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2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知可得 ，又 ，∴ ．
故选：D.
2．在 上定义运算“ ”： ，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据给出在R上定义运算 ，
由 得 ，解之得 ，
故该不等式的解集是 ．
故选：B
3．若两个正实数 满足 ，且存在这样的 使不等式 有解，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ， ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选：C．
4．对于 ，用 表示不大于 的最大整数，例如： ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当 时，如 ， ，不能得到 ，
由 ，则 ，又 ，所以一定能得到 ，
所以“ ”是“ ”成立的充分不必要条件.
故选： .
5．已知全集为U，集合M，N满足 ，则下列运算结果为U的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图，
因为 ，所以 ，故A错误；
因为 ，故B错误；
因为 ，所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ，故D正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：D
6．关于 的一元二次方程 有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为一元二次方程 有实根，
所以 ，解得 .
又 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：A
7．不等式 的解集为 或 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】不等式 可转化为 ，
其解集为 或 ，
所以 ，且方程 的两个根为 ， ，
则 或 ，解得 或 （舍去），
即有 ，即 ，解得 .
所以不等式的解集为 .
故选：A.
8．已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
两边同时乘以“ ”得： ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，令 ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下面命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则x，y至少有一个大于1
B．“任意 ，则 ”的否定是“存在 ，则 ”
C．设 ，则“ 且 ”是 的必要而不充分条件
D．设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】ABD
【详解】对于A，假设 都不大于1，即 ， ，则 与已知矛盾，假设是错的，原命题为真
命题，A正确；
对于B， “任意 ，则 ”的否定为“存在 ，则 ”，B正确；
对于C， 则 ， 则 ， ，则 成立，满足充分性，C错误；
对于D，当 时， 可能为零，当 时， 一定不等于零，则“ ”是“ ”的必要不充分
条件，D正确.
故选：ABD.
10．若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对A，若 ，则 ，两边同时除以 ，所以 ，A错误；
对B，由 可得 ，B正确；
对C，因为 ，所以 ，即 ，C正确；
学科网（北京）股份有限公司对D，由 可得， ，所以 ，D正确．故选：BCD.
11．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 且
B．若 ，则关于 的不等式 的解集也为
C．若 ，则关于 的不等式 的解集为 或
D．若 为常数 ，且 ，则 的最小值为
【答案】ACD
【详解】A选项，若 ，即一元二次不等式 无解，
则一元二次不等式 恒成立，
且 ，故A正确；
B选项，令 （ ），则 、 、 ，
可化为 ，
∴
当 时， 可化为 ，其解集不等于 ，故B错误；
C选项，若 ，
则 ，且 和 是一元二次方程 的两根，
，且 ， ， ，
关于 的不等式 可化为 ，
可化为 ， ， ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 或 ，故C正确；
D选项， 为常数 ，
且 ， ，
， ，令 ，则 ，
，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，则 ，且 为正数时，等号成立，
所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 ， ，则 的取值范围为 .
【答案】
【详解】解：设 ，
所以 ，解得 ，
因为 ， ，
则 ，
因此， .
故答案为： .
13．已知关于 的不等式组 的解集中存在整数解且只有一个整数解，则 的取值范围
为 .
【答案】
【详解】由 ，得 或 ，
所以 的解集与 或 的交集中存在整数解，且只有一个
整数解.
当 时， 的解集为 ，此时 ，即 ，满足要求；
当 时， 的解集为 ，此时不满足题设；
当 时， 的解集为 ，此时 ，即 ，满足要求.
综上， 的取值范围为 .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司14．定义集合 的“长度”是 ，其中a， R．已如集合 ，
，且M，N都是集合 的子集，则集合 的“长度”的最小值是 ；
若 ，集合 的“长度”大于 ，则n的取值范围是 .
【答案】 /
【详解】集合 ， ，且M，N都是集合 的子集，
由 ，可得 ，由 ，可得 ．
要使 的“长度”最小，只有当 取最小值、 取最大或 取最大、 取最小时才成立.
当 ， ， ，“长度”为 ，
当 ， ， ，“长度”为 ，
故集合 的“长度”的最小值是 ；
若 ， ，
要使集合 的“长度”大于 ，故 或
即 或 又 ，故 .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知集合 、集合 （ ）.
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)设命题 ： ；命题 ： ，若命题 是命题 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意可知 ，
又 ，当 时， ，解得 ，
当 时， ， 或 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ；............................6分
学科网（北京）股份有限公司（2）∵命题 是命题 的必要不充分条件，∴集合 是集合 的真子集，
当 时， ，解得 ，
当 时， （等号不能同时成立），解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .............................13分
16．（15分）
甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在 四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多
者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知 的底面积均为 ，高分别为 的底面积均为
，高分别为 其中 ）.在未能确定 与 大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲
取哪两个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由.
【详解】设A， ， ， 的体积分别为 ， ， ， ，则 ，
甲从A， ， ， 中任选2个，有 ，共6种可能，............................4分
当 时，则 ，即 ，
则 ， ，即甲取 均不能够稳操胜券；..........................7分
当 时，则 ，即 ，
则 ， ，即甲取 均不能够稳操胜券；............................10分
若甲先取 ，则 ，
即 ，即甲先取 能够稳操胜券，选 不能够稳操胜券；
综上所述：甲必胜的方案：甲选 .............................15分
17．（15分）
已知实数 、 满足： .
(1)求 和 的最大值；
(2)求 的最小值和最大值.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
当且仅当 、 或 、 时等号成立，∴ 的最大值为 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 、 时等号成立，∴ 的最大值为 ；............................7分
（2）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
当且仅当 、 或 、 时等号成立，∴ 的最小值为 ，
又 ，∴ ，即 ，
当且仅当 、 或 、 时等号成立，
∴ 的最大值为 .............................15分
18．（17分）
已知函数 ．
(1)若不等式 的解集为 ，求 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 ；
(3)若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围．
【详解】（1）由题意，
当 , 即 时, , 解集不为 , 不合题意;
当 , 即 时, 的解集为 ,
，即
故 时, .
综上， .............................6分
（2）由题意得,
在 , 即 ,
当 , 即 时, 解集为 ;
学科网（北京）股份有限公司当 , 即 时, ,
即 ，解集为 ；
当 , 即 时, ,
解集为 .
综上，当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 .............................11分
（3）由题意，
, 即 ,
恒成立,
∴ ,
设 , 则
,
, 当且仅当 时取等号,
, 当且仅当 时取等号,
当 时, ,
，
∴ 的取值范围为 ...........................17分
19．（17分）
已知 ， 是 的子集，定义集合 ，
若 ，则称集合A是 的恰当子集．用 表示有限集合X的元素个数．
学科网（北京）股份有限公司（1）若 ， ，求 并判断集合A是否为 的恰当子集；
（2）已知 是 的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
（3）若存在A是 的恰当子集，并且 ，求n的最大值．
【解析】（1）若 ，有 ，由 ，则 ，
满足 ，集合A是 的恰当子集；-------------------------------------------3分
（2） 是 的恰当子集，则 ，
，由 则 或 ，
时， ，此时 ， ，满足题意；
时， ，此时 ， ，满足题意；
， 或 ， .-------------------------------------------8分
（3）若存在A是 的恰当子集，并且 ，
当 时， ，有 ，满足 ，
所以 是 的恰当子集，-------------------------------------------11分
当 时，若存在A是 的恰当子集，并且 ，则需满足 ，由 ，
则有 且 ；由 ，则有 或 ，-------------------------------------------13分
时，设 ，经检验没有这样的 满足 ；
当 时，设 ，经检验没有这样的 满足
，-------------------------------------------16分
因此不存在A是 的恰当子集，并且 ，
所以存在A是 的恰当子集，并且 的n的最大值为10.-------------------------------------------17分
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