文档内容
2025 年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷
本试卷共9页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
.
A B.
C. D.
2. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. C. D.
3. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线 的焦点为 ，点 在 上，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线 与圆 交于 两点，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的焦点在 轴上，点 ，则（ ）
第1页/共6页
学科网（北京）股份有限公司A. 在 外 B. 的长轴长为
C. 在 内 D. 的焦距为
8. 设函数 ，则“ ”是“ 没有极值点”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 如图，正方体 的棱长为2， 分别为棱 的中点， 为正方形 边
上的动点（不与 重合），则下列说法中错误的是（ ）
A. 平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
B. 存在点 ，使得直线 与平面 垂直
C. 平面 把正方体分割成的两个几何体的体积相等
D. 点 到平面 的距离不超过
10. 2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；
乙公司每个月盈利比前一个月增加 . 记甲、乙两公司在2023年第 个月的盈利分别为 ，
（单位：万元）. 已知 ， ，则 最大时， 的值为（ ）
（参考数据： ， ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
第2页/共6页
学科网（北京）股份有限公司二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线 的渐近线方程为__________．
12. 已知向量 ， ，则 _________， 的最小值为_________.
13. 已知 为等腰三角形，且 ，则 _________.
14. 已知函数 存在最小值，则 的取值范围是_________.
15. 已知曲线 . 给出下列四个结论：
①曲线 关于直线 对称；
②曲线 上恰好有 个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
③曲线 上存在一点 ，使得 到点 的距离小于 ；
④曲线 所围成区域的面积大于 .
的
其中，所有正确结论 序号为_________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 .
（1）求曲线 的两条对称轴之间距离的最小值；
（2）若 在区间 上的最大值为 ，求 的值.
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ， ， ， 是
的中点， 在棱 上，且 平面 .
第3页/共6页
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 是 的中点；
（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面 与平面 夹角的余弦值.
条件①：平面 平面 ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18. 某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生
的原始成绩统计如下：
原始成
8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25
绩
排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12
（1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；
（2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为 ，规定原始成绩排名为 的
学生赋分成绩如下：
当 时，赋分成绩为100分；当 ，赋分成绩为85分；
当 时，赋分成绩为70分；当 时，赋分成绩为60分.
①从课程甲的原始成绩不低于 的学生中随机抽取 人，记 为这 人赋分成绩之和，求 的分布列和
数学期望；
②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：
.
原始成绩 9.75 8 8 75 7.5 6 5.75 5.75
排名 1 2 2 4 4 6 7 7
.
原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 425 4 3.75 3.5
第4页/共6页
学科网（北京）股份有限公司排名 9 10 11 11 13 14 15 16
对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的
赋分成绩分别为 ，直接写出数学期望 和 的大小关系.
19. 已知椭圆 的左顶点为 ，离心率 .
（1）求 的标准方程；
（2）设点 为 上异于顶点的一点，点 关于 轴的对称点为 ，过 作 的平行线 ， 与 的另一
个交点为 . 当 与 不重合时，求证： .
20. 已知函数 .
（1）当 时，求 的定义域；
的
（2）若 在区间 上单调递减，求 取值范围；
（3）当 时，证明：若 ， ，则 .（参考数据： ，
， ）
21. 已知 为各项均为整数的无穷递增数列，且 . 对于 中的任意一项 ，在 中
都存在两项 ，使得 或 .
（1）若 ， ，写出 的所有可能值；
（2）若 .
①当 时，求 的最大值；
第5页/共6页
学科网（北京）股份有限公司②当 时，求 的最小值.
第6页/共6页
学科网（北京）股份有限公司
