,4，
5
满足A*

5S
5
，集合A是S
5
的恰当子集；-------------------------------------------3分
（2）A1,a,b,7ab是S 的恰当子集，则A* 1,2,3,4,5,6，
7
716A*，由5A*则7a5或b15，
7a5时，a2，此时b5，A1,2,5,7，满足题意；
b15时，b6，此时a3，A1,3,6,7，满足题意；
10
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{#{QQABBYQUggAIQJBAABgCAw34CgAQkBEACQgGxAAAMAAAwQFABAA=}#}a2，b5或a3，b6.-------------------------------------------8分
（3）若存在A是S 的恰当子集，并且 A 5，
n
当n10时，A1,2,3,7,10，有A* 1,2,3,4,5,6,7,8,9，满足A*

10S
10
，
所以A1,2,3,7,10是S 的恰当子集，-------------------------------------------11分
10
当n11时，若存在A是S 的恰当子集，并且 A 5，则需满足A* 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，由10A*，则
11
有1A且11A；由9A*，则有2A或10A，-------------------------------------------13分
2A时，设A1,2,a,b,113ab10，经检验没有这样的a,b满足A* 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10；
当10A时，设A1,a,b,10,112ab9，经检验没有这样的a,b满足A* 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
-------------------------------------------16分
因此不存在A是S 的恰当子集，并且 A 5，
11
所以存在A是S 的恰当子集，并且 A 5的n的最大值为10.-------------------------------------------17分
n
11
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