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绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷 02（新高考Ⅱ卷专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：八省联考试题出来后，题量上仍然保持19题（8+3+3+5），但第15，16题增加了第（3）问
体量上略微有所变化，另外八省联考最后一题压轴不是新定义题，新定义题压轴的地位有可能变化。
高考·新考法：更紧密的把生活中的问题转化为数学考点，更侧重基础性问题的考法（如本卷16题第（1）
问）
高考·新情境：以实物为背景设计考题（如第5题），以新文化为背景（如第11题），以实际应用为背景
（如第14题）
命题·大预测：（1）注重基础考察（如本卷第16题第（1）问利用基底表示向量，证明垂直关系）
（2）数列解答题常规化
（3）三角压轴
（4）导数作为工具融入解析几何
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】化简集合 ，结合交集的定义求结论.
7 / 18
学科网（北京）股份有限公司【详解】不等式 的解集为 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
2．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】利用向量垂直求参数
【分析】根据向量垂直，得向量的数量积为0，代入计算，即可得答案.
【详解】由题意 ，则 ，
得， ，所以 ，
所以 .
故选：B
3．已知圆 与直线 交于 两点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【知识点】已知点到直线距离求参数、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】根据圆的方程，得圆心坐标和半径，再由 ，得到圆心 到直线 的距离
为 ，结合点到直线距离公式，列出方程求解即可.
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径为 ；
且圆 与直线 交于 两点， ，
所以 为等腰直角三角形， ，则 ，
因此圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，解得 或 ；
故选：C
4．已知函数 从点 到点 的一段图象如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】结合图象求出最小正周期，得到 ，然后代点 求出 .
【详解】设函数的最小正周期为 ，根据图象可知， ，则 ，得 ，
于是 ，由 ，则 ，
即 ，结合 可得 .
故选：D
5．葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示
的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高
度之比为 ，且总高度为 ，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积的有关计算
【分析】由条件求出上下两个球的半径，结合球的体积公式求两个球的体积，相减可得结论.
【详解】设下面球的半径为 ，
因为上，中，下三个几何体的高度之比为 ，
则上面球的半径为 ，圆柱的高为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由已知 ，所以 ，
故下面球的半径为 ，上面球的半径为 ，
所以下面球的体积为 ，上面球的体积为 ，
又 ，
所以下面球的体积与上面球的体积之差约为 ，
故选：A.
6．过抛物线 的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，则弦AB的中点M的轨迹方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】令 的斜率为 且 ，则 的斜率为 ，联立抛物线求 坐标，进而得中点坐标，根据
中点横纵坐标关系确定轨迹方程.
【详解】令 的斜率为 且 ，则 的斜率为 ，
联立 ，可得 ，则 ，同理 ，
所以 ，又 ，
易知其横纵坐标关系有 ，即为M的轨迹方程.
故选：C
7．设 分别为椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点， 的周长为 ，且
，则 的面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问
题
【分析】根据椭圆的性质得到 ，结合 求得 ，由
余弦定理求 的值，得到三角形面积.
【详解】由椭圆的性质可得 ，
又∵ ，∴ ，又 ，所以 ，
，由余弦定理可得 ，即 ，
∴ ，C选项正确；
故选：C
8．奇函数 和偶函数 的图象分别如图1、图2所示，方程 和 的实根个数
分别 ， ，则 （ ）
A．3 B．7 C．10 D．14
【答案】B
【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】令 ， 得到 ，从而求出对应的解， ，同理可得
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学科网（北京）股份有限公司有4个解， ，得到答案.
【详解】结合函数 图象可知 中，令 ，则 ，故 ，
结合 图象可知， 的根为0， 有2个根， 无解；
故 有3个解，故 ；
中，令 ，则 有2个根，不妨设 ，
当 ，即 ，此时 有2个解，
当 ，即 ，此时 有2个解，
故 有4个解，即 ，
综上， .
故选：B
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层
函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，
即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲、乙两名射手同时向一目标射击，互不影响.设事件 ：“甲击中目标”，事件 ：“乙击中目标”，
则事件 与事件 （ ）
A．相互独立 B．互斥 C．不相互独立 D．不互斥
【答案】AD
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断
【分析】根据相互独立事件的定义判断即可.
【详解】甲击中目标与否与乙没有关系，故事件 与事件 相互独立；
但甲、乙可以同时击中目标，故事件 与事件 不互斥.
故选：AD.
10．已知函数 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【知识点】分段函数的性质及应用、画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函
数零点的分布求参数范围
【分析】由题意，作出函数 的图象，结合图形和二次函数的性质，依次判断选项即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】结合函数 的图象可知， ，故A错误；
由 ，可得 ，故B正确；
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
由二次函数性质得 在 上单调递增，
故 ，故C正确；
因为 ，所以 ，故D正确．
故选：BCD
11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极
衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列 满足 ， ，
则（ ）
A．
B．
C．
D．数列 的前 项和为
【答案】BCD
【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、分组（并项）法求和
【分析】直接由递推公式求出 即可判断A选项；分 为奇数或偶数即可判断B选项；分 为奇数或偶数
结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项.
【详解】对于A， ， ， ，故A错误；
对于B，当 为奇数时， 为偶数，则 ， ，
可得 ，当 为偶数时， 为奇数，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，可得 ，故B正确；
对于C，当 为奇数且 时， ， ， ， ，
，
累加可得
， 时也符合；
当 为偶数且 时， ， ， ， ， ，
累加可得
，故 ，故C正确；
对于D，设数列 的前 项和为 ，则 ，
又 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若复数 满足 ，则 ．
【答案】 /
【知识点】复数的除法运算
【分析】利用复数的除法可化简得出复数 .
【详解】因为 ，则 .
故答案为： .
13．某商场举行的“春节合家欢，砸蛋赢现金”活动中，在8个金蛋中分别有一、二、三等奖各1个，其
余5个无奖．由4个人参与砸金蛋活动，每人砸2个，不同的获奖情况数为 ．
【答案】60
【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，②三人各获得一张奖券，
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学科网（北京）股份有限公司由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有 种获奖情况，
②三人各获得一张奖券，有 种获奖情况，
故共有 种获奖情况．
故答案为：60．
14．同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，
横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链
线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可
以为 （其中 是非零常数，无理数 ），对于函数 以下结论正确的是
.
① 是函数 为偶函数的充要条件；
② 是函数 为奇函数的充要条件；
③如果 ，那么 为增函数；
④如果 ，那么函数 存在极值.
【答案】①②④
【知识点】充要条件的证明、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】由奇函数偶函数以及充分性和必要性的定义即可判断①②；求导，由导数的正负求得函数的单调
性即可判断③④.
【详解】对于①，函数 定义域为 ，
若 ，则 ，函数 为偶函数；
若函数 为偶函数，则有 ，
则 ，即 ，
又 不恒等于0，则 ，
即 是函数 为偶函数的充要条件，①正确；
对于②，函数 定义域为 ，
若 ，则 ，函数 为奇函数；
若函数 为奇函数，则有 ，
则 ，又 且二者不恒相等，则 ，
即 是函数 为奇函数的充要条件，②正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于③， ，若 ，则 ， 在R上单调递增；
若 ，则 ， 在R上单调递减，故③错误；
对于④， ，令 可得 ，
若 ，则 在 上 ，函数单调递减，
在 上 ，函数单调递增，
此时 有极小值；
若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 存在极大值，④正确.
故答案为：①②④.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知数列 的前n项和 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ， 为 的前n项和，求使 成立的n的最小值．
【答案】(1)
(2)5
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）由题干中的条件 ，得数列 是公差为1的等差数列，求出 ，再利用
即可求出数列 的通项公式.
（2）利用裂项相消求出 ，再解不等式即可.
【详解】（1））由 ，得数列 是公差为1的等差数列，
又 ， ， ．
当 时， ，
又 也满足上式，
（2）由（1）知， ，
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学科网（北京）股份有限公司．
由 得 ，得 ，
，
∴n的最小值为5．
16．（15分）
如图，在五棱锥 中，已知 底面 ， ， ， ，
， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求侧面 与侧面 所成二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明面面垂直、空间向量共线的判定、空间向量数量积的应用、面面角的向量求法
【分析】（1）由已知 ，结合空间向量的数量积可得出 ，利用线面垂直的性质可
得出 ，利用线面垂直的判定定理可证得 平面 ，利用空间向量的线性运算推导出 ，
可得出 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向
量法可求得侧面 与侧面 所成二面角的余弦值.
【详解】（1）因为 ， ， ，
由 得 ，
即 ，即 ，所以 ，
因为 底面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
17 / 18
学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 底面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
所以 ，
由题意可判断侧面 与侧面 所成二面角为钝二面角，
故侧面 与侧面 所成二面角的余弦值为 ．
17．（15分）
一个盒子中装着标有数字 的卡片各 2 张， 从中任意抽取 3 张， 每张卡片被取出的可能性相等，
用 表示取出的 3 张卡片中的最大数字.
(1)求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率;
(2)求随机变量 的分布列和数学期望.
18 / 18
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可；
（2） 的所有可能取值为 ，算出对应的概率即可得分布列，进一步结合数学期望公式求解期望即
可.
【详解】（1）记抽取的3张卡片标有的数字为 ，随机变量 表示一次取出的3张卡片中的数
字之和，
则 ，令 ，结合题设，
当 时， 最小，且此时 ，
当 或 时， 最大，且此时 ，
所求概率为 ；
（2）由题意记 ，则 的所有可能取值为 ，
当 时，对应的 可能是： ， ，
当 时，对应的 可能是： ， ， ， ，
当 时，对应的 可能是： ， ， ， ， ， ， , ,
，
当 时，对应的 可能是： ， ， ， ， ， ， ， ,
, ， ， ， ， ，
所有 ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为：
2 3 4 5
19 / 18
学科网（北京）股份有限公司所以随机变量 的数学期望为 .
18．（17分）
日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任
意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心， （a为椭圆的长半轴长，b为椭圆
的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C： .
(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为1的直线 与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求 的面积（O为坐标
原点）；
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求 面积
的最小值.
【答案】(1) ；
(2)2
(3)
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题
【分析】（1）根据蒙日圆定义求出半径 ，即可得解；
（2）利用点到直线的距离及圆的性质，求出弦长，得出三角形面积即可；
（3）设 ，可得直线 的方程为 ，联立椭圆，得出根与系数的关系，利用弦长公式
求出 ，再由点到直线距离求出三角形高，得出三角形面积，换元后利用导数求最值.
【详解】（1）因为椭圆 ： ，所以 ，
所以椭圆 的蒙日圆的方程为 ；
（2）如图，
20 / 18
学科网（北京）股份有限公司由（1）知，椭圆 的方程为 ，设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 并整理得， ，
由 ，得 ，即 ，
所以坐标原点 到直线 ： 的距离 ，
所以 ，
所以 ；
（3）由（1）知，椭圆C的方程为 ，椭圆C的蒙日圆方程为 ，
设 ，则 ，设 ， ，
则切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，
将 代入切线 ， 的方程，有 ， ，
故直线 的方程为 ，
将直线 的方程与椭圆 的方程联立得 ，
消去 并整理得，
显然 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
又点 到直线 的距离 ，
21 / 18
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
设 ，则 ， ，
令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 面积的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出三角形面积表达式后，需要通过换元，转化为不带根号的式子，
再由导数判断函数的单调性，利用单调性求面积的最小值.
19．（17分）
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， .
(1)求 ；
(2)求 的面积；
(3)以 为坐标原点， 所在直线为 轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在 所在的平面内有
一动点 ，满足 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律
【分析】（1）利用二倍角公式得 ，再由正弦定理可解；
（2）由余弦定理和已知得 ，由等式两边的取值范围可得
，从而可得三角形面积；
（3）以 为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点 轨迹方程
，即 ，可解问题.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）根据题意， ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ；
（2）由余弦定理， ，
代入 ，得 ，
两边同时除以 ， ，
由于 ，当且仅当 时等号成立，
而 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，
由余弦定理 ，
即 ， 的面积 ；
（3）由（1）（2）可知 ， ，所以 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ，
，
故可设 （ 为变量）
则 ，
所以 的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由题意得 ，两边同时除以 ，
，接下来由等式左右两边的范围得 是
解题的关键.
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