文档内容
[机密]2025年
高 2025 届学业质量调研抽测（第一次）
1月16日前
数学试题
（数学试题卷共6页，共19个小题，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
3.有4位同学各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己
每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可
以判断一定没有出现点数1的是
A.平均数为 ，中位数为 B.中位数为 ，众数为
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学科网（北京）股份有限公司C.平均数为 ，方差为 D.中位数为 ，方差为
4.已知 , 是空间中的两条直线， 是两个平面，则
A.若 ，则 是异面直线
B.若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
5.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位：克）与心率 （单位：次/分
钟）的对应数据 根据生物学常识和散点图得出 与 近似满足
.
（ 为参数），令 ， ,计算得到 ， .由最小二
乘法得到经验回归方程为 ，则 的值为
A. B. C. D.
6.在平行四边形 中， ， ， 与 相交于 ，若 ，
，则
A. B. C. D.
7.已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8.已知函数 满足：① 是偶函数；②在 上为增函数. 若
， 且 ，则 与 的大小关系是
A. B. C. D.无法确定
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求. 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数 的最小正周期为 ，则
A.
B.
C. 的单调递增区间为
D.将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到
原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则
10.已知数列 满足 ， ， ，则
A.数列 是等差数列
B.
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学科网（北京）股份有限公司C.若 ，则
D.
11.已知抛物线 的焦点为 ，过 作两条互相垂直的直线 ， 与 交于
两点， 与 交于 两点，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，则
A.当直线 的斜率为 时，
B.当 时，
C． 的最小值为
D.△ 的面积最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若 （ 为实数， 为虚数单位），则 =________.
13.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定： 血
液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于
认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 0.6
.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至
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学科网（北京）股份有限公司少经过_______个小时后才能驾驶? (结果取整数.参考数据:lg3≈0.48，lg7≈0.85)
14.已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 , 使得
，则 的最小值为________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在△ 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，求 的值.
16.（本小题满分15分）
已知函数 在 处的切线方程为 ，
其中 为常数， 为自然对数的底数.
（Ⅰ）试确定 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
17.（本小题满分15分）
如图，在斜三棱柱 中， ， 在
底面 上的射影恰为 的中点 .
（Ⅰ）证明： 平面 ;
A
1 C
1
（Ⅱ）求二面角 的正弦值. B 1
A
D C
B
（第17题图）
18.（本小题满分17分）
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学科网（北京）股份有限公司椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 ： 与椭圆 相交于 （ 不是左右顶点），且以 为
直径的圆过椭圆 的左顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
19.（本小题满分17分）
在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为
，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 分，直到有一方
得分超过对方 分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为 .比赛
既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中
获胜的概率为 ，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为 （ ）.
（Ⅰ）求甲以 的比分赢得比赛的概率；
（Ⅱ）若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 ，求 的范围；
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学科网（北京）股份有限公司（Ⅲ）若 ，设甲运动员在第 球比赛中获胜的概率为 ，数列 满足
，求证： .
（参考知识：当 时，若 ，则 .）
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